Theorem eq0rdv 4356

Description: Deduction for equality to the empty set. (Contributed by NM, 11-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eq0rdv.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
eq0rdv	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eq0rdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0rdv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
2	1	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ∅))
3	2	ssrdv 3972	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∅)
4		ss0 4351	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-dif 3938  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291

This theorem is referenced by:  map0b  8441  disjen  8668  mapdom1  8676  pwxpndom2  10081  fzdisj  12928  smu01lem  15828  prmreclem5  16250  vdwap0  16306  natfval  17210  fucbas  17224  fuchom  17225  coafval  17318  efgval  18837  lsppratlem6  19918  lbsextlem4  19927  psrvscafval  20164  cfinufil  22530  ufinffr  22531  fin1aufil  22534  bldisj  23002  reconnlem1  23428  pcofval  23608  bcthlem5  23925  volfiniun  24142  fta1g  24755  fta1  24891  rpvmasum  26096  unblimceq0  33841  bj-projval  34303  finxpnom  34676  ipo0  40774  ifr0  40775  limclner  41925