Theorem prdom2 9966

Description: An unordered pair has at most two elements. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
prdom2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)

Proof of Theorem prdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4605	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
2		ensn1g 8996	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
3		endom 8953	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o → {𝐴} ≼ 1o)
4		1sdom2 9194	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ≺ 2o
5		domsdomtr 9082	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐴} ≼ 1o ∧ 1o ≺ 2o) → {𝐴} ≺ 2o)
6		sdomdom 8954	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴} ≺ 2o → {𝐴} ≼ 2o)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝐴} ≼ 1o ∧ 1o ≺ 2o) → {𝐴} ≼ 2o)
8	3, 4, 7	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o → {𝐴} ≼ 2o)
9	2, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≼ 2o)
10	1, 9	eqbrtrrid 5146	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐴} ≼ 2o)
11		preq2 4701	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
12	11	breq1d 5120	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ({𝐴, 𝐵} ≼ 2o ↔ {𝐴, 𝐴} ≼ 2o))
13	10, 12	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
14	13	eqcoms 2738	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
15	14	adantrd 491	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
16		pr2ne 9964	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
17	16	biimprd 248	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
18		endom 8953	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)
19	17, 18	syl6com 37	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
20	15, 19	pm2.61ine 3009	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {csn 4592  {cpr 4594   class class class wbr 5110  1_oc1o 8430  2_oc2o 8431   ≈ cen 8918   ≼ cdom 8919   ≺ csdm 8920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924

This theorem is referenced by: (None)