Theorem elimge0 12052

Description: Hypothesis for weak deduction theorem to eliminate 0 ≤ 𝐴. (Contributed by NM, 30-Jul-1999.)

Assertion

Ref	Expression
elimge0	⊢ 0 ≤ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)

Proof of Theorem elimge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5152	. 2 ⊢ (𝐴 = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
2		breq2 5152	. 2 ⊢ (0 = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
3		0re 11215	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	3	leidi 11747	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
5	1, 2, 4	elimhyp 4593	1 ⊢ 0 ≤ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)

Syntax hints:  ifcif 4528   class class class wbr 5148  0cc0 11109   ≤ cle 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-addrcl 11170  ax-rnegex 11180  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253

This theorem is referenced by: (None)