MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dju1en Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dju1en 10115
Description: Cardinal addition with cardinal one (which is the same as ordinal one). Used in proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
dju1en ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem dju1en
StepHypRef Expression
1 enrefg 8930 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴𝐴)
21adantr 482 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴𝐴) → 𝐴𝐴)
3 ensn1g 8969 . . . . 5 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
43ensymd 8951 . . . 4 (𝐴𝑉 → 1o ≈ {𝐴})
54adantr 482 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴𝐴) → 1o ≈ {𝐴})
6 simpr 486 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴𝐴) → ¬ 𝐴𝐴)
7 disjsn 4676 . . . 4 ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴𝐴)
86, 7sylibr 233 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴𝐴) → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
9 djuenun 10114 . . 3 ((𝐴𝐴 ∧ 1o ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
102, 5, 8, 9syl3anc 1372 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
11 df-suc 6327 . 2 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
1210, 11breqtrrdi 5151 1 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3912  cin 3913  c0 4286  {csn 4590   class class class wbr 5109  suc csuc 6323  1oc1o 8409  cen 8886  cdju 9842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dju 9845
This theorem is referenced by:  dju1p1e2ALT  10118  nnadju  10141  pwsdompw  10148
  Copyright terms: Public domain W3C validator