Theorem smflimsuplem8 47399

Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimsuplem8.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem8.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smflimsuplem8.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem8.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem8.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
smflimsuplem8.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
smflimsuplem8.e	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem8.h	⊢ 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑘) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))

Assertion

Ref	Expression
smflimsuplem8	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘,𝑚,𝑛   𝑘,𝐸,𝑥   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥   𝑘,𝐻,𝑚,𝑛,𝑥   𝑚,𝑀   𝑆,𝑘,𝑛   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑚)   𝐸(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem smflimsuplem8

Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimsuplem8.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
3		smflimsuplem8.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		smflimsuplem8.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		smflimsuplem8.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		smflimsuplem8.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
7		smflimsuplem8.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
8		smflimsuplem8.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
9		smflimsuplem8.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑘) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	smflimsuplem7 47398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐻‘𝑘) ∣ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
11		rabidim1 3439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
12		eliun 4956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
13	11, 12	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
14	13, 7	eleq2s 2883	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
15	14	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
16		nfv 1937	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
17		nfv 1937	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))
18		nfv 1937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
19		nfv 1937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
20		nfv 1937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑛 ∈ 𝑍
21		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑚𝑥
22		nfii1 4989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑚∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
23	21, 22	nfel 2941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
24	19, 20, 23	nf3an 1924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
25	3	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	25	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑀 ∈ ℤ)
27	5	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ SAlg)
28	27	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑆 ∈ SAlg)
29	6	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
30	29	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
31		rabidim2 45678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
32	31, 7	eleq2s 2883	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
33		fveq2 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑦))
34	33	fveq1d 6873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑦)‘𝑥))
35	34	cbvmptv 5209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑥))
36		fveq2 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
37	36	fveq1d 6873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑧)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑦)‘𝑥))
38	37	cbvmptv 5209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑥))
39		fveq2 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤))
40	39	fveq1d 6873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑧)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))
41	40	cbvmptv 5209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑥)) = (𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))
42	35, 38, 41	3eqtr2i 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))
43	42	fveq2i 6874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥)))
44	43	eleq1i 2856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))) ∈ ℝ)
45	32, 44	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))) ∈ ℝ)
46	45	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))) ∈ ℝ)
47	46	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))) ∈ ℝ)
48	47, 44	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
49		simp2 1153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑛 ∈ 𝑍)
50		simp3 1154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
51	18, 24, 26, 4, 28, 30, 8, 9, 48, 49, 50	smflimsuplem5 47396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
52		fvexd 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (ℤ≥‘𝑛) ∈ V)
53	4	fvexi 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑍 ∈ V
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑍 ∈ V)
55	4, 49	eluzelz2d 45985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑛 ∈ ℤ)
56		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑛)
57	55	uzidd 12869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
58	57	uzssd 45980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ (ℤ≥‘𝑛))
59	4, 49	uzssd2 45989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ 𝑍)
60		fvexd 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑘)‘𝑥) ∈ V)
61	18, 52, 54, 55, 56, 58, 59, 60	climeqmpt 46269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
62	51, 61	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
63		simp1l 1214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝜑)
64		nfv 1937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
65	64, 20	nfan 1922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
66	4	eluzelz2 45975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℤ)
67	66	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
68	3	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ ℤ)
69		fvexd 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ V)
70		fvexd 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ V)
71	65, 67, 68, 56, 4, 69, 70	limsupequzmpt 46301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
72	63, 49, 71	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
73	62, 72	breqtrd 5131	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
74	73	climfvd 46270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥))))
75	74	3exp 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥))))))
76	16, 17, 75	rexlimd 3272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))))
77	15, 76	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥))))
78	10, 77	mpteq12dva 5191	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐻‘𝑘) ∣ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))))
79	2, 78	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐻‘𝑘) ∣ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))))
80	3, 4, 5, 6, 8, 9	smflimsuplem3 47394	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐻‘𝑘) ∣ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
81	79, 80	eqeltrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089  {crab 3417  Vcvv 3457  ∪ ciun 4952  ∩ ciin 4953   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5652  ran crn 5653  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  supcsup 9388  ℝcr 11087  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  lim supclsp 15511   ⇝ cli 15525  SAlgcsalg 46880  SMblFncsmblfn 47267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cc 10407  ax-ac2 10435  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-acn 9916  df-ac 10088  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-ioo 13367  df-ioc 13368  df-ico 13369  df-fz 13527  df-fl 13816  df-ceil 13817  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-limsup 15512  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-rest 17465  df-topgen 17486  df-top 23012  df-bases 23064  df-salg 46881  df-salgen 46885  df-smblfn 47268

This theorem is referenced by:  smflimsup  47400