Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elhoi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem elhoi 45803
Description: Membership in a multidimensional half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
elhoi.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
elhoi (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ((𝐴[,)𝐡) ↑m 𝑋) ↔ (π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝑉(π‘₯)
Proof of Theorem elhoi
StepHypRef Expression
1 ovexd 7437 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)𝐡) ∈ V)
2 elhoi.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3 elmapg 8830 . . 3 (((𝐴[,)𝐡) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ ∈ ((𝐴[,)𝐡) ↑m 𝑋) ↔ π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡)))
41, 2, 3syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ((𝐴[,)𝐡) ↑m 𝑋) ↔ π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡)))
5 id 22 . . . . . 6 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡))
6 icossxr 13410 . . . . . . 7 (𝐴[,)𝐡) βŠ† ℝ*
76a1i 11 . . . . . 6 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) β†’ (𝐴[,)𝐡) βŠ† ℝ*)
85, 7fssd 6726 . . . . 5 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„*)
9 ffvelcdm 7074 . . . . . 6 ((π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡))
109ralrimiva 3138 . . . . 5 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡))
118, 10jca 511 . . . 4 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) β†’ (π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)))
12 ffn 6708 . . . . . . 7 (π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* β†’ π‘Œ Fn 𝑋)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)) β†’ π‘Œ Fn 𝑋)
14 simpr 484 . . . . . 6 ((π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡))
1513, 14jca 511 . . . . 5 ((π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)) β†’ (π‘Œ Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)))
16 ffnfv 7111 . . . . 5 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) ↔ (π‘Œ Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)))
1715, 16sylibr 233 . . . 4 ((π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)) β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡))
1811, 17impbii 208 . . 3 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) ↔ (π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)))
1918a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) ↔ (π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡))))
204, 19bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ((𝐴[,)𝐡) ↑m 𝑋) ↔ (π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  Vcvv 3466   βŠ† wss 3941   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑m cmap 8817  β„*cxr 11246  [,)cico 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-map 8819  df-xr 11251  df-ico 13331
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator