Theorem alephexp1 10470

Description: An exponentiation law for alephs. Lemma 6.1 of [Jech] p. 42. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
alephexp1	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephexp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephon 9960	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
2		onenon 9842	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
3	1, 2	mp1i 13	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
4		fvex 6835	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ V
5		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ On)
6		alephgeom 9973	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
7	5, 6	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
8		ssdomg 8922	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵)))
9	4, 7, 8	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵))
10		fvex 6835	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ V
11		ordom 7806	. . . . . 6 ⊢ Ord ω
12		2onn 8557	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
13		ordelss 6322	. . . . . 6 ⊢ ((Ord ω ∧ 2o ∈ ω) → 2o ⊆ ω)
14	11, 12, 13	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ 2o ⊆ ω
15		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
16		alephgeom 9973	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
17	15, 16	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
18	14, 17	sstrid 3941	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 2o ⊆ (ℵ‘𝐴))
19		ssdomg 8922	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ V → (2o ⊆ (ℵ‘𝐴) → 2o ≼ (ℵ‘𝐴)))
20	10, 18, 19	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 2o ≼ (ℵ‘𝐴))
21		alephord3 9969	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵)))
22		ssdomg 8922	. . . . . . 7 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ V → ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
23	4, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
24	21, 23	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
25	24	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
26	4	canth2 9043	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐵) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐵)
27		sdomdom 8902	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵)
29		domtr 8929	. . . 4 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵)) → (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
30	25, 28, 29	sylancl 586	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
31		mappwen 10003	. . 3 ⊢ ((((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐵)) ∧ (2o ≼ (ℵ‘𝐴) ∧ (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
32	3, 9, 20, 30, 31	syl22anc 838	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
33	4	pw2en 8997	. . 3 ⊢ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵))
34		enen2 9031	. . 3 ⊢ (𝒫 (ℵ‘𝐵) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵)) → (((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵))))
35	33, 34	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵)))
36	32, 35	sylib 218	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4547   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  Ord word 6305  Oncon0 6306  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ωcom 7796  2_oc2o 8379   ↑_m cmap 8750   ≈ cen 8866   ≼ cdom 8867   ≺ csdm 8868  cardccrd 9828  ℵcale 9829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-oi 9396  df-har 9443  df-card 9832  df-aleph 9833

This theorem is referenced by:  alephexp2  10472