Theorem ensn1g 9028

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ensn1g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)

Proof of Theorem ensn1g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4594	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
2	1	breq1d 5113	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ({𝑥} ≈ 1o ↔ {𝐴} ≈ 1o))
3		vex 3454	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	ensn1 9027	. 2 ⊢ {𝑥} ≈ 1o
5	2, 4	vtoclg 3517	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584   class class class wbr 5103  1_oc1o 8448   ≈ cen 8949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-suc 6363  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-1o 8455  df-en 8953

This theorem is used by:  enpr1g  9029  en1b  9031  snmapen1  9046  snfi  9050  sucxpdom  9231  en1eqsnbi  9246  prdom2  10009  dju1en  10174  triv1nsgd  19296  snct  33184  dflring3  33907  dflring4  33908  kardsn  35686  rngoueqz  38690  safesnsupfidom1o  44257  sn1dom  44366