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Theorem limclner 40521
Description: For a limit point, both from the left and from the right, of the domain, the limit of the function exits only if the left and the right limits are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limclner.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limclner.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limclner.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limclner.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limclner.blp1 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
limclner.blp2 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
limclner.l (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
limclner.r (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
limclner.lner (𝜑𝐿𝑅)
Assertion
Ref Expression
limclner (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ∅)

Proof of Theorem limclner
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑣 𝑧 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 23930 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵) ⊆ ℂ
2 limclner.r . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
31, 2sseldi 3759 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
43ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝑅 ∈ ℂ)
5 limccl 23930 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵) ⊆ ℂ
6 limclner.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
75, 6sseldi 3759 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
87ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝐿 ∈ ℂ)
94, 8subcld 10646 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑅𝐿) ∈ ℂ)
10 limclner.lner . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿𝑅)
1110necomd 2992 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅𝐿)
1211ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝑅𝐿)
134, 8, 12subne0d 10655 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑅𝐿) ≠ 0)
149, 13absrpcld 14472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ+)
15 4re 11357 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
16 4pos 11386 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
1715, 16elrpii 12031 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 4 ∈ ℝ+)
1914, 18rpdivcld 12087 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+)
20 nfv 2009 . . . . . . . . . . 11 𝑦(𝜑𝑥 ∈ ℂ)
21 nfra1 3088 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)
2220, 21nfan 1998 . . . . . . . . . 10 𝑦((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
23 nfv 2009 . . . . . . . . . 10 𝑦(((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))
2422, 23nfim 1995 . . . . . . . . 9 𝑦(((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))
25 ovex 6874 . . . . . . . . 9 ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ V
26 eleq1 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+))
27 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → (4 · 𝑦) = (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))
2827breq2d 4821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → ((abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦) ↔ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))
29282rexbidv 3204 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → (∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))
3026, 29imbi12d 335 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → ((𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)) ↔ (((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))))
3130imbi2d 331 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))) ↔ (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))))
32 simpll 783 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝜑𝑥 ∈ ℂ))
33 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
34 rspa 3077 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
3534adantll 705 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
36 limclner.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
37 fresin 6255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
39 inss2 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ (𝐵(,)+∞)
40 ioosscn 40358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℂ
4139, 40sstri 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ)
43 limclner.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝐽 = (topGen‘ran (,))
44 retop 22844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4543, 44eqeltri 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐽 ∈ Top
46 inss2 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
47 ioossre 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
4846, 47sstri 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
49 uniretop 22845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ℝ = (topGen‘ran (,))
5043unieqi 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝐽 = (topGen‘ran (,))
5149, 50eqtr4i 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ℝ = 𝐽
5251lpss 21226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ)
5345, 48, 52mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ
54 limclner.blp1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
5553, 54sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5655recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5738, 42, 56ellimc3 23934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))))
582, 57mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)))
5958simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
6059r19.21bi 3079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
61603ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
62 simp11l 1383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝜑)
63 simp12 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
64 simp2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℝ+)
65 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑢 = if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)))
6665rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑢 = if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)))
67 inss1 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
69 limclner.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
7069cnfldtop 22866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝐾 ∈ Top
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐾 ∈ Top)
72 ax-resscn 10246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ℝ ⊆ ℂ
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
74 ioossre 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ
7539, 74sstri 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ)
77 unicntop 22868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
7869unieqi 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
7977, 78eqtr4i 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ℂ = 𝐾
8069tgioo2 22885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (topGen‘ran (,)) = (𝐾t ℝ)
8143, 80eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝐽 = (𝐾t ℝ)
8279, 81restlp 21267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ))
8371, 73, 76, 82syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ))
8469eqcomi 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (TopOpen‘ℂfld) = 𝐾
8584fveq2i 6378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (limPt‘(TopOpen‘ℂfld)) = (limPt‘𝐾)
8685fveq1i 6376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
8868, 83, 873sstr4d 3808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ⊆ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
89 limclner.blp2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
9088, 89sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
9142, 56islpcn 40509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢))
9290, 91mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢)
93923ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢)
94 ifcl 4287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ+)
95943adant1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ+)
9666, 93, 95rspcdva 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
97 eldifi 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
9875, 97sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ ℝ)
9973sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℂ)
10056adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
10199, 100subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (𝑏𝐵) ∈ ℂ)
102101abscld 14460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ)
1031023ad2antl1 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ)
104103adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ)
10595rpred 12070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
106105ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
107 rpre 12036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ)
1081073ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ ℝ)
109108ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ)
110 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
111 rpre 12036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑣 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ)
112 min1 12222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
113107, 111, 112syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
1141133adant1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
115114ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
116104, 106, 109, 110, 115ltletrd 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧)
1171113ad2ant3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑣 ∈ ℝ)
118117ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
119109, 118min2d 40340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
120104, 106, 118, 110, 119ltletrd 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)
121116, 120jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
122121ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)))
12398, 122sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)))
124123reximdva 3163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)))
12596, 124mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
12662, 63, 64, 125syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
127 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑏(((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
128 nfre1 3151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑏𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
12997elin1d 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏𝐴)
1301293ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏𝐴)
131 simp113 1403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
132 eldifsni 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏𝐵)
133132adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏𝐵)
134 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧)
135133, 134jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧))
1361353adant1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧))
137 neeq1 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑏 → (𝑤𝐵𝑏𝐵))
138 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 = 𝑏 → (abs‘(𝑤𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵)))
139138breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧))
140137, 139anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) ↔ (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧)))
141140imbrov2fvoveq 6867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)))
142141rspcva 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏𝐴 ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦))
143142imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑏𝐴 ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
144130, 131, 136, 143syl21anc 866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
145973ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
146623ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → 𝜑)
147 simp13 1262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
148 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑤𝜑
149 nfra1 3088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑤𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
150148, 149nfan 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
151 elinel2 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → 𝑤 ∈ (𝐵(,)+∞))
152151fvresd 6395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) = (𝐹𝑤))
153152eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝑤) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤))
154153fvoveq1d 6864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)))
1551543ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)))
156 rspa 3077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
1571563impia 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
1581573adant1l 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
159155, 158eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
1601593exp 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)))
161150, 160ralrimi 3104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
162146, 147, 161syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
163132anim1i 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
164163adantrl 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
1651643adant1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
166138breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
167137, 166anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) ↔ (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)))
168167imbrov2fvoveq 6867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ↔ ((𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
169168rspcva 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
170169imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
171145, 162, 165, 170syl21anc 866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
172 rspe 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑏𝐴 ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
173130, 144, 171, 172syl12anc 865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
1741733exp 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → (((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
175127, 128, 174rexlimd 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
176126, 175mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
1771763exp 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑣 ∈ ℝ+ → (∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
178177rexlimdv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
17961, 178mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
1801793exp 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
181180rexlimdv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
182181imp 395 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
183182adantllr 710 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
184183ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
1853ad6antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑅 ∈ ℂ)
1867ad6antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝐿 ∈ ℂ)
187185, 186subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑅𝐿) ∈ ℂ)
188187abscld 14460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ)
189 simp-6l 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝜑)
190 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑏𝐴)
19136ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑏𝐴) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
192189, 190, 191syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
193185, 192subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑅 − (𝐹𝑏)) ∈ ℂ)
194193abscld 14460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) ∈ ℝ)
195 simp-6r 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
196192, 195subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝐹𝑏) − 𝑥) ∈ ℂ)
197196abscld 14460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) ∈ ℝ)
198194, 197readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) ∈ ℝ)
199 simp-4r 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑎𝐴)
20036ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
201189, 199, 200syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
202195, 201subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑥 − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
203202abscld 14460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎))) ∈ ℝ)
204198, 203readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
205201, 186subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝐹𝑎) − 𝐿) ∈ ℂ)
206205abscld 14460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) ∈ ℝ)
207204, 206readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎)))) + (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿))) ∈ ℝ)
20815a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 4 ∈ ℝ)
209 rpre 12036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
210209ad5antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
211208, 210remulcld 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (4 · 𝑦) ∈ ℝ)
212185, 192, 195, 201, 186absnpncan3d 40160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) ≤ ((((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎)))) + (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿))))
213185, 192abssubd 14477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) = (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)))
214 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
215213, 214eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) < 𝑦)
216 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
217 simp-5r 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
218200ad5ant14 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
219218adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
220217, 219abssubd 14477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎))) = (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)))
221 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
222220, 221eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎))) < 𝑦)
223222adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎))) < 𝑦)
224 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
225224adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
226194, 197, 203, 206, 210, 215, 216, 223, 225lt4addmuld 40159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎)))) + (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿))) < (4 · 𝑦))
227188, 207, 211, 212, 226lelttrd 10449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))
228227ex 401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
229228adantl3r 756 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
230229reximdva 3163 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → (∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
231184, 230mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))
232 fresin 6255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
23336, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
234 ioosscn 40358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-∞(,)𝐵) ⊆ ℂ
23546, 234sstri 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ)
237233, 236, 56ellimc3 23934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))))
2386, 237mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)))
239238simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
240239r19.21bi 3079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
2412403ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
242 simp11l 1383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝜑)
243 simp12 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
244 simp2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℝ+)
245 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢 = if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)))
246245rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 = if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢 ↔ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)))
247 inss1 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
248247a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
24948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
25079, 81restlp 21267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ))
25171, 73, 249, 250syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ))
25285fveq1i 6376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
253252a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
254248, 251, 2533sstr4d 3808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
255254, 54sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
256236, 56islpcn 40509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢))
257255, 256mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢)
2582573ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢)
259246, 258, 95rspcdva 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
260 eldifi 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
26148, 260sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ ℝ)
26273sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
26356adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
264262, 263subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑎𝐵) ∈ ℂ)
265264abscld 14460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑎𝐵)) ∈ ℝ)
2662653ad2antl1 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑎𝐵)) ∈ ℝ)
267266adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) ∈ ℝ)
268105ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
269108ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ)
270 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
271114ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
272267, 268, 269, 270, 271ltletrd 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧)
273117ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
274 min2 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
275107, 111, 274syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
2762753adant1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
277276ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
278267, 268, 273, 270, 277ltletrd 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)
279272, 278jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
280279ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)))
281261, 280sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)))
282281reximdva 3163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)))
283259, 282mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
284242, 243, 244, 283syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
285 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑎(((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
286 nfre1 3151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑎𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
287260elin1d 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎𝐴)
2882873ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎𝐴)
289 simp113 1403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
290 eldifsni 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎𝐵)
291290adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎𝐵)
292 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧)
293291, 292jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧))
2942933adant1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧))
295 neeq1 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑎 → (𝑤𝐵𝑎𝐵))
296 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑎 → (abs‘(𝑤𝐵)) = (abs‘(𝑎𝐵)))
297296breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧))
298295, 297anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) ↔ (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧)))
299298imbrov2fvoveq 6867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = 𝑎 → (((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)))
300299rspcva 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎𝐴 ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦))
301300imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑎𝐴 ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
302288, 289, 294, 301syl21anc 866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
3032603ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
3042423ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → 𝜑)
305 simp13 1262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
306 nfra1 3088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑤𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
307148, 306nfan 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
308 elinel2 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑤 ∈ (-∞(,)𝐵))
309308fvresd 6395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) = (𝐹𝑤))
310309eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹𝑤) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤))
311310fvoveq1d 6864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)))
3123113ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)))
313 rspa 3077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
3143133impia 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
3153143adant1l 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
316312, 315eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
3173163exp 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)))
318307, 317ralrimi 3104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
319304, 305, 318syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
320290anim1i 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
321320adantrl 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
3223213adant1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
323296breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
324295, 323anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) ↔ (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)))
325324imbrov2fvoveq 6867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = 𝑎 → (((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ↔ ((𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
326325rspcva 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ((𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
327326imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
328303, 319, 322, 327syl21anc 866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
329 rspe 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎𝐴 ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
330288, 302, 328, 329syl12anc 865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
3313303exp 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → (((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
332285, 286, 331rexlimd 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
333284, 332mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
3343333exp 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑣 ∈ ℝ+ → (∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
335334rexlimdv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
336241, 335mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
3373363exp 1148 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
338337rexlimdv 3177 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
339338imp 395 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
340339adantllr 710 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
341231, 340reximddv3 39990 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))
34232, 33, 35, 341syl21anc 866 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))
343342ex 401 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
34424, 25, 31, 343vtoclf 3410 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))
34519, 344mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))
346 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))
347 abssubrp 40127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑅𝐿) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ+)
3483, 7, 11, 347syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ+)
349348rpcnd 12072 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℂ)
350349adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℂ)
351 4cn 11358 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℂ
352351a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → 4 ∈ ℂ)
353 4ne0 11387 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ≠ 0
354353a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → 4 ≠ 0)
355350, 352, 354divcan2d 11057 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) = (abs‘(𝑅𝐿)))
356346, 355breqtrd 4835 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))
357356ex 401 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿))))
358357a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → ((abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))))
359358ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → ((abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))))
360359rexlimdvv 3184 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿))))
361345, 360mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))
3629abscld 14460 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ)
363362ltnrd 10425 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ¬ (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))
364361, 363pm2.65da 851 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
365364ex 401 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
366 imnan 388 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
367365, 366sylib 209 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
368 limclner.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
369368, 73sstrd 3771 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
37036, 369, 56ellimc3 23934 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))))
371367, 370mtbird 316 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
372371eq0rdv 4141 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  cdif 3729  cin 3731  wss 3732  c0 4079  ifcif 4243  {csn 4334   cuni 4594   class class class wbr 4809  ran crn 5278  cres 5279  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189   + caddc 10192   · cmul 10194  +∞cpnf 10325  -∞cmnf 10326   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520   / cdiv 10938  4c4 11329  +crp 12028  (,)cioo 12377  abscabs 14259  t crest 16347  TopOpenctopn 16348  topGenctg 16364  fldccnfld 20019  Topctop 20977  limPtclp 21218   lim climc 23917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-rest 16349  df-topn 16350  df-topgen 16370  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-cnp 21312  df-xms 22404  df-ms 22405  df-limc 23921
This theorem is referenced by:  limclr  40525  jumpncnp  40749
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