Theorem snnen2oOLD 9092

Description: Obsolete version of snnen2o 9102 as of 18-Nov-2024. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2oOLD	⊢ ¬ {𝐴} ≈ 2o

Proof of Theorem snnen2oOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8541	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
2		php5 9079	. . . 4 ⊢ (1o ∈ ω → ¬ 1o ≈ suc 1o)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ 1o ≈ suc 1o
4		ensn1g 8884	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ 1o)
5		df-2o 8368	. . . . . 6 ⊢ 2o = suc 1o
6	5	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ suc 1o = 2o
7	6	breq2i 5100	. . . 4 ⊢ (1o ≈ suc 1o ↔ 1o ≈ 2o)
8		ensymb 8863	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 1o ≈ {𝐴})
9		entr 8867	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 2o) → 1o ≈ 2o)
10	9	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (1o ≈ {𝐴} → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
11	8, 10	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
12	11	con3rr3 155	. . . 4 ⊢ (¬ 1o ≈ 2o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
13	7, 12	sylnbi 329	. . 3 ⊢ (¬ 1o ≈ suc 1o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
14	3, 4, 13	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2o)
15		2on0 8383	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
16		ensymb 8863	. . . . 5 ⊢ (∅ ≈ 2o ↔ 2o ≈ ∅)
17		en0 8878	. . . . 5 ⊢ (2o ≈ ∅ ↔ 2o = ∅)
18	16, 17	bitri 274	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ 2o ↔ 2o = ∅)
19	15, 18	nemtbir 3037	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ≈ 2o
20		snprc 4665	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
21	20	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} = ∅)
22	21	breq1d 5102	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ({𝐴} ≈ 2o ↔ ∅ ≈ 2o))
23	19, 22	mtbiri 326	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2o)
24	14, 23	pm2.61i 182	1 ⊢ ¬ {𝐴} ≈ 2o

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441  ∅c0 4269  {csn 4573   class class class wbr 5092  suc csuc 6304  ωcom 7780  1_oc1o 8360  2_oc2o 8361   ≈ cen 8801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-om 7781  df-1o 8367  df-2o 8368  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808

This theorem is referenced by: (None)