Theorem smflimsuplem8 44247

Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimsuplem8.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem8.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smflimsuplem8.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem8.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem8.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
smflimsuplem8.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
smflimsuplem8.e	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem8.h	⊢ 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑘) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))

Assertion

Ref	Expression
smflimsuplem8	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘,𝑚,𝑛   𝑘,𝐸,𝑥   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥   𝑘,𝐻,𝑚,𝑛,𝑥   𝑚,𝑀   𝑆,𝑘,𝑛   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑚)   𝐸(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem smflimsuplem8

Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimsuplem8.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
3		smflimsuplem8.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		smflimsuplem8.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		smflimsuplem8.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		smflimsuplem8.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
7		smflimsuplem8.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
8		smflimsuplem8.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
9		smflimsuplem8.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑘) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	smflimsuplem7 44246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐻‘𝑘) ∣ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
11		rabidim1 3306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
12		eliun 4925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
13	11, 12	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
14	13, 7	eleq2s 2857	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
16		nfv 1918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
17		nfv 1918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))
18		nfv 1918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
19		nfv 1918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
20		nfv 1918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑛 ∈ 𝑍
21		nfcv 2906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑚𝑥
22		nfii1 4956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑚∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
23	21, 22	nfel 2920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
24	19, 20, 23	nf3an 1905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
25	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	25	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑀 ∈ ℤ)
27	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ SAlg)
28	27	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑆 ∈ SAlg)
29	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
30	29	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
31		rabidim2 42541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
32	31, 7	eleq2s 2857	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
33		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑦))
34	33	fveq1d 6758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑦)‘𝑥))
35	34	cbvmptv 5183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑥))
36		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
37	36	fveq1d 6758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑧)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑦)‘𝑥))
38	37	cbvmptv 5183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑥))
39		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤))
40	39	fveq1d 6758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑧)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))
41	40	cbvmptv 5183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑥)) = (𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))
42	35, 38, 41	3eqtr2i 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))
43	42	fveq2i 6759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥)))
44	43	eleq1i 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))) ∈ ℝ)
45	32, 44	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))) ∈ ℝ)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))) ∈ ℝ)
47	46	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))) ∈ ℝ)
48	47, 44	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
49		simp2 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑛 ∈ 𝑍)
50		simp3 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
51	18, 24, 26, 4, 28, 30, 8, 9, 48, 49, 50	smflimsuplem5 44244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
52		fvexd 6771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (ℤ≥‘𝑛) ∈ V)
53	4	fvexi 6770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑍 ∈ V
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑍 ∈ V)
55	4, 49	eluzelz2d 42843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑛 ∈ ℤ)
56		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑛)
57	55	uzidd 12527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
58	57	uzssd 42838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ (ℤ≥‘𝑛))
59	4, 49	uzssd2 42847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ 𝑍)
60		fvexd 6771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑘)‘𝑥) ∈ V)
61	18, 52, 54, 55, 56, 58, 59, 60	climeqmpt 43128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
62	51, 61	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
63		simp1l 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝜑)
64		nfv 1918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
65	64, 20	nfan 1903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
66	4	eluzelz2 42833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℤ)
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
68	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ ℤ)
69		fvexd 6771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ V)
70		fvexd 6771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ V)
71	65, 67, 68, 56, 4, 69, 70	limsupequzmpt 43160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
72	63, 49, 71	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
73	62, 72	breqtrd 5096	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
74	73	climfvd 43129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥))))
75	74	3exp 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥))))))
76	16, 17, 75	rexlimd 3245	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))))
77	15, 76	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥))))
78	10, 77	mpteq12dva 5159	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐻‘𝑘) ∣ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))))
79	2, 78	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐻‘𝑘) ∣ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))))
80	3, 4, 5, 6, 8, 9	smflimsuplem3 44242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐻‘𝑘) ∣ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
81	79, 80	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  {crab 3067  Vcvv 3422  ∪ ciun 4921  ∩ ciin 4922   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ran crn 5581  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  supcsup 9129  ℝcr 10801  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  lim supclsp 15107   ⇝ cli 15121  SAlgcsalg 43739  SMblFncsmblfn 44123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-ac2 10150  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-ac 9803  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-fz 13169  df-fl 13440  df-ceil 13441  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-rest 17050  df-topgen 17071  df-top 21951  df-bases 22004  df-salg 43740  df-salgen 43744  df-smblfn 44124

This theorem is referenced by:  smflimsup  44248