Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimconst2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimconst2 40805
Description: A sequence that eventually becomes constant, converges to its constant value (w.r.t. the standard topology on the extended reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimconst2.p 𝑘𝜑
xlimconst2.k 𝑘𝐹
xlimconst2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimconst2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimconst2.n (𝜑𝑁𝑍)
xlimconst2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst2.e ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xlimconst2 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem xlimconst2
StepHypRef Expression
1 xlimconst2.p . . 3 𝑘𝜑
2 xlimconst2.k . . . 4 𝑘𝐹
3 nfcv 2941 . . . 4 𝑘(ℤ𝑁)
42, 3nfres 5602 . . 3 𝑘(𝐹 ↾ (ℤ𝑁))
5 xlimconst2.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 xlimconst2.n . . . 4 (𝜑𝑁𝑍)
75, 6eluzelz2d 40383 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
8 eqid 2799 . . 3 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
9 xlimconst2.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
109ffnd 6257 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
115, 6uzssd2 40387 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
1210, 11fnssresd 40229 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) Fn (ℤ𝑁))
13 xlimconst2.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
14 fvres 6430 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑁))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
1514adantl 474 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑁))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
16 xlimconst2.e . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
1715, 16eqtrd 2833 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑁))‘𝑘) = 𝐴)
181, 4, 7, 8, 12, 13, 17xlimconst 40795 . 2 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑁))~~>*𝐴)
195, 9fuzxrpmcn 40798 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
2019, 7xlimres 40791 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑁))~~>*𝐴))
2118, 20mpbird 249 1 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wnf 1879  wcel 2157  wnfc 2928   class class class wbr 4843  cres 5314  wf 6097  cfv 6101  *cxr 10362  cuz 11930  ~~>*clsxlim 40788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fi 8559  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-neg 10559  df-z 11667  df-uz 11931  df-topgen 16419  df-ordt 16476  df-ps 17515  df-tsr 17516  df-top 21027  df-topon 21044  df-bases 21079  df-lm 21362  df-xlim 40789
This theorem is referenced by:  climxlim2lem  40815
  Copyright terms: Public domain W3C validator