Theorem infleinf2 44859

Description: If any element in 𝐵 is greater than or equal to an element in 𝐴, then the infimum of 𝐴 is less than or equal to the infimum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infleinf2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
infleinf2.p	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
infleinf2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
infleinf2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ*)
infleinf2.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
infleinf2	⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infleinf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infleinf2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		infleinf2.y	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
3		infleinf2.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
4		nfv 1909	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐵
5	3, 4	nfan 1894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)
6		nfv 1909	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥
7		infleinf2.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
8	7	infxrcld 44834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9	8	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	9	3adant1r 1174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	7	sselda 3972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
12	11	3adant3 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
13	12	3adant1r 1174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14		infleinf2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ*)
15	14	sselda 3972	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16	15	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
17	7	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
18		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
19		infxrlb 13345	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
20	17, 18, 19	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
21	20	3adant3 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
22	21	3adant1r 1174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
23		simp3 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑥)
24	10, 13, 16, 22, 23	xrletrd 13173	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
25	24	3exp 1116	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 ≤ 𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)))
26	5, 6, 25	rexlimd 3254	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
27	2, 26	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
28	1, 27	ralrimia 3246	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
29		infxrgelb 13346	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
30	14, 8, 29	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
31	28, 30	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5143  infcinf 9464  ℝ^*cxr 11277   < clt 11278   ≤ cle 11279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477

This theorem is referenced by:  infrnmptle  44868  infxrpnf  44891