Theorem dju1en 10210

Description: Cardinal addition with cardinal one (which is the same as ordinal one). Used in proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dju1en	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem dju1en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 9023	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
3		ensn1g 9061	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
4	3	ensymd 9044	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 1o ≈ {𝐴})
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → 1o ≈ {𝐴})
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
7		disjsn 4716	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
9		djuenun 10209	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 1o ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
10	2, 5, 8, 9	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
11		df-suc 6392	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
12	10, 11	breqtrrdi 5190	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ suc 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962  ∅c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  suc csuc 6388  1_oc1o 8498   ≈ cen 8981   ⊔ cdju 9936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dju 9939

This theorem is referenced by:  dju1p1e2ALT  10213  nnadju  10236  pwsdompw  10241