Theorem alephexp1 10488

Description: An exponentiation law for alephs. Lemma 6.1 of [Jech] p. 42. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
alephexp1	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephexp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephon 9977	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
2		onenon 9859	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
3	1, 2	mp1i 13	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
4		fvex 6845	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ V
5		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ On)
6		alephgeom 9990	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
7	5, 6	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
8		ssdomg 8935	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵)))
9	4, 7, 8	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵))
10		fvex 6845	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ V
11		ordom 7816	. . . . . 6 ⊢ Ord ω
12		2onn 8568	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
13		ordelss 6331	. . . . . 6 ⊢ ((Ord ω ∧ 2o ∈ ω) → 2o ⊆ ω)
14	11, 12, 13	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ 2o ⊆ ω
15		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
16		alephgeom 9990	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
17	15, 16	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
18	14, 17	sstrid 3943	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 2o ⊆ (ℵ‘𝐴))
19		ssdomg 8935	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ V → (2o ⊆ (ℵ‘𝐴) → 2o ≼ (ℵ‘𝐴)))
20	10, 18, 19	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 2o ≼ (ℵ‘𝐴))
21		alephord3 9986	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵)))
22		ssdomg 8935	. . . . . . 7 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ V → ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
23	4, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
24	21, 23	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
25	24	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
26	4	canth2 9056	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐵) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐵)
27		sdomdom 8915	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵)
29		domtr 8942	. . . 4 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵)) → (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
30	25, 28, 29	sylancl 586	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
31		mappwen 10020	. . 3 ⊢ ((((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐵)) ∧ (2o ≼ (ℵ‘𝐴) ∧ (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
32	3, 9, 20, 30, 31	syl22anc 838	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
33	4	pw2en 9010	. . 3 ⊢ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵))
34		enen2 9044	. . 3 ⊢ (𝒫 (ℵ‘𝐵) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵)) → (((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵))))
35	33, 34	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵)))
36	32, 35	sylib 218	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4552   class class class wbr 5096  dom cdm 5622  Ord word 6314  Oncon0 6315  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ωcom 7806  2_oc2o 8389   ↑_m cmap 8761   ≈ cen 8878   ≼ cdom 8879   ≺ csdm 8880  cardccrd 9845  ℵcale 9846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-oi 9413  df-har 9460  df-card 9849  df-aleph 9850

This theorem is referenced by:  alephexp2  10490