Theorem ctbnfien 42774

Description: An infinite subset of a countable set is countable, without using choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ctbnfien	⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≈ 𝑌)

Proof of Theorem ctbnfien

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite 9721	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
2	1	notbii 320	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)
3		relen 9008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel ≈
4	3	brrelex1i 5756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ≈ ω → 𝑋 ∈ V)
5		ssdomg 9060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 ≼ 𝑋))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ≈ ω → (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 ≼ 𝑋))
7		domen2 9186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ≈ ω → (𝐴 ≼ 𝑋 ↔ 𝐴 ≼ ω))
8	6, 7	sylibd 239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≈ ω → (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 ≼ ω))
9	8	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ≼ ω)
10		brdom2 9042	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ ω ↔ (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
11	9, 10	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
12	11	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
13	12	ord 863	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≈ ω))
14	2, 13	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≈ ω))
15	14	impr 454	. 2 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≈ ω)
16		enen2 9184	. . 3 ⊢ (𝑌 ≈ ω → (𝐴 ≈ 𝑌 ↔ 𝐴 ≈ ω))
17	16	ad2antlr 726	. 2 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → (𝐴 ≈ 𝑌 ↔ 𝐴 ≈ ω))
18	15, 17	mpbird 257	1 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≈ 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ωcom 7903   ≈ cen 9000   ≼ cdom 9001   ≺ csdm 9002  Fincfn 9003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007

This theorem is referenced by:  fiphp3d  42775  irrapx1  42784