Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliunov2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliunov2 42512
Description: Membership in the indexed union over operator values where the index varies the second input is equivalent to the existence of at least one index such that the element is a member of that operator value. Generalized from dfrtrclrec2 15007. (Contributed by RP, 1-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
mptiunov2.def 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))
Assertion
Ref Expression
eliunov2 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁,   𝑅,𝑛,𝑟   𝑛,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑛,𝑟)   𝑉(𝑛,𝑟)   𝑋(𝑟)

Proof of Theorem eliunov2
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . 4 (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛)) = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))
2 oveq1 7418 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 𝑛) = (𝑅 𝑛))
32iuneq2d 5026 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛) = 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛))
4 elex 3492 . . . . 5 (𝑅𝑈𝑅 ∈ V)
54adantr 481 . . . 4 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → 𝑅 ∈ V)
6 simpr 485 . . . . 5 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → 𝑁𝑉)
7 ovex 7444 . . . . . 6 (𝑅 𝑛) ∈ V
87rgenw 3065 . . . . 5 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∈ V
9 iunexg 7952 . . . . 5 ((𝑁𝑉 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∈ V) → 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∈ V)
106, 8, 9sylancl 586 . . . 4 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∈ V)
111, 3, 5, 10fvmptd3 7021 . . 3 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) = 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛))
12 eleq2 2822 . . . 4 (((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) = 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) → (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ 𝑋 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛)))
13 eliun 5001 . . . . 5 (𝑋 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛))
1413a1i 11 . . . 4 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))
1512, 14sylan9bb 510 . . 3 ((((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) = 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∧ (𝑅𝑈𝑁𝑉)) → (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))
1611, 15mpancom 686 . 2 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))
17 mptiunov2.def . . 3 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))
18 fveq1 6890 . . . . . 6 (𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛)) → (𝐶𝑅) = ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅))
1918eleq2d 2819 . . . . 5 (𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛)) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ 𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅)))
2019bibi1d 343 . . . 4 (𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛)) → ((𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)) ↔ (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛))))
2120imbi2d 340 . . 3 (𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛)) → (((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛))) ↔ ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))))
2217, 21ax-mp 5 . 2 (((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛))) ↔ ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛))))
2316, 22mpbir 230 1 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474   ciun 4997  cmpt 5231  cfv 6543  (class class class)co 7411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7414
This theorem is referenced by:  eltrclrec  42513  elrtrclrec  42514  briunov2  42515  eliunov2uz  42532  ov2ssiunov2  42533
  Copyright terms: Public domain W3C validator