MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1eqsnOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en1eqsnOLD 9177
Description: Obsolete version of en1eqsn 9176 as of 4-Jan-2025. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
en1eqsnOLD ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})

Proof of Theorem en1eqsnOLD
StepHypRef Expression
1 1onn 8578 . . . . . 6 1o ∈ ω
2 ssid 3964 . . . . . 6 1o ⊆ 1o
3 ssnnfi 9071 . . . . . 6 ((1o ∈ ω ∧ 1o ⊆ 1o) → 1o ∈ Fin)
41, 2, 3mp2an 690 . . . . 5 1o ∈ Fin
5 enfii 9091 . . . . 5 ((1o ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 ∈ Fin)
64, 5mpan 688 . . . 4 (𝐵 ≈ 1o𝐵 ∈ Fin)
76adantl 482 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 ∈ Fin)
8 snssi 4766 . . . 4 (𝐴𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
98adantr 481 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} ⊆ 𝐵)
10 ensn1g 8921 . . . 4 (𝐴𝐵 → {𝐴} ≈ 1o)
11 ensym 8901 . . . 4 (𝐵 ≈ 1o → 1o𝐵)
12 entr 8904 . . . 4 (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o𝐵) → {𝐴} ≈ 𝐵)
1310, 11, 12syl2an 596 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} ≈ 𝐵)
14 fisseneq 9159 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ≈ 𝐵) → {𝐴} = 𝐵)
157, 9, 13, 14syl3anc 1371 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} = 𝐵)
1615eqcomd 2743 1 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3908  {csn 4584   class class class wbr 5103  ωcom 7794  1oc1o 8397  cen 8838  Fincfn 8841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-om 7795  df-1o 8404  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator