MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  natfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem natfval 17793
Description: Value of the function giving natural transformations between two categories. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 1-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
natfval.1 ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
natfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
natfval.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
natfval.j ๐ฝ = (Hom โ€˜๐ท)
natfval.o ยท = (compโ€˜๐ท)
Assertion
Ref Expression
natfval ๐‘ = (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘” โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))})
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘Ž,๐‘”,โ„Ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐ต,๐‘Ž,๐‘“,๐‘”,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐ถ,๐‘Ž,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐ฝ,๐‘Ž,๐‘“,๐‘”,๐‘Ÿ,๐‘    ๐ป,๐‘Ž,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘Ÿ,๐‘    ยท ,๐‘Ž,๐‘“,๐‘”,๐‘Ÿ,๐‘    ๐ท,๐‘Ž,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(โ„Ž)   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ,โ„Ž)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ฝ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,โ„Ž)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘ ,๐‘Ÿ,๐‘Ž)

Proof of Theorem natfval
Dummy variables ๐‘ก ๐‘ข are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 natfval.1 . 2 ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
2 oveq12 7360 . . . . 5 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (๐‘ก Func ๐‘ข) = (๐ถ Func ๐ท))
3 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ ๐‘ก = ๐ถ)
43fveq2d 6843 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (Baseโ€˜๐‘ก) = (Baseโ€˜๐ถ))
5 natfval.b . . . . . . . . . . 11 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
64, 5eqtr4di 2795 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (Baseโ€˜๐‘ก) = ๐ต)
76ixpeq1d 8805 . . . . . . . . 9 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ X๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) = X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)))
8 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ ๐‘ข = ๐ท)
98fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (Hom โ€˜๐‘ข) = (Hom โ€˜๐ท))
10 natfval.j . . . . . . . . . . . 12 ๐ฝ = (Hom โ€˜๐ท)
119, 10eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (Hom โ€˜๐‘ข) = ๐ฝ)
1211oveqd 7368 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)))
1312ixpeq2dv 8809 . . . . . . . . 9 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) = X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)))
147, 13eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ X๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) = X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)))
153fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (Hom โ€˜๐‘ก) = (Hom โ€˜๐ถ))
16 natfval.h . . . . . . . . . . . . 13 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
1715, 16eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (Hom โ€˜๐‘ก) = ๐ป)
1817oveqd 7368 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐‘ก)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ))
198fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (compโ€˜๐‘ข) = (compโ€˜๐ท))
20 natfval.o . . . . . . . . . . . . . . 15 ยท = (compโ€˜๐ท)
2119, 20eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (compโ€˜๐‘ข) = ยท )
2221oveqd 7368 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ)) = (โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ)))
2322oveqd 7368 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = ((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)))
2421oveqd 7368 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ)) = (โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ)))
2524oveqd 7368 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))
2623, 25eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))))
2718, 26raleqbidv 3317 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐‘ก)๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†” โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))))
286, 27raleqbidv 3317 . . . . . . . . 9 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐‘ก)๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))))
296, 28raleqbidv 3317 . . . . . . . 8 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐‘ก)๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))))
3014, 29rabeqbidv 3422 . . . . . . 7 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ {๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐‘ก)๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))} = {๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))})
3130csbeq2dv 3860 . . . . . 6 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐‘ก)๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))} = โฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))})
3231csbeq2dv 3860 . . . . 5 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐‘ก)๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))} = โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))})
332, 2, 32mpoeq123dv 7426 . . . 4 ((๐‘ก = ๐ถ โˆง ๐‘ข = ๐ท) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐‘ก Func ๐‘ข), ๐‘” โˆˆ (๐‘ก Func ๐‘ข) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐‘ก)๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))}) = (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘” โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))}))
34 df-nat 17790 . . . 4 Nat = (๐‘ก โˆˆ Cat, ๐‘ข โˆˆ Cat โ†ฆ (๐‘“ โˆˆ (๐‘ก Func ๐‘ข), ๐‘” โˆˆ (๐‘ก Func ๐‘ข) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ก)โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐‘ก)๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ(compโ€˜๐‘ข)(๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))}))
35 ovex 7384 . . . . 5 (๐ถ Func ๐ท) โˆˆ V
3635, 35mpoex 8004 . . . 4 (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘” โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))}) โˆˆ V
3733, 34, 36ovmpoa 7504 . . 3 ((๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat) โ†’ (๐ถ Nat ๐ท) = (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘” โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))}))
3834mpondm0 7586 . . . 4 (ยฌ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat) โ†’ (๐ถ Nat ๐ท) = โˆ…)
39 funcrcl 17709 . . . . . . . 8 (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†’ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat))
4039con3i 154 . . . . . . 7 (ยฌ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat) โ†’ ยฌ ๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
4140eq0rdv 4362 . . . . . 6 (ยฌ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat) โ†’ (๐ถ Func ๐ท) = โˆ…)
4241olcd 872 . . . . 5 (ยฌ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat) โ†’ ((๐ถ Func ๐ท) = โˆ… โˆจ (๐ถ Func ๐ท) = โˆ…))
43 0mpo0 7434 . . . . 5 (((๐ถ Func ๐ท) = โˆ… โˆจ (๐ถ Func ๐ท) = โˆ…) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘” โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))}) = โˆ…)
4442, 43syl 17 . . . 4 (ยฌ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘” โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))}) = โˆ…)
4538, 44eqtr4d 2780 . . 3 (ยฌ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat) โ†’ (๐ถ Nat ๐ท) = (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘” โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))}))
4637, 45pm2.61i 182 . 2 (๐ถ Nat ๐ท) = (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘” โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))})
471, 46eqtri 2765 1 ๐‘ = (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘” โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘“) / ๐‘ŸโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘”) / ๐‘ โฆŒ{๐‘Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)๐ฝ(๐‘ โ€˜๐‘ฅ)) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)((๐‘Žโ€˜๐‘ฆ)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฆ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘“)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)) = (((๐‘ฅ(2nd โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)โ€˜โ„Ž)(โŸจ(๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ), (๐‘ โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท (๐‘ โ€˜๐‘ฆ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3062  {crab 3405  โฆ‹csb 3853  โˆ…c0 4280  โŸจcop 4590  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   โˆˆ cmpo 7353  1st c1st 7911  2nd c2nd 7912  Xcixp 8793  Basecbs 17043  Hom chom 17104  compcco 17105  Catccat 17504   Func cfunc 17700   Nat cnat 17788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-ixp 8794  df-func 17704  df-nat 17790
This theorem is referenced by:  isnat  17794  natffn  17796  natrcl  17797  wunnat  17803  wunnatOLD  17804  natpropd  17825
  Copyright terms: Public domain W3C validator