Theorem xlimconst2 43266

Description: A sequence that eventually becomes constant, converges to its constant value (w.r.t. the standard topology on the extended reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimconst2.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
xlimconst2.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
xlimconst2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimconst2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimconst2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
xlimconst2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst2.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xlimconst2	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem xlimconst2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimconst2.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		xlimconst2.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		nfcv 2906	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(ℤ≥‘𝑁)
4	2, 3	nfres 5882	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))
5		xlimconst2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		xlimconst2.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
7	5, 6	eluzelz2d 42843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		eqid 2738	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
9		xlimconst2.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
10	9	ffnd 6585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
11	5, 6	uzssd2 42847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)
12	10, 11	fnssresd 6540	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) Fn (ℤ≥‘𝑁))
13		xlimconst2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
14		fvres 6775	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
16		xlimconst2.e	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
17	15, 16	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))‘𝑘) = 𝐴)
18	1, 4, 7, 8, 12, 13, 17	xlimconst 43256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))~~>*𝐴)
19	5, 9	fuzxrpmcn 43259	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
20	19, 7	xlimres 43252	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))~~>*𝐴))
21	18, 20	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1787   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2886   class class class wbr 5070   ↾ cres 5582  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  ℝ^*cxr 10939  ℤ_≥cuz 12511  ~~>*clsxlim 43249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-1o 8267  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512  df-topgen 17071  df-ordt 17129  df-ps 18199  df-tsr 18200  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-lm 22288  df-xlim 43250

This theorem is referenced by:  climxlim2lem  43276