Theorem en1eqsnOLD 9096

Description: Obsolete version of en1eqsn 9095 as of 4-Jan-2025. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
en1eqsnOLD	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})

Proof of Theorem en1eqsnOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8501	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ ω
2		ssid 3948	. . . . . 6 ⊢ 1o ⊆ 1o
3		ssnnfi 8990	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 1o ⊆ 1o) → 1o ∈ Fin)
4	1, 2, 3	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ Fin
5		enfii 9010	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 ∈ Fin)
6	4, 5	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 1o → 𝐵 ∈ Fin)
7	6	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 ∈ Fin)
8		snssi 4747	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
9	8	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} ⊆ 𝐵)
10		ensn1g 8844	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ≈ 1o)
11		ensym 8824	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 1o → 1o ≈ 𝐵)
12		entr 8827	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≈ 𝐵) → {𝐴} ≈ 𝐵)
13	10, 11, 12	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} ≈ 𝐵)
14		fisseneq 9078	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ≈ 𝐵) → {𝐴} = 𝐵)
15	7, 9, 13, 14	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} = 𝐵)
16	15	eqcomd 2742	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3892  {csn 4565   class class class wbr 5081  ωcom 7744  1_oc1o 8321   ≈ cen 8761  Fincfn 8764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3332  df-rab 3333  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-om 7745  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768

This theorem is referenced by: (None)