Theorem xlimconst2 45791

Description: A sequence that eventually becomes constant, converges to its constant value (w.r.t. the standard topology on the extended reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimconst2.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
xlimconst2.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
xlimconst2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimconst2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimconst2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
xlimconst2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst2.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xlimconst2	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem xlimconst2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimconst2.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		xlimconst2.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		nfcv 2903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(ℤ≥‘𝑁)
4	2, 3	nfres 6002	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))
5		xlimconst2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		xlimconst2.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
7	5, 6	eluzelz2d 45363	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		eqid 2735	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
9		xlimconst2.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
10	9	ffnd 6738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
11	5, 6	uzssd2 45367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)
12	10, 11	fnssresd 6693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) Fn (ℤ≥‘𝑁))
13		xlimconst2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
14		fvres 6926	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
16		xlimconst2.e	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
17	15, 16	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))‘𝑘) = 𝐴)
18	1, 4, 7, 8, 12, 13, 17	xlimconst 45781	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))~~>*𝐴)
19	5, 9	fuzxrpmcn 45784	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
20	19, 7	xlimres 45777	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁))~~>*𝐴))
21	18, 20	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2888   class class class wbr 5148   ↾ cres 5691  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  ℝ^*cxr 11292  ℤ_≥cuz 12876  ~~>*clsxlim 45774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877  df-topgen 17490  df-ordt 17548  df-ps 18624  df-tsr 18625  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-lm 23253  df-xlim 45775

This theorem is referenced by:  climxlim2lem  45801