Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimconst2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimconst2 44162
Description: A sequence that eventually becomes constant, converges to its constant value (w.r.t. the standard topology on the extended reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimconst2.p β„²π‘˜πœ‘
xlimconst2.k β„²π‘˜πΉ
xlimconst2.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimconst2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
xlimconst2.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
xlimconst2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst2.e ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xlimconst2 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝑁
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝑀(π‘˜)   𝑍(π‘˜)

Proof of Theorem xlimconst2
StepHypRef Expression
1 xlimconst2.p . . 3 β„²π‘˜πœ‘
2 xlimconst2.k . . . 4 β„²π‘˜πΉ
3 nfcv 2904 . . . 4 β„²π‘˜(β„€β‰₯β€˜π‘)
42, 3nfres 5940 . . 3 β„²π‘˜(𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘))
5 xlimconst2.z . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
6 xlimconst2.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
75, 6eluzelz2d 43734 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
8 eqid 2733 . . 3 (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜π‘)
9 xlimconst2.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
109ffnd 6670 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
115, 6uzssd2 43738 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) βŠ† 𝑍)
1210, 11fnssresd 6626 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘)) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘))
13 xlimconst2.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
14 fvres 6862 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
1514adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
16 xlimconst2.e . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
1715, 16eqtrd 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘))β€˜π‘˜) = 𝐴)
181, 4, 7, 8, 12, 13, 17xlimconst 44152 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘))~~>*𝐴)
195, 9fuzxrpmcn 44155 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚))
2019, 7xlimres 44148 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘))~~>*𝐴))
2118, 20mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884   class class class wbr 5106   β†Ύ cres 5636  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  β„*cxr 11193  β„€β‰₯cuz 12768  ~~>*clsxlim 44145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-1o 8413  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9352  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-neg 11393  df-z 12505  df-uz 12769  df-topgen 17330  df-ordt 17388  df-ps 18460  df-tsr 18461  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-lm 22596  df-xlim 44146
This theorem is referenced by:  climxlim2lem  44172
  Copyright terms: Public domain W3C validator