Theorem snnen2oOLD 9241

Description: Obsolete version of snnen2o 9250 as of 18-Nov-2024. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2oOLD	⊢ ¬ {𝐴} ≈ 2o

Proof of Theorem snnen2oOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8657	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
2		php5 9230	. . . 4 ⊢ (1o ∈ ω → ¬ 1o ≈ suc 1o)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ 1o ≈ suc 1o
4		ensn1g 9041	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ 1o)
5		df-2o 8486	. . . . . 6 ⊢ 2o = suc 1o
6	5	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ suc 1o = 2o
7	6	breq2i 5132	. . . 4 ⊢ (1o ≈ suc 1o ↔ 1o ≈ 2o)
8		ensymb 9021	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 1o ≈ {𝐴})
9		entr 9025	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 2o) → 1o ≈ 2o)
10	9	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (1o ≈ {𝐴} → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
11	8, 10	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
12	11	con3rr3 155	. . . 4 ⊢ (¬ 1o ≈ 2o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
13	7, 12	sylnbi 330	. . 3 ⊢ (¬ 1o ≈ suc 1o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
14	3, 4, 13	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2o)
15		2on0 8501	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
16		ensymb 9021	. . . . 5 ⊢ (∅ ≈ 2o ↔ 2o ≈ ∅)
17		en0 9037	. . . . 5 ⊢ (2o ≈ ∅ ↔ 2o = ∅)
18	16, 17	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ 2o ↔ 2o = ∅)
19	15, 18	nemtbir 3029	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ≈ 2o
20		snprc 4698	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
21	20	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} = ∅)
22	21	breq1d 5134	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ({𝐴} ≈ 2o ↔ ∅ ≈ 2o))
23	19, 22	mtbiri 327	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2o)
24	14, 23	pm2.61i 182	1 ⊢ ¬ {𝐴} ≈ 2o

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464  ∅c0 4313  {csn 4606   class class class wbr 5124  suc csuc 6359  ωcom 7866  1_oc1o 8478  2_oc2o 8479   ≈ cen 8961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7867  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968

This theorem is referenced by: (None)