MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domen1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domen1 9107
Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
domen1 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐶𝐵𝐶))

Proof of Theorem domen1
StepHypRef Expression
1 ensym 8987 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
2 endomtr 8996 . . 3 ((𝐵𝐴𝐴𝐶) → 𝐵𝐶)
31, 2sylan 581 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐶) → 𝐵𝐶)
4 endomtr 8996 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
53, 4impbida 800 1 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐶𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   class class class wbr 5144  cen 8924  cdom 8925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929
This theorem is referenced by:  unxpwdom2  9570  carddomi2  9952  djudom2  10165  djuinf  10170  djulepw  10174  pwdjudom  10198  gchpwdom  10652  hargch  10655  dis2ndc  22933  isinf2  36191
  Copyright terms: Public domain W3C validator