Theorem ensn1g 9021

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ensn1g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)

Proof of Theorem ensn1g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4601	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
2	1	breq1d 5121	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ({𝑥} ≈ 1o ↔ {𝐴} ≈ 1o))
3		vex 3461	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	ensn1 9020	. 2 ⊢ {𝑥} ≈ 1o
5	2, 4	vtoclg 3524	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4591   class class class wbr 5111  1_oc1o 8448   ≈ cen 8942

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2569  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-suc 6370  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-1o 8455  df-en 8946

This theorem is used by:  enpr1g  9022  en1b  9024  snmapen1  9039  snfi  9043  sucxpdom  9224  en1eqsnbi  9239  prdom2  10002  dju1en  10167  triv1nsgd  19263  snct  33104  dflring3  33827  dflring4  33828  kardsn  35606  rngoueqz  38624  safesnsupfidom1o  44176  sn1dom  44285