Theorem ensn1g 8763

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ensn1g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)

Proof of Theorem ensn1g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4568	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
2	1	breq1d 5080	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ({𝑥} ≈ 1o ↔ {𝐴} ≈ 1o))
3		vex 3426	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	ensn1 8761	. 2 ⊢ {𝑥} ≈ 1o
5	2, 4	vtoclg 3495	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {csn 4558   class class class wbr 5070  1_oc1o 8260   ≈ cen 8688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-suc 6257  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-1o 8267  df-en 8692

This theorem is referenced by:  enpr1g  8764  en1b  8767  en1bOLD  8768  snmapen1  8783  en2snOLDOLD  8787  snfi  8788  enpr2d  8792  snnen2o  8903  sucxpdom  8961  en1eqsn  8977  en1eqsnbi  8978  pr2nelem  9691  prdom2  9693  dju1en  9858  triv1nsgd  18716  snct  30950  rngoueqz  36025  sn1dom  41031