Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimconst2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimconst2 45286
Description: A sequence that eventually becomes constant, converges to its constant value (w.r.t. the standard topology on the extended reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimconst2.p β„²π‘˜πœ‘
xlimconst2.k β„²π‘˜πΉ
xlimconst2.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimconst2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
xlimconst2.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
xlimconst2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst2.e ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xlimconst2 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝑁
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝑀(π‘˜)   𝑍(π‘˜)

Proof of Theorem xlimconst2
StepHypRef Expression
1 xlimconst2.p . . 3 β„²π‘˜πœ‘
2 xlimconst2.k . . . 4 β„²π‘˜πΉ
3 nfcv 2892 . . . 4 β„²π‘˜(β„€β‰₯β€˜π‘)
42, 3nfres 5981 . . 3 β„²π‘˜(𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘))
5 xlimconst2.z . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
6 xlimconst2.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
75, 6eluzelz2d 44858 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
8 eqid 2725 . . 3 (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜π‘)
9 xlimconst2.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
109ffnd 6718 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
115, 6uzssd2 44862 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) βŠ† 𝑍)
1210, 11fnssresd 6674 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘)) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘))
13 xlimconst2.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
14 fvres 6911 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
1514adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
16 xlimconst2.e . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
1715, 16eqtrd 2765 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘))β€˜π‘˜) = 𝐴)
181, 4, 7, 8, 12, 13, 17xlimconst 45276 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘))~~>*𝐴)
195, 9fuzxrpmcn 45279 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚))
2019, 7xlimres 45272 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘))~~>*𝐴))
2118, 20mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2875   class class class wbr 5143   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„*cxr 11277  β„€β‰₯cuz 12852  ~~>*clsxlim 45269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-1o 8485  df-er 8723  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fi 9434  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-neg 11477  df-z 12589  df-uz 12853  df-topgen 17424  df-ordt 17482  df-ps 18557  df-tsr 18558  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-lm 23151  df-xlim 45270
This theorem is referenced by:  climxlim2lem  45296
  Copyright terms: Public domain W3C validator