Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infleinf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infleinf2 44696
Description: If any element in 𝐵 is greater than or equal to an element in 𝐴, then the infimum of 𝐴 is less than or equal to the infimum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infleinf2.x 𝑥𝜑
infleinf2.p 𝑦𝜑
infleinf2.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infleinf2.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
infleinf2.y ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Assertion
Ref Expression
infleinf2 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infleinf2
StepHypRef Expression
1 infleinf2.x . . 3 𝑥𝜑
2 infleinf2.y . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
3 infleinf2.p . . . . . 6 𝑦𝜑
4 nfv 1909 . . . . . 6 𝑦 𝑥𝐵
53, 4nfan 1894 . . . . 5 𝑦(𝜑𝑥𝐵)
6 nfv 1909 . . . . 5 𝑦inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥
7 infleinf2.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
87infxrcld 44671 . . . . . . . . 9 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
983ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴𝑦𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1093adant1r 1174 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
117sselda 3977 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
12113adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
13123adant1r 1174 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14 infleinf2.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
1514sselda 3977 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16153ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
177adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
18 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
19 infxrlb 13319 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
2017, 18, 19syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
21203adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴𝑦𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
22213adant1r 1174 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
23 simp3 1135 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
2410, 13, 16, 22, 23xrletrd 13147 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
25243exp 1116 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑦𝐴 → (𝑦𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)))
265, 6, 25rexlimd 3257 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (∃𝑦𝐴 𝑦𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
272, 26mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
281, 27ralrimia 3249 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
29 infxrgelb 13320 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
3014, 8, 29syl2anc 583 . 2 (𝜑 → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
3128, 30mpbird 257 1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084  wnf 1777  wcel 2098  wral 3055  wrex 3064  wss 3943   class class class wbr 5141  infcinf 9438  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451
This theorem is referenced by:  infrnmptle  44705  infxrpnf  44728
  Copyright terms: Public domain W3C validator