Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimconst2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimconst2 45123
Description: A sequence that eventually becomes constant, converges to its constant value (w.r.t. the standard topology on the extended reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimconst2.p β„²π‘˜πœ‘
xlimconst2.k β„²π‘˜πΉ
xlimconst2.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimconst2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
xlimconst2.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
xlimconst2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst2.e ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xlimconst2 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝑁
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝑀(π‘˜)   𝑍(π‘˜)

Proof of Theorem xlimconst2
StepHypRef Expression
1 xlimconst2.p . . 3 β„²π‘˜πœ‘
2 xlimconst2.k . . . 4 β„²π‘˜πΉ
3 nfcv 2897 . . . 4 β„²π‘˜(β„€β‰₯β€˜π‘)
42, 3nfres 5977 . . 3 β„²π‘˜(𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘))
5 xlimconst2.z . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
6 xlimconst2.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
75, 6eluzelz2d 44695 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
8 eqid 2726 . . 3 (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜π‘)
9 xlimconst2.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
109ffnd 6712 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
115, 6uzssd2 44699 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) βŠ† 𝑍)
1210, 11fnssresd 6668 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘)) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘))
13 xlimconst2.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
14 fvres 6904 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
1514adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
16 xlimconst2.e . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
1715, 16eqtrd 2766 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘))β€˜π‘˜) = 𝐴)
181, 4, 7, 8, 12, 13, 17xlimconst 45113 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘))~~>*𝐴)
195, 9fuzxrpmcn 45116 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚))
2019, 7xlimres 45109 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘))~~>*𝐴))
2118, 20mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2877   class class class wbr 5141   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  β„*cxr 11251  β„€β‰₯cuz 12826  ~~>*clsxlim 45106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-neg 11451  df-z 12563  df-uz 12827  df-topgen 17398  df-ordt 17456  df-ps 18531  df-tsr 18532  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-lm 23088  df-xlim 45107
This theorem is referenced by:  climxlim2lem  45133
  Copyright terms: Public domain W3C validator