Theorem snfi 9017

Description: A singleton is finite. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.) (Proof shortened by BTernaryTau, 13-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
snfi	⊢ {𝐴} ∈ Fin

Proof of Theorem snfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8607	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
2		ensn1g 8996	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ 1o)
3		breq2 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1o → ({𝐴} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴} ≈ 1o))
4	3	rspcev 3591	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ {𝐴} ≈ 1o) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
5	1, 2, 4	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
6		isfi 8950	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
7	5, 6	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ Fin)
8		snprc 4684	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
9		0fi 9016	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
10		eleq1 2817	. . . 4 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ({𝐴} ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
11	9, 10	mpbiri 258	. . 3 ⊢ ({𝐴} = ∅ → {𝐴} ∈ Fin)
12	8, 11	sylbi 217	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ Fin)
13	7, 12	pm2.61i 182	1 ⊢ {𝐴} ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  Vcvv 3450  ∅c0 4299  {csn 4592   class class class wbr 5110  ωcom 7845  1_oc1o 8430   ≈ cen 8918  Fincfn 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-mo 2534  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-om 7846  df-1o 8437  df-en 8922  df-fin 8925

This theorem is referenced by:  fiprc  9019  ssfi  9143  cnvfi  9146  fnfi  9148  sucdom2  9173  fodomfi  9268  imafiOLD  9272  pwfi  9275  prfi  9281  prfiALT  9282  tpfi  9283  fodomfir  9286  unifpw  9313  snopfsupp  9349  sniffsupp  9358  ssfii  9377  cantnfp1lem1  9638  infpwfidom  9988  ficardadju  10160  ackbij1lem4  10182  ackbij1lem9  10187  ackbij1lem10  10188  fin23lem21  10299  isfin1-3  10346  axcclem  10417  zornn0g  10465  hashsng  14341  hashen1  14342  hashunsng  14364  hashunsngx  14365  hashprg  14367  hashsnlei  14390  hashxplem  14405  hashmap  14407  hashfun  14409  hashbclem  14424  hashf1lem2  14428  hashf1  14429  hash7g  14458  hash3tpexb  14466  s7f1o  14939  fsumsplitsn  15717  fsummsnunz  15727  fsumsplitsnun  15728  fsum2dlem  15743  fsumcom2  15747  ackbijnn  15801  incexclem  15809  isumltss  15821  fprod2dlem  15953  fprodcom2  15957  fprodsplitsn  15962  rexpen  16203  2ebits  16424  lcmfunsnlem2lem1  16615  lcmfunsnlem2lem2  16616  lcmfunsnlem2  16617  lcmfass  16623  phicl2  16745  ramub1lem1  17004  cshwshashnsame  17081  acsfn1  17629  acsfiindd  18519  efmnd1hash  18826  symg1hash  19327  odcau  19541  sylow2alem2  19555  gsumsnfd  19888  gsumzunsnd  19893  gsumunsnfd  19894  gsumpt  19899  ablfac1eu  20012  pgpfaclem2  20021  ablfaclem3  20026  srgbinomlem4  20145  acsfn1p  20715  uvcff  21707  psrlidm  21878  psrridm  21879  mvrcl  21908  mplsubrg  21921  mplmon  21949  mplmonmul  21950  psrbagsn  21977  psr1baslem  22076  mat1dimelbas  22365  mat1dim0  22367  mat1dimid  22368  mat1dimmul  22370  mat1dimcrng  22371  mat1f1o  22372  mat1ghm  22377  mat1mhm  22378  mat1rhm  22379  mat1scmat  22433  mvmumamul1  22448  mdetrsca  22497  mdetunilem9  22514  mdetmul  22517  pmatcoe1fsupp  22595  d1mat2pmat  22633  pmatcollpw3fi1lem1  22680  chpmat1dlem  22729  chpmat1d  22730  0cmp  23288  discmp  23292  bwth  23304  disllycmp  23392  dis1stc  23393  locfincmp  23420  dissnlocfin  23423  comppfsc  23426  1stckgenlem  23447  ptpjpre2  23474  ptopn2  23478  xkohaus  23547  xkoptsub  23548  ptcmpfi  23707  cfinufil  23822  ufinffr  23823  fin1aufil  23826  alexsubALTlem3  23943  ptcmplem5  23950  tmdgsum  23989  tsmsxplem1  24047  tsmsxplem2  24048  prdsmet  24265  imasdsf1olem  24268  prdsbl  24386  icccmplem1  24718  icccmplem2  24719  ovolsn  25403  ovolfiniun  25409  volfiniun  25455  i1f0  25595  fta1glem2  26081  fta1blem  26083  fta1lem  26222  vieta1lem2  26226  vieta1  26227  aalioulem2  26248  tayl0  26276  radcnv0  26332  wilthlem2  26986  fsumvma  27131  dchrfi  27173  cusgrfilem3  29392  eupth2eucrct  30153  trlsegvdeglem7  30162  fusgreghash2wspv  30271  ex-hash  30389  fsupprnfi  32622  ffsrn  32659  fsumiunle  32761  elrgspnlem2  33201  elrgspnlem3  33202  fply1  33534  constrfin  33743  locfinref  33838  esumcst  34060  esumsnf  34061  hasheuni  34082  rossros  34177  sibf0  34332  eulerpartlems  34358  eulerpartlemb  34366  ccatmulgnn0dir  34540  ofcccat  34541  plymulx0  34545  prodfzo03  34601  breprexp  34631  hgt750lemb  34654  hgt750leme  34656  lpadlem2  34678  derangsn  35164  onsucsuccmpi  36438  topdifinffinlem  37342  pibt2  37412  finixpnum  37606  lindsenlbs  37616  poimirlem26  37647  poimirlem27  37648  poimirlem31  37652  poimirlem32  37653  prdsbnd  37794  heiborlem3  37814  heiborlem8  37819  ismrer1  37839  reheibor  37840  pclfinN  39901  frlmvscadiccat  42501  frlmsnic  42535  selvvvval  42580  elrfi  42689  mzpcompact2lem  42746  dfac11  43058  pwslnmlem0  43087  lpirlnr  43113  mpct  45202  cnrefiisplem  45834  dvmptfprodlem  45949  dvnprodlem2  45952  stoweidlem44  46049  fourierdlem51  46162  fourierdlem80  46191  fouriersw  46236  salexct  46339  salexct3  46347  salgencntex  46348  salgensscntex  46349  sge0sn  46384  sge0tsms  46385  sge0cl  46386  sge0sup  46396  sge0iunmptlemfi  46418  sge0splitsn  46446  hoiprodp1  46593  sge0hsphoire  46594  hoidmv1le  46599  hoidmvlelem1  46600  hoidmvlelem2  46601  hoidmvlelem5  46604  hspmbllem2  46632  ovnovollem3  46663  vonvolmbl  46666  vonvol  46667  vonvol2  46669  fsummmodsnunz  47380  edgusgrclnbfin  47846  suppmptcfin  48368  lcosn0  48413  lincext2  48448  snlindsntor  48464