Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elhoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elhoi 44857
Description: Membership in a multidimensional half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
elhoi.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
elhoi (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ((𝐴[,)𝐡) ↑m 𝑋) ↔ (π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem elhoi
StepHypRef Expression
1 ovexd 7397 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)𝐡) ∈ V)
2 elhoi.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3 elmapg 8785 . . 3 (((𝐴[,)𝐡) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ ∈ ((𝐴[,)𝐡) ↑m 𝑋) ↔ π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡)))
41, 2, 3syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ((𝐴[,)𝐡) ↑m 𝑋) ↔ π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡)))
5 id 22 . . . . . 6 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡))
6 icossxr 13356 . . . . . . 7 (𝐴[,)𝐡) βŠ† ℝ*
76a1i 11 . . . . . 6 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) β†’ (𝐴[,)𝐡) βŠ† ℝ*)
85, 7fssd 6691 . . . . 5 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„*)
9 ffvelcdm 7037 . . . . . 6 ((π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡))
109ralrimiva 3144 . . . . 5 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡))
118, 10jca 513 . . . 4 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) β†’ (π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)))
12 ffn 6673 . . . . . . 7 (π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* β†’ π‘Œ Fn 𝑋)
1312adantr 482 . . . . . 6 ((π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)) β†’ π‘Œ Fn 𝑋)
14 simpr 486 . . . . . 6 ((π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡))
1513, 14jca 513 . . . . 5 ((π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)) β†’ (π‘Œ Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)))
16 ffnfv 7071 . . . . 5 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) ↔ (π‘Œ Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)))
1715, 16sylibr 233 . . . 4 ((π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)) β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡))
1811, 17impbii 208 . . 3 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) ↔ (π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)))
1918a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) ↔ (π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡))))
204, 19bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ((𝐴[,)𝐡) ↑m 𝑋) ↔ (π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„*cxr 11195  [,)cico 13273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-map 8774  df-xr 11200  df-ico 13277
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator