Theorem dju1en 10163

Description: Cardinal addition with cardinal one (which is the same as ordinal one). Used in proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dju1en	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem dju1en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8977	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
3		ensn1g 9016	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
4	3	ensymd 8998	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 1o ≈ {𝐴})
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → 1o ≈ {𝐴})
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
7		disjsn 4708	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
9		djuenun 10162	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 1o ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
10	2, 5, 8, 9	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
11		df-suc 6361	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
12	10, 11	breqtrrdi 5181	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ suc 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3939   ∩ cin 3940  ∅c0 4315  {csn 4621   class class class wbr 5139  suc csuc 6357  1_oc1o 8455   ≈ cen 8933   ⊔ cdju 9890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dju 9893

This theorem is referenced by:  dju1p1e2ALT  10166  nnadju  10189  pwsdompw  10196