Theorem ctbnfien 44091

Description: An infinite subset of a countable set is countable, without using choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ctbnfien	⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≈ 𝑌)

Proof of Theorem ctbnfien

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite 9690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
2	1	notbii 323	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)
3		relen 9016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel ≈
4	3	brrelex1i 5714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ≈ ω → 𝑋 ∈ V)
5		ssdomg 9065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 ≼ 𝑋))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ≈ ω → (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 ≼ 𝑋))
7		domen2 9177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ≈ ω → (𝐴 ≼ 𝑋 ↔ 𝐴 ≼ ω))
8	6, 7	sylibd 242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≈ ω → (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 ≼ ω))
9	8	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ≼ ω)
10		brdom2 9047	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ ω ↔ (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
11	9, 10	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
12	11	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
13	12	ord 878	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≈ ω))
14	2, 13	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≈ ω))
15	14	impr 460	. 2 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≈ ω)
16		enen2 9175	. . 3 ⊢ (𝑌 ≈ ω → (𝐴 ≈ 𝑌 ↔ 𝐴 ≈ ω))
17	16	ad2antlr 740	. 2 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → (𝐴 ≈ 𝑌 ↔ 𝐴 ≈ ω))
18	15, 17	mpbird 260	1 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≈ 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108  ωcom 7911   ≈ cen 9008   ≼ cdom 9009   ≺ csdm 9010  Fincfn 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015

This theorem is used by:  fiphp3d  44092  irrapx1  44101