MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ennum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ennum 9106
Description: Equinumerous sets are equi-numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ennum (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ dom card ↔ 𝐵 ∈ dom card))

Proof of Theorem ennum
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enen2 8389 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
21rexbidv 3237 . 2 (𝐴𝐵 → (∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐵))
3 isnum2 9104 . 2 (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐴)
4 isnum2 9104 . 2 (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐵)
52, 3, 43bitr4g 306 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ dom card ↔ 𝐵 ∈ dom card))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wcel 2107  wrex 3091   class class class wbr 4886  dom cdm 5355  Oncon0 5976  cen 8238  cardccrd 9094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-ord 5979  df-on 5980  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-er 8026  df-en 8242  df-card 9098
This theorem is referenced by:  carden2b  9126  dfac12lem3  9302  dfac12k  9304  qnnen  15346  cygctb  18679
  Copyright terms: Public domain W3C validator