Theorem ltp1 11998

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.)

Assertion

Ref	Expression
ltp1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11150	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		0lt1 11676	. . 3 ⊢ 0 < 1
3		ltaddpos 11644	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 𝐴 < (𝐴 + 1)))
4	2, 3	mpbii 233	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < (𝐴 + 1))
5	1, 4	mpan 690	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   < clt 11184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384

This theorem is referenced by:  lep1  11999  letrp1  12002  recp1lt1  12057  ledivp1  12061  ltp1i  12063  ltp1d  12089  sup2  12115  uzind  12602  ge0p1rp  12960  qbtwnxr  13136  xrsupsslem  13243  supxrunb1  13255  fzp1disj  13520  fzneuz  13545  fzp1nel  13548  fsequb  13916  caubnd  15301  rlim2lt  15439  o1fsum  15755  pcprendvds  16787  pcmpt  16839  iocopnst  24813  bndth  24833  ovolicc2lem3  25396  ioorcl2  25449  itg2const2  25618  reeff1olem  26332  axlowdimlem13  28857  icoreunrn  37320  poimirlem4  37591  poimirlem22  37609  mblfinlem1  37624  aks4d1p1p4  42032  xrpnf  45454  limsupre3lem  45703  fourierdlem25  46103  smfresal  46759  natlocalincr  46847