Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elhoi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem elhoi 45930
Description: Membership in a multidimensional half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
elhoi.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
elhoi (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ((𝐴[,)𝐡) ↑m 𝑋) ↔ (π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝑉(π‘₯)
Proof of Theorem elhoi
StepHypRef Expression
1 ovexd 7455 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)𝐡) ∈ V)
2 elhoi.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3 elmapg 8857 . . 3 (((𝐴[,)𝐡) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ ∈ ((𝐴[,)𝐡) ↑m 𝑋) ↔ π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡)))
41, 2, 3syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ((𝐴[,)𝐡) ↑m 𝑋) ↔ π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡)))
5 id 22 . . . . . 6 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡))
6 icossxr 13441 . . . . . . 7 (𝐴[,)𝐡) βŠ† ℝ*
76a1i 11 . . . . . 6 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) β†’ (𝐴[,)𝐡) βŠ† ℝ*)
85, 7fssd 6740 . . . . 5 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„*)
9 ffvelcdm 7091 . . . . . 6 ((π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡))
109ralrimiva 3143 . . . . 5 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡))
118, 10jca 511 . . . 4 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) β†’ (π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)))
12 ffn 6722 . . . . . . 7 (π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* β†’ π‘Œ Fn 𝑋)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)) β†’ π‘Œ Fn 𝑋)
14 simpr 484 . . . . . 6 ((π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡))
1513, 14jca 511 . . . . 5 ((π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)) β†’ (π‘Œ Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)))
16 ffnfv 7129 . . . . 5 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) ↔ (π‘Œ Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)))
1715, 16sylibr 233 . . . 4 ((π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)) β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡))
1811, 17impbii 208 . . 3 (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) ↔ (π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡)))
1918a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ:π‘‹βŸΆ(𝐴[,)𝐡) ↔ (π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡))))
204, 19bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ((𝐴[,)𝐡) ↑m 𝑋) ↔ (π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,)𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947   Fn wfn 6543  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑m cmap 8844  β„*cxr 11277  [,)cico 13358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-map 8846  df-xr 11282  df-ico 13362
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator