Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ctbnfien Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ctbnfien 42829
Description: An infinite subset of a countable set is countable, without using choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ctbnfien (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴𝑌)

Proof of Theorem ctbnfien
StepHypRef Expression
1 isfinite 9692 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
21notbii 320 . . . 4 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)
3 relen 8990 . . . . . . . . . . 11 Rel ≈
43brrelex1i 5741 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ≈ ω → 𝑋 ∈ V)
5 ssdomg 9040 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ V → (𝐴𝑋𝐴𝑋))
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≈ ω → (𝐴𝑋𝐴𝑋))
7 domen2 9160 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≈ ω → (𝐴𝑋𝐴 ≼ ω))
86, 7sylibd 239 . . . . . . . 8 (𝑋 ≈ ω → (𝐴𝑋𝐴 ≼ ω))
98imp 406 . . . . . . 7 ((𝑋 ≈ ω ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ≼ ω)
10 brdom2 9022 . . . . . . 7 (𝐴 ≼ ω ↔ (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
119, 10sylib 218 . . . . . 6 ((𝑋 ≈ ω ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
1211adantlr 715 . . . . 5 (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
1312ord 865 . . . 4 (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴𝑋) → (¬ 𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≈ ω))
142, 13biimtrid 242 . . 3 (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴𝑋) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≈ ω))
1514impr 454 . 2 (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≈ ω)
16 enen2 9158 . . 3 (𝑌 ≈ ω → (𝐴𝑌𝐴 ≈ ω))
1716ad2antlr 727 . 2 (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → (𝐴𝑌𝐴 ≈ ω))
1815, 17mpbird 257 1 (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  ωcom 7887  cen 8982  cdom 8983  csdm 8984  Fincfn 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989
This theorem is referenced by:  fiphp3d  42830  irrapx1  42839
  Copyright terms: Public domain W3C validator