Theorem ltp1 11972

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.)

Assertion

Ref	Expression
ltp1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11123	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		0lt1 11650	. . 3 ⊢ 0 < 1
3		ltaddpos 11618	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 𝐴 < (𝐴 + 1)))
4	2, 3	mpbii 233	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < (𝐴 + 1))
5	1, 4	mpan 690	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   < clt 11157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358

This theorem is referenced by:  lep1  11973  letrp1  11976  recp1lt1  12031  ledivp1  12035  ltp1i  12037  ltp1d  12063  sup2  12089  uzind  12575  ge0p1rp  12929  qbtwnxr  13106  xrsupsslem  13213  supxrunb1  13225  fzp1disj  13490  fzneuz  13515  fzp1nel  13518  fsequb  13889  caubnd  15273  rlim2lt  15411  o1fsum  15727  pcprendvds  16759  pcmpt  16811  iocopnst  24884  bndth  24904  ovolicc2lem3  25467  ioorcl2  25520  itg2const2  25689  reeff1olem  26403  axlowdimlem13  28953  icoreunrn  37476  poimirlem4  37737  poimirlem22  37755  mblfinlem1  37770  aks4d1p1p4  42237  xrpnf  45645  limsupre3lem  45892  fourierdlem25  46292  smfresal  46948  natlocalincr  47036