MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snnen2oOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snnen2oOLD 9262
Description: Obsolete version of snnen2o 9271 as of 18-Nov-2024. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
snnen2oOLD ¬ {𝐴} ≈ 2o

Proof of Theorem snnen2oOLD
StepHypRef Expression
1 1onn 8677 . . . 4 1o ∈ ω
2 php5 9249 . . . 4 (1o ∈ ω → ¬ 1o ≈ suc 1o)
31, 2ax-mp 5 . . 3 ¬ 1o ≈ suc 1o
4 ensn1g 9061 . . 3 (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ 1o)
5 df-2o 8506 . . . . . 6 2o = suc 1o
65eqcomi 2744 . . . . 5 suc 1o = 2o
76breq2i 5156 . . . 4 (1o ≈ suc 1o ↔ 1o ≈ 2o)
8 ensymb 9041 . . . . . 6 ({𝐴} ≈ 1o ↔ 1o ≈ {𝐴})
9 entr 9045 . . . . . . 7 ((1o ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 2o) → 1o ≈ 2o)
109ex 412 . . . . . 6 (1o ≈ {𝐴} → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
118, 10sylbi 217 . . . . 5 ({𝐴} ≈ 1o → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
1211con3rr3 155 . . . 4 (¬ 1o ≈ 2o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
137, 12sylnbi 330 . . 3 (¬ 1o ≈ suc 1o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
143, 4, 13mpsyl 68 . 2 (𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2o)
15 2on0 8521 . . . 4 2o ≠ ∅
16 ensymb 9041 . . . . 5 (∅ ≈ 2o ↔ 2o ≈ ∅)
17 en0 9057 . . . . 5 (2o ≈ ∅ ↔ 2o = ∅)
1816, 17bitri 275 . . . 4 (∅ ≈ 2o ↔ 2o = ∅)
1915, 18nemtbir 3036 . . 3 ¬ ∅ ≈ 2o
20 snprc 4722 . . . . 5 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
2120biimpi 216 . . . 4 𝐴 ∈ V → {𝐴} = ∅)
2221breq1d 5158 . . 3 𝐴 ∈ V → ({𝐴} ≈ 2o ↔ ∅ ≈ 2o))
2319, 22mtbiri 327 . 2 𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2o)
2414, 23pm2.61i 182 1 ¬ {𝐴} ≈ 2o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  suc csuc 6388  ωcom 7887  1oc1o 8498  2oc2o 8499  cen 8981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator