MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ennum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ennum 9888
Description: Equinumerous sets are equi-numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ennum (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ dom card ↔ 𝐵 ∈ dom card))

Proof of Theorem ennum
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enen2 9065 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
21rexbidv 3172 . 2 (𝐴𝐵 → (∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐵))
3 isnum2 9886 . 2 (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐴)
4 isnum2 9886 . 2 (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐵)
52, 3, 43bitr4g 314 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ dom card ↔ 𝐵 ∈ dom card))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2107  wrex 3070   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  Oncon0 6318  cen 8883  cardccrd 9876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-er 8651  df-en 8887  df-card 9880
This theorem is referenced by:  carden2b  9908  dfac12lem3  10086  dfac12k  10088  qnnen  16100  cygctb  19674
  Copyright terms: Public domain W3C validator