HomeHome Metamath Proof Explorer
Theorem List (p. 121 of 470)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  MPE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Color key:    Metamath Proof Explorer  Metamath Proof Explorer
(1-29646)
  Hilbert Space Explorer  Hilbert Space Explorer
(29647-31169)
  Users' Mathboxes  Users' Mathboxes
(31170-46966)
 

Theorem List for Metamath Proof Explorer - 12001-12100   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremlt2msqi 12001 The square function on nonnegative reals is strictly monotonic. (Contributed by NM, 3-Aug-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต)))
 
Theoremle2msqi 12002 The square function on nonnegative reals is monotonic. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ด) โ‰ค (๐ต ยท ๐ต)))
 
Theoremmsq11i 12003 The square of a nonnegative number is a one-to-one function. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) = (๐ต ยท ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))
 
Theoremdivgt0i2i 12004 The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 16-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   0 < ๐ต    โ‡’   (0 < ๐ด โ†’ 0 < (๐ด / ๐ต))
 
Theoremltrecii 12005 The reciprocal of both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 15-Sep-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   0 < ๐ด    &   0 < ๐ต    โ‡’   (๐ด < ๐ต โ†” (1 / ๐ต) < (1 / ๐ด))
 
Theoremdivgt0ii 12006 The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   0 < ๐ด    &   0 < ๐ต    โ‡’   0 < (๐ด / ๐ต)
 
Theoremltmul1i 12007 Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 16-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   (0 < ๐ถ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremltdiv1i 12008 Division of both sides of 'less than' by a positive number. (Contributed by NM, 16-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   (0 < ๐ถ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremltmuldivi 12009 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 12-Oct-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   (0 < ๐ถ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremltmul2i 12010 Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 16-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   (0 < ๐ถ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremlemul1i 12011 Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   (0 < ๐ถ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremlemul2i 12012 Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   (0 < ๐ถ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ถ ยท ๐ด) โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremltdiv23i 12013 Swap denominator with other side of 'less than'. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 < ๐ต โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))
 
Theoremledivp1i 12014 "Less than or equal to" and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 17-Sep-2005.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค ๐ต)
 
Theoremltdivp1i 12015 Less-than and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 17-Sep-2005.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต)
 
Theoremltdiv23ii 12016 Swap denominator with other side of 'less than'. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    &   0 < ๐ต    &   0 < ๐ถ    โ‡’   ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต)
 
Theoremltmul1ii 12017 Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 16-May-1999.) (Proof shortened by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    &   0 < ๐ถ    โ‡’   (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ))
 
Theoremltdiv1ii 12018 Division of both sides of 'less than' by a positive number. (Contributed by NM, 16-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    &   0 < ๐ถ    โ‡’   (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ))
 
Theoremltp1d 12019 A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐ด + 1))
 
Theoremlep1d 12020 A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ด + 1))
 
Theoremltm1d 12021 A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) < ๐ด)
 
Theoremlem1d 12022 A number minus 1 is less than or equal to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โ‰ค ๐ด)
 
Theoremrecgt0d 12023 The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 < (1 / ๐ด))
 
Theoremdivgt0d 12024 The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐ด / ๐ต))
 
Theoremmulgt1d 12025 The product of two numbers greater than 1 is greater than 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremlemulge11d 12026 Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremlemulge12d 12027 Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต ยท ๐ด))
 
Theoremlemul1ad 12028 Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))
 
Theoremlemul2ad 12029 Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต))
 
Theoremltmul12ad 12030 Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ < ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))
 
Theoremlemul12ad 12031 Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท))
 
Theoremlemul12bd 12032 Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท))
 
5.3.8  Completeness Axiom and Suprema
 
Theoremfimaxre 12033* A finite set of real numbers has a maximum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 3-Jun-2023.)
((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)
 
Theoremfimaxre2 12034* A nonempty finite set of real numbers has an upper bound. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)
 
Theoremfimaxre3 12035* A nonempty finite set of real numbers has a maximum (image set version). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
((๐ด โˆˆ Fin โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค ๐‘ฅ)
 
Theoremfiminre 12036* A nonempty finite set of real numbers has a minimum. Analogous to fimaxre 12033. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 3-Jun-2023.)
((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
 
Theoremfiminre2 12037* A nonempty finite set of real numbers is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
 
Theoremnegfi 12038* The negation of a finite set of real numbers is finite. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ {๐‘› โˆˆ โ„ โˆฃ -๐‘› โˆˆ ๐ด} โˆˆ Fin)
 
Theoremlbreu 12039* If a set of reals contains a lower bound, it contains a unique lower bound. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.)
((๐‘† โŠ† โ„ โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
 
Theoremlbcl 12040* If a set of reals contains a lower bound, it contains a unique lower bound that belongs to the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
((๐‘† โŠ† โ„ โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
 
Theoremlble 12041* If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
((๐‘† โŠ† โ„ โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ) โ‰ค ๐ด)
 
Theoremlbinf 12042* If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is its infimum. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
((๐‘† โŠ† โ„ โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ inf(๐‘†, โ„, < ) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ))
 
Theoremlbinfcl 12043* If a set of reals contains a lower bound, it contains its infimum. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
((๐‘† โŠ† โ„ โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ inf(๐‘†, โ„, < ) โˆˆ ๐‘†)
 
Theoremlbinfle 12044* If a set of reals contains a lower bound, its infimum is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
((๐‘† โŠ† โ„ โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ inf(๐‘†, โ„, < ) โ‰ค ๐ด)
 
Theoremsup2 12045* A nonempty, bounded-above set of reals has a supremum. Stronger version of completeness axiom (it has a slightly weaker antecedent). (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ < ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘ฅ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ยฌ ๐‘ฅ < ๐‘ฆ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ (๐‘ฆ < ๐‘ฅ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ < ๐‘ง)))
 
Theoremsup3 12046* A version of the completeness axiom for reals. (Contributed by NM, 12-Oct-2004.)
((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ยฌ ๐‘ฅ < ๐‘ฆ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ (๐‘ฆ < ๐‘ฅ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ < ๐‘ง)))
 
Theoreminfm3lem 12047* Lemma for infm3 12048. (Contributed by NM, 14-Jun-2005.)
(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐‘ฅ = -๐‘ฆ)
 
Theoreminfm3 12048* The completeness axiom for reals in terms of infimum: a nonempty, bounded-below set of reals has an infimum. (This theorem is the dual of sup3 12046.) (Contributed by NM, 14-Jun-2005.)
((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ยฌ ๐‘ฆ < ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ง < ๐‘ฆ)))
 
Theoremsuprcl 12049* Closure of supremum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by NM, 12-Oct-2004.)
((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„)
 
Theoremsuprub 12050* A member of a nonempty bounded set of reals is less than or equal to the set's upper bound. (Contributed by NM, 12-Oct-2004.)
(((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง ๐ต โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰ค sup(๐ด, โ„, < ))
 
Theoremsuprubd 12051* Natural deduction form of suprubd 12051. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค sup(๐ด, โ„, < ))
 
Theoremsuprcld 12052* Natural deduction form of suprcl 12049. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„)
 
Theoremsuprlub 12053* The supremum of a nonempty bounded set of reals is the least upper bound. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
(((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต < sup(๐ด, โ„, < ) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐ต < ๐‘ง))
 
Theoremsuprnub 12054* An upper bound is not less than the supremum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
(((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐ต < sup(๐ด, โ„, < ) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ยฌ ๐ต < ๐‘ง))
 
Theoremsuprleub 12055* The supremum of a nonempty bounded set of reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
(((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ง โ‰ค ๐ต))
 
Theoremsupaddc 12056* The supremum function distributes over addition in a sense similar to that in supmul1 12058. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Sep-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ๐ถ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (๐‘ฃ + ๐ต)}    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) + ๐ต) = sup(๐ถ, โ„, < ))
 
Theoremsupadd 12057* The supremum function distributes over addition in a sense similar to that in supmul 12061. (Contributed by Brendan Leahy, 26-Sep-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)    &   ๐ถ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ + ๐‘)}    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) + sup(๐ต, โ„, < )) = sup(๐ถ, โ„, < ))
 
Theoremsupmul1 12058* The supremum function distributes over multiplication, in the sense that ๐ด ยท (sup๐ต) = sup(๐ด ยท ๐ต), where ๐ด ยท ๐ต is shorthand for {๐ด ยท ๐‘ โˆฃ ๐‘ โˆˆ ๐ต} and is defined as ๐ถ below. This is the simple version, with only one set argument; see supmul 12061 for the more general case with two set arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
๐ถ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐ด ยท ๐‘ฃ)}    &   (๐œ‘ โ†” ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )) = sup(๐ถ, โ„, < ))
 
Theoremsupmullem1 12059* Lemma for supmul 12061. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
๐ถ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘)}    &   (๐œ‘ โ†” ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )))
 
Theoremsupmullem2 12060* Lemma for supmul 12061. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
๐ถ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘)}    &   (๐œ‘ โ†” ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โŠ† โ„ โˆง ๐ถ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ))
 
Theoremsupmul 12061* The supremum function distributes over multiplication, in the sense that (sup๐ด) ยท (sup๐ต) = sup(๐ด ยท ๐ต), where ๐ด ยท ๐ต is shorthand for {๐‘Ž ยท ๐‘ โˆฃ ๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ต} and is defined as ๐ถ below. We made use of this in our definition of multiplication in the Dedekind cut construction of the reals (see df-mp 10854). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
๐ถ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘)}    &   (๐œ‘ โ†” ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) = sup(๐ถ, โ„, < ))
 
Theoremsup3ii 12062* A version of the completeness axiom for reals. (Contributed by NM, 23-Aug-1999.)
(๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)    โ‡’   โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ยฌ ๐‘ฅ < ๐‘ฆ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ (๐‘ฆ < ๐‘ฅ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ < ๐‘ง))
 
Theoremsuprclii 12063* Closure of supremum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by NM, 12-Sep-1999.)
(๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)    โ‡’   sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„
 
Theoremsuprubii 12064* A member of a nonempty bounded set of reals is less than or equal to the set's upper bound. (Contributed by NM, 12-Sep-1999.)
(๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)    โ‡’   (๐ต โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โ‰ค sup(๐ด, โ„, < ))
 
Theoremsuprlubii 12065* The supremum of a nonempty bounded set of reals is the least upper bound. (Contributed by NM, 15-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
(๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)    โ‡’   (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต < sup(๐ด, โ„, < ) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐ต < ๐‘ง))
 
Theoremsuprnubii 12066* An upper bound is not less than the supremum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
(๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)    โ‡’   (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (ยฌ ๐ต < sup(๐ด, โ„, < ) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ยฌ ๐ต < ๐‘ง))
 
Theoremsuprleubii 12067* The supremum of a nonempty bounded set of reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
(๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)    โ‡’   (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ง โ‰ค ๐ต))
 
Theoremriotaneg 12068* The negative of the unique real such that ๐œ‘. (Contributed by NM, 13-Jun-2005.)
(๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ“))    โ‡’   (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐œ‘ โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐œ‘) = -(โ„ฉ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐œ“))
 
Theoremnegiso 12069 Negation is an order anti-isomorphism of the real numbers, which is its own inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ -๐‘ฅ)    โ‡’   (๐น Isom < , โ—ก < (โ„, โ„) โˆง โ—ก๐น = ๐น)
 
Theoremdfinfre 12070* The infimum of a set of reals ๐ด. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
(๐ด โŠ† โ„ โ†’ inf(๐ด, โ„, < ) = โˆช {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ง < ๐‘ฆ))})
 
Theoreminfrecl 12071* Closure of infimum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ inf(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„)
 
Theoreminfrenegsup 12072* The infimum of a set of reals ๐ด is the negative of the supremum of the negatives of its elements. The antecedent ensures that ๐ด is nonempty and has a lower bound. (Contributed by NM, 14-Jun-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ inf(๐ด, โ„, < ) = -sup({๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ -๐‘ง โˆˆ ๐ด}, โ„, < ))
 
Theoreminfregelb 12073* Any lower bound of a nonempty set of real numbers is less than or equal to its infimum. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2013.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.) (Proof modification is discouraged.)
(((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต โ‰ค inf(๐ด, โ„, < ) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค ๐‘ง))
 
Theoreminfrelb 12074* If a nonempty set of real numbers has a lower bound, its infimum is less than or equal to any of its elements. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2013.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
((๐ต โŠ† โ„ โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ inf(๐ต, โ„, < ) โ‰ค ๐ด)
 
Theoreminfrefilb 12075 The infimum of a finite set of reals is less than or equal to any of its elements. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
((๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โˆˆ Fin โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ inf(๐ต, โ„, < ) โ‰ค ๐ด)
 
Theoremsupfirege 12076 The supremum of a finite set of real numbers is greater than or equal to all the real numbers of the set. (Contributed by AV, 1-Oct-2019.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘† = sup(๐ต, โ„, < ))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐‘†)
 
5.3.9  Imaginary and complex number properties
 
Theoreminelr 12077 The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
ยฌ i โˆˆ โ„
 
Theoremrimul 12078 A real number times the imaginary unit is real only if the number is 0. (Contributed by NM, 28-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด = 0)
 
Theoremcru 12079 The representation of complex numbers in terms of real and imaginary parts is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))
 
Theoremcrne0 12080 The real representation of complex numbers is nonzero iff one of its terms is nonzero. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โ†” (๐ด + (i ยท ๐ต)) โ‰  0))
 
Theoremcreur 12081* The real part of a complex number is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
 
Theoremcreui 12082* The imaginary part of a complex number is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
 
Theoremcju 12083* The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
 
5.3.10  Function operation analogue theorems
 
Theoremofsubeq0 12084 Function analogue of subeq0 11361. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐น:๐ดโŸถโ„‚ โˆง ๐บ:๐ดโŸถโ„‚) โ†’ ((๐น โˆ˜f โˆ’ ๐บ) = (๐ด ร— {0}) โ†” ๐น = ๐บ))
 
Theoremofnegsub 12085 Function analogue of negsub 11383. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐น:๐ดโŸถโ„‚ โˆง ๐บ:๐ดโŸถโ„‚) โ†’ (๐น โˆ˜f + ((๐ด ร— {-1}) โˆ˜f ยท ๐บ)) = (๐น โˆ˜f โˆ’ ๐บ))
 
Theoremofsubge0 12086 Function analogue of subge0 11602. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐น:๐ดโŸถโ„ โˆง ๐บ:๐ดโŸถโ„) โ†’ ((๐ด ร— {0}) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f โˆ’ ๐บ) โ†” ๐บ โˆ˜r โ‰ค ๐น))
 
5.4  Integer sets
 
5.4.1  Positive integers (as a subset of complex numbers)
 
Syntaxcn 12087 Extend class notation to include the class of positive integers.
class โ„•
 
Definitiondf-nn 12088 Define the set of positive integers. Some authors, especially in analysis books, call these the natural numbers, whereas other authors choose to include 0 in their definition of natural numbers. Note that โ„• is a subset of complex numbers (nnsscn 12092), in contrast to the more elementary ordinal natural numbers ฯ‰, df-om 7794). See nnind 12105 for the principle of mathematical induction. See df-n0 12348 for the set of nonnegative integers โ„•0. See dfn2 12360 for โ„• defined in terms of โ„•0.

This is a technical definition that helps us avoid the Axiom of Infinity ax-inf2 9511 in certain proofs. For a more conventional and intuitive definition ("the smallest set of reals containing 1 as well as the successor of every member") see dfnn3 12101 (or its slight variant dfnn2 12100). (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

โ„• = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ + 1)), 1) โ€œ ฯ‰)
 
TheoremnnexALT 12089 Alternate proof of nnex 12093, more direct, that makes use of ax-rep 5241. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
โ„• โˆˆ V
 
Theorempeano5nni 12090* Peano's inductive postulate. Theorem I.36 (principle of mathematical induction) of [Apostol] p. 34. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
((1 โˆˆ ๐ด โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ + 1) โˆˆ ๐ด) โ†’ โ„• โŠ† ๐ด)
 
Theoremnnssre 12091 The positive integers are a subset of the reals. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
โ„• โŠ† โ„
 
Theoremnnsscn 12092 The positive integers are a subset of the complex numbers. Remark: this could also be proven from nnssre 12091 and ax-resscn 11042 at the cost of using more axioms. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 4-Oct-2022.)
โ„• โŠ† โ„‚
 
Theoremnnex 12093 The set of positive integers exists. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
โ„• โˆˆ V
 
Theoremnnre 12094 A positive integer is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
(๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
 
Theoremnncn 12095 A positive integer is a complex number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
(๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
 
Theoremnnrei 12096 A positive integer is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
๐ด โˆˆ โ„•    โ‡’   ๐ด โˆˆ โ„
 
Theoremnncni 12097 A positive integer is a complex number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 4-Oct-2022.)
๐ด โˆˆ โ„•    โ‡’   ๐ด โˆˆ โ„‚
 
Theorem1nn 12098 Peano postulate: 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
1 โˆˆ โ„•
 
Theorempeano2nn 12099 Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
(๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„•)
 
Theoremdfnn2 12100* Alternate definition of the set of positive integers. This was our original definition, before the current df-nn 12088 replaced it. This definition requires the axiom of infinity to ensure it has the properties we expect. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
โ„• = โˆฉ {๐‘ฅ โˆฃ (1 โˆˆ ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆ + 1) โˆˆ ๐‘ฅ)}
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14900 150 14901-15000 151 15001-15100 152 15101-15200 153 15201-15300 154 15301-15400 155 15401-15500 156 15501-15600 157 15601-15700 158 15701-15800 159 15801-15900 160 15901-16000 161 16001-16100 162 16101-16200 163 16201-16300 164 16301-16400 165 16401-16500 166 16501-16600 167 16601-16700 168 16701-16800 169 16801-16900 170 16901-17000 171 17001-17100 172 17101-17200 173 17201-17300 174 17301-17400 175 17401-17500 176 17501-17600 177 17601-17700 178 17701-17800 179 17801-17900 180 17901-18000 181 18001-18100 182 18101-18200 183 18201-18300 184 18301-18400 185 18401-18500 186 18501-18600 187 18601-18700 188 18701-18800 189 18801-18900 190 18901-19000 191 19001-19100 192 19101-19200 193 19201-19300 194 19301-19400 195 19401-19500 196 19501-19600 197 19601-19700 198 19701-19800 199 19801-19900 200 19901-20000 201 20001-20100 202 20101-20200 203 20201-20300 204 20301-20400 205 20401-20500 206 20501-20600 207 20601-20700 208 20701-20800 209 20801-20900 210 20901-21000 211 21001-21100 212 21101-21200 213 21201-21300 214 21301-21400 215 21401-21500 216 21501-21600 217 21601-21700 218 21701-21800 219 21801-21900 220 21901-22000 221 22001-22100 222 22101-22200 223 22201-22300 224 22301-22400 225 22401-22500 226 22501-22600 227 22601-22700 228 22701-22800 229 22801-22900 230 22901-23000 231 23001-23100 232 23101-23200 233 23201-23300 234 23301-23400 235 23401-23500 236 23501-23600 237 23601-23700 238 23701-23800 239 23801-23900 240 23901-24000 241 24001-24100 242 24101-24200 243 24201-24300 244 24301-24400 245 24401-24500 246 24501-24600 247 24601-24700 248 24701-24800 249 24801-24900 250 24901-25000 251 25001-25100 252 25101-25200 253 25201-25300 254 25301-25400 255 25401-25500 256 25501-25600 257 25601-25700 258 25701-25800 259 25801-25900 260 25901-26000 261 26001-26100 262 26101-26200 263 26201-26300 264 26301-26400 265 26401-26500 266 26501-26600 267 26601-26700 268 26701-26800 269 26801-26900 270 26901-27000 271 27001-27100 272 27101-27200 273 27201-27300 274 27301-27400 275 27401-27500 276 27501-27600 277 27601-27700 278 27701-27800 279 27801-27900 280 27901-28000 281 28001-28100 282 28101-28200 283 28201-28300 284 28301-28400 285 28401-28500 286 28501-28600 287 28601-28700 288 28701-28800 289 28801-28900 290 28901-29000 291 29001-29100 292 29101-29200 293 29201-29300 294 29301-29400 295 29401-29500 296 29501-29600 297 29601-29700 298 29701-29800 299 29801-29900 300 29901-30000 301 30001-30100 302 30101-30200 303 30201-30300 304 30301-30400 305 30401-30500 306 30501-30600 307 30601-30700 308 30701-30800 309 30801-30900 310 30901-31000 311 31001-31100 312 31101-31200 313 31201-31300 314 31301-31400 315 31401-31500 316 31501-31600 317 31601-31700 318 31701-31800 319 31801-31900 320 31901-32000 321 32001-32100 322 32101-32200 323 32201-32300 324 32301-32400 325 32401-32500 326 32501-32600 327 32601-32700 328 32701-32800 329 32801-32900 330 32901-33000 331 33001-33100 332 33101-33200 333 33201-33300 334 33301-33400 335 33401-33500 336 33501-33600 337 33601-33700 338 33701-33800 339 33801-33900 340 33901-34000 341 34001-34100 342 34101-34200 343 34201-34300 344 34301-34400 345 34401-34500 346 34501-34600 347 34601-34700 348 34701-34800 349 34801-34900 350 34901-35000 351 35001-35100 352 35101-35200 353 35201-35300 354 35301-35400 355 35401-35500 356 35501-35600 357 35601-35700 358 35701-35800 359 35801-35900 360 35901-36000 361 36001-36100 362 36101-36200 363 36201-36300 364 36301-36400 365 36401-36500 366 36501-36600 367 36601-36700 368 36701-36800 369 36801-36900 370 36901-37000 371 37001-37100 372 37101-37200 373 37201-37300 374 37301-37400 375 37401-37500 376 37501-37600 377 37601-37700 378 37701-37800 379 37801-37900 380 37901-38000 381 38001-38100 382 38101-38200 383 38201-38300 384 38301-38400 385 38401-38500 386 38501-38600 387 38601-38700 388 38701-38800 389 38801-38900 390 38901-39000 391 39001-39100 392 39101-39200 393 39201-39300 394 39301-39400 395 39401-39500 396 39501-39600 397 39601-39700 398 39701-39800 399 39801-39900 400 39901-40000 401 40001-40100 402 40101-40200 403 40201-40300 404 40301-40400 405 40401-40500 406 40501-40600 407 40601-40700 408 40701-40800 409 40801-40900 410 40901-41000 411 41001-41100 412 41101-41200 413 41201-41300 414 41301-41400 415 41401-41500 416 41501-41600 417 41601-41700 418 41701-41800 419 41801-41900 420 41901-42000 421 42001-42100 422 42101-42200 423 42201-42300 424 42301-42400 425 42401-42500 426 42501-42600 427 42601-42700 428 42701-42800 429 42801-42900 430 42901-43000 431 43001-43100 432 43101-43200 433 43201-43300 434 43301-43400 435 43401-43500 436 43501-43600 437 43601-43700 438 43701-43800 439 43801-43900 440 43901-44000 441 44001-44100 442 44101-44200 443 44201-44300 444 44301-44400 445 44401-44500 446 44501-44600 447 44601-44700 448 44701-44800 449 44801-44900 450 44901-45000 451 45001-45100 452 45101-45200 453 45201-45300 454 45301-45400 455 45401-45500 456 45501-45600 457 45601-45700 458 45701-45800 459 45801-45900 460 45901-46000 461 46001-46100 462 46101-46200 463 46201-46300 464 46301-46400 465 46401-46500 466 46501-46600 467 46601-46700 468 46701-46800 469 46801-46900 470 46901-46966
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >