MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ennum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ennum 9984
Description: Equinumerous sets are equi-numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ennum (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ dom card ↔ 𝐵 ∈ dom card))

Proof of Theorem ennum
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enen2 9156 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
21rexbidv 3176 . 2 (𝐴𝐵 → (∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐵))
3 isnum2 9982 . 2 (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐴)
4 isnum2 9982 . 2 (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐵)
52, 3, 43bitr4g 314 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ dom card ↔ 𝐵 ∈ dom card))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wcel 2105  wrex 3067   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  Oncon0 6385  cen 8980  cardccrd 9972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-er 8743  df-en 8984  df-card 9976
This theorem is referenced by:  carden2b  10004  dfac12lem3  10183  dfac12k  10185  qnnen  16245  cygctb  19924
  Copyright terms: Public domain W3C validator