Theorem eq0rdv 4366

Description: Deduction for equality to the empty set. (Contributed by NM, 11-Jul-2014.) Avoid ax-8 2111, df-clel 2803. (Revised by GG, 6-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
eq0rdv.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
eq0rdv	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eq0rdv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0rdv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
2	1	alrimiv 1927	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
3		dfnul4 4294	. . . 4 ⊢ ∅ = {𝑦 ∣ ⊥}
4	3	eqeq2i 2742	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ 𝐴 = {𝑦 ∣ ⊥})
5		dfcleq 2722	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑦 ∣ ⊥} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ {𝑦 ∣ ⊥}))
6		df-clab 2708	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∣ ⊥} ↔ [𝑥 / 𝑦]⊥)
7		sbv 2089	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑥 / 𝑦]⊥ ↔ ⊥)
8	6, 7	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∣ ⊥} ↔ ⊥)
9	8	bibi2i 337	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ {𝑦 ∣ ⊥}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ⊥))
10	9	albii 1819	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ {𝑦 ∣ ⊥}) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ⊥))
11		nbfal 1555	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ⊥))
12	11	bicomi 224	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ⊥) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
13	12	albii 1819	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ⊥) ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
14	10, 13	bitri 275	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ {𝑦 ∣ ⊥}) ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
15	4, 5, 14	3bitrri 298	. 2 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)
16	2, 15	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1538   = wceq 1540  ⊥wfal 1552  [wsb 2065   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∅c0 4292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-dif 3914  df-nul 4293

This theorem is referenced by:  map0b  8833  disjen  9075  mapdom1  9083  pwxpndom2  10594  fzdisj  13488  smu01lem  16431  prmreclem5  16867  vdwap0  16923  natfval  17887  fucbas  17901  fuchom  17902  coafval  18002  efgval  19623  lsppratlem6  21038  lbsextlem4  21047  psrvscafval  21833  cfinufil  23791  ufinffr  23792  fin1aufil  23795  bldisj  24262  reconnlem1  24691  pcofval  24886  bcthlem5  25204  volfiniun  25424  fta1g  26051  fta1  26192  rpvmasum  27413  0ringprmidl  33393  0ringmon1p  33499  0ringirng  33657  unblimceq0  36468  bj-ab0  36869  bj-projval  36957  finxpnom  37362  ipo0  44411  ifr0  44412  limclner  45622  iineq0  48781