MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pr2nelemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pr2nelemOLD 10043
Description: Obsolete version of enpr2 10042 as of 30-Dec-2024. (Contributed by FL, 17-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pr2nelemOLD ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem pr2nelemOLD
StepHypRef Expression
1 disjsn2 4712 . . 3 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
2 ensn1g 9062 . . . . 5 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
3 ensn1g 9062 . . . . 5 (𝐵𝐷 → {𝐵} ≈ 1o)
4 pm54.43 10041 . . . . . . 7 (({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ 1o) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ 2o))
5 df-pr 4629 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
65breq1i 5150 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ 2o)
74, 6bitr4di 289 . . . . . 6 (({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ 1o) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
87biimpd 229 . . . . 5 (({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ 1o) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
92, 3, 8syl2an 596 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
109ex 412 . . 3 (𝐴𝐶 → (𝐵𝐷 → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)))
111, 10syl7 74 . 2 (𝐴𝐶 → (𝐵𝐷 → (𝐴𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)))
12113imp 1111 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cun 3949  cin 3950  c0 4333  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  1oc1o 8499  2oc2o 8500  cen 8982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator