MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephexp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephexp1 9689
Description: An exponentiation law for alephs. Lemma 6.1 of [Jech] p. 42. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
alephexp1 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephexp1
StepHypRef Expression
1 alephon 9178 . . . 4 (ℵ‘𝐵) ∈ On
2 onenon 9061 . . . 4 ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
31, 2mp1i 13 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
4 fvex 6424 . . . 4 (ℵ‘𝐵) ∈ V
5 simplr 786 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ On)
6 alephgeom 9191 . . . . 5 (𝐵 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
75, 6sylib 210 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
8 ssdomg 8241 . . . 4 ((ℵ‘𝐵) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵)))
94, 7, 8mpsyl 68 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵))
10 fvex 6424 . . . 4 (ℵ‘𝐴) ∈ V
11 ordom 7308 . . . . . 6 Ord ω
12 2onn 7960 . . . . . 6 2𝑜 ∈ ω
13 ordelss 5957 . . . . . 6 ((Ord ω ∧ 2𝑜 ∈ ω) → 2𝑜 ⊆ ω)
1411, 12, 13mp2an 684 . . . . 5 2𝑜 ⊆ ω
15 simpll 784 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ On)
16 alephgeom 9191 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
1715, 16sylib 210 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
1814, 17syl5ss 3809 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → 2𝑜 ⊆ (ℵ‘𝐴))
19 ssdomg 8241 . . . 4 ((ℵ‘𝐴) ∈ V → (2𝑜 ⊆ (ℵ‘𝐴) → 2𝑜 ≼ (ℵ‘𝐴)))
2010, 18, 19mpsyl 68 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → 2𝑜 ≼ (ℵ‘𝐴))
21 alephord3 9187 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵)))
22 ssdomg 8241 . . . . . . 7 ((ℵ‘𝐵) ∈ V → ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
234, 22ax-mp 5 . . . . . 6 ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
2421, 23syl6bi 245 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
2524imp 396 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
264canth2 8355 . . . . 5 (ℵ‘𝐵) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐵)
27 sdomdom 8223 . . . . 5 ((ℵ‘𝐵) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
2826, 27ax-mp 5 . . . 4 (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵)
29 domtr 8248 . . . 4 (((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵)) → (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
3025, 28, 29sylancl 581 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
31 mappwen 9221 . . 3 ((((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐵)) ∧ (2𝑜 ≼ (ℵ‘𝐴) ∧ (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))) → ((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
323, 9, 20, 30, 31syl22anc 868 . 2 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
334pw2en 8309 . . 3 𝒫 (ℵ‘𝐵) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘𝐵))
34 enen2 8343 . . 3 (𝒫 (ℵ‘𝐵) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘𝐵)) → (((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘𝐵))))
3533, 34ax-mp 5 . 2 (((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘𝐵)))
3632, 35sylib 210 1 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑𝑚 (ℵ‘𝐵)) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  wcel 2157  Vcvv 3385  wss 3769  𝒫 cpw 4349   class class class wbr 4843  dom cdm 5312  Ord word 5940  Oncon0 5941  cfv 6101  (class class class)co 6878  ωcom 7299  2𝑜c2o 7793  𝑚 cmap 8095  cen 8192  cdom 8193  csdm 8194  cardccrd 9047  cale 9048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-oi 8657  df-har 8705  df-card 9051  df-aleph 9052
This theorem is referenced by:  alephexp2  9691
  Copyright terms: Public domain W3C validator