Theorem domen1 9133

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
domen1	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐶 ↔ 𝐵 ≼ 𝐶))

Proof of Theorem domen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 9017	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
2		endomtr 9026	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≼ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐶)
4		endomtr 9026	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
5	3, 4	impbida 800	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐶 ↔ 𝐵 ≼ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   class class class wbr 5119   ≈ cen 8956   ≼ cdom 8957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961

This theorem is referenced by:  unxpwdom2  9602  carddomi2  9984  djudom2  10198  djuinf  10203  djulepw  10207  pwdjudom  10229  gchpwdom  10684  hargch  10687  dis2ndc  23398  isinf2  37423  fisdomnn  42295