Theorem infleinf2 46518

Description: If any element in 𝐵 is greater than or equal to an element in 𝐴, then the infimum of 𝐴 is less than or equal to the infimum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infleinf2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
infleinf2.p	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
infleinf2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
infleinf2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ*)
infleinf2.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
infleinf2	⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem infleinf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infleinf2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		infleinf2.y	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
3		infleinf2.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
4		nfv 1946	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐵
5	3, 4	nfan 1931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)
6		nfv 1946	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥
7		infleinf2.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
8	7	infxrcld 46494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9	8	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	9	3adant1r 1196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	7	sselda 3908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
12	11	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
13	12	3adant1r 1196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14		infleinf2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ*)
15	14	sselda 3908	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16	15	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
17	7	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
18		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
19		infxrlb 13469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
20	17, 18, 19	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
21	20	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
22	21	3adant1r 1196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
23		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑥)
24	10, 13, 16, 22, 23	xrletrd 13295	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
25	24	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 ≤ 𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)))
26	5, 6, 25	rexlimd 3269	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
27	2, 26	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
28	1, 27	ralrimia 3261	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
29		infxrgelb 13470	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
30	14, 8, 29	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
31	28, 30	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  infcinf 9437  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347   ≤ cle 11348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548

This theorem is used by:  infrnmptle  46527  infxrpnf  46550