Theorem xlimconst2 46373

Description: A sequence that eventually becomes constant, converges to its constant value (w.r.t. the standard topology on the extended reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimconst2.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
xlimconst2.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
xlimconst2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimconst2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimconst2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
xlimconst2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst2.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xlimconst2	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem xlimconst2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimconst2.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		xlimconst2.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		nfcv 2923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(ℤ≥‘𝑁)
4	2, 3	nfres 5965	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))
5		xlimconst2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		xlimconst2.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
7	5, 6	eluzelz2d 45951	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		eqid 2761	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
9		xlimconst2.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
10	9	ffnd 6688	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
11	5, 6	uzssd2 45955	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)
12	10, 11	fnssresd 6641	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) Fn (ℤ≥‘𝑁))
13		xlimconst2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
14		fvres 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
15	14	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
16		xlimconst2.e	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
17	15, 16	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))‘𝑘) = 𝐴)
18	1, 4, 7, 8, 12, 13, 17	xlimconst 46363	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))~~>*𝐴)
19	5, 9	fuzxrpmcn 46366	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
20	19, 7	xlimres 46359	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))~~>*𝐴))
21	18, 20	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559  Ⅎwnf 1802   ∈ wcel 2141  Ⅎwnfc 2908   class class class wbr 5099   ↾ cres 5647  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  ℝ^*cxr 11212  ℤ_≥cuz 12836  ~~>*clsxlim 46356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fi 9354  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-neg 11414  df-z 12566  df-uz 12837  df-topgen 17455  df-ordt 17514  df-ps 18581  df-tsr 18582  df-top 22934  df-topon 22951  df-bases 22986  df-lm 23269  df-xlim 46357

This theorem is referenced by:  climxlim2lem  46383