MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domen1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domen1 9118
Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
domen1 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐶𝐵𝐶))

Proof of Theorem domen1
StepHypRef Expression
1 ensym 8998 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
2 endomtr 9007 . . 3 ((𝐵𝐴𝐴𝐶) → 𝐵𝐶)
31, 2sylan 579 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐶) → 𝐵𝐶)
4 endomtr 9007 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
53, 4impbida 798 1 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐶𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   class class class wbr 5141  cen 8935  cdom 8936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940
This theorem is referenced by:  unxpwdom2  9582  carddomi2  9964  djudom2  10177  djuinf  10182  djulepw  10186  pwdjudom  10210  gchpwdom  10664  hargch  10667  dis2ndc  23315  isinf2  36793
  Copyright terms: Public domain W3C validator