Theorem alephexp1 10617

Description: An exponentiation law for alephs. Lemma 6.1 of [Jech] p. 42. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
alephexp1	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephexp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephon 10107	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
2		onenon 9987	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
3	1, 2	mp1i 13	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
4		fvex 6920	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ V
5		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ On)
6		alephgeom 10120	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
7	5, 6	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
8		ssdomg 9039	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵)))
9	4, 7, 8	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵))
10		fvex 6920	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ V
11		ordom 7897	. . . . . 6 ⊢ Ord ω
12		2onn 8679	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
13		ordelss 6402	. . . . . 6 ⊢ ((Ord ω ∧ 2o ∈ ω) → 2o ⊆ ω)
14	11, 12, 13	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ 2o ⊆ ω
15		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
16		alephgeom 10120	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
17	15, 16	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
18	14, 17	sstrid 4007	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 2o ⊆ (ℵ‘𝐴))
19		ssdomg 9039	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ V → (2o ⊆ (ℵ‘𝐴) → 2o ≼ (ℵ‘𝐴)))
20	10, 18, 19	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 2o ≼ (ℵ‘𝐴))
21		alephord3 10116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵)))
22		ssdomg 9039	. . . . . . 7 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ V → ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
23	4, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
24	21, 23	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
25	24	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
26	4	canth2 9169	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐵) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐵)
27		sdomdom 9019	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵)
29		domtr 9046	. . . 4 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵)) → (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
30	25, 28, 29	sylancl 586	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
31		mappwen 10150	. . 3 ⊢ ((((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐵)) ∧ (2o ≼ (ℵ‘𝐴) ∧ (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
32	3, 9, 20, 30, 31	syl22anc 839	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
33	4	pw2en 9118	. . 3 ⊢ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵))
34		enen2 9157	. . 3 ⊢ (𝒫 (ℵ‘𝐵) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵)) → (((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵))))
35	33, 34	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵)))
36	32, 35	sylib 218	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  Ord word 6385  Oncon0 6386  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ωcom 7887  2_oc2o 8499   ↑_m cmap 8865   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982   ≺ csdm 8983  cardccrd 9973  ℵcale 9974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-oi 9548  df-har 9595  df-card 9977  df-aleph 9978

This theorem is referenced by:  alephexp2  10619