Theorem eluzelz2 46618

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eluzelz2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz2	⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	eleq2i 2856	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	2	biimpi 219	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzelz 13002	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 18	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fv 6566  df-ov 7446  df-neg 11571  df-z 12721  df-uz 12993

This theorem is used by:  eluzelz2d  46628  uzublem  46645  uzinico  46776  limsupubuzlem  46927  limsupmnfuzlem  46941  limsupre3uzlem  46950  limsupvaluz2  46953  supcnvlimsup  46955  xlimclim2lem  47054  climxlim2  47061  xlimliminflimsup  47077  smflimmpt  48025  smflimsuplem3  48037  smflimsuplem4  48038  smflimsuplem5  48039  smflimsuplem6  48040  smflimsuplem7  48041  smflimsuplem8  48042  smflimsupmpt  48044  smfliminflem  48045  smfliminfmpt  48047