Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephexp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephexp1 9979
 Description: An exponentiation law for alephs. Lemma 6.1 of [Jech] p. 42. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
alephexp1 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2om (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephexp1
StepHypRef Expression
1 alephon 9473 . . . 4 (ℵ‘𝐵) ∈ On
2 onenon 9356 . . . 4 ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
31, 2mp1i 13 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
4 fvex 6659 . . . 4 (ℵ‘𝐵) ∈ V
5 simplr 767 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ On)
6 alephgeom 9486 . . . . 5 (𝐵 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
75, 6sylib 220 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
8 ssdomg 8533 . . . 4 ((ℵ‘𝐵) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵)))
94, 7, 8mpsyl 68 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵))
10 fvex 6659 . . . 4 (ℵ‘𝐴) ∈ V
11 ordom 7567 . . . . . 6 Ord ω
12 2onn 8244 . . . . . 6 2o ∈ ω
13 ordelss 6183 . . . . . 6 ((Ord ω ∧ 2o ∈ ω) → 2o ⊆ ω)
1411, 12, 13mp2an 690 . . . . 5 2o ⊆ ω
15 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ On)
16 alephgeom 9486 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
1715, 16sylib 220 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
1814, 17sstrid 3957 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → 2o ⊆ (ℵ‘𝐴))
19 ssdomg 8533 . . . 4 ((ℵ‘𝐴) ∈ V → (2o ⊆ (ℵ‘𝐴) → 2o ≼ (ℵ‘𝐴)))
2010, 18, 19mpsyl 68 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → 2o ≼ (ℵ‘𝐴))
21 alephord3 9482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵)))
22 ssdomg 8533 . . . . . . 7 ((ℵ‘𝐵) ∈ V → ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
234, 22ax-mp 5 . . . . . 6 ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
2421, 23syl6bi 255 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
2524imp 409 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
264canth2 8648 . . . . 5 (ℵ‘𝐵) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐵)
27 sdomdom 8515 . . . . 5 ((ℵ‘𝐵) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
2826, 27ax-mp 5 . . . 4 (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵)
29 domtr 8540 . . . 4 (((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵)) → (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
3025, 28, 29sylancl 588 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
31 mappwen 9516 . . 3 ((((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐵)) ∧ (2o ≼ (ℵ‘𝐴) ∧ (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
323, 9, 20, 30, 31syl22anc 836 . 2 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
334pw2en 8602 . . 3 𝒫 (ℵ‘𝐵) ≈ (2om (ℵ‘𝐵))
34 enen2 8636 . . 3 (𝒫 (ℵ‘𝐵) ≈ (2om (ℵ‘𝐵)) → (((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2om (ℵ‘𝐵))))
3533, 34ax-mp 5 . 2 (((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2om (ℵ‘𝐵)))
3632, 35sylib 220 1 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2om (ℵ‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  Vcvv 3473   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4515   class class class wbr 5042  dom cdm 5531  Ord word 6166  Oncon0 6167  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  ωcom 7558  2oc2o 8074   ↑m cmap 8384   ≈ cen 8484   ≼ cdom 8485   ≺ csdm 8486  cardccrd 9342  ℵcale 9343 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-oi 8952  df-har 9000  df-card 9346  df-aleph 9347 This theorem is referenced by:  alephexp2  9981
 Copyright terms: Public domain W3C validator