MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pr2nelemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pr2nelemOLD 10024
Description: Obsolete version of enpr2 10023 as of 30-Dec-2024. (Contributed by FL, 17-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pr2nelemOLD ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem pr2nelemOLD
StepHypRef Expression
1 disjsn2 4712 . . 3 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
2 ensn1g 9040 . . . . 5 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
3 ensn1g 9040 . . . . 5 (𝐵𝐷 → {𝐵} ≈ 1o)
4 pm54.43 10022 . . . . . . 7 (({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ 1o) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ 2o))
5 df-pr 4627 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
65breq1i 5150 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ 2o)
74, 6bitr4di 288 . . . . . 6 (({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ 1o) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
87biimpd 228 . . . . 5 (({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ 1o) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
92, 3, 8syl2an 594 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
109ex 411 . . 3 (𝐴𝐶 → (𝐵𝐷 → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)))
111, 10syl7 74 . 2 (𝐴𝐶 → (𝐵𝐷 → (𝐴𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)))
12113imp 1108 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  cun 3938  cin 3939  c0 4318  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5143  1oc1o 8476  2oc2o 8477  cen 8957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator