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Theorem limclner 43882
Description: For a limit point, both from the left and from the right, of the domain, the limit of the function exits only if the left and the right limits are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limclner.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limclner.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limclner.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limclner.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limclner.blp1 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
limclner.blp2 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
limclner.l (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
limclner.r (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
limclner.lner (𝜑𝐿𝑅)
Assertion
Ref Expression
limclner (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ∅)

Proof of Theorem limclner
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑣 𝑧 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25239 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵) ⊆ ℂ
2 limclner.r . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
31, 2sselid 3942 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
43ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝑅 ∈ ℂ)
5 limccl 25239 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵) ⊆ ℂ
6 limclner.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
75, 6sselid 3942 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
87ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝐿 ∈ ℂ)
94, 8subcld 11512 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑅𝐿) ∈ ℂ)
10 limclner.lner . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿𝑅)
1110necomd 2999 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅𝐿)
1211ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝑅𝐿)
134, 8, 12subne0d 11521 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑅𝐿) ≠ 0)
149, 13absrpcld 15333 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ+)
15 4re 12237 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
16 4pos 12260 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
1715, 16elrpii 12918 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 4 ∈ ℝ+)
1914, 18rpdivcld 12974 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+)
20 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑦(𝜑𝑥 ∈ ℂ)
21 nfra1 3267 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)
2220, 21nfan 1902 . . . . . . . . . 10 𝑦((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
23 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑦(((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))
2422, 23nfim 1899 . . . . . . . . 9 𝑦(((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))
25 ovex 7390 . . . . . . . . 9 ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ V
26 eleq1 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+))
27 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → (4 · 𝑦) = (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))
2827breq2d 5117 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → ((abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦) ↔ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))
29282rexbidv 3213 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → (∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))
3026, 29imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → ((𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)) ↔ (((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))))
3130imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))) ↔ (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))))
32 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝜑𝑥 ∈ ℂ))
33 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
34 rspa 3231 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
3534adantll 712 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
36 limclner.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
37 fresin 6711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
39 inss2 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ (𝐵(,)+∞)
40 ioosscn 13326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℂ
4139, 40sstri 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ)
43 limclner.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝐽 = (topGen‘ran (,))
44 retop 24125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4543, 44eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐽 ∈ Top
46 inss2 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
47 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
4846, 47sstri 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
49 uniretop 24126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ℝ = (topGen‘ran (,))
5043unieqi 4878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝐽 = (topGen‘ran (,))
5149, 50eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ℝ = 𝐽
5251lpss 22493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ)
5345, 48, 52mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ
54 limclner.blp1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
5553, 54sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5655recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5738, 42, 56ellimc3 25243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))))
582, 57mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)))
5958simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
6059r19.21bi 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
61603ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
62 simp11l 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝜑)
63 simp12 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
64 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℝ+)
65 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑢 = if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)))
6665rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑢 = if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)))
67 inss1 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
69 limclner.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
7069cnfldtop 24147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝐾 ∈ Top
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐾 ∈ Top)
72 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ℝ ⊆ ℂ
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
74 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ
7539, 74sstri 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ)
77 unicntop 24149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
7869unieqi 4878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
7977, 78eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ℂ = 𝐾
8069tgioo2 24166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (topGen‘ran (,)) = (𝐾t ℝ)
8143, 80eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝐽 = (𝐾t ℝ)
8279, 81restlp 22534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ))
8371, 73, 76, 82syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ))
8469eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (TopOpen‘ℂfld) = 𝐾
8584fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (limPt‘(TopOpen‘ℂfld)) = (limPt‘𝐾)
8685fveq1i 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
8868, 83, 873sstr4d 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ⊆ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
89 limclner.blp2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
9088, 89sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
9142, 56islpcn 43870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢))
9290, 91mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢)
93923ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢)
94 ifcl 4531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ+)
95943adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ+)
9666, 93, 95rspcdva 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
97 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
9875, 97sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ ℝ)
9973sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℂ)
10056adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
10199, 100subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (𝑏𝐵) ∈ ℂ)
102101abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ)
1031023ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ)
104103adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ)
10595rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
106105ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
107 rpre 12923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ)
1081073ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ ℝ)
109108ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ)
110 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
111 rpre 12923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑣 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ)
112 min1 13108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
113107, 111, 112syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
1141133adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
115114ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
116104, 106, 109, 110, 115ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧)
1171113ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑣 ∈ ℝ)
118117ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
119109, 118min2d 43698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
120104, 106, 118, 110, 119ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)
121116, 120jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
122121ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)))
12398, 122sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)))
124123reximdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)))
12596, 124mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
12662, 63, 64, 125syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
127 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑏(((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
128 nfre1 3268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑏𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
12997elin1d 4158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏𝐴)
1301293ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏𝐴)
131 simp113 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
132 eldifsni 4750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏𝐵)
133132adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏𝐵)
134 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧)
135133, 134jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧))
1361353adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧))
137 neeq1 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑏 → (𝑤𝐵𝑏𝐵))
138 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 = 𝑏 → (abs‘(𝑤𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵)))
139138breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧))
140137, 139anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) ↔ (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧)))
141140imbrov2fvoveq 7382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)))
142141rspcva 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏𝐴 ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦))
143142imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑏𝐴 ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
144130, 131, 136, 143syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
145973ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
146623ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → 𝜑)
147 simp13 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
148 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑤𝜑
149 nfra1 3267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑤𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
150148, 149nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
151 elinel2 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → 𝑤 ∈ (𝐵(,)+∞))
152151fvresd 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) = (𝐹𝑤))
153152eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝑤) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤))
154153fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)))
1551543ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)))
156 rspa 3231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
1571563impia 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
1581573adant1l 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
159155, 158eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
1601593exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)))
161150, 160ralrimi 3240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
162146, 147, 161syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
163132anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
164163adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
1651643adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
166138breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
167137, 166anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) ↔ (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)))
168167imbrov2fvoveq 7382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ↔ ((𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
169168rspcva 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
170169imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
171145, 162, 165, 170syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
172 rspe 3232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑏𝐴 ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
173130, 144, 171, 172syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
1741733exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → (((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
175127, 128, 174rexlimd 3249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
176126, 175mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
1771763exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑣 ∈ ℝ+ → (∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
178177rexlimdv 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
17961, 178mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
1801793exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
181180rexlimdv 3150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
182181imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
183182adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
184183ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
1853ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑅 ∈ ℂ)
1867ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝐿 ∈ ℂ)
187185, 186subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑅𝐿) ∈ ℂ)
188187abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ)
189 simp-6l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝜑)
190 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑏𝐴)
19136ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑏𝐴) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
192189, 190, 191syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
193185, 192subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑅 − (𝐹𝑏)) ∈ ℂ)
194193abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) ∈ ℝ)
195 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
196192, 195subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝐹𝑏) − 𝑥) ∈ ℂ)
197196abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) ∈ ℝ)
198194, 197readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) ∈ ℝ)
199 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑎𝐴)
20036ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
201189, 199, 200syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
202195, 201subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑥 − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
203202abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎))) ∈ ℝ)
204198, 203readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
205201, 186subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝐹𝑎) − 𝐿) ∈ ℂ)
206205abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) ∈ ℝ)
207204, 206readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎)))) + (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿))) ∈ ℝ)
20815a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 4 ∈ ℝ)
209 rpre 12923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
210209ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
211208, 210remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (4 · 𝑦) ∈ ℝ)
212185, 192, 195, 201, 186absnpncan3d 43531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) ≤ ((((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎)))) + (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿))))
213185, 192abssubd 15338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) = (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)))
214 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
215213, 214eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) < 𝑦)
216 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
217 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
218200ad5ant14 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
219218adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
220217, 219abssubd 15338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎))) = (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)))
221 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
222220, 221eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎))) < 𝑦)
223222adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎))) < 𝑦)
224 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
225224adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
226194, 197, 203, 206, 210, 215, 216, 223, 225lt4addmuld 43530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎)))) + (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿))) < (4 · 𝑦))
227188, 207, 211, 212, 226lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))
228227ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
229228adantl3r 748 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
230229reximdva 3165 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → (∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
231184, 230mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))
232 fresin 6711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
23336, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
234 ioosscn 13326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-∞(,)𝐵) ⊆ ℂ
23546, 234sstri 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ)
237233, 236, 56ellimc3 25243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))))
2386, 237mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)))
239238simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
240239r19.21bi 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
2412403ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
242 simp11l 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝜑)
243 simp12 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
244 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℝ+)
245 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢 = if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)))
246245rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 = if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢 ↔ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)))
247 inss1 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
248247a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
24948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
25079, 81restlp 22534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ))
25171, 73, 249, 250syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ))
25285fveq1i 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
253252a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
254248, 251, 2533sstr4d 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
255254, 54sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
256236, 56islpcn 43870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢))
257255, 256mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢)
2582573ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢)
259246, 258, 95rspcdva 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
260 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
26148, 260sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ ℝ)
26273sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
26356adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
264262, 263subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑎𝐵) ∈ ℂ)
265264abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑎𝐵)) ∈ ℝ)
2662653ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑎𝐵)) ∈ ℝ)
267266adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) ∈ ℝ)
268105ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
269108ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ)
270 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
271114ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
272267, 268, 269, 270, 271ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧)
273117ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
274 min2 13109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
275107, 111, 274syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
2762753adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
277276ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
278267, 268, 273, 270, 277ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)
279272, 278jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
280279ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)))
281261, 280sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)))
282281reximdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)))
283259, 282mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
284242, 243, 244, 283syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
285 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑎(((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
286 nfre1 3268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑎𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
287260elin1d 4158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎𝐴)
2882873ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎𝐴)
289 simp113 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
290 eldifsni 4750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎𝐵)
291290adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎𝐵)
292 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧)
293291, 292jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧))
2942933adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧))
295 neeq1 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑎 → (𝑤𝐵𝑎𝐵))
296 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑎 → (abs‘(𝑤𝐵)) = (abs‘(𝑎𝐵)))
297296breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧))
298295, 297anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) ↔ (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧)))
299298imbrov2fvoveq 7382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = 𝑎 → (((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)))
300299rspcva 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎𝐴 ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦))
301300imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑎𝐴 ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
302288, 289, 294, 301syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
3032603ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
3042423ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → 𝜑)
305 simp13 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
306 nfra1 3267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑤𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
307148, 306nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
308 elinel2 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑤 ∈ (-∞(,)𝐵))
309308fvresd 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) = (𝐹𝑤))
310309eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹𝑤) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤))
311310fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)))
3123113ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)))
313 rspa 3231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
3143133impia 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
3153143adant1l 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
316312, 315eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
3173163exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)))
318307, 317ralrimi 3240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
319304, 305, 318syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
320290anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
321320adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
3223213adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
323296breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
324295, 323anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) ↔ (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)))
325324imbrov2fvoveq 7382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = 𝑎 → (((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ↔ ((𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
326325rspcva 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ((𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
327326imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
328303, 319, 322, 327syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
329 rspe 3232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎𝐴 ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
330288, 302, 328, 329syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
3313303exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → (((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
332285, 286, 331rexlimd 3249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
333284, 332mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
3343333exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑣 ∈ ℝ+ → (∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
335334rexlimdv 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
336241, 335mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
3373363exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
338337rexlimdv 3150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
339338imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
340339adantllr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
341231, 340reximddv3 43351 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))
34232, 33, 35, 341syl21anc 836 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))
343342ex 413 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
34424, 25, 31, 343vtoclf 3516 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))
34519, 344mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))
346 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))
347 abssubrp 43499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑅𝐿) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ+)
3483, 7, 11, 347syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ+)
349348rpcnd 12959 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℂ)
350349adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℂ)
351 4cn 12238 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℂ
352351a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → 4 ∈ ℂ)
353 4ne0 12261 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ≠ 0
354353a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → 4 ≠ 0)
355350, 352, 354divcan2d 11933 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) = (abs‘(𝑅𝐿)))
356346, 355breqtrd 5131 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))
357356ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿))))
358357a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → ((abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))))
359358ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → ((abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))))
360359rexlimdvv 3204 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿))))
361345, 360mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))
3629abscld 15321 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ)
363362ltnrd 11289 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ¬ (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))
364361, 363pm2.65da 815 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
365364ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
366 imnan 400 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
367365, 366sylib 217 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
368 limclner.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
369368, 73sstrd 3954 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
37036, 369, 56ellimc3 25243 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))))
371367, 370mtbird 324 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
372371eq0rdv 4364 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486  {csn 4586   cuni 4865   class class class wbr 5105  ran crn 5634  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  4c4 12210  +crp 12915  (,)cioo 13264  abscabs 15119  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  Topctop 22242  limPtclp 22485   lim climc 25226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-cnp 22579  df-xms 23673  df-ms 23674  df-limc 25230
This theorem is referenced by:  limclr  43886  jumpncnp  44129
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