Theorem elmopn 23595

Description: The defining property of an open set of a metric space. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
elmopn	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elmopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopnval 23591	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
3	2	eleq2d 2824	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (ball‘𝐷))))
4		blbas 23583	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)
5		eltg2 22108	. . 3 ⊢ (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ ran (ball‘𝐷) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ ran (ball‘𝐷) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))))
7		unirnbl 23573	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∪ ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
8	7	sseq2d 3953	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 ⊆ ∪ ran (ball‘𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
9	8	anbi1d 630	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐴 ⊆ ∪ ran (ball‘𝐷) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))))
10	3, 6, 9	3bitrd 305	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  ∪ cuni 4839  ran crn 5590  ‘cfv 6433  topGenctg 17148  ∞Metcxmet 20582  ballcbl 20584  MetOpencmopn 20587  TopBasesctb 22095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-bases 22096

This theorem is referenced by:  elmopn2  23598  mopni  23648  blcld  23661  dscopn  23729