Theorem infleinf2 45452

Description: If any element in 𝐵 is greater than or equal to an element in 𝐴, then the infimum of 𝐴 is less than or equal to the infimum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infleinf2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
infleinf2.p	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
infleinf2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
infleinf2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ*)
infleinf2.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
infleinf2	⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infleinf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infleinf2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		infleinf2.y	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
3		infleinf2.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
4		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐵
5	3, 4	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)
6		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥
7		infleinf2.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
8	7	infxrcld 45427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	9	3adant1r 1178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	7	sselda 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
12	11	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
13	12	3adant1r 1178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14		infleinf2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ*)
15	14	sselda 3929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16	15	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
17	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
18		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
19		infxrlb 13229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
20	17, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
21	20	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
22	21	3adant1r 1178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
23		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑥)
24	10, 13, 16, 22, 23	xrletrd 13056	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
25	24	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 ≤ 𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)))
26	5, 6, 25	rexlimd 3239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
27	2, 26	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
28	1, 27	ralrimia 3231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
29		infxrgelb 13230	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
30	14, 8, 29	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
31	28, 30	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5086  infcinf 9320  ℝ^*cxr 11140   < clt 11141   ≤ cle 11142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342

This theorem is referenced by:  infrnmptle  45461  infxrpnf  45484