Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elhoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elhoi 42701
Description: Membership in a multidimensional half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
elhoi.1 (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
elhoi (𝜑 → (𝑌 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ↔ (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem elhoi
StepHypRef Expression
1 ovexd 7180 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ∈ V)
2 elhoi.1 . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
3 elmapg 8408 . . 3 (((𝐴[,)𝐵) ∈ V ∧ 𝑋𝑉) → (𝑌 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ↔ 𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵)))
41, 2, 3syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ↔ 𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵)))
5 id 22 . . . . . 6 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → 𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵))
6 icossxr 12809 . . . . . . 7 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ*
76a1i 11 . . . . . 6 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ*)
85, 7fssd 6521 . . . . 5 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → 𝑌:𝑋⟶ℝ*)
9 ffvelrn 6841 . . . . . 6 ((𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))
109ralrimiva 3179 . . . . 5 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))
118, 10jca 512 . . . 4 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) → (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)))
12 ffn 6507 . . . . . . 7 (𝑌:𝑋⟶ℝ*𝑌 Fn 𝑋)
1312adantr 481 . . . . . 6 ((𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑌 Fn 𝑋)
14 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))
1513, 14jca 512 . . . . 5 ((𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)))
16 ffnfv 6874 . . . . 5 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)))
1715, 16sylibr 235 . . . 4 ((𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵))
1811, 17impbii 210 . . 3 (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵)))
1918a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑌:𝑋⟶(𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))))
204, 19bitrd 280 1 (𝜑 → (𝑌 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ↔ (𝑌:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑌𝑥) ∈ (𝐴[,)𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2105  wral 3135  Vcvv 3492  wss 3933   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  *cxr 10662  [,)cico 12728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-map 8397  df-xr 10667  df-ico 12732
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator