limclner - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem limclner 45649

Description: For a limit point, both from the left and from the right, of the domain, the limit of the function exits only if the left and the right limits are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
limclner.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂ_fld)
limclner.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limclner.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limclner.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limclner.blp1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
limclner.blp2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
limclner.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
limclner.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵))
limclner.lner	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
limclner	⊢ (𝜑 → (𝐹 lim_ℂ 𝐵) = ∅)

Proof of Theorem limclner Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑣 𝑧 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 25776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵) ⊆ ℂ
2		limclner.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵))
3	1, 2	sselid 3944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝑅 ∈ ℂ)
5		limccl 25776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ⊆ ℂ
6		limclner.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
7	5, 6	sselid 3944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝐿 ∈ ℂ)
9	4, 8	subcld 11533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑅 − 𝐿) ∈ ℂ)
10		limclner.lner	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 𝑅)
11	10	necomd 2980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 𝐿)
12	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝑅 ≠ 𝐿)
13	4, 8, 12	subne0d 11542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑅 − 𝐿) ≠ 0)
14	9, 13	absrpcld 15417	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ⁺)
15		4re 12270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
16		4pos 12293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
17	15, 16	elrpii 12954	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ⁺
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 4 ∈ ℝ⁺)
19	14, 18	rpdivcld 13012	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺)
20		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ)
21		nfra1 3261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)
22	20, 21	nfan 1899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
23		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))
24	22, 23	nfim 1896	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))
25		ovex 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ V
26		eleq1 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → (𝑦 ∈ ℝ⁺ ↔ ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺))
27		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → (4 · 𝑦) = (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))
28	27	breq2d 5119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦) ↔ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))
29	28	2rexbidv 3202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))
30	26, 29	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → ((𝑦 ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)) ↔ (((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))))
31	30	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))))
32		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
33		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
34		rspa 3226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
35	34	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
36		limclner.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
37		fresin 6729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
39		inss2 4201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ (𝐵(,)+∞)
40		ioosscn 13369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℂ
41	39, 40	sstri 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ)
43		limclner.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
44		retop 24649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
45	43, 44	eqeltri 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝐽 ∈ Top
46		inss2 4201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
47		ioossre 13368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
48	46, 47	sstri 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
49		uniretop 24650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
50	43	unieqi 4883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
51	49, 50	eqtr4i 2755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
52	51	lpss 23029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ)
53	45, 48, 52	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ
54		limclner.blp1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
55	53, 54	sselid 3944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
56	55	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
57	38, 42, 56	ellimc3 25780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))))
58	2, 57	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)))
59	58	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
60	59	r19.21bi 3229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
61	60	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
62		simp11l 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝜑)
63		simp12 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ⁺)
64		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℝ⁺)
65		breq2 5111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑢 = if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)))
66	65	rexbidv 3157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑢 = if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)))
67		inss1 4200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
69		limclner.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂ_fld)
70	69	cnfldtop 24671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 𝐾 ∈ Top
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
72		ax-resscn 11125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
74		ioossre 13368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ
75	39, 74	sstri 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ)
77		unicntop 24673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)
78	69	unieqi 4883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)
79	77, 78	eqtr4i 2755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
80	69	tgioo2 24691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐾 ↾_t ℝ)
81	43, 80	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾_t ℝ)
82	79, 81	restlp 23070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ))
83	71, 73, 76, 82	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ))
84	69	eqcomi 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = 𝐾
85	84	fveq2i 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld)) = (limPt‘𝐾)
86	85	fveq1i 6859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
88	68, 83, 87	3sstr4d 4002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ⊆ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
89		limclner.blp2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
90	88, 89	sseldd 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
91	42, 56	islpcn 45637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢))
92	90, 91	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢)
93	92	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢)
94		ifcl 4534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ⁺)
95	94	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ⁺)
96	66, 93, 95	rspcdva 3589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣))
97		eldifi 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
98	75, 97	sselid 3944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ ℝ)
99	73	sselda 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℂ)
100	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
101	99, 100	subcld 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑏 − 𝐵) ∈ ℂ)
102	101	abscld 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ∈ ℝ)
103	102	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ∈ ℝ)
104	103	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ∈ ℝ)
105	95	rpred 12995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
106	105	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
107		rpre 12960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → 𝑧 ∈ ℝ)
108	107	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → 𝑧 ∈ ℝ)
109	108	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ)
110		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣))
111		rpre 12960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ⁺ → 𝑣 ∈ ℝ)
112		min1 13149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
113	107, 111, 112	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
114	113	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
115	114	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
116	104, 106, 109, 110, 115	ltletrd 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧)
117	111	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → 𝑣 ∈ ℝ)
118	117	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
119	109, 118	min2d 45469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
120	104, 106, 118, 110, 119	ltletrd 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)
121	116, 120	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
122	121	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)))
123	98, 122	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)))
124	123	reximdva 3146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)))
125	96, 124	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
126	62, 63, 64, 125	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
127		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
128		nfre1 3262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑏∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
129	97	elin1d 4167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ 𝐴)
130	129	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏 ∈ 𝐴)
131		simp113 1305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
132		eldifsni 4754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ≠ 𝐵)
133	132	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏 ≠ 𝐵)
134		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧)
135	133, 134	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧))
136	135	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧))
137		neeq1 2987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 ≠ 𝐵 ↔ 𝑏 ≠ 𝐵))
138		fvoveq1 7410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (abs‘(𝑤 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵)))
139	138	breq1d 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧))
140	137, 139	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) ↔ (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧)))
141	140	imbrov2fvoveq 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)))
142	141	rspcva 3586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦))
143	142	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
144	130, 131, 136, 143	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
145	97	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
146	62	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝜑)
147		simp13 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
148		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
149		nfra1 3261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
150	148, 149	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
151		elinel2 4165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → 𝑤 ∈ (𝐵(,)+∞))
152	151	fvresd 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) = (𝐹‘𝑤))
153	152	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹‘𝑤) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤))
154	153	fvoveq1d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)))
155	154	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)))
156		rspa 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
157	156	3impia 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
158	157	3adant1l 1177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
159	155, 158	eqbrtrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
160	159	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)))
161	150, 160	ralrimi 3235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
162	146, 147, 161	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
163	132	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
164	163	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
165	164	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
166	138	breq1d 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))
167	137, 166	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) ↔ (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)))
168	167	imbrov2fvoveq 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ↔ ((𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
169	168	rspcva 3586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
170	169	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
171	145, 162, 165, 170	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
172		rspe 3227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
173	130, 144, 171, 172	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
174	173	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → (((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
175	127, 128, 174	rexlimd 3244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
176	126, 175	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
177	176	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑣 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
178	177	rexlimdv 3132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
179	61, 178	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
180	179	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (𝑧 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
181	180	rexlimdv 3132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
182	181	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
183	182	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
184	183	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
185	3	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑅 ∈ ℂ)
186	7	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝐿 ∈ ℂ)
187	185, 186	subcld 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑅 − 𝐿) ∈ ℂ)
188	187	abscld 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ)
189		simp-6l 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝜑)
190		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑏 ∈ 𝐴)
191	36	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
192	189, 190, 191	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
193	185, 192	subcld 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑅 − (𝐹‘𝑏)) ∈ ℂ)
194	193	abscld 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) ∈ ℝ)
195		simp-6r 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
196	192, 195	subcld 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝐹‘𝑏) − 𝑥) ∈ ℂ)
197	196	abscld 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) ∈ ℝ)
198	194, 197	readdcld 11203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) ∈ ℝ)
199		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑎 ∈ 𝐴)
200	36	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
201	189, 199, 200	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
202	195, 201	subcld 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑥 − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ)
203	202	abscld 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℝ)
204	198, 203	readdcld 11203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ)
205	201, 186	subcld 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝐹‘𝑎) − 𝐿) ∈ ℂ)
206	205	abscld 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) ∈ ℝ)
207	204, 206	readdcld 11203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎)))) + (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿))) ∈ ℝ)
208	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 4 ∈ ℝ)
209		rpre 12960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 𝑦 ∈ ℝ)
210	209	ad5antlr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
211	208, 210	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (4 · 𝑦) ∈ ℝ)
212	185, 192, 195, 201, 186	absnpncan3d 45305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ≤ ((((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎)))) + (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿))))
213	185, 192	abssubd 15422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) = (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)))
214		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
215	213, 214	eqbrtrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) < 𝑦)
216		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
217		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
218	200	ad5ant14 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
219	218	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
220	217, 219	abssubd 15422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎))) = (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)))
221		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
222	220, 221	eqbrtrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎))) < 𝑦)
223	222	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎))) < 𝑦)
224		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
225	224	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
226	194, 197, 203, 206, 210, 215, 216, 223, 225	lt4addmuld 45304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎)))) + (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿))) < (4 · 𝑦))
227	188, 207, 211, 212, 226	lelttrd 11332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))
228	227	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)))
229	228	adantl3r 750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)))
230	229	reximdva 3146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)))
231	184, 230	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))
232		fresin 6729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
233	36, 232	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
234		ioosscn 13369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (-∞(,)𝐵) ⊆ ℂ
235	46, 234	sstri 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ
236	235	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ)
237	233, 236, 56	ellimc3 25780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))))
238	6, 237	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)))
239	238	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
240	239	r19.21bi 3229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
241	240	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
242		simp11l 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝜑)
243		simp12 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ⁺)
244		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℝ⁺)
245		breq2 5111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑢 = if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)))
246	245	rexbidv 3157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 = if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢 ↔ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)))
247		inss1 4200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
248	247	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
249	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
250	79, 81	restlp 23070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ))
251	71, 73, 249, 250	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ))
252	85	fveq1i 6859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
253	252	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
254	248, 251, 253	3sstr4d 4002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
255	254, 54	sseldd 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
256	236, 56	islpcn 45637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢))
257	255, 256	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢)
258	257	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑢 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢)
259	246, 258, 95	rspcdva 3589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣))
260		eldifi 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
261	48, 260	sselid 3944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ ℝ)
262	73	sselda 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
263	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
264	262, 263	subcld 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑎 − 𝐵) ∈ ℂ)
265	264	abscld 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) ∈ ℝ)
266	265	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) ∈ ℝ)
267	266	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) ∈ ℝ)
268	105	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
269	108	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ)
270		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣))
271	114	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
272	267, 268, 269, 270, 271	ltletrd 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧)
273	117	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
274		min2 13150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
275	107, 111, 274	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
276	275	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
277	276	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
278	267, 268, 273, 270, 277	ltletrd 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)
279	272, 278	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
280	279	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)))
281	261, 280	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)))
282	281	reximdva 3146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)))
283	259, 282	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
284	242, 243, 244, 283	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
285		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑎(((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
286		nfre1 3262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑎∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
287	260	elin1d 4167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ 𝐴)
288	287	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎 ∈ 𝐴)
289		simp113 1305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
290		eldifsni 4754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ≠ 𝐵)
291	290	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎 ≠ 𝐵)
292		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧)
293	291, 292	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧))
294	293	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧))
295		neeq1 2987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (𝑤 ≠ 𝐵 ↔ 𝑎 ≠ 𝐵))
296		fvoveq1 7410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (abs‘(𝑤 − 𝐵)) = (abs‘(𝑎 − 𝐵)))
297	296	breq1d 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧))
298	295, 297	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) ↔ (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧)))
299	298	imbrov2fvoveq 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)))
300	299	rspcva 3586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦))
301	300	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
302	288, 289, 294, 301	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
303	260	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
304	242	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝜑)
305		simp13 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
306		nfra1 3261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
307	148, 306	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
308		elinel2 4165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑤 ∈ (-∞(,)𝐵))
309	308	fvresd 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) = (𝐹‘𝑤))
310	309	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑤) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤))
311	310	fvoveq1d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)))
312	311	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)))
313		rspa 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
314	313	3impia 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
315	314	3adant1l 1177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
316	312, 315	eqbrtrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
317	316	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)))
318	307, 317	ralrimi 3235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
319	304, 305, 318	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
320	290	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
321	320	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
322	321	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
323	296	breq1d 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))
324	295, 323	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) ↔ (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)))
325	324	imbrov2fvoveq 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ↔ ((𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
326	325	rspcva 3586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ((𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
327	326	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
328	303, 319, 322, 327	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
329		rspe 3227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
330	288, 302, 328, 329	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
331	330	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → (((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
332	285, 286, 331	rexlimd 3244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
333	284, 332	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
334	333	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑣 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
335	334	rexlimdv 3132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑣 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
336	241, 335	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
337	336	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (𝑧 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
338	337	rexlimdv 3132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
339	338	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
340	339	adantllr 719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
341	231, 340	reximddv3 3150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))
342	32, 33, 35, 341	syl21anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))
343	342	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)))
344	24, 25, 31, 343	vtoclf 3530	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ⁺ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))
345	19, 344	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))
346		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))
347		abssubrp 45274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ≠ 𝐿) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ⁺)
348	3, 7, 11, 347	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ⁺)
349	348	rpcnd 12997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℂ)
350	349	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℂ)
351		4cn 12271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℂ
352	351	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → 4 ∈ ℂ)
353		4ne0 12294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ≠ 0
354	353	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → 4 ≠ 0)
355	350, 352, 354	divcan2d 11960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) = (abs‘(𝑅 − 𝐿)))
356	346, 355	breqtrd 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))
357	356	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿))))
358	357	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))))
359	358	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))))
360	359	rexlimdvv 3193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿))))
361	345, 360	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))
362	9	abscld 15405	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ)
363	362	ltnrd 11308	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ¬ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))
364	361, 363	pm2.65da 816	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
365	364	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
366		imnan 399	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
367	365, 366	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
368		limclner.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
369	368, 73	sstrd 3957	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
370	36, 369, 56	ellimc3 25780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))))
371	367, 370	mtbird 325	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
372	371	eq0rdv 4370	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 lim_ℂ 𝐵) = ∅)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∀wral 3044 ∃wrex 3053 ∖ cdif 3911 ∩ cin 3913 ⊆ wss 3914 ∅c0 4296 ifcif 4488 {csn 4589 ∪ cuni 4871 class class class wbr 5107 ran crn 5639 ↾ cres 5640 ⟶wf 6507 ‘cfv 6511 (class class class)co 7387 ℂcc 11066 ℝcr 11067 0cc0 11068 + caddc 11071 · cmul 11073 +∞cpnf 11205 -∞cmnf 11206 < clt 11208 ≤ cle 11209 − cmin 11405 / cdiv 11835 4c4 12243 ℝ⁺crp 12951 (,)cioo 13306 abscabs 15200 ↾_t crest 17383 TopOpenctopn 17384 topGenctg 17400 ℂ_fldccnfld 21264 Topctop 22780 limPtclp 23021 lim_ℂ climc 25763

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5234 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145 ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-tp 4594 df-op 4596 df-uni 4872 df-int 4911 df-iun 4957 df-iin 4958 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-om 7843 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-1o 8434 df-er 8671 df-map 8801 df-pm 8802 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-fin 8922 df-fi 9362 df-sup 9393 df-inf 9394 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-div 11836 df-nn 12187 df-2 12249 df-3 12250 df-4 12251 df-5 12252 df-6 12253 df-7 12254 df-8 12255 df-9 12256 df-n0 12443 df-z 12530 df-dec 12650 df-uz 12794 df-q 12908 df-rp 12952 df-xneg 13072 df-xadd 13073 df-xmul 13074 df-ioo 13310 df-fz 13469 df-seq 13967 df-exp 14027 df-cj 15065 df-re 15066 df-im 15067 df-sqrt 15201 df-abs 15202 df-struct 17117 df-slot 17152 df-ndx 17164 df-base 17180 df-plusg 17233 df-mulr 17234 df-starv 17235 df-tset 17239 df-ple 17240 df-ds 17242 df-unif 17243 df-rest 17385 df-topn 17386 df-topgen 17406 df-psmet 21256 df-xmet 21257 df-met 21258 df-bl 21259 df-mopn 21260 df-cnfld 21265 df-top 22781 df-topon 22798 df-topsp 22820 df-bases 22833 df-cld 22906 df-ntr 22907 df-cls 22908 df-nei 22985 df-lp 23023 df-cnp 23115 df-xms 24208 df-ms 24209 df-limc 25767

This theorem is referenced by: limclr 45653 jumpncnp 45896

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