Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimconst2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimconst2 42520
 Description: A sequence that eventually becomes constant, converges to its constant value (w.r.t. the standard topology on the extended reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimconst2.p 𝑘𝜑
xlimconst2.k 𝑘𝐹
xlimconst2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimconst2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimconst2.n (𝜑𝑁𝑍)
xlimconst2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst2.e ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xlimconst2 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem xlimconst2
StepHypRef Expression
1 xlimconst2.p . . 3 𝑘𝜑
2 xlimconst2.k . . . 4 𝑘𝐹
3 nfcv 2955 . . . 4 𝑘(ℤ𝑁)
42, 3nfres 5821 . . 3 𝑘(𝐹 ↾ (ℤ𝑁))
5 xlimconst2.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 xlimconst2.n . . . 4 (𝜑𝑁𝑍)
75, 6eluzelz2d 42093 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
8 eqid 2798 . . 3 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
9 xlimconst2.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
109ffnd 6489 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
115, 6uzssd2 42097 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
1210, 11fnssresd 6444 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) Fn (ℤ𝑁))
13 xlimconst2.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
14 fvres 6665 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑁))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
1514adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑁))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
16 xlimconst2.e . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
1715, 16eqtrd 2833 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑁))‘𝑘) = 𝐴)
181, 4, 7, 8, 12, 13, 17xlimconst 42510 . 2 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑁))~~>*𝐴)
195, 9fuzxrpmcn 42513 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
2019, 7xlimres 42506 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑁))~~>*𝐴))
2118, 20mpbird 260 1 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2936   class class class wbr 5031   ↾ cres 5522  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  ℝ*cxr 10666  ℤ≥cuz 12234  ~~>*clsxlim 42503 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-pm 8395  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fi 8862  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-neg 10865  df-z 11973  df-uz 12235  df-topgen 16712  df-ordt 16769  df-ps 17805  df-tsr 17806  df-top 21509  df-topon 21526  df-bases 21561  df-lm 21844  df-xlim 42504 This theorem is referenced by:  climxlim2lem  42530
 Copyright terms: Public domain W3C validator