Theorem ensn1g 9042

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ensn1g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)

Proof of Theorem ensn1g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4594	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
2	1	breq1d 5113	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ({𝑥} ≈ 1o ↔ {𝐴} ≈ 1o))
3		vex 3455	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	ensn1 9041	. 2 ⊢ {𝑥} ≈ 1o
5	2, 4	vtoclg 3518	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584   class class class wbr 5103  1_oc1o 8462   ≈ cen 8963

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-suc 6367  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-1o 8469  df-en 8967

This theorem is used by:  enpr1g  9043  en1b  9045  snmapen1  9060  snfi  9064  sucxpdom  9245  en1eqsnbi  9260  prdom2  10078  dju1en  10243  triv1nsgd  19376  snct  33298  dflring3  34022  dflring4  34023  kardsn  35811  rngoueqz  38854  safesnsupfidom1o  44402  sn1dom  44511