Theorem prdom2 9115

Description: An unordered pair has at most two elements. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
prdom2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜)

Proof of Theorem prdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4381	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
2		ensn1g 8260	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
3		endom 8222	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴} ≈ 1𝑜 → {𝐴} ≼ 1𝑜)
4		1sdom2 8401	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 ≺ 2𝑜
5		domsdomtr 8337	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐴} ≼ 1𝑜 ∧ 1𝑜 ≺ 2𝑜) → {𝐴} ≺ 2𝑜)
6		sdomdom 8223	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴} ≺ 2𝑜 → {𝐴} ≼ 2𝑜)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝐴} ≼ 1𝑜 ∧ 1𝑜 ≺ 2𝑜) → {𝐴} ≼ 2𝑜)
8	3, 4, 7	sylancl 581	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴} ≈ 1𝑜 → {𝐴} ≼ 2𝑜)
9	2, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≼ 2𝑜)
10	1, 9	syl5eqbrr 4879	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐴} ≼ 2𝑜)
11		preq2 4458	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
12	11	breq1d 4853	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ({𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜 ↔ {𝐴, 𝐴} ≼ 2𝑜))
13	10, 12	syl5ibr 238	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜))
14	13	eqcoms 2807	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜))
15	14	adantrd 486	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜))
16		pr2ne 9114	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
17	16	biimprd 240	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
18		endom 8222	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜)
19	17, 18	syl6com 37	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜))
20	15, 19	pm2.61ine 3054	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  {csn 4368  {cpr 4370   class class class wbr 4843  1_𝑜c1o 7792  2_𝑜c2o 7793   ≈ cen 8192   ≼ cdom 8193   ≺ csdm 8194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-om 7300  df-1o 7799  df-2o 7800  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198

This theorem is referenced by: (None)