Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimconst2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimconst2 45850
Description: A sequence that eventually becomes constant, converges to its constant value (w.r.t. the standard topology on the extended reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimconst2.p 𝑘𝜑
xlimconst2.k 𝑘𝐹
xlimconst2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimconst2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimconst2.n (𝜑𝑁𝑍)
xlimconst2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst2.e ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xlimconst2 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem xlimconst2
StepHypRef Expression
1 xlimconst2.p . . 3 𝑘𝜑
2 xlimconst2.k . . . 4 𝑘𝐹
3 nfcv 2905 . . . 4 𝑘(ℤ𝑁)
42, 3nfres 5999 . . 3 𝑘(𝐹 ↾ (ℤ𝑁))
5 xlimconst2.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 xlimconst2.n . . . 4 (𝜑𝑁𝑍)
75, 6eluzelz2d 45424 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
8 eqid 2737 . . 3 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
9 xlimconst2.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
109ffnd 6737 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
115, 6uzssd2 45428 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
1210, 11fnssresd 6692 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) Fn (ℤ𝑁))
13 xlimconst2.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
14 fvres 6925 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑁))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
1514adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑁))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
16 xlimconst2.e . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
1715, 16eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑁))‘𝑘) = 𝐴)
181, 4, 7, 8, 12, 13, 17xlimconst 45840 . 2 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑁))~~>*𝐴)
195, 9fuzxrpmcn 45843 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
2019, 7xlimres 45836 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑁))~~>*𝐴))
2118, 20mpbird 257 1 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wnfc 2890   class class class wbr 5143  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  *cxr 11294  cuz 12878  ~~>*clsxlim 45833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-lm 23237  df-xlim 45834
This theorem is referenced by:  climxlim2lem  45860
  Copyright terms: Public domain W3C validator