Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infleinf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infleinf2 45425
Description: If any element in 𝐵 is greater than or equal to an element in 𝐴, then the infimum of 𝐴 is less than or equal to the infimum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infleinf2.x 𝑥𝜑
infleinf2.p 𝑦𝜑
infleinf2.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infleinf2.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
infleinf2.y ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Assertion
Ref Expression
infleinf2 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infleinf2
StepHypRef Expression
1 infleinf2.x . . 3 𝑥𝜑
2 infleinf2.y . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
3 infleinf2.p . . . . . 6 𝑦𝜑
4 nfv 1914 . . . . . 6 𝑦 𝑥𝐵
53, 4nfan 1899 . . . . 5 𝑦(𝜑𝑥𝐵)
6 nfv 1914 . . . . 5 𝑦inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥
7 infleinf2.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
87infxrcld 45400 . . . . . . . . 9 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
983ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴𝑦𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1093adant1r 1178 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
117sselda 3983 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
12113adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
13123adant1r 1178 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14 infleinf2.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
1514sselda 3983 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16153ad2ant1 1134 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
177adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
18 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
19 infxrlb 13376 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
2017, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
21203adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴𝑦𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
22213adant1r 1178 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
23 simp3 1139 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
2410, 13, 16, 22, 23xrletrd 13204 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
25243exp 1120 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑦𝐴 → (𝑦𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)))
265, 6, 25rexlimd 3266 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (∃𝑦𝐴 𝑦𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
272, 26mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
281, 27ralrimia 3258 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
29 infxrgelb 13377 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
3014, 8, 29syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
3128, 30mpbird 257 1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wnf 1783  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143  infcinf 9481  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495
This theorem is referenced by:  infrnmptle  45434  infxrpnf  45457
  Copyright terms: Public domain W3C validator