| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | limccl 25910 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵) ⊆
ℂ |
| 2 | | limclner.r |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵)) |
| 3 | 1, 2 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ) |
| 4 | 3 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝑅 ∈ ℂ) |
| 5 | | limccl 25910 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵) ⊆
ℂ |
| 6 | | limclner.l |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵)) |
| 7 | 5, 6 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ) |
| 8 | 7 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝐿 ∈ ℂ) |
| 9 | 4, 8 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑅 − 𝐿) ∈ ℂ) |
| 10 | | limclner.lner |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 𝑅) |
| 11 | 10 | necomd 2996 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 𝐿) |
| 12 | 11 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝑅 ≠ 𝐿) |
| 13 | 4, 8, 12 | subne0d 11629 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑅 − 𝐿) ≠ 0) |
| 14 | 9, 13 | absrpcld 15487 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈
ℝ+) |
| 15 | | 4re 12350 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 4 ∈
ℝ |
| 16 | | 4pos 12373 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 0 <
4 |
| 17 | 15, 16 | elrpii 13037 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 4 ∈
ℝ+ |
| 18 | 17 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 4 ∈
ℝ+) |
| 19 | 14, 18 | rpdivcld 13094 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈
ℝ+) |
| 20 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) |
| 21 | | nfra1 3284 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+
∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) |
| 22 | 20, 21 | nfan 1899 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) |
| 23 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑦(((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ →
∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) |
| 24 | 22, 23 | nfim 1896 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ →
∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))) |
| 25 | | ovex 7464 |
. . . . . . . . 9
⊢
((abs‘(𝑅
− 𝐿)) / 4) ∈
V |
| 26 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → (𝑦 ∈ ℝ+ ↔
((abs‘(𝑅 −
𝐿)) / 4) ∈
ℝ+)) |
| 27 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → (4 · 𝑦) = (4 ·
((abs‘(𝑅 −
𝐿)) / 4))) |
| 28 | 27 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦) ↔ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))) |
| 29 | 28 | 2rexbidv 3222 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))) |
| 30 | 26, 29 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → ((𝑦 ∈ ℝ+ →
∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)) ↔ (((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ →
∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))))) |
| 31 | 30 | imbi2d 340 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 = ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) → ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ+ →
∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ →
∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))))) |
| 32 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) |
| 33 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈
ℝ+) |
| 34 | | rspa 3248 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((∀𝑦 ∈
ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) →
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) |
| 35 | 34 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) →
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) |
| 36 | | limclner.f |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ) |
| 37 | | fresin 6777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ) |
| 38 | 36, 37 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ) |
| 39 | | inss2 4238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ (𝐵(,)+∞) |
| 40 | | ioosscn 13449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝐵(,)+∞) ⊆
ℂ |
| 41 | 39, 40 | sstri 3993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆
ℂ |
| 42 | 41 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆
ℂ) |
| 43 | | limclner.j |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ 𝐽 = (topGen‘ran
(,)) |
| 44 | | retop 24782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(topGen‘ran (,)) ∈ Top |
| 45 | 43, 44 | eqeltri 2837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ 𝐽 ∈ Top |
| 46 | | inss2 4238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵) |
| 47 | | ioossre 13448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(-∞(,)𝐵)
⊆ ℝ |
| 48 | 46, 47 | sstri 3993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆
ℝ |
| 49 | | uniretop 24783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ℝ =
∪ (topGen‘ran (,)) |
| 50 | 43 | unieqi 4919 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ∪ 𝐽 =
∪ (topGen‘ran (,)) |
| 51 | 49, 50 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ℝ =
∪ 𝐽 |
| 52 | 51 | lpss 23150 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) →
((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ) |
| 53 | 45, 48, 52 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ |
| 54 | | limclner.blp1 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))) |
| 55 | 53, 54 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 56 | 55 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 57 | 38, 42, 56 | ellimc3 25914 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑣 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)))) |
| 58 | 2, 57 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑣 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))) |
| 59 | 58 | simprd 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ ℝ+
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) |
| 60 | 59 | r19.21bi 3251 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) →
∃𝑣 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) |
| 61 | 60 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) |
| 62 | | simp11l 1285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝜑) |
| 63 | | simp12 1205 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ+) |
| 64 | | simp2 1138 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℝ+) |
| 65 | | breq2 5147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑢 = if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣))) |
| 66 | 65 | rexbidv 3179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑢 = if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣))) |
| 67 | | inss1 4237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
(((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ) ⊆
((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) |
| 68 | 67 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝜑 → (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ) ⊆
((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))) |
| 69 | | limclner.k |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ 𝐾 =
(TopOpen‘ℂfld) |
| 70 | 69 | cnfldtop 24804 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ 𝐾 ∈ Top |
| 71 | 70 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top) |
| 72 | | ax-resscn 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
| 73 | 72 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → ℝ ⊆
ℂ) |
| 74 | | ioossre 13448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝐵(,)+∞) ⊆
ℝ |
| 75 | 39, 74 | sstri 3993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆
ℝ |
| 76 | 75 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆
ℝ) |
| 77 | | unicntop 24806 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ℂ =
∪
(TopOpen‘ℂfld) |
| 78 | 69 | unieqi 4919 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ∪ 𝐾 =
∪
(TopOpen‘ℂfld) |
| 79 | 77, 78 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ℂ =
∪ 𝐾 |
| 80 | 69 | tgioo2 24824 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢
(topGen‘ran (,)) = (𝐾 ↾t
ℝ) |
| 81 | 43, 80 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t
ℝ) |
| 82 | 79, 81 | restlp 23191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ
⊆ ℂ ∧ (𝐴
∩ (𝐵(,)+∞))
⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩
ℝ)) |
| 83 | 71, 73, 76, 82 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩
ℝ)) |
| 84 | 69 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢
(TopOpen‘ℂfld) = 𝐾 |
| 85 | 84 | fveq2i 6909 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(limPt‘(TopOpen‘ℂfld)) = (limPt‘𝐾) |
| 86 | 85 | fveq1i 6907 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) |
| 87 | 86 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝜑 →
((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))) |
| 88 | 68, 83, 87 | 3sstr4d 4039 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ⊆
((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))) |
| 89 | | limclner.blp2 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))) |
| 90 | 88, 89 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))) |
| 91 | 42, 56 | islpcn 45654 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈
((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ+
∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢)) |
| 92 | 90, 91 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢) |
| 93 | 92 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∀𝑢 ∈
ℝ+ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑢) |
| 94 | | ifcl 4571 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈
ℝ+) |
| 95 | 94 | 3adant1 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈
ℝ+) |
| 96 | 66, 93, 95 | rspcdva 3623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∃𝑏 ∈
((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) |
| 97 | | eldifi 4131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) |
| 98 | 75, 97 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ ℝ) |
| 99 | 73 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℂ) |
| 100 | 56 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 101 | 99, 100 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑏 − 𝐵) ∈ ℂ) |
| 102 | 101 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ∈ ℝ) |
| 103 | 102 | 3ad2antl1 1186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑏 ∈ ℝ)
→ (abs‘(𝑏
− 𝐵)) ∈
ℝ) |
| 104 | 103 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑏 ∈ ℝ)
∧ (abs‘(𝑏 −
𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ∈ ℝ) |
| 105 | 95 | rpred 13077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ) |
| 106 | 105 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑏 ∈ ℝ)
∧ (abs‘(𝑏 −
𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ) |
| 107 | | rpre 13043 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑧 ∈ ℝ+
→ 𝑧 ∈
ℝ) |
| 108 | 107 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ 𝑧 ∈
ℝ) |
| 109 | 108 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑏 ∈ ℝ)
∧ (abs‘(𝑏 −
𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ) |
| 110 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑏 ∈ ℝ)
∧ (abs‘(𝑏 −
𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) |
| 111 | | rpre 13043 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ 𝑣 ∈
ℝ) |
| 112 | | min1 13231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧) |
| 113 | 107, 111,
112 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧) |
| 114 | 113 | 3adant1 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧) |
| 115 | 114 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑏 ∈ ℝ)
∧ (abs‘(𝑏 −
𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧) |
| 116 | 104, 106,
109, 110, 115 | ltletrd 11421 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑏 ∈ ℝ)
∧ (abs‘(𝑏 −
𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧) |
| 117 | 111 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ 𝑣 ∈
ℝ) |
| 118 | 117 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑏 ∈ ℝ)
∧ (abs‘(𝑏 −
𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ) |
| 119 | 109, 118 | min2d 45484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑏 ∈ ℝ)
∧ (abs‘(𝑏 −
𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣) |
| 120 | 104, 106,
118, 110, 119 | ltletrd 11421 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑏 ∈ ℝ)
∧ (abs‘(𝑏 −
𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) |
| 121 | 116, 120 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑏 ∈ ℝ)
∧ (abs‘(𝑏 −
𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) |
| 122 | 121 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑏 ∈ ℝ)
→ ((abs‘(𝑏
− 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))) |
| 123 | 98, 122 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))) |
| 124 | 123 | reximdva 3168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (∃𝑏 ∈
((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))) |
| 125 | 96, 124 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∃𝑏 ∈
((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) |
| 126 | 62, 63, 64, 125 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) |
| 127 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) |
| 128 | | nfre1 3285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑏∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) |
| 129 | 97 | elin1d 4204 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ 𝐴) |
| 130 | 129 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏 ∈ 𝐴) |
| 131 | | simp113 1305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) |
| 132 | | eldifsni 4790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ≠ 𝐵) |
| 133 | 132 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏 ≠ 𝐵) |
| 134 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧) |
| 135 | 133, 134 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧)) |
| 136 | 135 | 3adant1 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧)) |
| 137 | | neeq1 3003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 ≠ 𝐵 ↔ 𝑏 ≠ 𝐵)) |
| 138 | | fvoveq1 7454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑤 = 𝑏 → (abs‘(𝑤 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵))) |
| 139 | 138 | breq1d 5153 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧)) |
| 140 | 137, 139 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) ↔ (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧))) |
| 141 | 140 | imbrov2fvoveq 7456 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦))) |
| 142 | 141 | rspcva 3620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)) |
| 143 | 142 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦) |
| 144 | 130, 131,
136, 143 | syl21anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦) |
| 145 | 97 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) |
| 146 | 62 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝜑) |
| 147 | | simp13 1206 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) |
| 148 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
Ⅎ𝑤𝜑 |
| 149 | | nfra1 3284 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
Ⅎ𝑤∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) |
| 150 | 148, 149 | nfan 1899 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) |
| 151 | | elinel2 4202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → 𝑤 ∈ (𝐵(,)+∞)) |
| 152 | 151 | fvresd 6926 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) = (𝐹‘𝑤)) |
| 153 | 152 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹‘𝑤) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤)) |
| 154 | 153 | fvoveq1d 7453 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅))) |
| 155 | 154 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅))) |
| 156 | | rspa 3248 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢
((∀𝑤 ∈
(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) |
| 157 | 156 | 3impia 1118 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
((∀𝑤 ∈
(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) |
| 158 | 157 | 3adant1l 1177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) |
| 159 | 155, 158 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) |
| 160 | 159 | 3exp 1120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))) |
| 161 | 150, 160 | ralrimi 3257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) |
| 162 | 146, 147,
161 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) |
| 163 | 132 | anim1i 615 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) |
| 164 | 163 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) |
| 165 | 164 | 3adant1 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) |
| 166 | 138 | breq1d 5153 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) |
| 167 | 137, 166 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) ↔ (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣))) |
| 168 | 167 | imbrov2fvoveq 7456 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ↔ ((𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))) |
| 169 | 168 | rspcva 3620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) |
| 170 | 169 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ (𝑏 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) |
| 171 | 145, 162,
165, 170 | syl21anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) |
| 172 | | rspe 3249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) |
| 173 | 130, 144,
171, 172 | syl12anc 837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) |
| 174 | 173 | 3exp 1120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → (((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))) |
| 175 | 127, 128,
174 | rexlimd 3266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))) |
| 176 | 126, 175 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) |
| 177 | 176 | 3exp 1120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑣 ∈ ℝ+ →
(∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))) |
| 178 | 177 | rexlimdv 3153 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑣 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))) |
| 179 | 61, 178 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) |
| 180 | 179 | 3exp 1120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ+
→ (∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))) |
| 181 | 180 | rexlimdv 3153 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) →
(∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))) |
| 182 | 181 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) |
| 183 | 182 | adantllr 719 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) |
| 184 | 183 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ ∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) |
| 185 | 3 | ad6antr 736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑅 ∈ ℂ) |
| 186 | 7 | ad6antr 736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝐿 ∈ ℂ) |
| 187 | 185, 186 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑅 − 𝐿) ∈ ℂ) |
| 188 | 187 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ) |
| 189 | | simp-6l 787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝜑) |
| 190 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑏 ∈ 𝐴) |
| 191 | 36 | ffvelcdmda 7104 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ) |
| 192 | 189, 190,
191 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ) |
| 193 | 185, 192 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑅 − (𝐹‘𝑏)) ∈ ℂ) |
| 194 | 193 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) ∈ ℝ) |
| 195 | | simp-6r 788 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ) |
| 196 | 192, 195 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝐹‘𝑏) − 𝑥) ∈ ℂ) |
| 197 | 196 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) ∈ ℝ) |
| 198 | 194, 197 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) ∈ ℝ) |
| 199 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑎 ∈ 𝐴) |
| 200 | 36 | ffvelcdmda 7104 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ) |
| 201 | 189, 199,
200 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ) |
| 202 | 195, 201 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑥 − (𝐹‘𝑎)) ∈ ℂ) |
| 203 | 202 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎))) ∈ ℝ) |
| 204 | 198, 203 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎)))) ∈ ℝ) |
| 205 | 201, 186 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝐹‘𝑎) − 𝐿) ∈ ℂ) |
| 206 | 205 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) ∈ ℝ) |
| 207 | 204, 206 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎)))) + (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿))) ∈ ℝ) |
| 208 | 15 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 4 ∈ ℝ) |
| 209 | | rpre 13043 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ 𝑦 ∈
ℝ) |
| 210 | 209 | ad5antlr 735 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ) |
| 211 | 208, 210 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (4 · 𝑦) ∈ ℝ) |
| 212 | 185, 192,
195, 201, 186 | absnpncan3d 45319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ≤ ((((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎)))) + (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)))) |
| 213 | 185, 192 | abssubd 15492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) = (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅))) |
| 214 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) |
| 215 | 213, 214 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) < 𝑦) |
| 216 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦) |
| 217 | | simp-5r 786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ) |
| 218 | 200 | ad5ant14 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ) |
| 219 | 218 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ) |
| 220 | 217, 219 | abssubd 15492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎))) = (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥))) |
| 221 | | simplrl 777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦) |
| 222 | 220, 221 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎))) < 𝑦) |
| 223 | 222 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎))) < 𝑦) |
| 224 | | simplrr 778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦) |
| 225 | 224 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦) |
| 226 | 194, 197,
203, 206, 210, 215, 216, 223, 225 | lt4addmuld 45318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅 − (𝐹‘𝑏))) + (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹‘𝑎)))) + (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿))) < (4 · 𝑦)) |
| 227 | 188, 207,
211, 212, 226 | lelttrd 11419 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)) |
| 228 | 227 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))) |
| 229 | 228 | adantl3r 750 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ ∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))) |
| 230 | 229 | reximdva 3168 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ ∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))) |
| 231 | 184, 230 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ ∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)) |
| 232 | | fresin 6777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ) |
| 233 | 36, 232 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ) |
| 234 | | ioosscn 13449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(-∞(,)𝐵)
⊆ ℂ |
| 235 | 46, 234 | sstri 3993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆
ℂ |
| 236 | 235 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ) |
| 237 | 233, 236,
56 | ellimc3 25914 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑣 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)))) |
| 238 | 6, 237 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑣 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))) |
| 239 | 238 | simprd 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ ℝ+
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) |
| 240 | 239 | r19.21bi 3251 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) →
∃𝑣 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) |
| 241 | 240 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) |
| 242 | | simp11l 1285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝜑) |
| 243 | | simp12 1205 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ+) |
| 244 | | simp2 1138 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℝ+) |
| 245 | | breq2 5147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑢 = if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣))) |
| 246 | 245 | rexbidv 3179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑢 = if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢 ↔ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣))) |
| 247 | | inss1 4237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ) ⊆
((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) |
| 248 | 247 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ) ⊆
((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))) |
| 249 | 48 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) |
| 250 | 79, 81 | restlp 23191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ
⊆ ℂ ∧ (𝐴
∩ (-∞(,)𝐵))
⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ)) |
| 251 | 71, 73, 249, 250 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ)) |
| 252 | 85 | fveq1i 6907 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) |
| 253 | 252 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 →
((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))) |
| 254 | 248, 251,
253 | 3sstr4d 4039 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆
((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))) |
| 255 | 254, 54 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))) |
| 256 | 236, 56 | islpcn 45654 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈
((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ+ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢)) |
| 257 | 255, 256 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ+ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢) |
| 258 | 257 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∀𝑢 ∈
ℝ+ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑢) |
| 259 | 246, 258,
95 | rspcdva 3623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∃𝑎 ∈
((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) |
| 260 | | eldifi 4131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) |
| 261 | 48, 260 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ ℝ) |
| 262 | 73 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ) |
| 263 | 56 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 264 | 262, 263 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑎 − 𝐵) ∈ ℂ) |
| 265 | 264 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) ∈ ℝ) |
| 266 | 265 | 3ad2antl1 1186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ ℝ)
→ (abs‘(𝑎
− 𝐵)) ∈
ℝ) |
| 267 | 266 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ ℝ)
∧ (abs‘(𝑎 −
𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) ∈ ℝ) |
| 268 | 105 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ ℝ)
∧ (abs‘(𝑎 −
𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ) |
| 269 | 108 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ ℝ)
∧ (abs‘(𝑎 −
𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ) |
| 270 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ ℝ)
∧ (abs‘(𝑎 −
𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) |
| 271 | 114 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ ℝ)
∧ (abs‘(𝑎 −
𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧) |
| 272 | 267, 268,
269, 270, 271 | ltletrd 11421 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ ℝ)
∧ (abs‘(𝑎 −
𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧) |
| 273 | 117 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ ℝ)
∧ (abs‘(𝑎 −
𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ) |
| 274 | | min2 13232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣) |
| 275 | 107, 111,
274 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣) |
| 276 | 275 | 3adant1 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣) |
| 277 | 276 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ ℝ)
∧ (abs‘(𝑎 −
𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣) |
| 278 | 267, 268,
273, 270, 277 | ltletrd 11421 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ ℝ)
∧ (abs‘(𝑎 −
𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) |
| 279 | 272, 278 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ ℝ)
∧ (abs‘(𝑎 −
𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣)) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) |
| 280 | 279 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ ℝ)
→ ((abs‘(𝑎
− 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))) |
| 281 | 261, 280 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))) |
| 282 | 281 | reximdva 3168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (∃𝑎 ∈
((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎 − 𝐵)) < if(𝑧 ≤ 𝑣, 𝑧, 𝑣) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))) |
| 283 | 259, 282 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∃𝑎 ∈
((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) |
| 284 | 242, 243,
244, 283 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) |
| 285 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
Ⅎ𝑎(((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) |
| 286 | | nfre1 3285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
Ⅎ𝑎∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦) |
| 287 | 260 | elin1d 4204 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ 𝐴) |
| 288 | 287 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎 ∈ 𝐴) |
| 289 | | simp113 1305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) |
| 290 | | eldifsni 4790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ≠ 𝐵) |
| 291 | 290 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎 ≠ 𝐵) |
| 292 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧) |
| 293 | 291, 292 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧)) |
| 294 | 293 | 3adant1 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧)) |
| 295 | | neeq1 3003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑤 = 𝑎 → (𝑤 ≠ 𝐵 ↔ 𝑎 ≠ 𝐵)) |
| 296 | | fvoveq1 7454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑤 = 𝑎 → (abs‘(𝑤 − 𝐵)) = (abs‘(𝑎 − 𝐵))) |
| 297 | 296 | breq1d 5153 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧)) |
| 298 | 295, 297 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) ↔ (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧))) |
| 299 | 298 | imbrov2fvoveq 7456 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑤 = 𝑎 → (((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦))) |
| 300 | 299 | rspcva 3620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)) |
| 301 | 300 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦) |
| 302 | 288, 289,
294, 301 | syl21anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦) |
| 303 | 260 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) |
| 304 | 242 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → 𝜑) |
| 305 | | simp13 1206 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) |
| 306 | | nfra1 3284 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
Ⅎ𝑤∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) |
| 307 | 148, 306 | nfan 1899 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) |
| 308 | | elinel2 4202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑤 ∈ (-∞(,)𝐵)) |
| 309 | 308 | fvresd 6926 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) = (𝐹‘𝑤)) |
| 310 | 309 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑤) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤)) |
| 311 | 310 | fvoveq1d 7453 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿))) |
| 312 | 311 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿))) |
| 313 | | rspa 3248 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
((∀𝑤 ∈
(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) |
| 314 | 313 | 3impia 1118 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
((∀𝑤 ∈
(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) |
| 315 | 314 | 3adant1l 1177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) |
| 316 | 312, 315 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) |
| 317 | 316 | 3exp 1120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))) |
| 318 | 307, 317 | ralrimi 3257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) |
| 319 | 304, 305,
318 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) |
| 320 | 290 | anim1i 615 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) |
| 321 | 320 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) |
| 322 | 321 | 3adant1 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) |
| 323 | 296 | breq1d 5153 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) |
| 324 | 295, 323 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) ↔ (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣))) |
| 325 | 324 | imbrov2fvoveq 7456 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑤 = 𝑎 → (((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ↔ ((𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))) |
| 326 | 325 | rspcva 3620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ((𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) |
| 327 | 326 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ (𝑎 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦) |
| 328 | 303, 319,
322, 327 | syl21anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦) |
| 329 | | rspe 3249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) |
| 330 | 288, 302,
328, 329 | syl12anc 837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) |
| 331 | 330 | 3exp 1120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → (((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))) |
| 332 | 285, 286,
331 | rexlimd 3266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎 − 𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))) |
| 333 | 284, 332 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) |
| 334 | 333 | 3exp 1120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑣 ∈ ℝ+ →
(∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))) |
| 335 | 334 | rexlimdv 3153 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑣 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))) |
| 336 | 241, 335 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) |
| 337 | 336 | 3exp 1120 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ+
→ (∀𝑤 ∈
𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))) |
| 338 | 337 | rexlimdv 3153 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) →
(∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))) |
| 339 | 338 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) |
| 340 | 339 | adantllr 719 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) |
| 341 | 231, 340 | reximddv3 3172 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)) |
| 342 | 32, 33, 35, 341 | syl21anc 838 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) →
∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦)) |
| 343 | 342 | ex 412 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ+ →
∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · 𝑦))) |
| 344 | 24, 25, 31, 343 | vtoclf 3564 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ →
∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)))) |
| 345 | 19, 344 | mpd 15 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) |
| 346 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) |
| 347 | | abssubrp 45287 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ≠ 𝐿) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈
ℝ+) |
| 348 | 3, 7, 11, 347 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈
ℝ+) |
| 349 | 348 | rpcnd 13079 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℂ) |
| 350 | 349 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℂ) |
| 351 | | 4cn 12351 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 4 ∈
ℂ |
| 352 | 351 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → 4 ∈
ℂ) |
| 353 | | 4ne0 12374 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 4 ≠
0 |
| 354 | 353 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → 4 ≠ 0) |
| 355 | 350, 352,
354 | divcan2d 12045 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → (4 ·
((abs‘(𝑅 −
𝐿)) / 4)) =
(abs‘(𝑅 − 𝐿))) |
| 356 | 346, 355 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿))) |
| 357 | 356 | ex 412 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))) |
| 358 | 357 | a1d 25 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿))))) |
| 359 | 358 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿))))) |
| 360 | 359 | rexlimdvv 3212 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅 − 𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿)))) |
| 361 | 345, 360 | mpd 15 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿))) |
| 362 | 9 | abscld 15475 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − 𝐿)) ∈ ℝ) |
| 363 | 362 | ltnrd 11395 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ¬ (abs‘(𝑅 − 𝐿)) < (abs‘(𝑅 − 𝐿))) |
| 364 | 361, 363 | pm2.65da 817 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) |
| 365 | 364 | ex 412 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))) |
| 366 | | imnan 399 |
. . . 4
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ → ¬
∀𝑦 ∈
ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))) |
| 367 | 365, 366 | sylib 218 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ¬ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))) |
| 368 | | limclner.a |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ) |
| 369 | 368, 73 | sstrd 3994 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ) |
| 370 | 36, 369, 56 | ellimc3 25914 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))) |
| 371 | 367, 370 | mtbird 325 |
. 2
⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) |
| 372 | 371 | eq0rdv 4407 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ∅) |