Theorem relexpnul 40108

Description: If the domain and range of powers of a relation are disjoint then the relation raised to the sum of those exponents is empty. (Contributed by RP, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpnul	⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)) → ((dom (𝑅↑𝑟𝑁) ∩ ran (𝑅↑𝑟𝑀)) = ∅ ↔ (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)) = ∅))

Proof of Theorem relexpnul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coeq0 6089	. 2 ⊢ (((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = ∅ ↔ (dom (𝑅↑𝑟𝑁) ∩ ran (𝑅↑𝑟𝑀)) = ∅)
2		simprl 769	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		simprr 771	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		simpll 765	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)) → Rel 𝑅)
6	5	a1d 25	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))
7		relexpaddg 14392	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))) → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))
8	2, 3, 4, 6, 7	syl13anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)) → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))
9	8	eqeq1d 2822	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)) → (((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = ∅ ↔ (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)) = ∅))
10	1, 9	syl5bbr 287	1 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)) → ((dom (𝑅↑𝑟𝑁) ∩ ran (𝑅↑𝑟𝑀)) = ∅ ↔ (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3918  ∅c0 4274  dom cdm 5536  ran crn 5537   ∘ ccom 5540  Rel wrel 5541  (class class class)co 7137  1c1 10519   + caddc 10521  ℕ₀cn0 11879  ↑_𝑟crelexp 14359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7442  ax-cnex 10574  ax-resscn 10575  ax-1cn 10576  ax-icn 10577  ax-addcl 10578  ax-addrcl 10579  ax-mulcl 10580  ax-mulrcl 10581  ax-mulcom 10582  ax-addass 10583  ax-mulass 10584  ax-distr 10585  ax-i2m1 10586  ax-1ne0 10587  ax-1rid 10588  ax-rnegex 10589  ax-rrecex 10590  ax-cnre 10591  ax-pre-lttri 10592  ax-pre-lttrn 10593  ax-pre-ltadd 10594  ax-pre-mulgt0 10595

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3012  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7095  df-ov 7140  df-oprab 7141  df-mpo 7142  df-om 7562  df-2nd 7671  df-wrecs 7928  df-recs 7989  df-rdg 8027  df-er 8270  df-en 8491  df-dom 8492  df-sdom 8493  df-pnf 10658  df-mnf 10659  df-xr 10660  df-ltxr 10661  df-le 10662  df-sub 10853  df-neg 10854  df-nn 11620  df-2 11682  df-n0 11880  df-z 11964  df-uz 12226  df-seq 13355  df-relexp 14360

This theorem is referenced by: (None)