Theorem en1eqsnOLD 9271

Description: Obsolete version of en1eqsn 9270 as of 4-Jan-2025. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
en1eqsnOLD	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})

Proof of Theorem en1eqsnOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8635	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ ω
2		ssid 4003	. . . . . 6 ⊢ 1o ⊆ 1o
3		ssnnfi 9165	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 1o ⊆ 1o) → 1o ∈ Fin)
4	1, 2, 3	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ Fin
5		enfii 9185	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 ∈ Fin)
6	4, 5	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 1o → 𝐵 ∈ Fin)
7	6	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 ∈ Fin)
8		snssi 4810	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
9	8	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} ⊆ 𝐵)
10		ensn1g 9015	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ≈ 1o)
11		ensym 8995	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 1o → 1o ≈ 𝐵)
12		entr 8998	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≈ 𝐵) → {𝐴} ≈ 𝐵)
13	10, 11, 12	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} ≈ 𝐵)
14		fisseneq 9253	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ≈ 𝐵) → {𝐴} = 𝐵)
15	7, 9, 13, 14	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} = 𝐵)
16	15	eqcomd 2738	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147  ωcom 7851  1_oc1o 8455   ≈ cen 8932  Fincfn 8935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7852  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939

This theorem is referenced by: (None)