MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdom2 9426
Description: An unordered pair has at most two elements. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
prdom2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)

Proof of Theorem prdom2
StepHypRef Expression
1 dfsn2 4574 . . . . . 6 {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
2 ensn1g 8568 . . . . . . 7 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
3 endom 8530 . . . . . . . 8 ({𝐴} ≈ 1o → {𝐴} ≼ 1o)
4 1sdom2 8711 . . . . . . . 8 1o ≺ 2o
5 domsdomtr 8646 . . . . . . . . 9 (({𝐴} ≼ 1o ∧ 1o ≺ 2o) → {𝐴} ≺ 2o)
6 sdomdom 8531 . . . . . . . . 9 ({𝐴} ≺ 2o → {𝐴} ≼ 2o)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (({𝐴} ≼ 1o ∧ 1o ≺ 2o) → {𝐴} ≼ 2o)
83, 4, 7sylancl 588 . . . . . . 7 ({𝐴} ≈ 1o → {𝐴} ≼ 2o)
92, 8syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≼ 2o)
101, 9eqbrtrrid 5095 . . . . 5 (𝐴𝐶 → {𝐴, 𝐴} ≼ 2o)
11 preq2 4664 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
1211breq1d 5069 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → ({𝐴, 𝐵} ≼ 2o ↔ {𝐴, 𝐴} ≼ 2o))
1310, 12syl5ibr 248 . . . 4 (𝐵 = 𝐴 → (𝐴𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
1413eqcoms 2829 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
1514adantrd 494 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
16 pr2ne 9425 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o𝐴𝐵))
1716biimprd 250 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
18 endom 8530 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)
1917, 18syl6com 37 . 2 (𝐴𝐵 → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
2015, 19pm2.61ine 3100 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  {csn 4561  {cpr 4563   class class class wbr 5059  1oc1o 8089  2oc2o 8090  cen 8500  cdom 8501  csdm 8502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-om 7575  df-1o 8096  df-2o 8097  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator