Theorem infleinf2 45329

Description: If any element in 𝐵 is greater than or equal to an element in 𝐴, then the infimum of 𝐴 is less than or equal to the infimum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infleinf2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
infleinf2.p	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
infleinf2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
infleinf2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ*)
infleinf2.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
infleinf2	⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infleinf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infleinf2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		infleinf2.y	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
3		infleinf2.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
4		nfv 1913	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐵
5	3, 4	nfan 1898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)
6		nfv 1913	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥
7		infleinf2.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
8	7	infxrcld 45304	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	9	3adant1r 1177	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	7	sselda 4008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
12	11	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
13	12	3adant1r 1177	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14		infleinf2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ*)
15	14	sselda 4008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16	15	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
17	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
18		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
19		infxrlb 13396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
20	17, 18, 19	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
21	20	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
22	21	3adant1r 1177	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
23		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑥)
24	10, 13, 16, 22, 23	xrletrd 13224	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
25	24	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 ≤ 𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)))
26	5, 6, 25	rexlimd 3272	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
27	2, 26	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
28	1, 27	ralrimia 3264	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
29		infxrgelb 13397	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
30	14, 8, 29	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
31	28, 30	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  infcinf 9510  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  infrnmptle  45338  infxrpnf  45361