Theorem eluzelz2 46218

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eluzelz2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz2	⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	eleq2i 2854	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	2	biimpi 219	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzelz 12900	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 18	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7419  df-neg 11471  df-z 12619  df-uz 12891

This theorem is used by:  eluzelz2d  46228  uzublem  46245  uzinico  46376  limsupubuzlem  46527  limsupmnfuzlem  46541  limsupre3uzlem  46550  limsupvaluz2  46553  supcnvlimsup  46555  xlimclim2lem  46654  climxlim2  46661  xlimliminflimsup  46677  smflimmpt  47625  smflimsuplem3  47637  smflimsuplem4  47638  smflimsuplem5  47639  smflimsuplem6  47640  smflimsuplem7  47641  smflimsuplem8  47642  smflimsupmpt  47644  smfliminflem  47645  smfliminfmpt  47647