Theorem domen1 9149

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
domen1	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐶 ↔ 𝐵 ≼ 𝐶))

Proof of Theorem domen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 9041	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
2		endomtr 9050	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≼ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐶)
4		endomtr 9050	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
5	3, 4	impbida 813	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐶 ↔ 𝐵 ≼ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   class class class wbr 5105   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986

This theorem is used by:  unxpwdom2  9592  carddomi2  10061  djudom2  10272  djuinf  10277  djulepw  10281  pwdjudom  10303  gchpwdom  10765  hargch  10768  dis2ndc  23791  isinf2  38468  fisdomnn  43435