MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elmopn 23044
Description: The defining property of an open set of a metric space. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnval.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
elmopn (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐽 ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑦𝑦𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elmopn
StepHypRef Expression
1 mopnval.1 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopnval 23040 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
32eleq2d 2896 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐽𝐴 ∈ (topGen‘ran (ball‘𝐷))))
4 blbas 23032 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)
5 eltg2 21558 . . 3 (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ↔ (𝐴 ran (ball‘𝐷) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑦𝑦𝐴))))
64, 5syl 17 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ↔ (𝐴 ran (ball‘𝐷) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑦𝑦𝐴))))
7 unirnbl 23022 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
87sseq2d 3997 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 ran (ball‘𝐷) ↔ 𝐴𝑋))
98anbi1d 631 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐴 ran (ball‘𝐷) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑦𝑦𝐴)) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑦𝑦𝐴))))
103, 6, 93bitrd 307 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐽 ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑦𝑦𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3136  wrex 3137  wss 3934   cuni 4830  ran crn 5549  cfv 6348  topGenctg 16703  ∞Metcxmet 20522  ballcbl 20524  MetOpencmopn 20527  TopBasesctb 21545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-topgen 16709  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-bases 21546
This theorem is referenced by:  elmopn2  23047  mopni  23094  blcld  23107  dscopn  23175
  Copyright terms: Public domain W3C validator