Theorem smflimsuplem8 46804

Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimsuplem8.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem8.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smflimsuplem8.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem8.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem8.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
smflimsuplem8.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
smflimsuplem8.e	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem8.h	⊢ 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑘) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))

Assertion

Ref	Expression
smflimsuplem8	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘,𝑚,𝑛   𝑘,𝐸,𝑥   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥   𝑘,𝐻,𝑚,𝑛,𝑥   𝑚,𝑀   𝑆,𝑘,𝑛   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑚)   𝐸(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem smflimsuplem8

Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimsuplem8.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
3		smflimsuplem8.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		smflimsuplem8.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		smflimsuplem8.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		smflimsuplem8.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
7		smflimsuplem8.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
8		smflimsuplem8.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
9		smflimsuplem8.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑘) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	smflimsuplem7 46803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐻‘𝑘) ∣ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
11		rabidim1 3438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
12		eliun 4971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
13	11, 12	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
14	13, 7	eleq2s 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
16		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
17		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))
18		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
19		nfv 1914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
20		nfv 1914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑛 ∈ 𝑍
21		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑚𝑥
22		nfii1 5005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑚∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
23	21, 22	nfel 2913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
24	19, 20, 23	nf3an 1901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
25	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	25	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑀 ∈ ℤ)
27	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ SAlg)
28	27	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑆 ∈ SAlg)
29	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
30	29	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
31		rabidim2 45074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
32	31, 7	eleq2s 2852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
33		fveq2 6875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑦))
34	33	fveq1d 6877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑦)‘𝑥))
35	34	cbvmptv 5225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑥))
36		fveq2 6875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
37	36	fveq1d 6877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑧)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑦)‘𝑥))
38	37	cbvmptv 5225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑥))
39		fveq2 6875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤))
40	39	fveq1d 6877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑧)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))
41	40	cbvmptv 5225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑥)) = (𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))
42	35, 38, 41	3eqtr2i 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))
43	42	fveq2i 6878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥)))
44	43	eleq1i 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))) ∈ ℝ)
45	32, 44	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))) ∈ ℝ)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))) ∈ ℝ)
47	46	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))) ∈ ℝ)
48	47, 44	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
49		simp2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑛 ∈ 𝑍)
50		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
51	18, 24, 26, 4, 28, 30, 8, 9, 48, 49, 50	smflimsuplem5 46801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
52		fvexd 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (ℤ≥‘𝑛) ∈ V)
53	4	fvexi 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑍 ∈ V
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑍 ∈ V)
55	4, 49	eluzelz2d 45388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑛 ∈ ℤ)
56		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑛)
57	55	uzidd 12866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
58	57	uzssd 45383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ (ℤ≥‘𝑛))
59	4, 49	uzssd2 45392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ 𝑍)
60		fvexd 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑘)‘𝑥) ∈ V)
61	18, 52, 54, 55, 56, 58, 59, 60	climeqmpt 45674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
62	51, 61	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
63		simp1l 1198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝜑)
64		nfv 1914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
65	64, 20	nfan 1899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
66	4	eluzelz2 45378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℤ)
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
68	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ ℤ)
69		fvexd 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ V)
70		fvexd 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ V)
71	65, 67, 68, 56, 4, 69, 70	limsupequzmpt 45706	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
72	63, 49, 71	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
73	62, 72	breqtrd 5145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
74	73	climfvd 45675	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥))))
75	74	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥))))))
76	16, 17, 75	rexlimd 3249	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))))
77	15, 76	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥))))
78	10, 77	mpteq12dva 5206	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐻‘𝑘) ∣ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))))
79	2, 78	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐻‘𝑘) ∣ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))))
80	3, 4, 5, 6, 8, 9	smflimsuplem3 46799	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐻‘𝑘) ∣ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
81	79, 80	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  {crab 3415  Vcvv 3459  ∪ ciun 4967  ∩ ciin 4968   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  dom cdm 5654  ran crn 5655  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  supcsup 9450  ℝcr 11126  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12850  lim supclsp 15484   ⇝ cli 15498  SAlgcsalg 46285  SMblFncsmblfn 46672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cc 10447  ax-ac2 10475  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-card 9951  df-acn 9954  df-ac 10128  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-fz 13523  df-fl 13807  df-ceil 13808  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15485  df-clim 15502  df-rlim 15503  df-rest 17434  df-topgen 17455  df-top 22830  df-bases 22882  df-salg 46286  df-salgen 46290  df-smblfn 46673

This theorem is referenced by:  smflimsup  46805