Theorem elhoi 46463

Description: Membership in a multidimensional half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elhoi.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
elhoi	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ↔ (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem elhoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7483	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ∈ V)
2		elhoi.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		elmapg 8897	. . 3 ⊢ (((𝐴[,)𝐵) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ↔ 𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ↔ 𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵)))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → 𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵))
6		icossxr 13492	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ*)
8	5, 7	fssd 6764	. . . . 5 ⊢ (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → 𝑌:𝑋⟶ℝ*)
9		ffvelcdm 7115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))
10	9	ralrimiva 3152	. . . . 5 ⊢ (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))
11	8, 10	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)))
12		ffn 6747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌:𝑋⟶ℝ* → 𝑌 Fn 𝑋)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑌 Fn 𝑋)
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))
15	13, 14	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)))
16		ffnfv 7153	. . . . 5 ⊢ (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)))
17	15, 16	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵))
18	11, 17	impbii 209	. . 3 ⊢ (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)))
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))))
20	4, 19	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ↔ (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑌‘𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  ℝ^*cxr 11323  [,)cico 13409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-map 8886  df-xr 11328  df-ico 13413

This theorem is referenced by: (None)