Theorem alephexp1 10504

Description: An exponentiation law for alephs. Lemma 6.1 of [Jech] p. 42. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
alephexp1	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephexp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephon 9993	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
2		onenon 9875	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
3	1, 2	mp1i 13	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
4		fvex 6857	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ V
5		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ On)
6		alephgeom 10006	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
7	5, 6	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ω ⊆ (ℵ‘𝐵))
8		ssdomg 8951	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ‘𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵)))
9	4, 7, 8	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ω ≼ (ℵ‘𝐵))
10		fvex 6857	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ V
11		ordom 7830	. . . . . 6 ⊢ Ord ω
12		2onn 8582	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
13		ordelss 6343	. . . . . 6 ⊢ ((Ord ω ∧ 2o ∈ ω) → 2o ⊆ ω)
14	11, 12, 13	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ 2o ⊆ ω
15		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
16		alephgeom 10006	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
17	15, 16	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
18	14, 17	sstrid 3947	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 2o ⊆ (ℵ‘𝐴))
19		ssdomg 8951	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ V → (2o ⊆ (ℵ‘𝐴) → 2o ≼ (ℵ‘𝐴)))
20	10, 18, 19	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 2o ≼ (ℵ‘𝐴))
21		alephord3 10002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵)))
22		ssdomg 8951	. . . . . . 7 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ V → ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
23	4, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
24	21, 23	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)))
25	24	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
26	4	canth2 9072	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐵) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐵)
27		sdomdom 8931	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵)
29		domtr 8958	. . . 4 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ (ℵ‘𝐵) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵)) → (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
30	25, 28, 29	sylancl 587	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
31		mappwen 10036	. . 3 ⊢ ((((ℵ‘𝐵) ∈ dom card ∧ ω ≼ (ℵ‘𝐵)) ∧ (2o ≼ (ℵ‘𝐴) ∧ (ℵ‘𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐵))) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
32	3, 9, 20, 30, 31	syl22anc 839	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵))
33	4	pw2en 9026	. . 3 ⊢ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵))
34		enen2 9060	. . 3 ⊢ (𝒫 (ℵ‘𝐵) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵)) → (((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵))))
35	33, 34	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵)))
36	32, 35	sylib 218	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ↑m (ℵ‘𝐵)) ≈ (2o ↑m (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100  dom cdm 5634  Ord word 6326  Oncon0 6327  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ωcom 7820  2_oc2o 8403   ↑_m cmap 8777   ≈ cen 8894   ≼ cdom 8895   ≺ csdm 8896  cardccrd 9861  ℵcale 9862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-oi 9429  df-har 9476  df-card 9865  df-aleph 9866

This theorem is referenced by:  alephexp2  10506