Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elhoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elhoi 46557
Description: Membership in a multidimensional half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
elhoi.1 (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
elhoi (𝜑 → (𝑌 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ↔ (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem elhoi
StepHypRef Expression
1 ovexd 7466 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ∈ V)
2 elhoi.1 . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
3 elmapg 8879 . . 3 (((𝐴[,)𝐵) ∈ V ∧ 𝑋𝑉) → (𝑌 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ↔ 𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵)))
41, 2, 3syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ↔ 𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵)))
5 id 22 . . . . . 6 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → 𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵))
6 icossxr 13472 . . . . . . 7 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ*
76a1i 11 . . . . . 6 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ*)
85, 7fssd 6753 . . . . 5 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → 𝑌:𝑋⟶ℝ*)
9 ffvelcdm 7101 . . . . . 6 ((𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))
109ralrimiva 3146 . . . . 5 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))
118, 10jca 511 . . . 4 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)))
12 ffn 6736 . . . . . . 7 (𝑌:𝑋⟶ℝ*𝑌 Fn 𝑋)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑌 Fn 𝑋)
14 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))
1513, 14jca 511 . . . . 5 ((𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)))
16 ffnfv 7139 . . . . 5 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)))
1715, 16sylibr 234 . . . 4 ((𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵))
1811, 17impbii 209 . . 3 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)))
1918a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))))
204, 19bitrd 279 1 (𝜑 → (𝑌 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ↔ (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  wss 3951   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  *cxr 11294  [,)cico 13389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-map 8868  df-xr 11299  df-ico 13393
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator