MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snmapen1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snmapen1 9064
Description: Set exponentiation: a singleton to any set is equinumerous to ordinal 1. (Proposed by BJ, 17-Jul-2022.) (Contributed by AV, 17-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
snmapen1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ 1o)

Proof of Theorem snmapen1
StepHypRef Expression
1 snmapen 9063 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ {𝐴})
2 ensn1g 9044 . . 3 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
32adantr 479 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {𝐴} ≈ 1o)
4 entr 9027 . 2 ((({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 1o) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ 1o)
51, 3, 4syl2anc 582 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ 1o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098  {csn 4630   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  1oc1o 8480  m cmap 8845  cen 8961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965
This theorem is referenced by:  map1  9065
  Copyright terms: Public domain W3C validator