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Theorem limclner 45606
Description: For a limit point, both from the left and from the right, of the domain, the limit of the function exits only if the left and the right limits are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limclner.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limclner.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limclner.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limclner.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limclner.blp1 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
limclner.blp2 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
limclner.l (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
limclner.r (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
limclner.lner (𝜑𝐿𝑅)
Assertion
Ref Expression
limclner (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ∅)

Proof of Theorem limclner
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑣 𝑧 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25924 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵) ⊆ ℂ
2 limclner.r . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
31, 2sselid 3992 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
43ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝑅 ∈ ℂ)
5 limccl 25924 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵) ⊆ ℂ
6 limclner.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
75, 6sselid 3992 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
87ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝐿 ∈ ℂ)
94, 8subcld 11617 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑅𝐿) ∈ ℂ)
10 limclner.lner . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿𝑅)
1110necomd 2993 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅𝐿)
1211ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝑅𝐿)
134, 8, 12subne0d 11626 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑅𝐿) ≠ 0)
149, 13absrpcld 15483 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ+)
15 4re 12347 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
16 4pos 12370 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
1715, 16elrpii 13034 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 4 ∈ ℝ+)
1914, 18rpdivcld 13091 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+)
20 nfv 1911 . . . . . . . . . . 11 𝑦(𝜑𝑥 ∈ ℂ)
21 nfra1 3281 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)
2220, 21nfan 1896 . . . . . . . . . 10 𝑦((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
23 nfv 1911 . . . . . . . . . 10 𝑦(((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))
2422, 23nfim 1893 . . . . . . . . 9 𝑦(((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))
25 ovex 7463 . . . . . . . . 9 ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ V
26 eleq1 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+))
27 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → (4 · 𝑦) = (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))
2827breq2d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → ((abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦) ↔ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))
29282rexbidv 3219 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → (∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))
3026, 29imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → ((𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)) ↔ (((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))))
3130imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))) ↔ (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))))
32 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝜑𝑥 ∈ ℂ))
33 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
34 rspa 3245 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
3534adantll 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
36 limclner.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
37 fresin 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
39 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ (𝐵(,)+∞)
40 ioosscn 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℂ
4139, 40sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ)
43 limclner.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝐽 = (topGen‘ran (,))
44 retop 24797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4543, 44eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐽 ∈ Top
46 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
47 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
4846, 47sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
49 uniretop 24798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ℝ = (topGen‘ran (,))
5043unieqi 4923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝐽 = (topGen‘ran (,))
5149, 50eqtr4i 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ℝ = 𝐽
5251lpss 23165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ)
5345, 48, 52mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ
54 limclner.blp1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
5553, 54sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5655recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5738, 42, 56ellimc3 25928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))))
582, 57mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)))
5958simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
6059r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
61603ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
62 simp11l 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝜑)
63 simp12 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
64 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℝ+)
65 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑢 = if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)))
6665rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑢 = if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)))
67 inss1 4244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
69 limclner.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
7069cnfldtop 24819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝐾 ∈ Top
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐾 ∈ Top)
72 ax-resscn 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ℝ ⊆ ℂ
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
74 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ
7539, 74sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ)
77 unicntop 24821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
7869unieqi 4923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
7977, 78eqtr4i 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ℂ = 𝐾
8069tgioo2 24838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (topGen‘ran (,)) = (𝐾t ℝ)
8143, 80eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝐽 = (𝐾t ℝ)
8279, 81restlp 23206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ))
8371, 73, 76, 82syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ))
8469eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (TopOpen‘ℂfld) = 𝐾
8584fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (limPt‘(TopOpen‘ℂfld)) = (limPt‘𝐾)
8685fveq1i 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
8868, 83, 873sstr4d 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ⊆ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
89 limclner.blp2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
9088, 89sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
9142, 56islpcn 45594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢))
9290, 91mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢)
93923ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢)
94 ifcl 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ+)
95943adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ+)
9666, 93, 95rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
97 eldifi 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
9875, 97sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ ℝ)
9973sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℂ)
10056adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
10199, 100subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (𝑏𝐵) ∈ ℂ)
102101abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ)
1031023ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ)
104103adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ)
10595rpred 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
106105ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
107 rpre 13040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ)
1081073ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ ℝ)
109108ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ)
110 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
111 rpre 13040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑣 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ)
112 min1 13227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
113107, 111, 112syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
1141133adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
115114ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
116104, 106, 109, 110, 115ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧)
1171113ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑣 ∈ ℝ)
118117ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
119109, 118min2d 45422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
120104, 106, 118, 110, 119ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)
121116, 120jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
122121ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)))
12398, 122sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)))
124123reximdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)))
12596, 124mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
12662, 63, 64, 125syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
127 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑏(((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
128 nfre1 3282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑏𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
12997elin1d 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏𝐴)
1301293ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏𝐴)
131 simp113 1303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
132 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏𝐵)
133132adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏𝐵)
134 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧)
135133, 134jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧))
1361353adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧))
137 neeq1 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑏 → (𝑤𝐵𝑏𝐵))
138 fvoveq1 7453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 = 𝑏 → (abs‘(𝑤𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵)))
139138breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧))
140137, 139anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) ↔ (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧)))
141140imbrov2fvoveq 7455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)))
142141rspcva 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏𝐴 ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦))
143142imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑏𝐴 ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
144130, 131, 136, 143syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
145973ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
146623ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → 𝜑)
147 simp13 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
148 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑤𝜑
149 nfra1 3281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑤𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
150148, 149nfan 1896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
151 elinel2 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → 𝑤 ∈ (𝐵(,)+∞))
152151fvresd 6926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) = (𝐹𝑤))
153152eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝑤) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤))
154153fvoveq1d 7452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)))
1551543ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)))
156 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
1571563impia 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
1581573adant1l 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
159155, 158eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
1601593exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)))
161150, 160ralrimi 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
162146, 147, 161syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
163132anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
164163adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
1651643adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
166138breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
167137, 166anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) ↔ (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)))
168167imbrov2fvoveq 7455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ↔ ((𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
169168rspcva 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
170169imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
171145, 162, 165, 170syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
172 rspe 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑏𝐴 ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
173130, 144, 171, 172syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
1741733exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → (((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
175127, 128, 174rexlimd 3263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
176126, 175mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
1771763exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑣 ∈ ℝ+ → (∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
178177rexlimdv 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
17961, 178mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
1801793exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
181180rexlimdv 3150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
182181imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
183182adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
184183ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
1853ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑅 ∈ ℂ)
1867ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝐿 ∈ ℂ)
187185, 186subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑅𝐿) ∈ ℂ)
188187abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ)
189 simp-6l 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝜑)
190 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑏𝐴)
19136ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑏𝐴) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
192189, 190, 191syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
193185, 192subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑅 − (𝐹𝑏)) ∈ ℂ)
194193abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) ∈ ℝ)
195 simp-6r 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
196192, 195subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝐹𝑏) − 𝑥) ∈ ℂ)
197196abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) ∈ ℝ)
198194, 197readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) ∈ ℝ)
199 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑎𝐴)
20036ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
201189, 199, 200syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
202195, 201subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑥 − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
203202abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎))) ∈ ℝ)
204198, 203readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
205201, 186subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝐹𝑎) − 𝐿) ∈ ℂ)
206205abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) ∈ ℝ)
207204, 206readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎)))) + (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿))) ∈ ℝ)
20815a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 4 ∈ ℝ)
209 rpre 13040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
210209ad5antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
211208, 210remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (4 · 𝑦) ∈ ℝ)
212185, 192, 195, 201, 186absnpncan3d 45257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) ≤ ((((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎)))) + (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿))))
213185, 192abssubd 15488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) = (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)))
214 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
215213, 214eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) < 𝑦)
216 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
217 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
218200ad5ant14 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
219218adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
220217, 219abssubd 15488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎))) = (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)))
221 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
222220, 221eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎))) < 𝑦)
223222adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎))) < 𝑦)
224 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
225224adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
226194, 197, 203, 206, 210, 215, 216, 223, 225lt4addmuld 45256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎)))) + (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿))) < (4 · 𝑦))
227188, 207, 211, 212, 226lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))
228227ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
229228adantl3r 750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
230229reximdva 3165 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → (∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
231184, 230mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))
232 fresin 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
23336, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
234 ioosscn 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-∞(,)𝐵) ⊆ ℂ
23546, 234sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ)
237233, 236, 56ellimc3 25928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))))
2386, 237mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)))
239238simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
240239r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
2412403ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
242 simp11l 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝜑)
243 simp12 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
244 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℝ+)
245 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢 = if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)))
246245rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 = if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢 ↔ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)))
247 inss1 4244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
248247a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
24948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
25079, 81restlp 23206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ))
25171, 73, 249, 250syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ))
25285fveq1i 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
253252a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
254248, 251, 2533sstr4d 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
255254, 54sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
256236, 56islpcn 45594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢))
257255, 256mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢)
2582573ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢)
259246, 258, 95rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
260 eldifi 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
26148, 260sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ ℝ)
26273sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
26356adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
264262, 263subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑎𝐵) ∈ ℂ)
265264abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑎𝐵)) ∈ ℝ)
2662653ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑎𝐵)) ∈ ℝ)
267266adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) ∈ ℝ)
268105ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
269108ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ)
270 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
271114ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
272267, 268, 269, 270, 271ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧)
273117ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
274 min2 13228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
275107, 111, 274syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
2762753adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
277276ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
278267, 268, 273, 270, 277ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)
279272, 278jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
280279ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)))
281261, 280sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)))
282281reximdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)))
283259, 282mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
284242, 243, 244, 283syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
285 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑎(((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
286 nfre1 3282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑎𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
287260elin1d 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎𝐴)
2882873ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎𝐴)
289 simp113 1303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
290 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎𝐵)
291290adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎𝐵)
292 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧)
293291, 292jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧))
2942933adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧))
295 neeq1 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑎 → (𝑤𝐵𝑎𝐵))
296 fvoveq1 7453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑎 → (abs‘(𝑤𝐵)) = (abs‘(𝑎𝐵)))
297296breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧))
298295, 297anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) ↔ (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧)))
299298imbrov2fvoveq 7455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = 𝑎 → (((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)))
300299rspcva 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎𝐴 ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦))
301300imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑎𝐴 ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
302288, 289, 294, 301syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
3032603ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
3042423ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → 𝜑)
305 simp13 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
306 nfra1 3281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑤𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
307148, 306nfan 1896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
308 elinel2 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑤 ∈ (-∞(,)𝐵))
309308fvresd 6926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) = (𝐹𝑤))
310309eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹𝑤) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤))
311310fvoveq1d 7452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)))
3123113ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)))
313 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
3143133impia 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
3153143adant1l 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
316312, 315eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
3173163exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)))
318307, 317ralrimi 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
319304, 305, 318syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
320290anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
321320adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
3223213adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
323296breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
324295, 323anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) ↔ (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)))
325324imbrov2fvoveq 7455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = 𝑎 → (((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ↔ ((𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
326325rspcva 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ((𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
327326imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
328303, 319, 322, 327syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
329 rspe 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎𝐴 ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
330288, 302, 328, 329syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
3313303exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → (((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
332285, 286, 331rexlimd 3263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
333284, 332mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
3343333exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑣 ∈ ℝ+ → (∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
335334rexlimdv 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
336241, 335mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
3373363exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
338337rexlimdv 3150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
339338imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
340339adantllr 719 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
341231, 340reximddv3 3169 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))
34232, 33, 35, 341syl21anc 838 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))
343342ex 412 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
34424, 25, 31, 343vtoclf 3563 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))
34519, 344mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))
346 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))
347 abssubrp 45225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑅𝐿) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ+)
3483, 7, 11, 347syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ+)
349348rpcnd 13076 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℂ)
350349adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℂ)
351 4cn 12348 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℂ
352351a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → 4 ∈ ℂ)
353 4ne0 12371 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ≠ 0
354353a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → 4 ≠ 0)
355350, 352, 354divcan2d 12042 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) = (abs‘(𝑅𝐿)))
356346, 355breqtrd 5173 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))
357356ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿))))
358357a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → ((abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))))
359358ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → ((abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))))
360359rexlimdvv 3209 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿))))
361345, 360mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))
3629abscld 15471 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ)
363362ltnrd 11392 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ¬ (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))
364361, 363pm2.65da 817 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
365364ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
366 imnan 399 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
367365, 366sylib 218 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
368 limclner.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
369368, 73sstrd 4005 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
37036, 369, 56ellimc3 25928 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))))
371367, 370mtbird 325 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
372371eq0rdv 4412 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  cdif 3959  cin 3961  wss 3962  c0 4338  ifcif 4530  {csn 4630   cuni 4911   class class class wbr 5147  ran crn 5689  cres 5690  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  4c4 12320  +crp 13031  (,)cioo 13383  abscabs 15269  t crest 17466  TopOpenctopn 17467  topGenctg 17483  fldccnfld 21381  Topctop 22914  limPtclp 23157   lim climc 25911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-cnp 23251  df-xms 24345  df-ms 24346  df-limc 25915
This theorem is referenced by:  limclr  45610  jumpncnp  45853
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