Theorem ensn1g 9053

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ensn1g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)

Proof of Theorem ensn1g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4590	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
2	1	breq1d 5112	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ({𝑥} ≈ 1o ↔ {𝐴} ≈ 1o))
3		vex 3454	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	ensn1 9052	. 2 ⊢ {𝑥} ≈ 1o
5	2, 4	vtoclg 3517	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4584   class class class wbr 5102  1_oc1o 8473   ≈ cen 8974

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-suc 6368  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-1o 8480  df-en 8978

This theorem is used by:  enpr1g  9054  en1b  9056  snmapen1  9071  snfi  9075  sucxpdom  9256  en1eqsnbi  9271  prdom2  10089  dju1en  10254  triv1nsgd  19389  snct  33353  dflring3  34076  dflring4  34077  kardsn  35885  rngoueqz  38968  safesnsupfidom1o  44512  sn1dom  44621