Theorem en1eqsnOLD 9220

Description: Obsolete version of en1eqsn 9219 as of 4-Jan-2025. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
en1eqsnOLD	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})

Proof of Theorem en1eqsnOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8604	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ ω
2		ssid 3969	. . . . . 6 ⊢ 1o ⊆ 1o
3		ssnnfi 9133	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 1o ⊆ 1o) → 1o ∈ Fin)
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ Fin
5		enfii 9150	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 ∈ Fin)
6	4, 5	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 1o → 𝐵 ∈ Fin)
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 ∈ Fin)
8		snssi 4772	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} ⊆ 𝐵)
10		ensn1g 8993	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ≈ 1o)
11		ensym 8974	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 1o → 1o ≈ 𝐵)
12		entr 8977	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≈ 𝐵) → {𝐴} ≈ 𝐵)
13	10, 11, 12	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} ≈ 𝐵)
14		fisseneq 9204	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ≈ 𝐵) → {𝐴} = 𝐵)
15	7, 9, 13, 14	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} = 𝐵)
16	15	eqcomd 2735	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  {csn 4589   class class class wbr 5107  ωcom 7842  1_oc1o 8427   ≈ cen 8915  Fincfn 8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922

This theorem is referenced by: (None)