Theorem domen1 9120

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
domen1	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐶 ↔ 𝐵 ≼ 𝐶))

Proof of Theorem domen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 9012	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
2		endomtr 9021	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≼ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐶)
4		endomtr 9021	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
5	3, 4	impbida 813	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐶 ↔ 𝐵 ≼ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   class class class wbr 5103   ≈ cen 8952   ≼ cdom 8953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957

This theorem is used by:  unxpwdom2  9563  carddomi2  9978  djudom2  10189  djuinf  10194  djulepw  10198  pwdjudom  10220  gchpwdom  10682  hargch  10685  dis2ndc  23689  isinf2  38162  fisdomnn  43114