MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  natfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem natfval 17907
Description: Value of the function giving natural transformations between two categories. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 1-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
natfval.1 ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
natfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
natfval.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
natfval.j ๐ฝ = (Hom โ€˜๐ท)
natfval.o ยท = (compโ€˜๐ท)
Assertion
Ref Expression
natfval ๐‘ = (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘” โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))})
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘Ž,๐‘”,โ„Ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐ต,๐‘Ž,๐‘“,๐‘”,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐ถ,๐‘Ž,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐ฝ,๐‘Ž,๐‘“,๐‘”,๐‘Ÿ,๐‘    ๐ป,๐‘Ž,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘Ÿ,๐‘    ยท ,๐‘Ž,๐‘“,๐‘”,๐‘Ÿ,๐‘    ๐ท,๐‘Ž,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(โ„Ž)   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ,โ„Ž)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ฝ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,โ„Ž)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘ ,๐‘Ÿ,๐‘Ž)

Proof of Theorem natfval
Dummy variables ๐‘ก ๐‘ข are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 natfval.1 . 2 ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
2 oveq12 7421 . . . . 5 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (๐‘ก Func ๐‘ข) = (๐ถ Func ๐ท))
3 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ ๐‘ก = ๐ถ)
43fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (Baseโ€˜๐‘ก) = (Baseโ€˜๐ถ))
5 natfval.b . . . . . . . . . . 11 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
64, 5eqtr4di 2789 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (Baseโ€˜๐‘ก) = ๐ต)
76ixpeq1d 8909 . . . . . . . . 9 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ X๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) = X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)))
8 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ ๐‘ข = ๐ท)
98fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (Hom โ€˜๐‘ข) = (Hom โ€˜๐ท))
10 natfval.j . . . . . . . . . . . 12 ๐ฝ = (Hom โ€˜๐ท)
119, 10eqtr4di 2789 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (Hom โ€˜๐‘ข) = ๐ฝ)
1211oveqd 7429 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)))
1312ixpeq2dv 8913 . . . . . . . . 9 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) = X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)))
147, 13eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ X๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) = X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)))
153fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (Hom โ€˜๐‘ก) = (Hom โ€˜๐ถ))
16 natfval.h . . . . . . . . . . . . 13 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
1715, 16eqtr4di 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (Hom โ€˜๐‘ก) = ๐ป)
1817oveqd 7429 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐‘ก)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ))
198fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (compโ€˜๐‘ข) = (compโ€˜๐ท))
20 natfval.o . . . . . . . . . . . . . . 15 ยท = (compโ€˜๐ท)
2119, 20eqtr4di 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (compโ€˜๐‘ข) = ยท )
2221oveqd 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ)) = (โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ)))
2322oveqd 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = ((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)))
2421oveqd 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ)) = (โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ)))
2524oveqd 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))
2623, 25eqeq12d 2747 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))))
2718, 26raleqbidv 3341 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐‘ก)๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†” โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))))
286, 27raleqbidv 3341 . . . . . . . . 9 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐‘ก)๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))))
296, 28raleqbidv 3341 . . . . . . . 8 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐‘ก)๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))))
3014, 29rabeqbidv 3448 . . . . . . 7 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ {๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐‘ก)๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))} = {๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))})
3130csbeq2dv 3900 . . . . . 6 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐‘ก)๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))} = โฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))})
3231csbeq2dv 3900 . . . . 5 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐‘ก)๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))} = โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))})
332, 2, 32mpoeq123dv 7487 . . . 4 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐‘ก Func ๐‘ข), ๐‘” โˆˆ (๐‘ก Func ๐‘ข) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐‘ก)๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))}) = (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘” โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))}))
34 df-nat 17904 . . . 4 Nat = (๐‘ก โˆˆ Cat, ๐‘ข โˆˆ Cat โ†ฆ (๐‘“ โˆˆ (๐‘ก Func ๐‘ข), ๐‘” โˆˆ (๐‘ก Func ๐‘ข) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐‘ก)๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))}))
35 ovex 7445 . . . . 5 (๐ถ Func ๐ท) โˆˆ V
3635, 35mpoex 8070 . . . 4 (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘” โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))}) โˆˆ V
3733, 34, 36ovmpoa 7566 . . 3 ((๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat) โ†’ (๐ถ Nat ๐ท) = (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘” โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))}))
3834mpondm0 7651 . . . 4 (ยฌ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat) โ†’ (๐ถ Nat ๐ท) = โˆ…)
39 funcrcl 17820 . . . . . . . 8 (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†’ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat))
4039con3i 154 . . . . . . 7 (ยฌ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat) โ†’ ยฌ ๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
4140eq0rdv 4404 . . . . . 6 (ยฌ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat) โ†’ (๐ถ Func ๐ท) = โˆ…)
4241olcd 871 . . . . 5 (ยฌ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat) โ†’ ((๐ถ Func ๐ท) = โˆ… โˆจ (๐ถ Func ๐ท) = โˆ…))
43 0mpo0 7495 . . . . 5 (((๐ถ Func ๐ท) = โˆ… โˆจ (๐ถ Func ๐ท) = โˆ…) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘” โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))}) = โˆ…)
4442, 43syl 17 . . . 4 (ยฌ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘” โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))}) = โˆ…)
4538, 44eqtr4d 2774 . . 3 (ยฌ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat) โ†’ (๐ถ Nat ๐ท) = (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘” โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))}))
4637, 45pm2.61i 182 . 2 (๐ถ Nat ๐ท) = (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘” โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))})
471, 46eqtri 2759 1 ๐‘ = (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘” โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3060  {crab 3431  โฆ‹csb 3893  โˆ…c0 4322  โŸจcop 4634  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   โˆˆ cmpo 7414  1st c1st 7977  2nd c2nd 7978  Xcixp 8897  Basecbs 17151  Hom chom 17215  compcco 17216  Catccat 17615   Func cfunc 17811   Nat cnat 17902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-ixp 8898  df-func 17815  df-nat 17904
This theorem is referenced by:  isnat  17908  natffn  17910  natrcl  17911  wunnat  17917  wunnatOLD  17918  natpropd  17939
  Copyright terms: Public domain W3C validator