Theorem ennum 9987

Description: Equinumerous sets are equi-numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ennum	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ dom card ↔ 𝐵 ∈ dom card))

Proof of Theorem ennum

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enen2 9158	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ 𝑥 ≈ 𝐵))
2	1	rexbidv 3179	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐵))
3		isnum2 9985	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴)
4		isnum2 9985	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐵)
5	2, 3, 4	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ dom card ↔ 𝐵 ∈ dom card))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  Oncon0 6384   ≈ cen 8982  cardccrd 9975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-er 8745  df-en 8986  df-card 9979

This theorem is referenced by:  carden2b  10007  dfac12lem3  10186  dfac12k  10188  qnnen  16249  cygctb  19910