Theorem ensn1g 9015

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ensn1g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)

Proof of Theorem ensn1g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4599	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
2	1	breq1d 5119	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ({𝑥} ≈ 1o ↔ {𝐴} ≈ 1o))
3		vex 3459	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	ensn1 9014	. 2 ⊢ {𝑥} ≈ 1o
5	2, 4	vtoclg 3522	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {csn 4589   class class class wbr 5109  1_oc1o 8442   ≈ cen 8936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-suc 6366  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-1o 8449  df-en 8940

This theorem is referenced by:  enpr1g  9016  en1b  9018  snmapen1  9032  snfi  9036  sucxpdom  9217  en1eqsnbi  9232  prdom2  9986  dju1en  10151  triv1nsgd  19234  snct  33057  dflring3  33787  dflring4  33788  kardsn  35573  rngoueqz  38591  safesnsupfidom1o  44143  sn1dom  44252