Theorem elhoi 47143

Description: Membership in a multidimensional half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elhoi.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
elhoi	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ↔ (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem elhoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7443	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ∈ V)
2		elhoi.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		elmapg 8832	. . 3 ⊢ (((𝐴[,)𝐵) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ↔ 𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ↔ 𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵)))
5		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → 𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵))
6		icossxr 13455	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ*)
8	5, 7	fssd 6721	. . . . 5 ⊢ (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → 𝑌:𝑋⟶ℝ*)
9		ffvelcdm 7074	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))
10	9	ralrimiva 3163	. . . . 5 ⊢ (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))
11	8, 10	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)))
12		ffn 6703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌:𝑋⟶ℝ* → 𝑌 Fn 𝑋)
13	12	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑌 Fn 𝑋)
14		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))
15	13, 14	jca 520	. . . . 5 ⊢ ((𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)))
16		ffnfv 7112	. . . . 5 ⊢ (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)))
17	15, 16	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵))
18	11, 17	impbii 212	. . 3 ⊢ (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)))
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))))
20	4, 19	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ↔ (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   Fn wfn 6529  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820  ℝ^*cxr 11238  [,)cico 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-map 8822  df-xr 11243  df-ico 13374

This theorem is referenced by: (None)