MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snnen2oOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snnen2oOLD 9264
Description: Obsolete version of snnen2o 9273 as of 18-Nov-2024. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
snnen2oOLD ¬ {𝐴} ≈ 2o

Proof of Theorem snnen2oOLD
StepHypRef Expression
1 1onn 8678 . . . 4 1o ∈ ω
2 php5 9251 . . . 4 (1o ∈ ω → ¬ 1o ≈ suc 1o)
31, 2ax-mp 5 . . 3 ¬ 1o ≈ suc 1o
4 ensn1g 9062 . . 3 (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ 1o)
5 df-2o 8507 . . . . . 6 2o = suc 1o
65eqcomi 2746 . . . . 5 suc 1o = 2o
76breq2i 5151 . . . 4 (1o ≈ suc 1o ↔ 1o ≈ 2o)
8 ensymb 9042 . . . . . 6 ({𝐴} ≈ 1o ↔ 1o ≈ {𝐴})
9 entr 9046 . . . . . . 7 ((1o ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 2o) → 1o ≈ 2o)
109ex 412 . . . . . 6 (1o ≈ {𝐴} → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
118, 10sylbi 217 . . . . 5 ({𝐴} ≈ 1o → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
1211con3rr3 155 . . . 4 (¬ 1o ≈ 2o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
137, 12sylnbi 330 . . 3 (¬ 1o ≈ suc 1o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
143, 4, 13mpsyl 68 . 2 (𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2o)
15 2on0 8522 . . . 4 2o ≠ ∅
16 ensymb 9042 . . . . 5 (∅ ≈ 2o ↔ 2o ≈ ∅)
17 en0 9058 . . . . 5 (2o ≈ ∅ ↔ 2o = ∅)
1816, 17bitri 275 . . . 4 (∅ ≈ 2o ↔ 2o = ∅)
1915, 18nemtbir 3038 . . 3 ¬ ∅ ≈ 2o
20 snprc 4717 . . . . 5 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
2120biimpi 216 . . . 4 𝐴 ∈ V → {𝐴} = ∅)
2221breq1d 5153 . . 3 𝐴 ∈ V → ({𝐴} ≈ 2o ↔ ∅ ≈ 2o))
2319, 22mtbiri 327 . 2 𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2o)
2414, 23pm2.61i 182 1 ¬ {𝐴} ≈ 2o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  suc csuc 6386  ωcom 7887  1oc1o 8499  2oc2o 8500  cen 8982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator