Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elhoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elhoi 46498
Description: Membership in a multidimensional half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
elhoi.1 (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
elhoi (𝜑 → (𝑌 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ↔ (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem elhoi
StepHypRef Expression
1 ovexd 7466 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ∈ V)
2 elhoi.1 . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
3 elmapg 8878 . . 3 (((𝐴[,)𝐵) ∈ V ∧ 𝑋𝑉) → (𝑌 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ↔ 𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵)))
41, 2, 3syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ↔ 𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵)))
5 id 22 . . . . . 6 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → 𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵))
6 icossxr 13469 . . . . . . 7 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ*
76a1i 11 . . . . . 6 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ*)
85, 7fssd 6754 . . . . 5 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → 𝑌:𝑋⟶ℝ*)
9 ffvelcdm 7101 . . . . . 6 ((𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))
109ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))
118, 10jca 511 . . . 4 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)))
12 ffn 6737 . . . . . . 7 (𝑌:𝑋⟶ℝ*𝑌 Fn 𝑋)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑌 Fn 𝑋)
14 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))
1513, 14jca 511 . . . . 5 ((𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)))
16 ffnfv 7139 . . . . 5 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)))
1715, 16sylibr 234 . . . 4 ((𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵))
1811, 17impbii 209 . . 3 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)))
1918a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))))
204, 19bitrd 279 1 (𝜑 → (𝑌 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ↔ (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  wss 3963   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  *cxr 11292  [,)cico 13386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-xr 11297  df-ico 13390
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator