Theorem eluzelz2 45399

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eluzelz2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz2	⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	eleq2i 2820	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	2	biimpi 216	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzelz 12803	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-neg 11408  df-z 12530  df-uz 12794

This theorem is referenced by:  eluzelz2d  45409  uzublem  45426  uzinico  45557  limsupubuzlem  45710  limsupmnfuzlem  45724  limsupre3uzlem  45733  limsupvaluz2  45736  supcnvlimsup  45738  xlimclim2lem  45837  climxlim2  45844  xlimliminflimsup  45860  smflimmpt  46808  smflimsuplem3  46820  smflimsuplem4  46821  smflimsuplem5  46822  smflimsuplem6  46823  smflimsuplem7  46824  smflimsuplem8  46825  smflimsupmpt  46827  smfliminflem  46828  smfliminfmpt  46830