Theorem ctbnfien 43804

Description: An infinite subset of a countable set is countable, without using choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ctbnfien	⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≈ 𝑌)

Proof of Theorem ctbnfien

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite 9646	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
2	1	notbii 323	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)
3		relen 8971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel ≈
4	3	brrelex1i 5707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ≈ ω → 𝑋 ∈ V)
5		ssdomg 9020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 ≼ 𝑋))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ≈ ω → (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 ≼ 𝑋))
7		domen2 9132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ≈ ω → (𝐴 ≼ 𝑋 ↔ 𝐴 ≼ ω))
8	6, 7	sylibd 242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≈ ω → (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 ≼ ω))
9	8	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ≼ ω)
10		brdom2 9002	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ ω ↔ (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
11	9, 10	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
12	11	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
13	12	ord 878	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≈ ω))
14	2, 13	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≈ ω))
15	14	impr 460	. 2 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≈ ω)
16		enen2 9130	. . 3 ⊢ (𝑌 ≈ ω → (𝐴 ≈ 𝑌 ↔ 𝐴 ≈ ω))
17	16	ad2antlr 740	. 2 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → (𝐴 ≈ 𝑌 ↔ 𝐴 ≈ ω))
18	15, 17	mpbird 260	1 ⊢ (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≈ 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ωcom 7875   ≈ cen 8963   ≼ cdom 8964   ≺ csdm 8965  Fincfn 8966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970

This theorem is used by:  fiphp3d  43805  irrapx1  43814