limclner - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem limclner 45633

Description: For a limit point, both from the left and from the right, of the domain, the limit of the function exits only if the left and the right limits are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
limclner.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂ_fld)
limclner.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limclner.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limclner.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limclner.blp1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
limclner.blp2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
limclner.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
limclner.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵))
limclner.lner	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
limclner	⊢ (𝜑 → (𝐹 lim_ℂ 𝐵) = ∅)

Proof of Theorem limclner Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑣 𝑧 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 25792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵) ⊆ ℂ
2		limclner.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵))
3	1, 2	sselid 3935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝑅 ∈ ℂ)
5		limccl 25792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ⊆ ℂ
6		limclner.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
7	5, 6	sselid 3935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝐿 ∈ ℂ)
9	4, 8	subcld 11493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑅 − 𝐿) ∈ ℂ)
10		limclner.lner	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 𝑅)
11	10	necomd 2980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 𝐿)
12	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝑅 ≠ 𝐿)
13	4, 8, 12	subne0d 11502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑅 − 𝐿) ≠ 0)
14	9, 13	absrpcld 15376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ⁺)
15		4re 12230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
16		4pos 12253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
17	15, 16	elrpii 12914	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ⁺
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 4 ∈ ℝ⁺)
19	14, 18	rpdivcld 12972	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺)
20		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ)
21		nfra1 3253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)
22	20, 21	nfan 1899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
23		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))
24	22, 23	nfim 1896	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))
25		ovex 7386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ V
26		eleq1 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → (𝑦 ∈ ℝ⁺ ↔ ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺))
27		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → (4 · 𝑦) = (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))
28	27	breq2d 5107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦) ↔ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))
29	28	2rexbidv 3194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))
30	26, 29	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → ((𝑦 ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)) ↔ (((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))))
31	30	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))))
32		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
33		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
34		rspa 3218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
35	34	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
36		limclner.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
37		fresin 6697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
39		inss2 4191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ (𝐵(,)+∞)
40		ioosscn 13329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℂ
41	39, 40	sstri 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ)
43		limclner.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
44		retop 24665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
45	43, 44	eqeltri 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝐽 ∈ Top
46		inss2 4191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
47		ioossre 13328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
48	46, 47	sstri 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
49		uniretop 24666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
50	43	unieqi 4873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
51	49, 50	eqtr4i 2755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
52	51	lpss 23045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ)
53	45, 48, 52	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ
54		limclner.blp1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
55	53, 54	sselid 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
56	55	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
57	38, 42, 56	ellimc3 25796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))))
58	2, 57	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)))
59	58	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
60	59	r19.21bi 3221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
61	60	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
62		simp11l 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝜑)
63		simp12 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ⁺)
64		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℝ⁺)
65		breq2 5099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑢 = if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)))
66	65	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑢 = if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)))
67		inss1 4190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
69		limclner.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂ_fld)
70	69	cnfldtop 24687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 𝐾 ∈ Top
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
72		ax-resscn 11085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
74		ioossre 13328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ
75	39, 74	sstri 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ)
77		unicntop 24689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)
78	69	unieqi 4873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)
79	77, 78	eqtr4i 2755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
80	69	tgioo2 24707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐾 ↾_t ℝ)
81	43, 80	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾_t ℝ)
82	79, 81	restlp 23086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ))
83	71, 73, 76, 82	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ))
84	69	eqcomi 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = 𝐾
85	84	fveq2i 6829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld)) = (limPt‘𝐾)
86	85	fveq1i 6827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
88	68, 83, 87	3sstr4d 3993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ⊆ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
89		limclner.blp2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
90	88, 89	sseldd 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
91	42, 56	islpcn 45621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢))
92	90, 91	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢)
93	92	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢)
94		ifcl 4524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ⁺)
95	94	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ⁺)
96	66, 93, 95	rspcdva 3580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣))
97		eldifi 4084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
98	75, 97	sselid 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ ℝ)
99	73	sselda 3937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℂ)
100	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
101	99, 100	subcld 11493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑏 − 𝐵) ∈ ℂ)
102	101	abscld 15364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ∈ ℝ)
103	102	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ∈ ℝ)
104	103	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ∈ ℝ)
105	95	rpred 12955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
106	105	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
107		rpre 12920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → 𝑧 ∈ ℝ)
108	107	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → 𝑧 ∈ ℝ)
109	108	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ)
110		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣))
111		rpre 12920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ⁺ → 𝑣 ∈ ℝ)
112		min1 13109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
113	107, 111, 112	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
114	113	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
115	114	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
116	104, 106, 109, 110, 115	ltletrd 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧)
117	111	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → 𝑣 ∈ ℝ)
118	117	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
119	109, 118	min2d 45453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
120	104, 106, 118, 110, 119	ltletrd 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)
121	116, 120	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
122	121	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)))
123	98, 122	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)))
124	123	reximdva 3142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)))
125	96, 124	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
126	62, 63, 64, 125	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
127		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
128		nfre1 3254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑏∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
129	97	elin1d 4157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ 𝐴)
130	129	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏 ∈ 𝐴)
131		simp113 1305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
132		eldifsni 4744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ≠ 𝐵)
133	132	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏 ≠ 𝐵)
134		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧)
135	133, 134	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧))
136	135	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧))
137		neeq1 2987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 ≠ 𝐵 ↔ 𝑏 ≠ 𝐵))
138		fvoveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (abs‘(𝑤 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵)))
139	138	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧))
140	137, 139	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) ↔ (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧)))
141	140	imbrov2fvoveq 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)))
142	141	rspcva 3577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦))
143	142	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
144	130, 131, 136, 143	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
145	97	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
146	62	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝜑)
147		simp13 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
148		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
149		nfra1 3253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
150	148, 149	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
151		elinel2 4155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → 𝑤 ∈ (𝐵(,)+∞))
152	151	fvresd 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) = (𝐹‘𝑤))
153	152	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹‘𝑤) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤))
154	153	fvoveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)))
155	154	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)))
156		rspa 3218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
157	156	3impia 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
158	157	3adant1l 1177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
159	155, 158	eqbrtrd 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
160	159	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)))
161	150, 160	ralrimi 3227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
162	146, 147, 161	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
163	132	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
164	163	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
165	164	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
166	138	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
167	137, 166	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) ↔ (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)))
168	167	imbrov2fvoveq 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ↔ ((𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
169	168	rspcva 3577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
170	169	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
171	145, 162, 165, 170	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
172		rspe 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
173	130, 144, 171, 172	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
174	173	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → (((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
175	127, 128, 174	rexlimd 3236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
176	126, 175	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
177	176	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑣 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
178	177	rexlimdv 3128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
179	61, 178	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
180	179	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (𝑧 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
181	180	rexlimdv 3128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
182	181	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
183	182	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
184	183	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
185	3	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑅 ∈ ℂ)
186	7	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝐿 ∈ ℂ)
187	185, 186	subcld 11493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑅 − 𝐿) ∈ ℂ)
188	187	abscld 15364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ)
189		simp-6l 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝜑)
190		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑏 ∈ 𝐴)
191	36	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
192	189, 190, 191	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
193	185, 192	subcld 11493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑅 − (𝐹‘𝑏)) ∈ ℂ)
194	193	abscld 15364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) ∈ ℝ)
195		simp-6r 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
196	192, 195	subcld 11493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝐹‘𝑏) − 𝑥) ∈ ℂ)
197	196	abscld 15364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) ∈ ℝ)
198	194, 197	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) ∈ ℝ)
199		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑎 ∈ 𝐴)
200	36	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
201	189, 199, 200	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
202	195, 201	subcld 11493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑥 − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ)
203	202	abscld 15364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℝ)
204	198, 203	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ)
205	201, 186	subcld 11493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝐹‘𝑎) − 𝐿) ∈ ℂ)
206	205	abscld 15364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) ∈ ℝ)
207	204, 206	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎)))) + (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿))) ∈ ℝ)
208	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 4 ∈ ℝ)
209		rpre 12920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 𝑦 ∈ ℝ)
210	209	ad5antlr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
211	208, 210	remulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (4 · 𝑦) ∈ ℝ)
212	185, 192, 195, 201, 186	absnpncan3d 45289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ≤ ((((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎)))) + (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿))))
213	185, 192	abssubd 15381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) = (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)))
214		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
215	213, 214	eqbrtrd 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) < 𝑦)
216		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
217		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
218	200	ad5ant14 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
219	218	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
220	217, 219	abssubd 15381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎))) = (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)))
221		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
222	220, 221	eqbrtrd 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎))) < 𝑦)
223	222	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎))) < 𝑦)
224		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
225	224	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
226	194, 197, 203, 206, 210, 215, 216, 223, 225	lt4addmuld 45288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎)))) + (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿))) < (4 · 𝑦))
227	188, 207, 211, 212, 226	lelttrd 11292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))
228	227	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)))
229	228	adantl3r 750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)))
230	229	reximdva 3142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)))
231	184, 230	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))
232		fresin 6697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
233	36, 232	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
234		ioosscn 13329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (-∞(,)𝐵) ⊆ ℂ
235	46, 234	sstri 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ
236	235	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ)
237	233, 236, 56	ellimc3 25796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))))
238	6, 237	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)))
239	238	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
240	239	r19.21bi 3221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
241	240	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
242		simp11l 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝜑)
243		simp12 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ⁺)
244		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℝ⁺)
245		breq2 5099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑢 = if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)))
246	245	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 = if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢 ↔ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)))
247		inss1 4190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
248	247	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
249	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
250	79, 81	restlp 23086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ))
251	71, 73, 249, 250	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ))
252	85	fveq1i 6827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
253	252	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
254	248, 251, 253	3sstr4d 3993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
255	254, 54	sseldd 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
256	236, 56	islpcn 45621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢))
257	255, 256	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢)
258	257	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢)
259	246, 258, 95	rspcdva 3580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣))
260		eldifi 4084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
261	48, 260	sselid 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ ℝ)
262	73	sselda 3937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
263	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
264	262, 263	subcld 11493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑎 − 𝐵) ∈ ℂ)
265	264	abscld 15364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) ∈ ℝ)
266	265	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) ∈ ℝ)
267	266	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) ∈ ℝ)
268	105	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
269	108	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ)
270		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣))
271	114	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
272	267, 268, 269, 270, 271	ltletrd 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧)
273	117	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
274		min2 13110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
275	107, 111, 274	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
276	275	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
277	276	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
278	267, 268, 273, 270, 277	ltletrd 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)
279	272, 278	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
280	279	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)))
281	261, 280	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)))
282	281	reximdva 3142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)))
283	259, 282	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
284	242, 243, 244, 283	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
285		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑎(((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
286		nfre1 3254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑎∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
287	260	elin1d 4157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ 𝐴)
288	287	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎 ∈ 𝐴)
289		simp113 1305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
290		eldifsni 4744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ≠ 𝐵)
291	290	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎 ≠ 𝐵)
292		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧)
293	291, 292	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧))
294	293	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧))
295		neeq1 2987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (𝑤 ≠ 𝐵 ↔ 𝑎 ≠ 𝐵))
296		fvoveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (abs‘(𝑤 − 𝐵)) = (abs‘(𝑎 − 𝐵)))
297	296	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧))
298	295, 297	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) ↔ (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧)))
299	298	imbrov2fvoveq 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)))
300	299	rspcva 3577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦))
301	300	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
302	288, 289, 294, 301	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
303	260	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
304	242	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝜑)
305		simp13 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
306		nfra1 3253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
307	148, 306	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
308		elinel2 4155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑤 ∈ (-∞(,)𝐵))
309	308	fvresd 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) = (𝐹‘𝑤))
310	309	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑤) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤))
311	310	fvoveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)))
312	311	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)))
313		rspa 3218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
314	313	3impia 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
315	314	3adant1l 1177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
316	312, 315	eqbrtrd 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
317	316	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)))
318	307, 317	ralrimi 3227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
319	304, 305, 318	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
320	290	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
321	320	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
322	321	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
323	296	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
324	295, 323	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) ↔ (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)))
325	324	imbrov2fvoveq 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ↔ ((𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
326	325	rspcva 3577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ((𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
327	326	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
328	303, 319, 322, 327	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
329		rspe 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
330	288, 302, 328, 329	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
331	330	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → (((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
332	285, 286, 331	rexlimd 3236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
333	284, 332	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
334	333	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑣 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
335	334	rexlimdv 3128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
336	241, 335	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
337	336	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (𝑧 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
338	337	rexlimdv 3128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
339	338	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
340	339	adantllr 719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
341	231, 340	reximddv3 3146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))
342	32, 33, 35, 341	syl21anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))
343	342	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)))
344	24, 25, 31, 343	vtoclf 3521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))
345	19, 344	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))
346		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))
347		abssubrp 45258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ≠ 𝐿) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ⁺)
348	3, 7, 11, 347	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ⁺)
349	348	rpcnd 12957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℂ)
350	349	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℂ)
351		4cn 12231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℂ
352	351	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → 4 ∈ ℂ)
353		4ne0 12254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ≠ 0
354	353	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → 4 ≠ 0)
355	350, 352, 354	divcan2d 11920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) = (abs‘(𝑅 − 𝐿)))
356	346, 355	breqtrd 5121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))
357	356	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿))))
358	357	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))))
359	358	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))))
360	359	rexlimdvv 3185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿))))
361	345, 360	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))
362	9	abscld 15364	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ)
363	362	ltnrd 11268	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ¬ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))
364	361, 363	pm2.65da 816	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
365	364	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
366		imnan 399	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
367	365, 366	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
368		limclner.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
369	368, 73	sstrd 3948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
370	36, 369, 56	ellimc3 25796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))))
371	367, 370	mtbird 325	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
372	371	eq0rdv 4360	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 lim_ℂ 𝐵) = ∅)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∀wral 3044 ∃wrex 3053 ∖ cdif 3902 ∩ cin 3904 ⊆ wss 3905 ∅c0 4286 ifcif 4478 {csn 4579 ∪ cuni 4861 class class class wbr 5095 ran crn 5624 ↾ cres 5625 ⟶wf 6482 ‘cfv 6486 (class class class)co 7353 ℂcc 11026 ℝcr 11027 0cc0 11028 + caddc 11031 · cmul 11033 +∞cpnf 11165 -∞cmnf 11166 < clt 11168 ≤ cle 11169 − cmin 11365 / cdiv 11795 4c4 12203 ℝ⁺crp 12911 (,)cioo 13266 abscabs 15159 ↾_t crest 17342 TopOpenctopn 17343 topGenctg 17359 ℂ_fldccnfld 21279 Topctop 22796 limPtclp 23037 lim_ℂ climc 25779

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5221 ax-sep 5238 ax-nul 5248 ax-pow 5307 ax-pr 5374 ax-un 7675 ax-cnex 11084 ax-resscn 11085 ax-1cn 11086 ax-icn 11087 ax-addcl 11088 ax-addrcl 11089 ax-mulcl 11090 ax-mulrcl 11091 ax-mulcom 11092 ax-addass 11093 ax-mulass 11094 ax-distr 11095 ax-i2m1 11096 ax-1ne0 11097 ax-1rid 11098 ax-rnegex 11099 ax-rrecex 11100 ax-cnre 11101 ax-pre-lttri 11102 ax-pre-lttrn 11103 ax-pre-ltadd 11104 ax-pre-mulgt0 11105 ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3345 df-reu 3346 df-rab 3397 df-v 3440 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4479 df-pw 4555 df-sn 4580 df-pr 4582 df-tp 4584 df-op 4586 df-uni 4862 df-int 4900 df-iun 4946 df-iin 4947 df-br 5096 df-opab 5158 df-mpt 5177 df-tr 5203 df-id 5518 df-eprel 5523 df-po 5531 df-so 5532 df-fr 5576 df-we 5578 df-xp 5629 df-rel 5630 df-cnv 5631 df-co 5632 df-dm 5633 df-rn 5634 df-res 5635 df-ima 5636 df-pred 6253 df-ord 6314 df-on 6315 df-lim 6316 df-suc 6317 df-iota 6442 df-fun 6488 df-fn 6489 df-f 6490 df-f1 6491 df-fo 6492 df-f1o 6493 df-fv 6494 df-riota 7310 df-ov 7356 df-oprab 7357 df-mpo 7358 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-1o 8395 df-er 8632 df-map 8762 df-pm 8763 df-en 8880 df-dom 8881 df-sdom 8882 df-fin 8883 df-fi 9320 df-sup 9351 df-inf 9352 df-pnf 11170 df-mnf 11171 df-xr 11172 df-ltxr 11173 df-le 11174 df-sub 11367 df-neg 11368 df-div 11796 df-nn 12147 df-2 12209 df-3 12210 df-4 12211 df-5 12212 df-6 12213 df-7 12214 df-8 12215 df-9 12216 df-n0 12403 df-z 12490 df-dec 12610 df-uz 12754 df-q 12868 df-rp 12912 df-xneg 13032 df-xadd 13033 df-xmul 13034 df-ioo 13270 df-fz 13429 df-seq 13927 df-exp 13987 df-cj 15024 df-re 15025 df-im 15026 df-sqrt 15160 df-abs 15161 df-struct 17076 df-slot 17111 df-ndx 17123 df-base 17139 df-plusg 17192 df-mulr 17193 df-starv 17194 df-tset 17198 df-ple 17199 df-ds 17201 df-unif 17202 df-rest 17344 df-topn 17345 df-topgen 17365 df-psmet 21271 df-xmet 21272 df-met 21273 df-bl 21274 df-mopn 21275 df-cnfld 21280 df-top 22797 df-topon 22814 df-topsp 22836 df-bases 22849 df-cld 22922 df-ntr 22923 df-cls 22924 df-nei 23001 df-lp 23039 df-cnp 23131 df-xms 24224 df-ms 24225 df-limc 25783

This theorem is referenced by: limclr 45637 jumpncnp 45880

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