![]() |
Metamath
Proof Explorer Theorem List (p. 121 of 479) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > MPE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Color key: | ![]() (1-30171) |
![]() (30172-31694) |
![]() (31695-47852) |
Type | Label | Description |
---|---|---|
Statement | ||
Theorem | divne1d 12001 | If two complex numbers are unequal, their quotient is not one. Contrapositive of diveq1d 11998. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) & โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) โ โข (๐ โ (๐ด / ๐ต) โ 1) | ||
Theorem | divne0bd 12002 | A ratio is zero iff the numerator is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) โ โข (๐ โ (๐ด โ 0 โ (๐ด / ๐ต) โ 0)) | ||
Theorem | divnegd 12003 | Move negative sign inside of a division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) โ โข (๐ โ -(๐ด / ๐ต) = (-๐ด / ๐ต)) | ||
Theorem | divneg2d 12004 | Move negative sign inside of a division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) โ โข (๐ โ -(๐ด / ๐ต) = (๐ด / -๐ต)) | ||
Theorem | div2negd 12005 | Quotient of two negatives. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) โ โข (๐ โ (-๐ด / -๐ต) = (๐ด / ๐ต)) | ||
Theorem | divne0d 12006 | The ratio of nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ 0) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) โ โข (๐ โ (๐ด / ๐ต) โ 0) | ||
Theorem | recdivd 12007 | The reciprocal of a ratio. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ 0) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) โ โข (๐ โ (1 / (๐ด / ๐ต)) = (๐ต / ๐ด)) | ||
Theorem | recdiv2d 12008 | Division into a reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ 0) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) โ โข (๐ โ ((1 / ๐ด) / ๐ต) = (1 / (๐ด ยท ๐ต))) | ||
Theorem | divcan6d 12009 | Cancellation of inverted fractions. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ 0) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ต / ๐ด)) = 1) | ||
Theorem | ddcand 12010 | Cancellation in a double division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ 0) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) โ โข (๐ โ (๐ด / (๐ด / ๐ต)) = ๐ต) | ||
Theorem | rec11d 12011 | Reciprocal is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ 0) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) & โข (๐ โ (1 / ๐ด) = (1 / ๐ต)) โ โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) | ||
Theorem | divmuld 12012 | Relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) = ๐ถ โ (๐ต ยท ๐ถ) = ๐ด)) | ||
Theorem | div32d 12013 | A commutative/associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ถ / ๐ต))) | ||
Theorem | div13d 12014 | A commutative/associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ด)) | ||
Theorem | divdiv32d 12015 | Swap denominators in a division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) & โข (๐ โ ๐ถ โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) / ๐ต)) | ||
Theorem | divcan5d 12016 | Cancellation of common factor in a ratio. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) & โข (๐ โ ๐ถ โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ด) / (๐ถ ยท ๐ต)) = (๐ด / ๐ต)) | ||
Theorem | divcan5rd 12017 | Cancellation of common factor in a ratio. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) & โข (๐ โ ๐ถ โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ถ) / (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ด / ๐ต)) | ||
Theorem | divcan7d 12018 | Cancel equal divisors in a division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) & โข (๐ โ ๐ถ โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ถ) / (๐ต / ๐ถ)) = (๐ด / ๐ต)) | ||
Theorem | dmdcand 12019 | Cancellation law for division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) & โข (๐ โ ๐ถ โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ต / ๐ถ) ยท (๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ถ)) | ||
Theorem | dmdcan2d 12020 | Cancellation law for division and multiplication. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) & โข (๐ โ ๐ถ โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ต / ๐ถ)) = (๐ด / ๐ถ)) | ||
Theorem | divdiv1d 12021 | Division into a fraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) & โข (๐ โ ๐ถ โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด / (๐ต ยท ๐ถ))) | ||
Theorem | divdiv2d 12022 | Division by a fraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) & โข (๐ โ ๐ถ โ 0) โ โข (๐ โ (๐ด / (๐ต / ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ต)) | ||
Theorem | divmul2d 12023 | Relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ถ) = ๐ต โ ๐ด = (๐ถ ยท ๐ต))) | ||
Theorem | divmul3d 12024 | Relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ถ) = ๐ต โ ๐ด = (๐ต ยท ๐ถ))) | ||
Theorem | divassd 12025 | An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ต / ๐ถ))) | ||
Theorem | div12d 12026 | A commutative/associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ 0) โ โข (๐ โ (๐ด ยท (๐ต / ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด / ๐ถ))) | ||
Theorem | div23d 12027 | A commutative/associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) ยท ๐ต)) | ||
Theorem | divdird 12028 | Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) + (๐ต / ๐ถ))) | ||
Theorem | divsubdird 12029 | Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด โ ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) โ (๐ต / ๐ถ))) | ||
Theorem | div11d 12030 | One-to-one relationship for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ 0) & โข (๐ โ (๐ด / ๐ถ) = (๐ต / ๐ถ)) โ โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) | ||
Theorem | divmuldivd 12031 | Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) & โข (๐ โ ๐ท โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / (๐ต ยท ๐ท))) | ||
Theorem | divmul13d 12032 | Swap denominators of two ratios. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) & โข (๐ โ ๐ท โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ถ / ๐ต) ยท (๐ด / ๐ท))) | ||
Theorem | divmul24d 12033 | Swap the numerators in the product of two ratios. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) & โข (๐ โ ๐ท โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด / ๐ท) ยท (๐ถ / ๐ต))) | ||
Theorem | divadddivd 12034 | Addition of two ratios. Theorem I.13 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) & โข (๐ โ ๐ท โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) + (๐ถ / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) / (๐ต ยท ๐ท))) | ||
Theorem | divsubdivd 12035 | Subtraction of two ratios. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) & โข (๐ โ ๐ท โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) โ (๐ถ / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) โ (๐ถ ยท ๐ต)) / (๐ต ยท ๐ท))) | ||
Theorem | divmuleqd 12036 | Cross-multiply in an equality of ratios. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) & โข (๐ โ ๐ท โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) = (๐ถ / ๐ท) โ (๐ด ยท ๐ท) = (๐ถ ยท ๐ต))) | ||
Theorem | divdivdivd 12037 | Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) & โข (๐ โ ๐ท โ 0) & โข (๐ โ ๐ถ โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ))) | ||
Theorem | diveq1bd 12038 | If two complex numbers are equal, their quotient is one. One-way deduction form of diveq1 11905. Converse of diveq1d 11998. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.) |
โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) & โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) โ โข (๐ โ (๐ด / ๐ต) = 1) | ||
Theorem | div2sub 12039 | Swap the order of subtraction in a division. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ถ โ โ โง ๐ท โ โ โง ๐ถ โ ๐ท)) โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ท)) = ((๐ต โ ๐ด) / (๐ท โ ๐ถ))) | ||
Theorem | div2subd 12040 | Swap subtrahend and minuend inside the numerator and denominator of a fraction. Deduction form of div2sub 12039. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ ๐ท) โ โข (๐ โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ท)) = ((๐ต โ ๐ด) / (๐ท โ ๐ถ))) | ||
Theorem | rereccld 12041 | Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ 0) โ โข (๐ โ (1 / ๐ด) โ โ) | ||
Theorem | redivcld 12042 | Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) โ โข (๐ โ (๐ด / ๐ต) โ โ) | ||
Theorem | subrec 12043 | Subtraction of reciprocals. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ ((1 / ๐ด) โ (1 / ๐ต)) = ((๐ต โ ๐ด) / (๐ด ยท ๐ต))) | ||
Theorem | subreci 12044 | Subtraction of reciprocals. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.) |
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ด โ 0 & โข ๐ต โ 0 โ โข ((1 / ๐ด) โ (1 / ๐ต)) = ((๐ต โ ๐ด) / (๐ด ยท ๐ต)) | ||
Theorem | subrecd 12045 | Subtraction of reciprocals. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ 0) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) โ โข (๐ โ ((1 / ๐ด) โ (1 / ๐ต)) = ((๐ต โ ๐ด) / (๐ด ยท ๐ต))) | ||
Theorem | mvllmuld 12046 | Move the left term in a product on the LHS to the RHS, deduction form. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ 0) & โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ) โ โข (๐ โ ๐ต = (๐ถ / ๐ด)) | ||
Theorem | mvllmuli 12047 | Move the left term in a product on the LHS to the RHS, inference form. Uses divcan4i 11961. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.) |
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ด โ 0 & โข (๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ โ โข ๐ต = (๐ถ / ๐ด) | ||
Theorem | ldiv 12048 | Left-division. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ โ ๐ด = (๐ถ / ๐ต))) | ||
Theorem | rdiv 12049 | Right-division. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ โ ๐ต = (๐ถ / ๐ด))) | ||
Theorem | mdiv 12050 | A division law. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ 0) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) โ โข (๐ โ (๐ด = (๐ถ / ๐ต) โ ๐ต = (๐ถ / ๐ด))) | ||
Theorem | lineq 12051 | Solution of a (scalar) linear equation. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ 0) โ โข (๐ โ (((๐ด ยท ๐) + ๐ต) = ๐ โ ๐ = ((๐ โ ๐ต) / ๐ด))) | ||
Theorem | elimgt0 12052 | Hypothesis for weak deduction theorem to eliminate 0 < ๐ด. (Contributed by NM, 15-May-1999.) |
โข 0 < if(0 < ๐ด, ๐ด, 1) | ||
Theorem | elimge0 12053 | Hypothesis for weak deduction theorem to eliminate 0 โค ๐ด. (Contributed by NM, 30-Jul-1999.) |
โข 0 โค if(0 โค ๐ด, ๐ด, 0) | ||
Theorem | ltp1 12054 | A number is less than itself plus 1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) |
โข (๐ด โ โ โ ๐ด < (๐ด + 1)) | ||
Theorem | lep1 12055 | A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by NM, 5-Jan-2006.) |
โข (๐ด โ โ โ ๐ด โค (๐ด + 1)) | ||
Theorem | ltm1 12056 | A number minus 1 is less than itself. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) |
โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ 1) < ๐ด) | ||
Theorem | lem1 12057 | A number minus 1 is less than or equal to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) |
โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ 1) โค ๐ด) | ||
Theorem | letrp1 12058 | A transitive property of 'less than or equal' and plus 1. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โค ๐ต) โ ๐ด โค (๐ต + 1)) | ||
Theorem | p1le 12059 | A transitive property of plus 1 and 'less than or equal'. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด + 1) โค ๐ต) โ ๐ด โค ๐ต) | ||
Theorem | recgt0 12060 | The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข ((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โ 0 < (1 / ๐ด)) | ||
Theorem | prodgt0 12061 | Infer that a multiplicand is positive from a nonnegative multiplier and positive product. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ 0 < ๐ต) | ||
Theorem | prodgt02 12062 | Infer that a multiplier is positive from a nonnegative multiplicand and positive product. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ต โง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ 0 < ๐ด) | ||
Theorem | ltmul1a 12063 | Lemma for ltmul1 12064. Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โง ๐ด < ๐ต) โ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) | ||
Theorem | ltmul1 12064 | Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ))) | ||
Theorem | ltmul2 12065 | Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต))) | ||
Theorem | lemul1 12066 | Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ))) | ||
Theorem | lemul2 12067 | Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 16-Mar-2005.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ถ ยท ๐ด) โค (๐ถ ยท ๐ต))) | ||
Theorem | lemul1a 12068 | Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) โง ๐ด โค ๐ต) โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ)) | ||
Theorem | lemul2a 12069 | Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) โง ๐ด โค ๐ต) โ (๐ถ ยท ๐ด) โค (๐ถ ยท ๐ต)) | ||
Theorem | ltmul12a 12070 | Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.) |
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง ๐ด < ๐ต)) โง ((๐ถ โ โ โง ๐ท โ โ) โง (0 โค ๐ถ โง ๐ถ < ๐ท))) โ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)) | ||
Theorem | lemul12b 12071 | Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.) |
โข ((((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โง ๐ต โ โ) โง (๐ถ โ โ โง (๐ท โ โ โง 0 โค ๐ท))) โ ((๐ด โค ๐ต โง ๐ถ โค ๐ท) โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ท))) | ||
Theorem | lemul12a 12072 | Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.) |
โข ((((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โง ๐ต โ โ) โง ((๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ) โง ๐ท โ โ)) โ ((๐ด โค ๐ต โง ๐ถ โค ๐ท) โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ท))) | ||
Theorem | mulgt1 12073 | The product of two numbers greater than 1 is greater than 1. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (1 < ๐ด โง 1 < ๐ต)) โ 1 < (๐ด ยท ๐ต)) | ||
Theorem | ltmulgt11 12074 | Multiplication by a number greater than 1. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ด) โ (1 < ๐ต โ ๐ด < (๐ด ยท ๐ต))) | ||
Theorem | ltmulgt12 12075 | Multiplication by a number greater than 1. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ด) โ (1 < ๐ต โ ๐ด < (๐ต ยท ๐ด))) | ||
Theorem | lemulge11 12076 | Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง 1 โค ๐ต)) โ ๐ด โค (๐ด ยท ๐ต)) | ||
Theorem | lemulge12 12077 | Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง 1 โค ๐ต)) โ ๐ด โค (๐ต ยท ๐ด)) | ||
Theorem | ltdiv1 12078 | Division of both sides of 'less than' by a positive number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ))) | ||
Theorem | lediv1 12079 | Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ด / ๐ถ) โค (๐ต / ๐ถ))) | ||
Theorem | gt0div 12080 | Division of a positive number by a positive number. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ต) โ (0 < ๐ด โ 0 < (๐ด / ๐ต))) | ||
Theorem | ge0div 12081 | Division of a nonnegative number by a positive number. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ต) โ (0 โค ๐ด โ 0 โค (๐ด / ๐ต))) | ||
Theorem | divgt0 12082 | The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 12-Oct-1999.) |
โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ 0 < (๐ด / ๐ต)) | ||
Theorem | divge0 12083 | The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.) |
โข (((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ 0 โค (๐ด / ๐ต)) | ||
Theorem | mulge0b 12084 | A condition for multiplication to be nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (0 โค (๐ด ยท ๐ต) โ ((๐ด โค 0 โง ๐ต โค 0) โจ (0 โค ๐ด โง 0 โค ๐ต)))) | ||
Theorem | mulle0b 12085 | A condition for multiplication to be nonpositive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) โค 0 โ ((๐ด โค 0 โง 0 โค ๐ต) โจ (0 โค ๐ด โง ๐ต โค 0)))) | ||
Theorem | mulsuble0b 12086 | A condition for multiplication of subtraction to be nonpositive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (((๐ด โ ๐ต) ยท (๐ถ โ ๐ต)) โค 0 โ ((๐ด โค ๐ต โง ๐ต โค ๐ถ) โจ (๐ถ โค ๐ต โง ๐ต โค ๐ด)))) | ||
Theorem | ltmuldiv 12087 | 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 12-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต โ ๐ด < (๐ต / ๐ถ))) | ||
Theorem | ltmuldiv2 12088 | 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ถ ยท ๐ด) < ๐ต โ ๐ด < (๐ต / ๐ถ))) | ||
Theorem | ltdivmul 12089 | 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด / ๐ถ) < ๐ต โ ๐ด < (๐ถ ยท ๐ต))) | ||
Theorem | ledivmul 12090 | 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด / ๐ถ) โค ๐ต โ ๐ด โค (๐ถ ยท ๐ต))) | ||
Theorem | ltdivmul2 12091 | 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด / ๐ถ) < ๐ต โ ๐ด < (๐ต ยท ๐ถ))) | ||
Theorem | lt2mul2div 12092 | 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.) |
โข (((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โง (๐ถ โ โ โง (๐ท โ โ โง 0 < ๐ท))) โ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ท) โ (๐ด / ๐ท) < (๐ถ / ๐ต))) | ||
Theorem | ledivmul2 12093 | 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด / ๐ถ) โค ๐ต โ ๐ด โค (๐ต ยท ๐ถ))) | ||
Theorem | lemuldiv 12094 | 'Less than or equal' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) โค ๐ต โ ๐ด โค (๐ต / ๐ถ))) | ||
Theorem | lemuldiv2 12095 | 'Less than or equal' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ถ ยท ๐ด) โค ๐ต โ ๐ด โค (๐ต / ๐ถ))) | ||
Theorem | ltrec 12096 | The reciprocal of both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ (๐ด < ๐ต โ (1 / ๐ต) < (1 / ๐ด))) | ||
Theorem | lerec 12097 | The reciprocal of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ (๐ด โค ๐ต โ (1 / ๐ต) โค (1 / ๐ด))) | ||
Theorem | lt2msq1 12098 | Lemma for lt2msq 12099. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โง ๐ต โ โ โง ๐ด < ๐ต) โ (๐ด ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต)) | ||
Theorem | lt2msq 12099 | Two nonnegative numbers compare the same as their squares. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต))) | ||
Theorem | ltdiv2 12100 | Division of a positive number by both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 27-Apr-2005.) |
โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต) โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ถ / ๐ต) < (๐ถ / ๐ด))) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |