Theorem ctbnfien 42806

Description: An infinite subset of a countable set is countable, without using choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ctbnfien	⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≈ 𝑌)

Proof of Theorem ctbnfien

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite 9690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
2	1	notbii 320	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)
3		relen 8989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel ≈
4	3	brrelex1i 5745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ≈ ω → 𝑋 ∈ V)
5		ssdomg 9039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 ≼ 𝑋))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ≈ ω → (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 ≼ 𝑋))
7		domen2 9159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ≈ ω → (𝐴 ≼ 𝑋 ↔ 𝐴 ≼ ω))
8	6, 7	sylibd 239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≈ ω → (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 ≼ ω))
9	8	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ≼ ω)
10		brdom2 9021	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ ω ↔ (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
11	9, 10	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
12	11	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
13	12	ord 864	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≈ ω))
14	2, 13	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≈ ω))
15	14	impr 454	. 2 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≈ ω)
16		enen2 9157	. . 3 ⊢ (𝑌 ≈ ω → (𝐴 ≈ 𝑌 ↔ 𝐴 ≈ ω))
17	16	ad2antlr 727	. 2 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → (𝐴 ≈ 𝑌 ↔ 𝐴 ≈ ω))
18	15, 17	mpbird 257	1 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≈ 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  ωcom 7887   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982   ≺ csdm 8983  Fincfn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988

This theorem is referenced by:  fiphp3d  42807  irrapx1  42816