Theorem smflimsuplem8 46809

Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimsuplem8.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem8.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smflimsuplem8.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem8.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem8.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
smflimsuplem8.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
smflimsuplem8.e	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem8.h	⊢ 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑘) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))

Assertion

Ref	Expression
smflimsuplem8	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘,𝑚,𝑛   𝑘,𝐸,𝑥   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥   𝑘,𝐻,𝑚,𝑛,𝑥   𝑚,𝑀   𝑆,𝑘,𝑛   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑚)   𝐸(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem smflimsuplem8

Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimsuplem8.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
3		smflimsuplem8.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		smflimsuplem8.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		smflimsuplem8.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		smflimsuplem8.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
7		smflimsuplem8.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
8		smflimsuplem8.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
9		smflimsuplem8.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑘) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	smflimsuplem7 46808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐻‘𝑘) ∣ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
11		rabidim1 3419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
12		eliun 4948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
13	11, 12	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
14	13, 7	eleq2s 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
16		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
17		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))
18		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
19		nfv 1914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
20		nfv 1914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑛 ∈ 𝑍
21		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑚𝑥
22		nfii1 4982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑚∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
23	21, 22	nfel 2906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
24	19, 20, 23	nf3an 1901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
25	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	25	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑀 ∈ ℤ)
27	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ SAlg)
28	27	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑆 ∈ SAlg)
29	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
30	29	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
31		rabidim2 45080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
32	31, 7	eleq2s 2846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
33		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑦))
34	33	fveq1d 6828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑦)‘𝑥))
35	34	cbvmptv 5199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑥))
36		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
37	36	fveq1d 6828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑧)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑦)‘𝑥))
38	37	cbvmptv 5199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑥))
39		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤))
40	39	fveq1d 6828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑧)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))
41	40	cbvmptv 5199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑥)) = (𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))
42	35, 38, 41	3eqtr2i 2758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))
43	42	fveq2i 6829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥)))
44	43	eleq1i 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))) ∈ ℝ)
45	32, 44	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))) ∈ ℝ)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))) ∈ ℝ)
47	46	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))) ∈ ℝ)
48	47, 44	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
49		simp2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑛 ∈ 𝑍)
50		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
51	18, 24, 26, 4, 28, 30, 8, 9, 48, 49, 50	smflimsuplem5 46806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
52		fvexd 6841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (ℤ≥‘𝑛) ∈ V)
53	4	fvexi 6840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑍 ∈ V
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑍 ∈ V)
55	4, 49	eluzelz2d 45393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑛 ∈ ℤ)
56		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑛)
57	55	uzidd 12769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
58	57	uzssd 45388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ (ℤ≥‘𝑛))
59	4, 49	uzssd2 45397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ 𝑍)
60		fvexd 6841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑘)‘𝑥) ∈ V)
61	18, 52, 54, 55, 56, 58, 59, 60	climeqmpt 45679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
62	51, 61	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
63		simp1l 1198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝜑)
64		nfv 1914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
65	64, 20	nfan 1899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
66	4	eluzelz2 45383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℤ)
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
68	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ ℤ)
69		fvexd 6841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ V)
70		fvexd 6841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ V)
71	65, 67, 68, 56, 4, 69, 70	limsupequzmpt 45711	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
72	63, 49, 71	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
73	62, 72	breqtrd 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
74	73	climfvd 45680	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥))))
75	74	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥))))))
76	16, 17, 75	rexlimd 3236	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))))
77	15, 76	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥))))
78	10, 77	mpteq12dva 5181	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐻‘𝑘) ∣ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))))
79	2, 78	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐻‘𝑘) ∣ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))))
80	3, 4, 5, 6, 8, 9	smflimsuplem3 46804	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐻‘𝑘) ∣ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
81	79, 80	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3396  Vcvv 3438  ∪ ciun 4944  ∩ ciin 4945   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5623  ran crn 5624  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  supcsup 9349  ℝcr 11027  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  lim supclsp 15395   ⇝ cli 15409  SAlgcsalg 46290  SMblFncsmblfn 46677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cc 10348  ax-ac2 10376  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-fz 13429  df-fl 13714  df-ceil 13715  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-rest 17344  df-topgen 17365  df-top 22797  df-bases 22849  df-salg 46291  df-salgen 46295  df-smblfn 46678

This theorem is referenced by:  smflimsup  46810