Theorem eluzelz2 45392

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eluzelz2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz2	⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	eleq2i 2820	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	2	biimpi 216	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzelz 12779	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770

This theorem is referenced by:  eluzelz2d  45402  uzublem  45419  uzinico  45550  limsupubuzlem  45703  limsupmnfuzlem  45717  limsupre3uzlem  45726  limsupvaluz2  45729  supcnvlimsup  45731  xlimclim2lem  45830  climxlim2  45837  xlimliminflimsup  45853  smflimmpt  46801  smflimsuplem3  46813  smflimsuplem4  46814  smflimsuplem5  46815  smflimsuplem6  46816  smflimsuplem7  46817  smflimsuplem8  46818  smflimsupmpt  46820  smfliminflem  46821  smfliminfmpt  46823