MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdom2 9997
Description: An unordered pair has at most two elements. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
prdom2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)

Proof of Theorem prdom2
StepHypRef Expression
1 dfsn2 4640 . . . . . 6 {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
2 ensn1g 9015 . . . . . . 7 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
3 endom 8971 . . . . . . . 8 ({𝐴} ≈ 1o → {𝐴} ≼ 1o)
4 1sdom2 9236 . . . . . . . 8 1o ≺ 2o
5 domsdomtr 9108 . . . . . . . . 9 (({𝐴} ≼ 1o ∧ 1o ≺ 2o) → {𝐴} ≺ 2o)
6 sdomdom 8972 . . . . . . . . 9 ({𝐴} ≺ 2o → {𝐴} ≼ 2o)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (({𝐴} ≼ 1o ∧ 1o ≺ 2o) → {𝐴} ≼ 2o)
83, 4, 7sylancl 586 . . . . . . 7 ({𝐴} ≈ 1o → {𝐴} ≼ 2o)
92, 8syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≼ 2o)
101, 9eqbrtrrid 5183 . . . . 5 (𝐴𝐶 → {𝐴, 𝐴} ≼ 2o)
11 preq2 4737 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
1211breq1d 5157 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → ({𝐴, 𝐵} ≼ 2o ↔ {𝐴, 𝐴} ≼ 2o))
1310, 12imbitrrid 245 . . . 4 (𝐵 = 𝐴 → (𝐴𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
1413eqcoms 2740 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
1514adantrd 492 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
16 pr2ne 9995 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o𝐴𝐵))
1716biimprd 247 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
18 endom 8971 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)
1917, 18syl6com 37 . 2 (𝐴𝐵 → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o))
2015, 19pm2.61ine 3025 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147  1oc1o 8455  2oc2o 8456  cen 8932  cdom 8933  csdm 8934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator