Theorem icoresmbl 46558

Description: A closed-below, open-above real interval is measurable, when the bounds are real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
icoresmbl	⊢ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ dom vol

Proof of Theorem icoresmbl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicores 45546	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑥 = (𝑦[,)𝑧))
2	1	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑥 = (𝑦[,)𝑧))
3		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 = (𝑦[,)𝑧)) → 𝑥 = (𝑦[,)𝑧))
4		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
5		rexr 11307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℝ*)
6	5	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ*)
7		icombl 25599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑦[,)𝑧) ∈ dom vol)
8	4, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦[,)𝑧) ∈ dom vol)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 = (𝑦[,)𝑧)) → (𝑦[,)𝑧) ∈ dom vol)
10	3, 9	eqeltrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 = (𝑦[,)𝑧)) → 𝑥 ∈ dom vol)
11	10	rexlimdva2 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℝ 𝑥 = (𝑦[,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol))
12	11	rexlimiv 3148	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑥 = (𝑦[,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol)
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝑥 = (𝑦[,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol))
14	2, 13	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → 𝑥 ∈ dom vol)
15	14	rgen 3063	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑥 ∈ dom vol
16		dfss3 3972	. 2 ⊢ (ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))𝑥 ∈ dom vol)
17	15, 16	mpbir 231	1 ⊢ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ dom vol

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951   × cxp 5683  dom cdm 5685  ran crn 5686   ↾ cres 5687  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  ℝ^*cxr 11294  [,)cico 13389  volcvol 25498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ovol 25499  df-vol 25500

This theorem is referenced by: (None)