Theorem infleinf2 45842

Description: If any element in 𝐵 is greater than or equal to an element in 𝐴, then the infimum of 𝐴 is less than or equal to the infimum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infleinf2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
infleinf2.p	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
infleinf2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
infleinf2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ*)
infleinf2.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
infleinf2	⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infleinf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infleinf2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		infleinf2.y	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
3		infleinf2.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
4		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐵
5	3, 4	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)
6		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥
7		infleinf2.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
8	7	infxrcld 45818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9	8	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	9	3adant1r 1179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	7	sselda 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
12	11	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
13	12	3adant1r 1179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14		infleinf2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ*)
15	14	sselda 3921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16	15	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
17	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
18		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
19		infxrlb 13287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
20	17, 18, 19	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
21	20	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
22	21	3adant1r 1179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
23		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑥)
24	10, 13, 16, 22, 23	xrletrd 13113	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
25	24	3exp 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 ≤ 𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)))
26	5, 6, 25	rexlimd 3244	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
27	2, 26	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
28	1, 27	ralrimia 3236	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
29		infxrgelb 13288	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
30	14, 8, 29	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
31	28, 30	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  infcinf 9354  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  infrnmptle  45851  infxrpnf  45874