Theorem fuchomOLD 17595

Description: Obsolete proof of fuchom 17594 as of 14-Oct-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucbas.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fuchom.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fuchomOLD	⊢ 𝑁 = (Hom ‘𝑄)

Proof of Theorem fuchomOLD

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 ℎ 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fucbas.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) = (𝐶 Func 𝐷)
3		fuchom.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
6		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐶 ∈ Cat)
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐷 ∈ Cat)
8		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝑄) = (comp‘𝑄)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	fuccofval 17592	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (comp‘𝑄) = (𝑣 ∈ ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)), ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ⦋(1st ‘𝑣) / 𝑓⦌⦋(2nd ‘𝑣) / 𝑔⦌(𝑏 ∈ (𝑔𝑁ℎ), 𝑎 ∈ (𝑓𝑁𝑔) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ ((𝑏‘𝑥)(⟨((1st ‘𝑓)‘𝑥), ((1st ‘𝑔)‘𝑥)⟩(comp‘𝐷)((1st ‘ℎ)‘𝑥))(𝑎‘𝑥))))))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	fucval 17591	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑄 = {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝑁⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩})
11		catstr 17590	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝑁⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩} Struct ⟨1, ;15⟩
12		homid 17041	. . . 4 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
13		snsstp2 4747	. . . 4 ⊢ {⟨(Hom ‘ndx), 𝑁⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝑁⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩}
14	3	ovexi 7289	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 ∈ V)
16		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝑄) = (Hom ‘𝑄)
17	10, 11, 12, 13, 15, 16	strfv3 16834	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (Hom ‘𝑄) = 𝑁)
18	17	eqcomd 2744	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 = (Hom ‘𝑄))
19		df-hom 16912	. . . 4 ⊢ Hom = Slot ;14
20	19	str0 16818	. . 3 ⊢ ∅ = (Hom ‘∅)
21	3	natffn 17581	. . . . 5 ⊢ 𝑁 Fn ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷))
22		funcrcl 17494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
23	22	con3i 154	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
24	23	eq0rdv 4335	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) = ∅)
25	24	xpeq2d 5610	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)) = ((𝐶 Func 𝐷) × ∅))
26		xp0 6050	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 Func 𝐷) × ∅) = ∅
27	25, 26	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)) = ∅)
28	27	fneq2d 6511	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝑁 Fn ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)) ↔ 𝑁 Fn ∅))
29	21, 28	mpbii 232	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 Fn ∅)
30		fn0 6548	. . . 4 ⊢ (𝑁 Fn ∅ ↔ 𝑁 = ∅)
31	29, 30	sylib 217	. . 3 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 = ∅)
32		fnfuc 17577	. . . . . . 7 ⊢ FuncCat Fn (Cat × Cat)
33	32	fndmi 6521	. . . . . 6 ⊢ dom FuncCat = (Cat × Cat)
34	33	ndmov 7434	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 FuncCat 𝐷) = ∅)
35	1, 34	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑄 = ∅)
36	35	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (Hom ‘𝑄) = (Hom ‘∅))
37	20, 31, 36	3eqtr4a 2805	. 2 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 = (Hom ‘𝑄))
38	18, 37	pm2.61i 182	1 ⊢ 𝑁 = (Hom ‘𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∅c0 4253  {ctp 4562  ⟨cop 4564   × cxp 5578   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803  4c4 11960  5c5 11961  ;cdc 12366  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  Hom chom 16899  compcco 16900  Catccat 17290   Func cfunc 17485   Nat cnat 17573   FuncCat cfuc 17574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-hom 16912  df-cco 16913  df-func 17489  df-nat 17575  df-fuc 17576

This theorem is referenced by: (None)