Theorem dju1en 10274

Description: Cardinal addition with cardinal one (which is the same as ordinal one). Used in proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dju1en	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem dju1en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 9036	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
3		ensn1g 9074	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
4	3	ensymd 9057	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 1o ≈ {𝐴})
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → 1o ≈ {𝐴})
6		disjsn 4672	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
7	6	bilanri 512	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
8		djuenun 10273	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 1o ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
9	2, 5, 7, 8	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
10		df-suc 6383	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
11	9, 10	breqtrrdi 5150	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ suc 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5106  suc csuc 6379  1_oc1o 8494   ≈ cen 8995   ⊔ cdju 10003

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6380  df-on 6381  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dju 10006

This theorem is used by:  dju1p1e2ALT  10277  nnadju  10300  pwsdompw  10305