Theorem ennum 10032

Description: Equinumerous sets are equi-numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ennum	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ dom card ↔ 𝐵 ∈ dom card))

Proof of Theorem ennum

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enen2 9141	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ 𝑥 ≈ 𝐵))
2	1	rexbidv 3186	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐵))
3		isnum2 10030	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴)
4		isnum2 10030	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐵)
5	2, 3, 4	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ dom card ↔ 𝐵 ∈ dom card))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  Oncon0 6362   ≈ cen 8974  cardccrd 10020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-er 8721  df-en 8978  df-card 10024

This theorem is used by:  carden2b  10052  dfac12lem3  10228  dfac12k  10230  qnnen  16387  cygctb  20112