Theorem dju1en 10125

Description: Cardinal addition with cardinal one (which is the same as ordinal one). Used in proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dju1en	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem dju1en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8955	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
3		ensn1g 8993	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
4	3	ensymd 8976	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 1o ≈ {𝐴})
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → 1o ≈ {𝐴})
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
7		disjsn 4675	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
9		djuenun 10124	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 1o ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
10	2, 5, 8, 9	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
11		df-suc 6338	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
12	10, 11	breqtrrdi 5149	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ suc 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913  ∅c0 4296  {csn 4589   class class class wbr 5107  suc csuc 6334  1_oc1o 8427   ≈ cen 8915   ⊔ cdju 9851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dju 9854

This theorem is referenced by:  dju1p1e2ALT  10128  nnadju  10151  pwsdompw  10156