Theorem smflimsuplem8 47521

Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimsuplem8.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem8.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smflimsuplem8.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem8.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem8.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
smflimsuplem8.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
smflimsuplem8.e	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem8.h	⊢ 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑘) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))

Assertion

Ref	Expression
smflimsuplem8	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘,𝑚,𝑛   𝑘,𝐸,𝑥   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥   𝑘,𝐻,𝑚,𝑛,𝑥   𝑚,𝑀   𝑆,𝑘,𝑛   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑚)   𝐸(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem smflimsuplem8

Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimsuplem8.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
3		smflimsuplem8.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		smflimsuplem8.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		smflimsuplem8.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		smflimsuplem8.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
7		smflimsuplem8.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
8		smflimsuplem8.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
9		smflimsuplem8.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑘) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	smflimsuplem7 47520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐻‘𝑘) ∣ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
11		rabidim1 3438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
12		eliun 4961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
13	11, 12	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
14	13, 7	eleq2s 2881	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
15	14	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
16		nfv 1944	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
17		nfv 1944	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))
18		nfv 1944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
19		nfv 1944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
20		nfv 1944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑛 ∈ 𝑍
21		nfcv 2925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑚𝑥
22		nfii1 4994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑚∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
23	21, 22	nfel 2939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
24	19, 20, 23	nf3an 1931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
25	3	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	25	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑀 ∈ ℤ)
27	5	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ SAlg)
28	27	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑆 ∈ SAlg)
29	6	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
30	29	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
31		rabidim2 45800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
32	31, 7	eleq2s 2881	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
33		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑦))
34	33	fveq1d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑦)‘𝑥))
35	34	cbvmptv 5216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑥))
36		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
37	36	fveq1d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑧)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑦)‘𝑥))
38	37	cbvmptv 5216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑥))
39		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤))
40	39	fveq1d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑧)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))
41	40	cbvmptv 5216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑥)) = (𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))
42	35, 38, 41	3eqtr2i 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))
43	42	fveq2i 6886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥)))
44	43	eleq1i 2854	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))) ∈ ℝ)
45	32, 44	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))) ∈ ℝ)
46	45	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))) ∈ ℝ)
47	46	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim sup‘(𝑤 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑥))) ∈ ℝ)
48	47, 44	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
49		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑛 ∈ 𝑍)
50		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
51	18, 24, 26, 4, 28, 30, 8, 9, 48, 49, 50	smflimsuplem5 47518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
52		fvexd 6898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (ℤ≥‘𝑛) ∈ V)
53	4	fvexi 6897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑍 ∈ V
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑍 ∈ V)
55	4, 49	eluzelz2d 46107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑛 ∈ ℤ)
56		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑛)
57	55	uzidd 12879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
58	57	uzssd 46102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ (ℤ≥‘𝑛))
59	4, 49	uzssd2 46111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ 𝑍)
60		fvexd 6898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑘)‘𝑥) ∈ V)
61	18, 52, 54, 55, 56, 58, 59, 60	climeqmpt 46391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
62	51, 61	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
63		simp1l 1216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝜑)
64		nfv 1944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
65	64, 20	nfan 1929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
66	4	eluzelz2 46097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℤ)
67	66	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
68	3	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ ℤ)
69		fvexd 6898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ V)
70		fvexd 6898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ V)
71	65, 67, 68, 56, 4, 69, 70	limsupequzmpt 46423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
72	63, 49, 71	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
73	62, 72	breqtrd 5138	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
74	73	climfvd 46392	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥))))
75	74	3exp 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥))))))
76	16, 17, 75	rexlimd 3272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))))
77	15, 76	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥))))
78	10, 77	mpteq12dva 5198	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐻‘𝑘) ∣ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))))
79	2, 78	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐻‘𝑘) ∣ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))))
80	3, 4, 5, 6, 8, 9	smflimsuplem3 47516	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐻‘𝑘) ∣ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑘)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
81	79, 80	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  {crab 3416  Vcvv 3455  ∪ ciun 4957  ∩ ciin 4958   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5663  ran crn 5664  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  supcsup 9401  ℝcr 11100  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244  ℤcz 12592  ℤ_≥cuz 12863  lim supclsp 15523   ⇝ cli 15537  SAlgcsalg 47002  SMblFncsmblfn 47389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cc 10420  ax-ac2 10448  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-acn 9929  df-ac 10101  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-fz 13537  df-fl 13827  df-ceil 13828  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-rest 17476  df-topgen 17497  df-top 23032  df-bases 23084  df-salg 47003  df-salgen 47007  df-smblfn 47390

This theorem is referenced by:  smflimsup  47522