Theorem prdom2 9029

Description: An unordered pair has at most two elements. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
prdom2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜)

Proof of Theorem prdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4329	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
2		ensn1g 8174	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
3		endom 8136	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴} ≈ 1𝑜 → {𝐴} ≼ 1𝑜)
4		1sdom2 8315	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 ≺ 2𝑜
5		domsdomtr 8251	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐴} ≼ 1𝑜 ∧ 1𝑜 ≺ 2𝑜) → {𝐴} ≺ 2𝑜)
6		sdomdom 8137	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴} ≺ 2𝑜 → {𝐴} ≼ 2𝑜)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝐴} ≼ 1𝑜 ∧ 1𝑜 ≺ 2𝑜) → {𝐴} ≼ 2𝑜)
8	3, 4, 7	sylancl 566	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴} ≈ 1𝑜 → {𝐴} ≼ 2𝑜)
9	2, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≼ 2𝑜)
10	1, 9	syl5eqbrr 4822	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐴} ≼ 2𝑜)
11		preq2 4405	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
12	11	breq1d 4796	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ({𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜 ↔ {𝐴, 𝐴} ≼ 2𝑜))
13	10, 12	syl5ibr 236	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜))
14	13	eqcoms 2779	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜))
15	14	adantrd 475	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜))
16		pr2ne 9028	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
17	16	biimprd 238	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
18		endom 8136	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜)
19	17, 18	syl6com 37	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜))
20	15, 19	pm2.61ine 3026	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  {csn 4316  {cpr 4318   class class class wbr 4786  1_𝑜c1o 7706  2_𝑜c2o 7707   ≈ cen 8106   ≼ cdom 8107   ≺ csdm 8108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7213  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112

This theorem is referenced by: (None)