Theorem snmapen1 9035

Description: Set exponentiation: a singleton to any set is equinumerous to ordinal 1. (Proposed by BJ, 17-Jul-2022.) (Contributed by AV, 17-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
snmapen1	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ 1o)

Proof of Theorem snmapen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snmapen 9034	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ {𝐴})
2		ensn1g 9015	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
3	2	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐴} ≈ 1o)
4		entr 8998	. 2 ⊢ ((({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 1o) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ 1o)
5	1, 3, 4	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  {csn 4627   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  1_oc1o 8455   ↑_m cmap 8816   ≈ cen 8932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936

This theorem is referenced by:  map1  9036