Theorem prdom2 9693

Description: An unordered pair has at most two elements. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
prdom2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)

Proof of Theorem prdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4571	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
2		ensn1g 8763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
3		endom 8722	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o → {𝐴} ≼ 1o)
4		1sdom2 8951	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ≺ 2o
5		domsdomtr 8848	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐴} ≼ 1o ∧ 1o ≺ 2o) → {𝐴} ≺ 2o)
6		sdomdom 8723	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴} ≺ 2o → {𝐴} ≼ 2o)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝐴} ≼ 1o ∧ 1o ≺ 2o) → {𝐴} ≼ 2o)
8	3, 4, 7	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o → {𝐴} ≼ 2o)
9	2, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≼ 2o)
10	1, 9	eqbrtrrid 5106	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐴} ≼ 2o)
11		preq2 4667	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
12	11	breq1d 5080	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ({𝐴, 𝐵} ≼ 2o ↔ {𝐴, 𝐴} ≼ 2o))
13	10, 12	syl5ibr 245	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
14	13	eqcoms 2746	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
15	14	adantrd 491	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
16		pr2ne 9692	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
17	16	biimprd 247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
18		endom 8722	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)
19	17, 18	syl6com 37	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
20	15, 19	pm2.61ine 3027	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {csn 4558  {cpr 4560   class class class wbr 5070  1_oc1o 8260  2_oc2o 8261   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689   ≺ csdm 8690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-om 7688  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694

This theorem is referenced by: (None)