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Theorem limclner 45666
Description: For a limit point, both from the left and from the right, of the domain, the limit of the function exits only if the left and the right limits are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limclner.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limclner.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limclner.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limclner.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limclner.blp1 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
limclner.blp2 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
limclner.l (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
limclner.r (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
limclner.lner (𝜑𝐿𝑅)
Assertion
Ref Expression
limclner (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ∅)

Proof of Theorem limclner
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑣 𝑧 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25910 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵) ⊆ ℂ
2 limclner.r . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
31, 2sselid 3981 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
43ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝑅 ∈ ℂ)
5 limccl 25910 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵) ⊆ ℂ
6 limclner.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
75, 6sselid 3981 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
87ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝐿 ∈ ℂ)
94, 8subcld 11620 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑅𝐿) ∈ ℂ)
10 limclner.lner . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿𝑅)
1110necomd 2996 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅𝐿)
1211ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝑅𝐿)
134, 8, 12subne0d 11629 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑅𝐿) ≠ 0)
149, 13absrpcld 15487 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ+)
15 4re 12350 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
16 4pos 12373 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
1715, 16elrpii 13037 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 4 ∈ ℝ+)
1914, 18rpdivcld 13094 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+)
20 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 𝑦(𝜑𝑥 ∈ ℂ)
21 nfra1 3284 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)
2220, 21nfan 1899 . . . . . . . . . 10 𝑦((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
23 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑦(((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))
2422, 23nfim 1896 . . . . . . . . 9 𝑦(((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))
25 ovex 7464 . . . . . . . . 9 ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ V
26 eleq1 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+))
27 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → (4 · 𝑦) = (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))
2827breq2d 5155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → ((abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦) ↔ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))
29282rexbidv 3222 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → (∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))
3026, 29imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → ((𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)) ↔ (((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))))
3130imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))) ↔ (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))))
32 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝜑𝑥 ∈ ℂ))
33 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
34 rspa 3248 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
3534adantll 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
36 limclner.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
37 fresin 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
39 inss2 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ (𝐵(,)+∞)
40 ioosscn 13449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℂ
4139, 40sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ)
43 limclner.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝐽 = (topGen‘ran (,))
44 retop 24782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4543, 44eqeltri 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐽 ∈ Top
46 inss2 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
47 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
4846, 47sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
49 uniretop 24783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ℝ = (topGen‘ran (,))
5043unieqi 4919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝐽 = (topGen‘ran (,))
5149, 50eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ℝ = 𝐽
5251lpss 23150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ)
5345, 48, 52mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ
54 limclner.blp1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
5553, 54sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5655recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5738, 42, 56ellimc3 25914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))))
582, 57mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)))
5958simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
6059r19.21bi 3251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
61603ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
62 simp11l 1285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝜑)
63 simp12 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
64 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℝ+)
65 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑢 = if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)))
6665rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑢 = if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)))
67 inss1 4237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
69 limclner.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
7069cnfldtop 24804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝐾 ∈ Top
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐾 ∈ Top)
72 ax-resscn 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ℝ ⊆ ℂ
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
74 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ
7539, 74sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ)
77 unicntop 24806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
7869unieqi 4919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
7977, 78eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ℂ = 𝐾
8069tgioo2 24824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (topGen‘ran (,)) = (𝐾t ℝ)
8143, 80eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝐽 = (𝐾t ℝ)
8279, 81restlp 23191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ))
8371, 73, 76, 82syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ))
8469eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (TopOpen‘ℂfld) = 𝐾
8584fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (limPt‘(TopOpen‘ℂfld)) = (limPt‘𝐾)
8685fveq1i 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
8868, 83, 873sstr4d 4039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ⊆ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
89 limclner.blp2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
9088, 89sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
9142, 56islpcn 45654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢))
9290, 91mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢)
93923ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢)
94 ifcl 4571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ+)
95943adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ+)
9666, 93, 95rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
97 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
9875, 97sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ ℝ)
9973sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℂ)
10056adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
10199, 100subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (𝑏𝐵) ∈ ℂ)
102101abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ)
1031023ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ)
104103adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ)
10595rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
106105ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
107 rpre 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ)
1081073ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ ℝ)
109108ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ)
110 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
111 rpre 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑣 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ)
112 min1 13231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
113107, 111, 112syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
1141133adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
115114ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
116104, 106, 109, 110, 115ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧)
1171113ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑣 ∈ ℝ)
118117ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
119109, 118min2d 45484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
120104, 106, 118, 110, 119ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)
121116, 120jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
122121ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)))
12398, 122sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)))
124123reximdva 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)))
12596, 124mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
12662, 63, 64, 125syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
127 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑏(((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
128 nfre1 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑏𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
12997elin1d 4204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏𝐴)
1301293ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏𝐴)
131 simp113 1305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
132 eldifsni 4790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏𝐵)
133132adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏𝐵)
134 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧)
135133, 134jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧))
1361353adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧))
137 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑏 → (𝑤𝐵𝑏𝐵))
138 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 = 𝑏 → (abs‘(𝑤𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵)))
139138breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧))
140137, 139anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) ↔ (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧)))
141140imbrov2fvoveq 7456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)))
142141rspcva 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏𝐴 ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦))
143142imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑏𝐴 ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
144130, 131, 136, 143syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
145973ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
146623ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → 𝜑)
147 simp13 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
148 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑤𝜑
149 nfra1 3284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑤𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
150148, 149nfan 1899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
151 elinel2 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → 𝑤 ∈ (𝐵(,)+∞))
152151fvresd 6926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) = (𝐹𝑤))
153152eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝑤) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤))
154153fvoveq1d 7453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)))
1551543ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)))
156 rspa 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
1571563impia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
1581573adant1l 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
159155, 158eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
1601593exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)))
161150, 160ralrimi 3257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
162146, 147, 161syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
163132anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
164163adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
1651643adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
166138breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
167137, 166anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) ↔ (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)))
168167imbrov2fvoveq 7456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ↔ ((𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
169168rspcva 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
170169imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
171145, 162, 165, 170syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
172 rspe 3249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑏𝐴 ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
173130, 144, 171, 172syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
1741733exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → (((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
175127, 128, 174rexlimd 3266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
176126, 175mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
1771763exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑣 ∈ ℝ+ → (∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
178177rexlimdv 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
17961, 178mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
1801793exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
181180rexlimdv 3153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
182181imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
183182adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
184183ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
1853ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑅 ∈ ℂ)
1867ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝐿 ∈ ℂ)
187185, 186subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑅𝐿) ∈ ℂ)
188187abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ)
189 simp-6l 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝜑)
190 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑏𝐴)
19136ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑏𝐴) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
192189, 190, 191syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
193185, 192subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑅 − (𝐹𝑏)) ∈ ℂ)
194193abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) ∈ ℝ)
195 simp-6r 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
196192, 195subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝐹𝑏) − 𝑥) ∈ ℂ)
197196abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) ∈ ℝ)
198194, 197readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) ∈ ℝ)
199 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑎𝐴)
20036ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
201189, 199, 200syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
202195, 201subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑥 − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
203202abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎))) ∈ ℝ)
204198, 203readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
205201, 186subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝐹𝑎) − 𝐿) ∈ ℂ)
206205abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) ∈ ℝ)
207204, 206readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎)))) + (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿))) ∈ ℝ)
20815a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 4 ∈ ℝ)
209 rpre 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
210209ad5antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
211208, 210remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (4 · 𝑦) ∈ ℝ)
212185, 192, 195, 201, 186absnpncan3d 45319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) ≤ ((((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎)))) + (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿))))
213185, 192abssubd 15492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) = (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)))
214 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
215213, 214eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) < 𝑦)
216 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
217 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
218200ad5ant14 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
219218adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
220217, 219abssubd 15492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎))) = (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)))
221 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
222220, 221eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎))) < 𝑦)
223222adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎))) < 𝑦)
224 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
225224adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
226194, 197, 203, 206, 210, 215, 216, 223, 225lt4addmuld 45318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎)))) + (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿))) < (4 · 𝑦))
227188, 207, 211, 212, 226lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))
228227ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
229228adantl3r 750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
230229reximdva 3168 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → (∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
231184, 230mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))
232 fresin 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
23336, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
234 ioosscn 13449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-∞(,)𝐵) ⊆ ℂ
23546, 234sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ)
237233, 236, 56ellimc3 25914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))))
2386, 237mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)))
239238simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
240239r19.21bi 3251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
2412403ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
242 simp11l 1285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝜑)
243 simp12 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
244 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℝ+)
245 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢 = if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)))
246245rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 = if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢 ↔ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)))
247 inss1 4237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
248247a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
24948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
25079, 81restlp 23191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ))
25171, 73, 249, 250syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ))
25285fveq1i 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
253252a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
254248, 251, 2533sstr4d 4039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
255254, 54sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
256236, 56islpcn 45654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢))
257255, 256mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢)
2582573ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢)
259246, 258, 95rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
260 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
26148, 260sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ ℝ)
26273sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
26356adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
264262, 263subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑎𝐵) ∈ ℂ)
265264abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑎𝐵)) ∈ ℝ)
2662653ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑎𝐵)) ∈ ℝ)
267266adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) ∈ ℝ)
268105ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
269108ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ)
270 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
271114ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
272267, 268, 269, 270, 271ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧)
273117ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
274 min2 13232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
275107, 111, 274syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
2762753adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
277276ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
278267, 268, 273, 270, 277ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)
279272, 278jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
280279ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)))
281261, 280sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)))
282281reximdva 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)))
283259, 282mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
284242, 243, 244, 283syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
285 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑎(((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
286 nfre1 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑎𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
287260elin1d 4204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎𝐴)
2882873ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎𝐴)
289 simp113 1305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
290 eldifsni 4790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎𝐵)
291290adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎𝐵)
292 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧)
293291, 292jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧))
2942933adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧))
295 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑎 → (𝑤𝐵𝑎𝐵))
296 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑎 → (abs‘(𝑤𝐵)) = (abs‘(𝑎𝐵)))
297296breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧))
298295, 297anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) ↔ (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧)))
299298imbrov2fvoveq 7456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = 𝑎 → (((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)))
300299rspcva 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎𝐴 ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦))
301300imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑎𝐴 ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
302288, 289, 294, 301syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
3032603ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
3042423ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → 𝜑)
305 simp13 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
306 nfra1 3284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑤𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
307148, 306nfan 1899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
308 elinel2 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑤 ∈ (-∞(,)𝐵))
309308fvresd 6926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) = (𝐹𝑤))
310309eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹𝑤) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤))
311310fvoveq1d 7453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)))
3123113ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)))
313 rspa 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
3143133impia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
3153143adant1l 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
316312, 315eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
3173163exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)))
318307, 317ralrimi 3257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
319304, 305, 318syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
320290anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
321320adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
3223213adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
323296breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
324295, 323anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) ↔ (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)))
325324imbrov2fvoveq 7456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = 𝑎 → (((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ↔ ((𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
326325rspcva 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ((𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
327326imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
328303, 319, 322, 327syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
329 rspe 3249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎𝐴 ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
330288, 302, 328, 329syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
3313303exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → (((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
332285, 286, 331rexlimd 3266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
333284, 332mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
3343333exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑣 ∈ ℝ+ → (∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
335334rexlimdv 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
336241, 335mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
3373363exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
338337rexlimdv 3153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
339338imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
340339adantllr 719 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
341231, 340reximddv3 3172 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))
34232, 33, 35, 341syl21anc 838 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))
343342ex 412 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
34424, 25, 31, 343vtoclf 3564 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))
34519, 344mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))
346 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))
347 abssubrp 45287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑅𝐿) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ+)
3483, 7, 11, 347syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ+)
349348rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℂ)
350349adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℂ)
351 4cn 12351 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℂ
352351a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → 4 ∈ ℂ)
353 4ne0 12374 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ≠ 0
354353a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → 4 ≠ 0)
355350, 352, 354divcan2d 12045 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) = (abs‘(𝑅𝐿)))
356346, 355breqtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))
357356ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿))))
358357a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → ((abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))))
359358ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → ((abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))))
360359rexlimdvv 3212 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿))))
361345, 360mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))
3629abscld 15475 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ)
363362ltnrd 11395 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ¬ (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))
364361, 363pm2.65da 817 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
365364ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
366 imnan 399 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
367365, 366sylib 218 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
368 limclner.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
369368, 73sstrd 3994 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
37036, 369, 56ellimc3 25914 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))))
371367, 370mtbird 325 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
372371eq0rdv 4407 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626   cuni 4907   class class class wbr 5143  ran crn 5686  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  4c4 12323  +crp 13034  (,)cioo 13387  abscabs 15273  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  fldccnfld 21364  Topctop 22899  limPtclp 23142   lim climc 25897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-cnp 23236  df-xms 24330  df-ms 24331  df-limc 25901
This theorem is referenced by:  limclr  45670  jumpncnp  45913
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