Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliunov2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliunov2 43692
Description: Membership in the indexed union over operator values where the index varies the second input is equivalent to the existence of at least one index such that the element is a member of that operator value. Generalized from dfrtrclrec2 15097. (Contributed by RP, 1-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
mptiunov2.def 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))
Assertion
Ref Expression
eliunov2 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁,   𝑅,𝑛,𝑟   𝑛,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑛,𝑟)   𝑉(𝑛,𝑟)   𝑋(𝑟)

Proof of Theorem eliunov2
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛)) = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))
2 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 𝑛) = (𝑅 𝑛))
32iuneq2d 5022 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛) = 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛))
4 elex 3501 . . . . 5 (𝑅𝑈𝑅 ∈ V)
54adantr 480 . . . 4 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → 𝑅 ∈ V)
6 simpr 484 . . . . 5 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → 𝑁𝑉)
7 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑅 𝑛) ∈ V
87rgenw 3065 . . . . 5 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∈ V
9 iunexg 7988 . . . . 5 ((𝑁𝑉 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∈ V) → 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∈ V)
106, 8, 9sylancl 586 . . . 4 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∈ V)
111, 3, 5, 10fvmptd3 7039 . . 3 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) = 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛))
12 eleq2 2830 . . . 4 (((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) = 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) → (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ 𝑋 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛)))
13 eliun 4995 . . . . 5 (𝑋 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛))
1413a1i 11 . . . 4 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))
1512, 14sylan9bb 509 . . 3 ((((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) = 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∧ (𝑅𝑈𝑁𝑉)) → (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))
1611, 15mpancom 688 . 2 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))
17 mptiunov2.def . . 3 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))
18 fveq1 6905 . . . . . 6 (𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛)) → (𝐶𝑅) = ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅))
1918eleq2d 2827 . . . . 5 (𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛)) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ 𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅)))
2019bibi1d 343 . . . 4 (𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛)) → ((𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)) ↔ (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛))))
2120imbi2d 340 . . 3 (𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛)) → (((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛))) ↔ ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))))
2217, 21ax-mp 5 . 2 (((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛))) ↔ ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛))))
2316, 22mpbir 231 1 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480   ciun 4991  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434
This theorem is referenced by:  eltrclrec  43693  elrtrclrec  43694  briunov2  43695  eliunov2uz  43712  ov2ssiunov2  43713
  Copyright terms: Public domain W3C validator