Theorem eq0rdv 4143

Description: Deduction for equality to the empty set. (Contributed by NM, 11-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eq0rdv.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
eq0rdv	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eq0rdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0rdv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
2	1	pm2.21d 119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ∅))
3	2	ssrdv 3769	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∅)
4		ss0 4138	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ⊆ wss 3734  ∅c0 4081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-ext 2743

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-v 3352  df-dif 3737  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082

This theorem is referenced by:  map0b  8102  disjen  8326  mapdom1  8334  pwxpndom2  9742  fzdisj  12578  smu01lem  15491  prmreclem5  15906  vdwap0  15962  natfval  16874  fucbas  16888  fuchom  16889  coafval  16982  efgval  18397  lsppratlem6  19429  lbsextlem4  19438  psrvscafval  19667  cfinufil  22014  ufinffr  22015  fin1aufil  22018  bldisj  22485  reconnlem1  22911  pcofval  23091  bcthlem5  23408  volfiniun  23608  fta1g  24221  fta1  24357  rpvmasum  25509  bj-projval  33414  finxpnom  33674  ipo0  39328  ifr0  39329  limclner  40524