MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snmapen1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snmapen1 9072
Description: Set exponentiation: a singleton to any set is equinumerous to ordinal 1. (Proposed by BJ, 17-Jul-2022.) (Contributed by AV, 17-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
snmapen1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ 1o)

Proof of Theorem snmapen1
StepHypRef Expression
1 snmapen 9071 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ {𝐴})
2 ensn1g 9052 . . 3 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
32adantr 479 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {𝐴} ≈ 1o)
4 entr 9035 . 2 ((({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 1o) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ 1o)
51, 3, 4syl2anc 582 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ 1o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098  {csn 4632   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  1oc1o 8488  m cmap 8853  cen 8969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973
This theorem is referenced by:  map1  9073
  Copyright terms: Public domain W3C validator