MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdom2 10030
Description: An unordered pair has at most two elements. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
prdom2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)

Proof of Theorem prdom2
StepHypRef Expression
1 dfsn2 4642 . . . . . 6 {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
2 ensn1g 9044 . . . . . . 7 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
3 endom 9000 . . . . . . . 8 ({𝐴} ≈ 1o → {𝐴} ≼ 1o)
4 1sdom2 9265 . . . . . . . 8 1o ≺ 2o
5 domsdomtr 9137 . . . . . . . . 9 (({𝐴} ≼ 1o ∧ 1o ≺ 2o) → {𝐴} ≺ 2o)
6 sdomdom 9001 . . . . . . . . 9 ({𝐴} ≺ 2o → {𝐴} ≼ 2o)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (({𝐴} ≼ 1o ∧ 1o ≺ 2o) → {𝐴} ≼ 2o)
83, 4, 7sylancl 585 . . . . . . 7 ({𝐴} ≈ 1o → {𝐴} ≼ 2o)
92, 8syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≼ 2o)
101, 9eqbrtrrid 5184 . . . . 5 (𝐴𝐶 → {𝐴, 𝐴} ≼ 2o)
11 preq2 4739 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
1211breq1d 5158 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → ({𝐴, 𝐵} ≼ 2o ↔ {𝐴, 𝐴} ≼ 2o))
1310, 12imbitrrid 245 . . . 4 (𝐵 = 𝐴 → (𝐴𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
1413eqcoms 2736 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
1514adantrd 491 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
16 pr2ne 10028 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o𝐴𝐵))
1716biimprd 247 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
18 endom 9000 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)
1917, 18syl6com 37 . 2 (𝐴𝐵 → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
2015, 19pm2.61ine 3022 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5148  1oc1o 8480  2oc2o 8481  cen 8961  cdom 8962  csdm 8963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator