Theorem alephexp1 10266

Description: An exponentiation law for alephs. Lemma 6.1 of [Jech] p. 42. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
alephexp1	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephexp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephon 9756	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
2		onenon 9638	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
3	1, 2	mp1i 13	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
4		fvex 6769	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ V
5		simplr 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ On)
6		alephgeom 9769	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
7	5, 6	sylib 217	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
8		ssdomg 8741	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵)))
9	4, 7, 8	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵))
10		fvex 6769	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ V
11		ordom 7697	. . . . . 6 ⊢ Ord ω
12		2onn 8433	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
13		ordelss 6267	. . . . . 6 ⊢ ((Ord ω ∧ 2o ∈ ω) → 2o ⊆ ω)
14	11, 12, 13	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ 2o ⊆ ω
15		simpll 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
16		alephgeom 9769	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
17	15, 16	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
18	14, 17	sstrid 3928	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 2o ⊆ (ℵ‘𝐴))
19		ssdomg 8741	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ V → (2o ⊆ (ℵ‘𝐴) → 2o ≼ (ℵ‘𝐴)))
20	10, 18, 19	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 2o ≼ (ℵ‘𝐴))
21		alephord3 9765	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵)))
22		ssdomg 8741	. . . . . . 7 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ V → ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
23	4, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
24	21, 23	syl6bi 252	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
25	24	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
26	4	canth2 8866	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐵) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐵)
27		sdomdom 8723	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵)
29		domtr 8748	. . . 4 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵)) → (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
30	25, 28, 29	sylancl 585	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
31		mappwen 9799	. . 3 ⊢ ((((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐵)) ∧ (2o ≼ (ℵ‘𝐴) ∧ (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
32	3, 9, 20, 30, 31	syl22anc 835	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
33	4	pw2en 8819	. . 3 ⊢ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵))
34		enen2 8854	. . 3 ⊢ (𝒫 (ℵ‘𝐵) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵)) → (((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵))))
35	33, 34	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵)))
36	32, 35	sylib 217	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  Ord word 6250  Oncon0 6251  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ωcom 7687  2_oc2o 8261   ↑_m cmap 8573   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689   ≺ csdm 8690  cardccrd 9624  ℵcale 9625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-oi 9199  df-har 9246  df-card 9628  df-aleph 9629

This theorem is referenced by:  alephexp2  10268