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Theorem limclner 44357
Description: For a limit point, both from the left and from the right, of the domain, the limit of the function exits only if the left and the right limits are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limclner.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
limclner.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limclner.j 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
limclner.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
limclner.blp1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))))
limclner.blp2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))))
limclner.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
limclner.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞)) limβ„‚ 𝐡))
limclner.lner (πœ‘ β†’ 𝐿 β‰  𝑅)
Assertion
Ref Expression
limclner (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) = βˆ…)

Proof of Theorem limclner
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑒 𝑣 𝑧 𝑀 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25391 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞)) limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
2 limclner.r . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞)) limβ„‚ 𝐡))
31, 2sselid 3980 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
43ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
5 limccl 25391 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
6 limclner.l . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
75, 6sselid 3980 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
87ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
94, 8subcld 11570 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ (𝑅 βˆ’ 𝐿) ∈ β„‚)
10 limclner.lner . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐿 β‰  𝑅)
1110necomd 2996 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  𝐿)
1211ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ 𝑅 β‰  𝐿)
134, 8, 12subne0d 11579 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ (𝑅 βˆ’ 𝐿) β‰  0)
149, 13absrpcld 15394 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) ∈ ℝ+)
15 4re 12295 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
16 4pos 12318 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
1715, 16elrpii 12976 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ 4 ∈ ℝ+)
1914, 18rpdivcld 13032 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4) ∈ ℝ+)
20 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)
21 nfra1 3281 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘¦βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)
2220, 21nfan 1902 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦))
23 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4)))
2422, 23nfim 1899 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦(((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ (((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4))))
25 ovex 7441 . . . . . . . . 9 ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4) ∈ V
26 eleq1 2821 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4) β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4) ∈ ℝ+))
27 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4) β†’ (4 Β· 𝑦) = (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4)))
2827breq2d 5160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4) β†’ ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· 𝑦) ↔ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4))))
29282rexbidv 3219 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· 𝑦) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4))))
3026, 29imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4) β†’ ((𝑦 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· 𝑦)) ↔ (((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4)))))
3130imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4) β†’ ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· 𝑦))) ↔ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ (((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4))))))
32 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚))
33 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
34 rspa 3245 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦))
3534adantll 712 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦))
36 limclner.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
37 fresin 6760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))βŸΆβ„‚)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))βŸΆβ„‚)
39 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βŠ† (𝐡(,)+∞)
40 ioosscn 13385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐡(,)+∞) βŠ† β„‚
4139, 40sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βŠ† β„‚
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βŠ† β„‚)
43 limclner.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
44 retop 24277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
4543, 44eqeltri 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐽 ∈ Top
46 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βŠ† (-∞(,)𝐡)
47 ioossre 13384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (-∞(,)𝐡) βŠ† ℝ
4846, 47sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βŠ† ℝ
49 uniretop 24278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
5043unieqi 4921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
5149, 50eqtr4i 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ℝ = βˆͺ 𝐽
5251lpss 22645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βŠ† ℝ) β†’ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))) βŠ† ℝ)
5345, 48, 52mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))) βŠ† ℝ
54 limclner.blp1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))))
5553, 54sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5655recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
5738, 42, 56ellimc3 25395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞)) limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝑅 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))))
582, 57mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)))
5958simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))
6059r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))
61603ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))
62 simp11l 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ πœ‘)
63 simp12 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ+)
64 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ 𝑣 ∈ ℝ+)
65 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑒 = if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) β†’ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑒 ↔ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)))
6665rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑒 = if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡})(absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑒 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡})(absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)))
67 inss1 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((limPtβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))) ∩ ℝ) βŠ† ((limPtβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)))
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ (((limPtβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))) ∩ ℝ) βŠ† ((limPtβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))))
69 limclner.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
7069cnfldtop 24299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝐾 ∈ Top
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
72 ax-resscn 11166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ℝ βŠ† β„‚
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
74 ioossre 13384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐡(,)+∞) βŠ† ℝ
7539, 74sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βŠ† ℝ
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βŠ† ℝ)
77 unicntop 24301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
7869unieqi 4921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
7977, 78eqtr4i 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 β„‚ = βˆͺ 𝐾
8069tgioo2 24318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (topGenβ€˜ran (,)) = (𝐾 β†Ύt ℝ)
8143, 80eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝐽 = (𝐾 β†Ύt ℝ)
8279, 81restlp 22686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βŠ† ℝ) β†’ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))) = (((limPtβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))) ∩ ℝ))
8371, 73, 76, 82syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))) = (((limPtβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))) ∩ ℝ))
8469eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = 𝐾
8584fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld)) = (limPtβ€˜πΎ)
8685fveq1i 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))) = ((limPtβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)))
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))) = ((limPtβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))))
8868, 83, 873sstr4d 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))) βŠ† ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))))
89 limclner.blp2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))))
9088, 89sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))))
9142, 56islpcn 44345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))) ↔ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡})(absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑒))
9290, 91mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡})(absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑒)
93923ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡})(absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑒)
94 ifcl 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ+)
95943adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ+)
9666, 93, 95rspcdva 3613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡})(absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣))
97 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) β†’ 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)))
9875, 97sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
9973sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
10056adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
10199, 100subcld 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑏 βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
102101abscld 15382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) ∈ ℝ)
1031023ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) ∈ ℝ)
104103adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) β†’ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) ∈ ℝ)
10595rpred 13015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
106105ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
107 rpre 12981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
1081073ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
109108ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
110 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) β†’ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣))
111 rpre 12981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑣 ∈ ℝ+ β†’ 𝑣 ∈ ℝ)
112 min1 13167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≀ 𝑧)
113107, 111, 112syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≀ 𝑧)
1141133adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≀ 𝑧)
115114ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≀ 𝑧)
116104, 106, 109, 110, 115ltletrd 11373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) β†’ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧)
1171113ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ 𝑣 ∈ ℝ)
118117ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ ℝ)
119109, 118min2d 44173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≀ 𝑣)
120104, 106, 118, 110, 119ltletrd 11373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) β†’ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)
121116, 120jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) β†’ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣))
122121ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) β†’ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)))
12398, 122sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡})) β†’ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) β†’ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)))
124123reximdva 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡})(absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡})((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)))
12596, 124mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡})((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣))
12662, 63, 64, 125syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡})((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣))
127 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ⅎ𝑏(((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))
128 nfre1 3282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 β„²π‘βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)
12997elin1d 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
1301293ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
131 simp113 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦))
132 eldifsni 4793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) β†’ 𝑏 β‰  𝐡)
133132adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ 𝑏 β‰  𝐡)
134 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧)
135133, 134jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (𝑏 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧))
1361353adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (𝑏 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧))
137 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑀 = 𝑏 β†’ (𝑀 β‰  𝐡 ↔ 𝑏 β‰  𝐡))
138 fvoveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 = 𝑏 β†’ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) = (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)))
139138breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑀 = 𝑏 β†’ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧))
140137, 139anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 = 𝑏 β†’ ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) ↔ (𝑏 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧)))
141140imbrov2fvoveq 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 = 𝑏 β†’ (((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦) ↔ ((𝑏 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)))
142141rspcva 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ ((𝑏 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦))
143142imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ (𝑏 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)
144130, 131, 136, 143syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)
145973ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)))
146623ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ πœ‘)
147 simp13 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))
148 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 β„²π‘€πœ‘
149 nfra1 3281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 β„²π‘€βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)
150148, 149nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Ⅎ𝑀(πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))
151 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑀 ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) β†’ 𝑀 ∈ (𝐡(,)+∞))
152151fvresd 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘€))
153152eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€))
154153fvoveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)))
1551543ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) ∧ (𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)))
156 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))) β†’ ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))
1571563impia 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) ∧ (𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)
1581573adant1l 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) ∧ (𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)
159155, 158eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) ∧ (𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)
1601593exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (𝑀 ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) β†’ ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)))
161150, 160ralrimi 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))
162146, 147, 161syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))
163132anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (𝑏 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣))
164163adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (𝑏 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣))
1651643adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (𝑏 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣))
166138breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑀 = 𝑏 β†’ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣 ↔ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣))
167137, 166anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 = 𝑏 β†’ ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) ↔ (𝑏 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)))
168167imbrov2fvoveq 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 = 𝑏 β†’ (((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦) ↔ ((𝑏 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)))
169168rspcva 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ ((𝑏 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))
170169imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) ∧ (𝑏 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)
171145, 162, 165, 170syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)
172 rspe 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))
173130, 144, 171, 172syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))
1741733exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡}) β†’ (((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))))
175127, 128, 174rexlimd 3263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞)) βˆ– {𝐡})((absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)))
176126, 175mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))
1771763exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ (𝑣 ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))))
178177rexlimdv 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞))β€˜π‘€) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)))
17961, 178mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))
1801793exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))))
181180rexlimdv 3153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)))
182181imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))
183182adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))
184183ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦))
1853ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
1867ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
187185, 186subcld 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (𝑅 βˆ’ 𝐿) ∈ β„‚)
188187abscld 15382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) ∈ ℝ)
189 simp-6l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ πœ‘)
190 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
19136ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
192189, 190, 191syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
193185, 192subcld 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (𝑅 βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) ∈ β„‚)
194193abscld 15382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ∈ ℝ)
195 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
196192, 195subcld 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
197196abscld 15382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) ∈ ℝ)
198194, 197readdcld 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯))) ∈ ℝ)
199 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐴)
20036ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
201189, 199, 200syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
202195, 201subcld 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (π‘₯ βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ž)) ∈ β„‚)
203202abscld 15382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ž))) ∈ ℝ)
204198, 203readdcld 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (((absβ€˜(𝑅 βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯))) + (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ž)))) ∈ ℝ)
205201, 186subcld 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿) ∈ β„‚)
206205abscld 15382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) ∈ ℝ)
207204, 206readdcld 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ ((((absβ€˜(𝑅 βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯))) + (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ž)))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿))) ∈ ℝ)
20815a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ 4 ∈ ℝ)
209 rpre 12981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
210209ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
211208, 210remulcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (4 Β· 𝑦) ∈ ℝ)
212185, 192, 195, 201, 186absnpncan3d 44007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) ≀ ((((absβ€˜(𝑅 βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯))) + (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ž)))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿))))
213185, 192abssubd 15399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)))
214 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)
215213, 214eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑦)
216 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)
217 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
218200ad5ant14 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
219218adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
220217, 219abssubd 15399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ž))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)))
221 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)
222220, 221eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ž))) < 𝑦)
223222adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ž))) < 𝑦)
224 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)
225224adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)
226194, 197, 203, 206, 210, 215, 216, 223, 225lt4addmuld 44006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ ((((absβ€˜(𝑅 βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯))) + (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ (πΉβ€˜π‘Ž)))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿))) < (4 Β· 𝑦))
227188, 207, 211, 212, 226lelttrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· 𝑦))
228227ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· 𝑦)))
229228adantl3r 748 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· 𝑦)))
230229reximdva 3168 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 𝑅)) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· 𝑦)))
231184, 230mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· 𝑦))
232 fresin 6760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))βŸΆβ„‚)
23336, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))βŸΆβ„‚)
234 ioosscn 13385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-∞(,)𝐡) βŠ† β„‚
23546, 234sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βŠ† β„‚
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βŠ† β„‚)
237233, 236, 56ellimc3 25395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐿 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦))))
2386, 237mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)))
239238simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦))
240239r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦))
2412403ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦))
242 simp11l 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) β†’ πœ‘)
243 simp12 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ+)
244 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) β†’ 𝑣 ∈ ℝ+)
245 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑒 = if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) β†’ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑒 ↔ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)))
246245rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒 = if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡})(absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑒 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡})(absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)))
247 inss1 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((limPtβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))) ∩ ℝ) βŠ† ((limPtβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)))
248247a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ (((limPtβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))) ∩ ℝ) βŠ† ((limPtβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))))
24948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βŠ† ℝ)
25079, 81restlp 22686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βŠ† ℝ) β†’ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))) = (((limPtβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))) ∩ ℝ))
25171, 73, 249, 250syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))) = (((limPtβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))) ∩ ℝ))
25285fveq1i 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))) = ((limPtβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)))
253252a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))) = ((limPtβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))))
254248, 251, 2533sstr4d 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))) βŠ† ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))))
255254, 54sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))))
256236, 56islpcn 44345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))) ↔ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡})(absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑒))
257255, 256mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡})(absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑒)
2582573ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡})(absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑒)
259246, 258, 95rspcdva 3613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡})(absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣))
260 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) β†’ π‘Ž ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)))
26148, 260sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
26273sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
26356adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
264262, 263subcld 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
265264abscld 15382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) ∈ ℝ)
2662653ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) ∈ ℝ)
267266adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) β†’ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) ∈ ℝ)
268105ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
269108ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
270 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) β†’ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣))
271114ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≀ 𝑧)
272267, 268, 269, 270, 271ltletrd 11373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) β†’ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧)
273117ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ ℝ)
274 min2 13168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≀ 𝑣)
275107, 111, 274syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≀ 𝑣)
2762753adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≀ 𝑣)
277276ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≀ 𝑣)
278267, 268, 273, 270, 277ltletrd 11373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) β†’ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)
279272, 278jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) β†’ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣))
280279ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) β†’ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)))
281261, 280sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡})) β†’ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) β†’ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)))
282281reximdva 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡})(absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < if(𝑧 ≀ 𝑣, 𝑧, 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡})((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)))
283259, 282mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡})((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣))
284242, 243, 244, 283syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡})((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣))
285 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘Ž(((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦))
286 nfre1 3282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘Žβˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)
287260elin1d 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) β†’ π‘Ž ∈ 𝐴)
2882873ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐴)
289 simp113 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦))
290 eldifsni 4793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) β†’ π‘Ž β‰  𝐡)
291290adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ π‘Ž β‰  𝐡)
292 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧)
293291, 292jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (π‘Ž β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧))
2942933adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (π‘Ž β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧))
295 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 = π‘Ž β†’ (𝑀 β‰  𝐡 ↔ π‘Ž β‰  𝐡))
296 fvoveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 = π‘Ž β†’ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) = (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)))
297296breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 = π‘Ž β†’ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧))
298295, 297anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 = π‘Ž β†’ ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) ↔ (π‘Ž β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧)))
299298imbrov2fvoveq 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑀 = π‘Ž β†’ (((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦) ↔ ((π‘Ž β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)))
300299rspcva 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ ((π‘Ž β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦))
301300imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ (π‘Ž β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)
302288, 289, 294, 301syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)
3032603ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ π‘Ž ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)))
3042423ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ πœ‘)
305 simp13 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦))
306 nfra1 3281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 β„²π‘€βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)
307148, 306nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ⅎ𝑀(πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦))
308 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ (-∞(,)𝐡))
309308fvresd 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘€))
310309eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑀 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€))
311310fvoveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)))
3123113ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) ∧ (𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)))
313 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))) β†’ ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦))
3143133impia 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) ∧ (𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)
3153143adant1l 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) ∧ (𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)
316312, 315eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) ∧ (𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)
3173163exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) β†’ (𝑀 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) β†’ ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)))
318307, 317ralrimi 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦))
319304, 305, 318syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦))
320290anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (π‘Ž β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣))
321320adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (π‘Ž β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣))
3223213adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (π‘Ž β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣))
323296breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 = π‘Ž β†’ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣 ↔ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣))
324295, 323anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 = π‘Ž β†’ ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) ↔ (π‘Ž β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)))
325324imbrov2fvoveq 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑀 = π‘Ž β†’ (((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦) ↔ ((π‘Ž β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)))
326325rspcva 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Ž ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) β†’ ((π‘Ž β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦))
327326imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘Ž ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ (π‘Ž β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)
328303, 319, 322, 327syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)
329 rspe 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦))
330288, 302, 328, 329syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) ∧ π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) ∧ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦))
3313303exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) β†’ (π‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡}) β†’ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦))))
332285, 286, 331rexlimd 3263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡)) βˆ– {𝐡})((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)))
333284, 332mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦))
3343333exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ (𝑣 ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦))))
335334rexlimdv 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡))β€˜π‘€) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)))
336241, 335mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦))
3373363exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦))))
338337rexlimdv 3153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦)))
339338imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦))
340339adantllr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ 𝐿)) < 𝑦))
341231, 340reximddv3 43830 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· 𝑦))
34232, 33, 35, 341syl21anc 836 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· 𝑦))
343342ex 413 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· 𝑦)))
34424, 25, 31, 343vtoclf 3547 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ (((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4))))
34519, 344mpd 15 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4)))
346 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4))) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4)))
347 abssubrp 43975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ β„‚ ∧ 𝐿 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 β‰  𝐿) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) ∈ ℝ+)
3483, 7, 11, 347syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) ∈ ℝ+)
349348rpcnd 13017 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) ∈ β„‚)
350349adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4))) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) ∈ β„‚)
351 4cn 12296 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ β„‚
352351a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4))) β†’ 4 ∈ β„‚)
353 4ne0 12319 . . . . . . . . . . . . . 14 4 β‰  0
354353a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4))) β†’ 4 β‰  0)
355350, 352, 354divcan2d 11991 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4))) β†’ (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4)) = (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)))
356346, 355breqtrd 5174 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4))) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)))
357356ex 413 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4)) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿))))
358357a1d 25 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4)) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)))))
359358ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4)) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)))))
360359rexlimdvv 3210 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (4 Β· ((absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) / 4)) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿))))
361345, 360mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)))
3629abscld 15382 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) ∈ ℝ)
363362ltnrd 11347 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) β†’ Β¬ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)) < (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐿)))
364361, 363pm2.65da 815 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ Β¬ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦))
365364ex 413 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ Β¬ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)))
366 imnan 400 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ β†’ Β¬ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)) ↔ Β¬ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)))
367365, 366sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦)))
368 limclner.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
369368, 73sstrd 3992 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
37036, 369, 56ellimc3 25395 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ π‘₯)) < 𝑦))))
371367, 370mtbird 324 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
372371eq0rdv 4404 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11244  -∞cmnf 11245   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  4c4 12268  β„+crp 12973  (,)cioo 13323  abscabs 15180   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  topGenctg 17382  β„‚fldccnfld 20943  Topctop 22394  limPtclp 22637   limβ„‚ climc 25378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-cnp 22731  df-xms 23825  df-ms 23826  df-limc 25382
This theorem is referenced by:  limclr  44361  jumpncnp  44604
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