limclner - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem limclner 46079

Description: For a limit point, both from the left and from the right, of the domain, the limit of the function exits only if the left and the right limits are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
limclner.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂ_fld)
limclner.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limclner.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limclner.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limclner.blp1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
limclner.blp2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
limclner.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
limclner.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵))
limclner.lner	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
limclner	⊢ (𝜑 → (𝐹 lim_ℂ 𝐵) = ∅)

Proof of Theorem limclner Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑣 𝑧 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 25842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵) ⊆ ℂ
2		limclner.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵))
3	1, 2	sselid 3919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
4	3	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝑅 ∈ ℂ)
5		limccl 25842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ⊆ ℂ
6		limclner.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
7	5, 6	sselid 3919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
8	7	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝐿 ∈ ℂ)
9	4, 8	subcld 11505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑅 − 𝐿) ∈ ℂ)
10		limclner.lner	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 𝑅)
11	10	necomd 2987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 𝐿)
12	11	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝑅 ≠ 𝐿)
13	4, 8, 12	subne0d 11514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑅 − 𝐿) ≠ 0)
14	9, 13	absrpcld 15413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ⁺)
15		4re 12265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
16		4pos 12288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
17	15, 16	elrpii 12945	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ⁺
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 4 ∈ ℝ⁺)
19	14, 18	rpdivcld 13003	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺)
20		nfv 1916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ)
21		nfra1 3261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)
22	20, 21	nfan 1901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
23		nfv 1916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))
24	22, 23	nfim 1898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))
25		ovex 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ V
26		eleq1 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → (𝑦 ∈ ℝ⁺ ↔ ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺))
27		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → (4 · 𝑦) = (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))
28	27	breq2d 5097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦) ↔ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))
29	28	2rexbidv 3202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))
30	26, 29	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → ((𝑦 ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)) ↔ (((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))))
31	30	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))))
32		simpll 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
33		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
34		rspa 3226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
35	34	adantll 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
36		limclner.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
37		fresin 6709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
39		inss2 4178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ (𝐵(,)+∞)
40		ioosscn 13361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℂ
41	39, 40	sstri 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ)
43		limclner.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
44		retop 24726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
45	43, 44	eqeltri 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝐽 ∈ Top
46		inss2 4178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
47		ioossre 13360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
48	46, 47	sstri 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
49		uniretop 24727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
50	43	unieqi 4862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
51	49, 50	eqtr4i 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
52	51	lpss 23107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ)
53	45, 48, 52	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ
54		limclner.blp1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
55	53, 54	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
56	55	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
57	38, 42, 56	ellimc3 25846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))))
58	2, 57	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)))
59	58	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
60	59	r19.21bi 3229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
61	60	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
62		simp11l 1286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝜑)
63		simp12 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ⁺)
64		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℝ⁺)
65		breq2 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑢 = if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)))
66	65	rexbidv 3161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑢 = if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)))
67		inss1 4177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
69		limclner.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂ_fld)
70	69	cnfldtop 24748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 𝐾 ∈ Top
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
72		ax-resscn 11095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
74		ioossre 13360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ
75	39, 74	sstri 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ)
77		unicntop 24750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)
78	69	unieqi 4862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)
79	77, 78	eqtr4i 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
80	69	tgioo2 24768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐾 ↾_t ℝ)
81	43, 80	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾_t ℝ)
82	79, 81	restlp 23148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ))
83	71, 73, 76, 82	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ))
84	69	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = 𝐾
85	84	fveq2i 6843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld)) = (limPt‘𝐾)
86	85	fveq1i 6841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
88	68, 83, 87	3sstr4d 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ⊆ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
89		limclner.blp2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
90	88, 89	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
91	42, 56	islpcn 46067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢))
92	90, 91	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢)
93	92	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢)
94		ifcl 4512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ⁺)
95	94	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ⁺)
96	66, 93, 95	rspcdva 3565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣))
97		eldifi 4071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
98	75, 97	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ ℝ)
99	73	sselda 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℂ)
100	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
101	99, 100	subcld 11505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑏 − 𝐵) ∈ ℂ)
102	101	abscld 15401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ∈ ℝ)
103	102	3ad2antl1 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ∈ ℝ)
104	103	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ∈ ℝ)
105	95	rpred 12986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
106	105	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
107		rpre 12951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → 𝑧 ∈ ℝ)
108	107	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → 𝑧 ∈ ℝ)
109	108	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ)
110		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣))
111		rpre 12951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ⁺ → 𝑣 ∈ ℝ)
112		min1 13141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
113	107, 111, 112	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
114	113	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
115	114	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
116	104, 106, 109, 110, 115	ltletrd 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧)
117	111	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → 𝑣 ∈ ℝ)
118	117	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
119	109, 118	min2d 45901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
120	104, 106, 118, 110, 119	ltletrd 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)
121	116, 120	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
122	121	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)))
123	98, 122	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)))
124	123	reximdva 3150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)))
125	96, 124	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
126	62, 63, 64, 125	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
127		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
128		nfre1 3262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑏∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
129	97	elin1d 4144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ 𝐴)
130	129	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏 ∈ 𝐴)
131		simp113 1306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
132		eldifsni 4735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ≠ 𝐵)
133	132	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏 ≠ 𝐵)
134		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧)
135	133, 134	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧))
136	135	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧))
137		neeq1 2994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 ≠ 𝐵 ↔ 𝑏 ≠ 𝐵))
138		fvoveq1 7390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (abs‘(𝑤 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵)))
139	138	breq1d 5095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧))
140	137, 139	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) ↔ (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧)))
141	140	imbrov2fvoveq 7392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)))
142	141	rspcva 3562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦))
143	142	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
144	130, 131, 136, 143	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
145	97	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
146	62	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝜑)
147		simp13 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
148		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
149		nfra1 3261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
150	148, 149	nfan 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
151		elinel2 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → 𝑤 ∈ (𝐵(,)+∞))
152	151	fvresd 6860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) = (𝐹‘𝑤))
153	152	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹‘𝑤) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤))
154	153	fvoveq1d 7389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)))
155	154	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)))
156		rspa 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
157	156	3impia 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
158	157	3adant1l 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
159	155, 158	eqbrtrd 5107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
160	159	3exp 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)))
161	150, 160	ralrimi 3235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
162	146, 147, 161	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
163	132	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
164	163	adantrl 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
165	164	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
166	138	breq1d 5095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
167	137, 166	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) ↔ (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)))
168	167	imbrov2fvoveq 7392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ↔ ((𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
169	168	rspcva 3562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
170	169	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
171	145, 162, 165, 170	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
172		rspe 3227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
173	130, 144, 171, 172	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
174	173	3exp 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → (((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
175	127, 128, 174	rexlimd 3244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
176	126, 175	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
177	176	3exp 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑣 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
178	177	rexlimdv 3136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
179	61, 178	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
180	179	3exp 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (𝑧 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
181	180	rexlimdv 3136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
182	181	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
183	182	adantllr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
184	183	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
185	3	ad6antr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑅 ∈ ℂ)
186	7	ad6antr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝐿 ∈ ℂ)
187	185, 186	subcld 11505	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑅 − 𝐿) ∈ ℂ)
188	187	abscld 15401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ)
189		simp-6l 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝜑)
190		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑏 ∈ 𝐴)
191	36	ffvelcdmda 7036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
192	189, 190, 191	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
193	185, 192	subcld 11505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑅 − (𝐹‘𝑏)) ∈ ℂ)
194	193	abscld 15401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) ∈ ℝ)
195		simp-6r 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
196	192, 195	subcld 11505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝐹‘𝑏) − 𝑥) ∈ ℂ)
197	196	abscld 15401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) ∈ ℝ)
198	194, 197	readdcld 11174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) ∈ ℝ)
199		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑎 ∈ 𝐴)
200	36	ffvelcdmda 7036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
201	189, 199, 200	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
202	195, 201	subcld 11505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑥 − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ)
203	202	abscld 15401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℝ)
204	198, 203	readdcld 11174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ)
205	201, 186	subcld 11505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝐹‘𝑎) − 𝐿) ∈ ℂ)
206	205	abscld 15401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) ∈ ℝ)
207	204, 206	readdcld 11174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎)))) + (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿))) ∈ ℝ)
208	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 4 ∈ ℝ)
209		rpre 12951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 𝑦 ∈ ℝ)
210	209	ad5antlr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
211	208, 210	remulcld 11175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (4 · 𝑦) ∈ ℝ)
212	185, 192, 195, 201, 186	absnpncan3d 45740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ≤ ((((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎)))) + (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿))))
213	185, 192	abssubd 15418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) = (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)))
214		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
215	213, 214	eqbrtrd 5107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) < 𝑦)
216		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
217		simp-5r 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
218	200	ad5ant14 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
219	218	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
220	217, 219	abssubd 15418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎))) = (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)))
221		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
222	220, 221	eqbrtrd 5107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎))) < 𝑦)
223	222	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎))) < 𝑦)
224		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
225	224	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
226	194, 197, 203, 206, 210, 215, 216, 223, 225	lt4addmuld 45739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎)))) + (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿))) < (4 · 𝑦))
227	188, 207, 211, 212, 226	lelttrd 11304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))
228	227	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)))
229	228	adantl3r 751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)))
230	229	reximdva 3150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)))
231	184, 230	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))
232		fresin 6709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
233	36, 232	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
234		ioosscn 13361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (-∞(,)𝐵) ⊆ ℂ
235	46, 234	sstri 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ
236	235	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ)
237	233, 236, 56	ellimc3 25846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))))
238	6, 237	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)))
239	238	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
240	239	r19.21bi 3229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
241	240	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
242		simp11l 1286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝜑)
243		simp12 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ⁺)
244		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℝ⁺)
245		breq2 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑢 = if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)))
246	245	rexbidv 3161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 = if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢 ↔ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)))
247		inss1 4177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
248	247	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
249	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
250	79, 81	restlp 23148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ))
251	71, 73, 249, 250	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ))
252	85	fveq1i 6841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
253	252	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
254	248, 251, 253	3sstr4d 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
255	254, 54	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
256	236, 56	islpcn 46067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢))
257	255, 256	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢)
258	257	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢)
259	246, 258, 95	rspcdva 3565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣))
260		eldifi 4071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
261	48, 260	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ ℝ)
262	73	sselda 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
263	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
264	262, 263	subcld 11505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑎 − 𝐵) ∈ ℂ)
265	264	abscld 15401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) ∈ ℝ)
266	265	3ad2antl1 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) ∈ ℝ)
267	266	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) ∈ ℝ)
268	105	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
269	108	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ)
270		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣))
271	114	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
272	267, 268, 269, 270, 271	ltletrd 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧)
273	117	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
274		min2 13142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
275	107, 111, 274	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
276	275	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
277	276	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
278	267, 268, 273, 270, 277	ltletrd 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)
279	272, 278	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
280	279	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)))
281	261, 280	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)))
282	281	reximdva 3150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)))
283	259, 282	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
284	242, 243, 244, 283	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
285		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑎(((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
286		nfre1 3262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑎∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
287	260	elin1d 4144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ 𝐴)
288	287	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎 ∈ 𝐴)
289		simp113 1306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
290		eldifsni 4735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ≠ 𝐵)
291	290	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎 ≠ 𝐵)
292		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧)
293	291, 292	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧))
294	293	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧))
295		neeq1 2994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (𝑤 ≠ 𝐵 ↔ 𝑎 ≠ 𝐵))
296		fvoveq1 7390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (abs‘(𝑤 − 𝐵)) = (abs‘(𝑎 − 𝐵)))
297	296	breq1d 5095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧))
298	295, 297	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) ↔ (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧)))
299	298	imbrov2fvoveq 7392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)))
300	299	rspcva 3562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦))
301	300	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
302	288, 289, 294, 301	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
303	260	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
304	242	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝜑)
305		simp13 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
306		nfra1 3261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
307	148, 306	nfan 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
308		elinel2 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑤 ∈ (-∞(,)𝐵))
309	308	fvresd 6860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) = (𝐹‘𝑤))
310	309	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑤) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤))
311	310	fvoveq1d 7389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)))
312	311	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)))
313		rspa 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
314	313	3impia 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
315	314	3adant1l 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
316	312, 315	eqbrtrd 5107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
317	316	3exp 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)))
318	307, 317	ralrimi 3235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
319	304, 305, 318	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
320	290	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
321	320	adantrl 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
322	321	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
323	296	breq1d 5095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
324	295, 323	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) ↔ (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)))
325	324	imbrov2fvoveq 7392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ↔ ((𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
326	325	rspcva 3562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ((𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
327	326	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
328	303, 319, 322, 327	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
329		rspe 3227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
330	288, 302, 328, 329	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
331	330	3exp 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → (((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
332	285, 286, 331	rexlimd 3244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
333	284, 332	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
334	333	3exp 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑣 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
335	334	rexlimdv 3136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
336	241, 335	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
337	336	3exp 1120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (𝑧 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
338	337	rexlimdv 3136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
339	338	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
340	339	adantllr 720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
341	231, 340	reximddv3 3154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))
342	32, 33, 35, 341	syl21anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))
343	342	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)))
344	24, 25, 31, 343	vtoclf 3509	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))
345	19, 344	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))
346		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))
347		abssubrp 45709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ≠ 𝐿) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ⁺)
348	3, 7, 11, 347	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ⁺)
349	348	rpcnd 12988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℂ)
350	349	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℂ)
351		4cn 12266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℂ
352	351	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → 4 ∈ ℂ)
353		4ne0 12289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ≠ 0
354	353	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → 4 ≠ 0)
355	350, 352, 354	divcan2d 11933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) = (abs‘(𝑅 − 𝐿)))
356	346, 355	breqtrd 5111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))
357	356	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿))))
358	357	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))))
359	358	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))))
360	359	rexlimdvv 3193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿))))
361	345, 360	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))
362	9	abscld 15401	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ)
363	362	ltnrd 11280	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ¬ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))
364	361, 363	pm2.65da 817	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
365	364	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
366		imnan 399	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
367	365, 366	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
368		limclner.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
369	368, 73	sstrd 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
370	36, 369, 56	ellimc3 25846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))))
371	367, 370	mtbird 325	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
372	371	eq0rdv 4347	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 lim_ℂ 𝐵) = ∅)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2932 ∀wral 3051 ∃wrex 3061 ∖ cdif 3886 ∩ cin 3888 ⊆ wss 3889 ∅c0 4273 ifcif 4466 {csn 4567 ∪ cuni 4850 class class class wbr 5085 ran crn 5632 ↾ cres 5633 ⟶wf 6494 ‘cfv 6498 (class class class)co 7367 ℂcc 11036 ℝcr 11037 0cc0 11038 + caddc 11041 · cmul 11043 +∞cpnf 11176 -∞cmnf 11177 < clt 11179 ≤ cle 11180 − cmin 11377 / cdiv 11807 4c4 12238 ℝ⁺crp 12942 (,)cioo 13298 abscabs 15196 ↾_t crest 17383 TopOpenctopn 17384 topGenctg 17400 ℂ_fldccnfld 21352 Topctop 22858 limPtclp 23099 lim_ℂ climc 25829

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2708 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5307 ax-pr 5375 ax-un 7689 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3062 df-rmo 3342 df-reu 3343 df-rab 3390 df-v 3431 df-sbc 3729 df-csb 3838 df-dif 3892 df-un 3894 df-in 3896 df-ss 3906 df-pss 3909 df-nul 4274 df-if 4467 df-pw 4543 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4851 df-int 4890 df-iun 4935 df-iin 4936 df-br 5086 df-opab 5148 df-mpt 5167 df-tr 5193 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6265 df-ord 6326 df-on 6327 df-lim 6328 df-suc 6329 df-iota 6454 df-fun 6500 df-fn 6501 df-f 6502 df-f1 6503 df-fo 6504 df-f1o 6505 df-fv 6506 df-riota 7324 df-ov 7370 df-oprab 7371 df-mpo 7372 df-om 7818 df-1st 7942 df-2nd 7943 df-frecs 8231 df-wrecs 8262 df-recs 8311 df-rdg 8349 df-1o 8405 df-er 8643 df-map 8775 df-pm 8776 df-en 8894 df-dom 8895 df-sdom 8896 df-fin 8897 df-fi 9324 df-sup 9355 df-inf 9356 df-pnf 11181 df-mnf 11182 df-xr 11183 df-ltxr 11184 df-le 11185 df-sub 11379 df-neg 11380 df-div 11808 df-nn 12175 df-2 12244 df-3 12245 df-4 12246 df-5 12247 df-6 12248 df-7 12249 df-8 12250 df-9 12251 df-n0 12438 df-z 12525 df-dec 12645 df-uz 12789 df-q 12899 df-rp 12943 df-xneg 13063 df-xadd 13064 df-xmul 13065 df-ioo 13302 df-fz 13462 df-seq 13964 df-exp 14024 df-cj 15061 df-re 15062 df-im 15063 df-sqrt 15197 df-abs 15198 df-struct 17117 df-slot 17152 df-ndx 17164 df-base 17180 df-plusg 17233 df-mulr 17234 df-starv 17235 df-tset 17239 df-ple 17240 df-ds 17242 df-unif 17243 df-rest 17385 df-topn 17386 df-topgen 17406 df-psmet 21344 df-xmet 21345 df-met 21346 df-bl 21347 df-mopn 21348 df-cnfld 21353 df-top 22859 df-topon 22876 df-topsp 22898 df-bases 22911 df-cld 22984 df-ntr 22985 df-cls 22986 df-nei 23063 df-lp 23101 df-cnp 23193 df-xms 24285 df-ms 24286 df-limc 25833

This theorem is referenced by: limclr 46083 jumpncnp 46326

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