MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pr2nelemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pr2nelemOLD 10000
Description: Obsolete version of enpr2 9999 as of 30-Dec-2024. (Contributed by FL, 17-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pr2nelemOLD ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem pr2nelemOLD
StepHypRef Expression
1 disjsn2 4711 . . 3 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
2 ensn1g 9021 . . . . 5 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
3 ensn1g 9021 . . . . 5 (𝐵𝐷 → {𝐵} ≈ 1o)
4 pm54.43 9998 . . . . . . 7 (({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ 1o) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ 2o))
5 df-pr 4626 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
65breq1i 5148 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ 2o)
74, 6bitr4di 289 . . . . . 6 (({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ 1o) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
87biimpd 228 . . . . 5 (({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ 1o) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
92, 3, 8syl2an 595 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
109ex 412 . . 3 (𝐴𝐶 → (𝐵𝐷 → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)))
111, 10syl7 74 . 2 (𝐴𝐶 → (𝐵𝐷 → (𝐴𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)))
12113imp 1108 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  cun 3941  cin 3942  c0 4317  {csn 4623  {cpr 4625   class class class wbr 5141  1oc1o 8460  2oc2o 8461  cen 8938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator