Theorem en1eqsnOLD 9177

Description: Obsolete version of en1eqsn 9176 as of 4-Jan-2025. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
en1eqsnOLD	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})

Proof of Theorem en1eqsnOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8578	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ ω
2		ssid 3964	. . . . . 6 ⊢ 1o ⊆ 1o
3		ssnnfi 9071	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 1o ⊆ 1o) → 1o ∈ Fin)
4	1, 2, 3	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ Fin
5		enfii 9091	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 ∈ Fin)
6	4, 5	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 1o → 𝐵 ∈ Fin)
7	6	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 ∈ Fin)
8		snssi 4766	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
9	8	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} ⊆ 𝐵)
10		ensn1g 8921	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ≈ 1o)
11		ensym 8901	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 1o → 1o ≈ 𝐵)
12		entr 8904	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≈ 𝐵) → {𝐴} ≈ 𝐵)
13	10, 11, 12	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} ≈ 𝐵)
14		fisseneq 9159	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ≈ 𝐵) → {𝐴} = 𝐵)
15	7, 9, 13, 14	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} = 𝐵)
16	15	eqcomd 2743	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3908  {csn 4584   class class class wbr 5103  ωcom 7794  1_oc1o 8397   ≈ cen 8838  Fincfn 8841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-om 7795  df-1o 8404  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845

This theorem is referenced by: (None)