MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdom2 9947
Description: An unordered pair has at most two elements. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
prdom2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)

Proof of Theorem prdom2
StepHypRef Expression
1 dfsn2 4600 . . . . . 6 {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
2 ensn1g 8966 . . . . . . 7 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
3 endom 8922 . . . . . . . 8 ({𝐴} ≈ 1o → {𝐴} ≼ 1o)
4 1sdom2 9187 . . . . . . . 8 1o ≺ 2o
5 domsdomtr 9059 . . . . . . . . 9 (({𝐴} ≼ 1o ∧ 1o ≺ 2o) → {𝐴} ≺ 2o)
6 sdomdom 8923 . . . . . . . . 9 ({𝐴} ≺ 2o → {𝐴} ≼ 2o)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (({𝐴} ≼ 1o ∧ 1o ≺ 2o) → {𝐴} ≼ 2o)
83, 4, 7sylancl 587 . . . . . . 7 ({𝐴} ≈ 1o → {𝐴} ≼ 2o)
92, 8syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≼ 2o)
101, 9eqbrtrrid 5142 . . . . 5 (𝐴𝐶 → {𝐴, 𝐴} ≼ 2o)
11 preq2 4696 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
1211breq1d 5116 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → ({𝐴, 𝐵} ≼ 2o ↔ {𝐴, 𝐴} ≼ 2o))
1310, 12imbitrrid 245 . . . 4 (𝐵 = 𝐴 → (𝐴𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
1413eqcoms 2741 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
1514adantrd 493 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
16 pr2ne 9945 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o𝐴𝐵))
1716biimprd 248 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
18 endom 8922 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)
1917, 18syl6com 37 . 2 (𝐴𝐵 → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
2015, 19pm2.61ine 3025 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  {csn 4587  {cpr 4589   class class class wbr 5106  1oc1o 8406  2oc2o 8407  cen 8883  cdom 8884  csdm 8885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator