limclner - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem limclner 45628

Description: For a limit point, both from the left and from the right, of the domain, the limit of the function exits only if the left and the right limits are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
limclner.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂ_fld)
limclner.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limclner.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limclner.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limclner.blp1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
limclner.blp2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
limclner.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
limclner.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵))
limclner.lner	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
limclner	⊢ (𝜑 → (𝐹 lim_ℂ 𝐵) = ∅)

Proof of Theorem limclner Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑣 𝑧 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 25826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵) ⊆ ℂ
2		limclner.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵))
3	1, 2	sselid 3956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝑅 ∈ ℂ)
5		limccl 25826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ⊆ ℂ
6		limclner.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
7	5, 6	sselid 3956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝐿 ∈ ℂ)
9	4, 8	subcld 11592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑅 − 𝐿) ∈ ℂ)
10		limclner.lner	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 𝑅)
11	10	necomd 2987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 𝐿)
12	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝑅 ≠ 𝐿)
13	4, 8, 12	subne0d 11601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑅 − 𝐿) ≠ 0)
14	9, 13	absrpcld 15465	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ⁺)
15		4re 12322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
16		4pos 12345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
17	15, 16	elrpii 13009	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ⁺
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 4 ∈ ℝ⁺)
19	14, 18	rpdivcld 13066	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺)
20		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ)
21		nfra1 3266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)
22	20, 21	nfan 1899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
23		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))
24	22, 23	nfim 1896	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))
25		ovex 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ V
26		eleq1 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → (𝑦 ∈ ℝ⁺ ↔ ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺))
27		oveq2 7411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → (4 · 𝑦) = (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))
28	27	breq2d 5131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦) ↔ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))
29	28	2rexbidv 3206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))
30	26, 29	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → ((𝑦 ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)) ↔ (((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))))
31	30	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))))
32		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
33		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
34		rspa 3231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
35	34	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
36		limclner.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
37		fresin 6746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
39		inss2 4213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ (𝐵(,)+∞)
40		ioosscn 13423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℂ
41	39, 40	sstri 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ)
43		limclner.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
44		retop 24698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
45	43, 44	eqeltri 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝐽 ∈ Top
46		inss2 4213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
47		ioossre 13422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
48	46, 47	sstri 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
49		uniretop 24699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
50	43	unieqi 4895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
51	49, 50	eqtr4i 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
52	51	lpss 23078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ)
53	45, 48, 52	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ
54		limclner.blp1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
55	53, 54	sselid 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
56	55	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
57	38, 42, 56	ellimc3 25830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))))
58	2, 57	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)))
59	58	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
60	59	r19.21bi 3234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
61	60	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
62		simp11l 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝜑)
63		simp12 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ⁺)
64		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℝ⁺)
65		breq2 5123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑢 = if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)))
66	65	rexbidv 3164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑢 = if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)))
67		inss1 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
69		limclner.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂ_fld)
70	69	cnfldtop 24720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 𝐾 ∈ Top
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
72		ax-resscn 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
74		ioossre 13422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ
75	39, 74	sstri 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ)
77		unicntop 24722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)
78	69	unieqi 4895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)
79	77, 78	eqtr4i 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
80	69	tgioo2 24740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐾 ↾_t ℝ)
81	43, 80	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾_t ℝ)
82	79, 81	restlp 23119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ))
83	71, 73, 76, 82	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ))
84	69	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = 𝐾
85	84	fveq2i 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld)) = (limPt‘𝐾)
86	85	fveq1i 6876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
88	68, 83, 87	3sstr4d 4014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ⊆ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
89		limclner.blp2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
90	88, 89	sseldd 3959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
91	42, 56	islpcn 45616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢))
92	90, 91	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢)
93	92	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢)
94		ifcl 4546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ⁺)
95	94	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ⁺)
96	66, 93, 95	rspcdva 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣))
97		eldifi 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
98	75, 97	sselid 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ ℝ)
99	73	sselda 3958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℂ)
100	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
101	99, 100	subcld 11592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑏 − 𝐵) ∈ ℂ)
102	101	abscld 15453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ∈ ℝ)
103	102	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ∈ ℝ)
104	103	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ∈ ℝ)
105	95	rpred 13049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
106	105	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
107		rpre 13015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → 𝑧 ∈ ℝ)
108	107	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → 𝑧 ∈ ℝ)
109	108	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ)
110		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣))
111		rpre 13015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ⁺ → 𝑣 ∈ ℝ)
112		min1 13203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
113	107, 111, 112	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
114	113	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
115	114	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
116	104, 106, 109, 110, 115	ltletrd 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧)
117	111	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → 𝑣 ∈ ℝ)
118	117	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
119	109, 118	min2d 45448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
120	104, 106, 118, 110, 119	ltletrd 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)
121	116, 120	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
122	121	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)))
123	98, 122	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)))
124	123	reximdva 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)))
125	96, 124	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
126	62, 63, 64, 125	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
127		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
128		nfre1 3267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑏∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
129	97	elin1d 4179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ 𝐴)
130	129	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏 ∈ 𝐴)
131		simp113 1305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
132		eldifsni 4766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ≠ 𝐵)
133	132	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏 ≠ 𝐵)
134		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧)
135	133, 134	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧))
136	135	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧))
137		neeq1 2994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 ≠ 𝐵 ↔ 𝑏 ≠ 𝐵))
138		fvoveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (abs‘(𝑤 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵)))
139	138	breq1d 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧))
140	137, 139	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) ↔ (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧)))
141	140	imbrov2fvoveq 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)))
142	141	rspcva 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦))
143	142	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
144	130, 131, 136, 143	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
145	97	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
146	62	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝜑)
147		simp13 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
148		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
149		nfra1 3266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
150	148, 149	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
151		elinel2 4177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → 𝑤 ∈ (𝐵(,)+∞))
152	151	fvresd 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) = (𝐹‘𝑤))
153	152	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹‘𝑤) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤))
154	153	fvoveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)))
155	154	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)))
156		rspa 3231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
157	156	3impia 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
158	157	3adant1l 1177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
159	155, 158	eqbrtrd 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
160	159	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)))
161	150, 160	ralrimi 3240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
162	146, 147, 161	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
163	132	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
164	163	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
165	164	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
166	138	breq1d 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
167	137, 166	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) ↔ (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)))
168	167	imbrov2fvoveq 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ↔ ((𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
169	168	rspcva 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
170	169	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
171	145, 162, 165, 170	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
172		rspe 3232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
173	130, 144, 171, 172	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
174	173	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → (((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
175	127, 128, 174	rexlimd 3249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
176	126, 175	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
177	176	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑣 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
178	177	rexlimdv 3139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
179	61, 178	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
180	179	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (𝑧 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
181	180	rexlimdv 3139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
182	181	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
183	182	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
184	183	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
185	3	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑅 ∈ ℂ)
186	7	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝐿 ∈ ℂ)
187	185, 186	subcld 11592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑅 − 𝐿) ∈ ℂ)
188	187	abscld 15453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ)
189		simp-6l 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝜑)
190		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑏 ∈ 𝐴)
191	36	ffvelcdmda 7073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
192	189, 190, 191	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
193	185, 192	subcld 11592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑅 − (𝐹‘𝑏)) ∈ ℂ)
194	193	abscld 15453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) ∈ ℝ)
195		simp-6r 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
196	192, 195	subcld 11592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝐹‘𝑏) − 𝑥) ∈ ℂ)
197	196	abscld 15453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) ∈ ℝ)
198	194, 197	readdcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) ∈ ℝ)
199		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑎 ∈ 𝐴)
200	36	ffvelcdmda 7073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
201	189, 199, 200	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
202	195, 201	subcld 11592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑥 − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ)
203	202	abscld 15453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℝ)
204	198, 203	readdcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ)
205	201, 186	subcld 11592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝐹‘𝑎) − 𝐿) ∈ ℂ)
206	205	abscld 15453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) ∈ ℝ)
207	204, 206	readdcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎)))) + (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿))) ∈ ℝ)
208	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 4 ∈ ℝ)
209		rpre 13015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 𝑦 ∈ ℝ)
210	209	ad5antlr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
211	208, 210	remulcld 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (4 · 𝑦) ∈ ℝ)
212	185, 192, 195, 201, 186	absnpncan3d 45284	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ≤ ((((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎)))) + (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿))))
213	185, 192	abssubd 15470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) = (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)))
214		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
215	213, 214	eqbrtrd 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) < 𝑦)
216		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
217		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
218	200	ad5ant14 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
219	218	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
220	217, 219	abssubd 15470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎))) = (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)))
221		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
222	220, 221	eqbrtrd 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎))) < 𝑦)
223	222	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎))) < 𝑦)
224		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
225	224	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
226	194, 197, 203, 206, 210, 215, 216, 223, 225	lt4addmuld 45283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎)))) + (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿))) < (4 · 𝑦))
227	188, 207, 211, 212, 226	lelttrd 11391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))
228	227	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)))
229	228	adantl3r 750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)))
230	229	reximdva 3153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)))
231	184, 230	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))
232		fresin 6746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
233	36, 232	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
234		ioosscn 13423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (-∞(,)𝐵) ⊆ ℂ
235	46, 234	sstri 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ
236	235	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ)
237	233, 236, 56	ellimc3 25830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))))
238	6, 237	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)))
239	238	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
240	239	r19.21bi 3234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
241	240	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
242		simp11l 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝜑)
243		simp12 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ⁺)
244		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℝ⁺)
245		breq2 5123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑢 = if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)))
246	245	rexbidv 3164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 = if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢 ↔ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)))
247		inss1 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
248	247	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
249	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
250	79, 81	restlp 23119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ))
251	71, 73, 249, 250	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ))
252	85	fveq1i 6876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
253	252	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
254	248, 251, 253	3sstr4d 4014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
255	254, 54	sseldd 3959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
256	236, 56	islpcn 45616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢))
257	255, 256	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢)
258	257	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢)
259	246, 258, 95	rspcdva 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣))
260		eldifi 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
261	48, 260	sselid 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ ℝ)
262	73	sselda 3958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
263	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
264	262, 263	subcld 11592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑎 − 𝐵) ∈ ℂ)
265	264	abscld 15453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) ∈ ℝ)
266	265	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) ∈ ℝ)
267	266	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) ∈ ℝ)
268	105	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
269	108	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ)
270		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣))
271	114	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
272	267, 268, 269, 270, 271	ltletrd 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧)
273	117	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
274		min2 13204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
275	107, 111, 274	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
276	275	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
277	276	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
278	267, 268, 273, 270, 277	ltletrd 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)
279	272, 278	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
280	279	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)))
281	261, 280	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)))
282	281	reximdva 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)))
283	259, 282	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
284	242, 243, 244, 283	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
285		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑎(((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
286		nfre1 3267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑎∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
287	260	elin1d 4179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ 𝐴)
288	287	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎 ∈ 𝐴)
289		simp113 1305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
290		eldifsni 4766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ≠ 𝐵)
291	290	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎 ≠ 𝐵)
292		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧)
293	291, 292	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧))
294	293	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧))
295		neeq1 2994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (𝑤 ≠ 𝐵 ↔ 𝑎 ≠ 𝐵))
296		fvoveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (abs‘(𝑤 − 𝐵)) = (abs‘(𝑎 − 𝐵)))
297	296	breq1d 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧))
298	295, 297	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) ↔ (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧)))
299	298	imbrov2fvoveq 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)))
300	299	rspcva 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦))
301	300	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
302	288, 289, 294, 301	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
303	260	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
304	242	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝜑)
305		simp13 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
306		nfra1 3266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
307	148, 306	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
308		elinel2 4177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑤 ∈ (-∞(,)𝐵))
309	308	fvresd 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) = (𝐹‘𝑤))
310	309	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑤) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤))
311	310	fvoveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)))
312	311	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)))
313		rspa 3231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
314	313	3impia 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
315	314	3adant1l 1177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
316	312, 315	eqbrtrd 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
317	316	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)))
318	307, 317	ralrimi 3240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
319	304, 305, 318	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
320	290	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
321	320	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
322	321	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
323	296	breq1d 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
324	295, 323	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) ↔ (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)))
325	324	imbrov2fvoveq 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ↔ ((𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
326	325	rspcva 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ((𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
327	326	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
328	303, 319, 322, 327	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
329		rspe 3232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
330	288, 302, 328, 329	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
331	330	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → (((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
332	285, 286, 331	rexlimd 3249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
333	284, 332	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
334	333	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑣 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
335	334	rexlimdv 3139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
336	241, 335	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
337	336	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (𝑧 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
338	337	rexlimdv 3139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
339	338	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
340	339	adantllr 719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
341	231, 340	reximddv3 3157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))
342	32, 33, 35, 341	syl21anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))
343	342	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)))
344	24, 25, 31, 343	vtoclf 3543	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))
345	19, 344	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))
346		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))
347		abssubrp 45252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ≠ 𝐿) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ⁺)
348	3, 7, 11, 347	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ⁺)
349	348	rpcnd 13051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℂ)
350	349	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℂ)
351		4cn 12323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℂ
352	351	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → 4 ∈ ℂ)
353		4ne0 12346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ≠ 0
354	353	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → 4 ≠ 0)
355	350, 352, 354	divcan2d 12017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) = (abs‘(𝑅 − 𝐿)))
356	346, 355	breqtrd 5145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))
357	356	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿))))
358	357	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))))
359	358	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))))
360	359	rexlimdvv 3197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿))))
361	345, 360	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))
362	9	abscld 15453	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ)
363	362	ltnrd 11367	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ¬ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))
364	361, 363	pm2.65da 816	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
365	364	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
366		imnan 399	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
367	365, 366	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
368		limclner.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
369	368, 73	sstrd 3969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
370	36, 369, 56	ellimc3 25830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))))
371	367, 370	mtbird 325	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
372	371	eq0rdv 4382	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 lim_ℂ 𝐵) = ∅)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2932 ∀wral 3051 ∃wrex 3060 ∖ cdif 3923 ∩ cin 3925 ⊆ wss 3926 ∅c0 4308 ifcif 4500 {csn 4601 ∪ cuni 4883 class class class wbr 5119 ran crn 5655 ↾ cres 5656 ⟶wf 6526 ‘cfv 6530 (class class class)co 7403 ℂcc 11125 ℝcr 11126 0cc0 11127 + caddc 11130 · cmul 11132 +∞cpnf 11264 -∞cmnf 11265 < clt 11267 ≤ cle 11268 − cmin 11464 / cdiv 11892 4c4 12295 ℝ⁺crp 13006 (,)cioo 13360 abscabs 15251 ↾_t crest 17432 TopOpenctopn 17433 topGenctg 17449 ℂ_fldccnfld 21313 Topctop 22829 limPtclp 23070 lim_ℂ climc 25813

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2707 ax-rep 5249 ax-sep 5266 ax-nul 5276 ax-pow 5335 ax-pr 5402 ax-un 7727 ax-cnex 11183 ax-resscn 11184 ax-1cn 11185 ax-icn 11186 ax-addcl 11187 ax-addrcl 11188 ax-mulcl 11189 ax-mulrcl 11190 ax-mulcom 11191 ax-addass 11192 ax-mulass 11193 ax-distr 11194 ax-i2m1 11195 ax-1ne0 11196 ax-1rid 11197 ax-rnegex 11198 ax-rrecex 11199 ax-cnre 11200 ax-pre-lttri 11201 ax-pre-lttrn 11202 ax-pre-ltadd 11203 ax-pre-mulgt0 11204 ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2727 df-clel 2809 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3359 df-reu 3360 df-rab 3416 df-v 3461 df-sbc 3766 df-csb 3875 df-dif 3929 df-un 3931 df-in 3933 df-ss 3943 df-pss 3946 df-nul 4309 df-if 4501 df-pw 4577 df-sn 4602 df-pr 4604 df-tp 4606 df-op 4608 df-uni 4884 df-int 4923 df-iun 4969 df-iin 4970 df-br 5120 df-opab 5182 df-mpt 5202 df-tr 5230 df-id 5548 df-eprel 5553 df-po 5561 df-so 5562 df-fr 5606 df-we 5608 df-xp 5660 df-rel 5661 df-cnv 5662 df-co 5663 df-dm 5664 df-rn 5665 df-res 5666 df-ima 5667 df-pred 6290 df-ord 6355 df-on 6356 df-lim 6357 df-suc 6358 df-iota 6483 df-fun 6532 df-fn 6533 df-f 6534 df-f1 6535 df-fo 6536 df-f1o 6537 df-fv 6538 df-riota 7360 df-ov 7406 df-oprab 7407 df-mpo 7408 df-om 7860 df-1st 7986 df-2nd 7987 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8383 df-rdg 8422 df-1o 8478 df-er 8717 df-map 8840 df-pm 8841 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-fin 8961 df-fi 9421 df-sup 9452 df-inf 9453 df-pnf 11269 df-mnf 11270 df-xr 11271 df-ltxr 11272 df-le 11273 df-sub 11466 df-neg 11467 df-div 11893 df-nn 12239 df-2 12301 df-3 12302 df-4 12303 df-5 12304 df-6 12305 df-7 12306 df-8 12307 df-9 12308 df-n0 12500 df-z 12587 df-dec 12707 df-uz 12851 df-q 12963 df-rp 13007 df-xneg 13126 df-xadd 13127 df-xmul 13128 df-ioo 13364 df-fz 13523 df-seq 14018 df-exp 14078 df-cj 15116 df-re 15117 df-im 15118 df-sqrt 15252 df-abs 15253 df-struct 17164 df-slot 17199 df-ndx 17211 df-base 17227 df-plusg 17282 df-mulr 17283 df-starv 17284 df-tset 17288 df-ple 17289 df-ds 17291 df-unif 17292 df-rest 17434 df-topn 17435 df-topgen 17455 df-psmet 21305 df-xmet 21306 df-met 21307 df-bl 21308 df-mopn 21309 df-cnfld 21314 df-top 22830 df-topon 22847 df-topsp 22869 df-bases 22882 df-cld 22955 df-ntr 22956 df-cls 22957 df-nei 23034 df-lp 23072 df-cnp 23164 df-xms 24257 df-ms 24258 df-limc 25817

This theorem is referenced by: limclr 45632 jumpncnp 45875

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