Theorem fuchomOLD 18031

Description: Obsolete proof of fuchom 18030 as of 14-Oct-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucbas.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fuchom.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fuchomOLD	⊢ 𝑁 = (Hom ‘𝑄)

Proof of Theorem fuchomOLD

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 ℎ 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fucbas.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) = (𝐶 Func 𝐷)
3		fuchom.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
4		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
6		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐶 ∈ Cat)
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐷 ∈ Cat)
8		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝑄) = (comp‘𝑄)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	fuccofval 18028	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (comp‘𝑄) = (𝑣 ∈ ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)), ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ⦋(1st ‘𝑣) / 𝑓⦌⦋(2nd ‘𝑣) / 𝑔⦌(𝑏 ∈ (𝑔𝑁ℎ), 𝑎 ∈ (𝑓𝑁𝑔) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ ((𝑏‘𝑥)(⟨((1st ‘𝑓)‘𝑥), ((1st ‘𝑔)‘𝑥)⟩(comp‘𝐷)((1st ‘ℎ)‘𝑥))(𝑎‘𝑥))))))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	fucval 18027	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑄 = {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝑁⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩})
11		catstr 18026	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝑁⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩} Struct ⟨1, ;15⟩
12		homid 17471	. . . 4 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
13		snsstp2 4842	. . . 4 ⊢ {⟨(Hom ‘ndx), 𝑁⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝑁⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩}
14	3	ovexi 7482	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 ∈ V)
16		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝑄) = (Hom ‘𝑄)
17	10, 11, 12, 13, 15, 16	strfv3 17252	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (Hom ‘𝑄) = 𝑁)
18	17	eqcomd 2746	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 = (Hom ‘𝑄))
19		df-hom 17335	. . . 4 ⊢ Hom = Slot ;14
20	19	str0 17236	. . 3 ⊢ ∅ = (Hom ‘∅)
21	3	natffn 18017	. . . . 5 ⊢ 𝑁 Fn ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷))
22		funcrcl 17927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
23	22	con3i 154	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
24	23	eq0rdv 4430	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) = ∅)
25	24	xpeq2d 5730	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)) = ((𝐶 Func 𝐷) × ∅))
26		xp0 6189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 Func 𝐷) × ∅) = ∅
27	25, 26	eqtrdi 2796	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)) = ∅)
28	27	fneq2d 6673	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝑁 Fn ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)) ↔ 𝑁 Fn ∅))
29	21, 28	mpbii 233	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 Fn ∅)
30		fn0 6711	. . . 4 ⊢ (𝑁 Fn ∅ ↔ 𝑁 = ∅)
31	29, 30	sylib 218	. . 3 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 = ∅)
32		fnfuc 18013	. . . . . . 7 ⊢ FuncCat Fn (Cat × Cat)
33	32	fndmi 6683	. . . . . 6 ⊢ dom FuncCat = (Cat × Cat)
34	33	ndmov 7634	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 FuncCat 𝐷) = ∅)
35	1, 34	eqtrid 2792	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑄 = ∅)
36	35	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (Hom ‘𝑄) = (Hom ‘∅))
37	20, 31, 36	3eqtr4a 2806	. 2 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 = (Hom ‘𝑄))
38	18, 37	pm2.61i 182	1 ⊢ 𝑁 = (Hom ‘𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ∅c0 4352  {ctp 4652  ⟨cop 4654   × cxp 5698   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1c1 11185  4c4 12350  5c5 12351  ;cdc 12758  ndxcnx 17240  Basecbs 17258  Hom chom 17322  compcco 17323  Catccat 17722   Func cfunc 17918   Nat cnat 18009   FuncCat cfuc 18010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-hom 17335  df-cco 17336  df-func 17922  df-nat 18011  df-fuc 18012

This theorem is referenced by: (None)