Theorem prdom2 9962

Description: An unordered pair has at most two elements. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
prdom2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)

Proof of Theorem prdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4595	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
2		ensn1g 9003	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
3		endom 8960	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o → {𝐴} ≼ 1o)
4		1sdom2 9192	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ≺ 2o
5		domsdomtr 9084	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐴} ≼ 1o ∧ 1o ≺ 2o) → {𝐴} ≺ 2o)
6		sdomdom 8961	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴} ≺ 2o → {𝐴} ≼ 2o)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝐴} ≼ 1o ∧ 1o ≺ 2o) → {𝐴} ≼ 2o)
8	3, 4, 7	sylancl 595	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o → {𝐴} ≼ 2o)
9	2, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≼ 2o)
10	1, 9	eqbrtrrid 5136	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐴} ≼ 2o)
11		preq2 4693	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
12	11	breq1d 5110	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ({𝐴, 𝐵} ≼ 2o ↔ {𝐴, 𝐴} ≼ 2o))
13	10, 12	imbitrrid 248	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
14	13	eqcoms 2770	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
15	14	adantrd 495	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
16		pr2ne 9961	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
17	16	biimprd 250	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
18		endom 8960	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)
19	17, 18	syl6com 37	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
20	15, 19	pm2.61ine 3040	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  {csn 4582  {cpr 4584   class class class wbr 5100  1_oc1o 8430  2_oc2o 8431   ≈ cen 8924   ≼ cdom 8925   ≺ csdm 8926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930

This theorem is referenced by: (None)