MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1eqsnOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en1eqsnOLD 9271
Description: Obsolete version of en1eqsn 9270 as of 4-Jan-2025. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
en1eqsnOLD ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})

Proof of Theorem en1eqsnOLD
StepHypRef Expression
1 1onn 8635 . . . . . 6 1o ∈ ω
2 ssid 4003 . . . . . 6 1o ⊆ 1o
3 ssnnfi 9165 . . . . . 6 ((1o ∈ ω ∧ 1o ⊆ 1o) → 1o ∈ Fin)
41, 2, 3mp2an 690 . . . . 5 1o ∈ Fin
5 enfii 9185 . . . . 5 ((1o ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 ∈ Fin)
64, 5mpan 688 . . . 4 (𝐵 ≈ 1o𝐵 ∈ Fin)
76adantl 482 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 ∈ Fin)
8 snssi 4810 . . . 4 (𝐴𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
98adantr 481 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} ⊆ 𝐵)
10 ensn1g 9015 . . . 4 (𝐴𝐵 → {𝐴} ≈ 1o)
11 ensym 8995 . . . 4 (𝐵 ≈ 1o → 1o𝐵)
12 entr 8998 . . . 4 (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o𝐵) → {𝐴} ≈ 𝐵)
1310, 11, 12syl2an 596 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} ≈ 𝐵)
14 fisseneq 9253 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ≈ 𝐵) → {𝐴} = 𝐵)
157, 9, 13, 14syl3anc 1371 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} = 𝐵)
1615eqcomd 2738 1 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147  ωcom 7851  1oc1o 8455  cen 8932  Fincfn 8935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7852  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator