Theorem ensn1g 9084

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ensn1g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)

Proof of Theorem ensn1g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4658	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
2	1	breq1d 5176	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ({𝑥} ≈ 1o ↔ {𝐴} ≈ 1o))
3		vex 3492	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	ensn1 9082	. 2 ⊢ {𝑥} ≈ 1o
5	2, 4	vtoclg 3566	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {csn 4648   class class class wbr 5166  1_oc1o 8515   ≈ cen 9000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-mo 2543  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-suc 6401  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-1o 8522  df-en 9004

This theorem is referenced by:  enpr1g  9085  en1b  9088  en1bOLD  9089  snmapen1  9104  snfi  9109  snfiOLD  9110  enpr2dOLD  9116  snnen2oOLD  9290  sucxpdom  9318  en1eqsnOLD  9337  en1eqsnbi  9338  pr2nelemOLD  10072  prdom2  10075  dju1en  10241  triv1nsgd  19213  snct  32727  rngoueqz  37900  safesnsupfidom1o  43379  sn1dom  43488