Theorem pr2nelemOLD 9956

Description: Obsolete version of enpr2 9955 as of 30-Dec-2024. (Contributed by FL, 17-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pr2nelemOLD	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem pr2nelemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjsn2 4676	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
2		ensn1g 8993	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
3		ensn1g 8993	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → {𝐵} ≈ 1o)
4		pm54.43 9954	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ 1o) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ 2o))
5		df-pr 4592	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
6	5	breq1i 5114	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ 2o)
7	4, 6	bitr4di 289	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ 1o) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
8	7	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ 1o) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
9	2, 3, 8	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
10	9	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐷 → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)))
11	1, 10	syl7 74	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)))
12	11	3imp 1110	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913  ∅c0 4296  {csn 4589  {cpr 4591   class class class wbr 5107  1_oc1o 8427  2_oc2o 8428   ≈ cen 8915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921

This theorem is referenced by: (None)