MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpvmasum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpvmasum 26096
Description: The sum of the von Mangoldt function over those integers 𝑛𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to log𝑥 / ϕ(𝑥) + 𝑂(1). Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum.b (𝜑𝐴𝑈)
rpvmasum.t 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
Assertion
Ref Expression
rpvmasum (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛,𝑥   𝑈,𝑛,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥   𝑛,𝐿,𝑥   𝐴,𝑛

Proof of Theorem rpvmasum
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . . 14 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (DChr‘𝑁) = (DChr‘𝑁)
6 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘(DChr‘𝑁)) = (Base‘(DChr‘𝑁))
7 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g‘(DChr‘𝑁)) = (0g‘(DChr‘𝑁))
8 2fveq3 6670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → (𝑦‘(𝐿𝑚)) = (𝑦‘(𝐿𝑛)))
9 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛𝑚 = 𝑛)
108, 9oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = ((𝑦‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))
1110cbvsumv 15047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)
1211eqeq1i 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) = 0)
1312rabbii 3474 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} = {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) = 0}
14 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}) → 𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})
151, 2, 4, 5, 6, 7, 13, 14dchrisum0 26090 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ (𝜑𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})
1615imnani 403 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})
1716eq0rdv 4357 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} = ∅)
1817fveq2d 6669 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}) = (♯‘∅))
19 hash0 13722 . . . . . . . . . 10 (♯‘∅) = 0
2018, 19syl6eq 2872 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}) = 0)
2120oveq2d 7166 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − (♯‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})) = (1 − 0))
22 1m0e1 11752 . . . . . . . 8 (1 − 0) = 1
2321, 22syl6eq 2872 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (♯‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})) = 1)
2423adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 − (♯‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})) = 1)
2524oveq2d 7166 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}))) = ((log‘𝑥) · 1))
26 relogcl 25153 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
2726adantl 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
2827recnd 10663 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
2928mulid1d 10652 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
3025, 29eqtrd 2856 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}))) = (log‘𝑥))
3130oveq2d 7166 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥)))
3231mpteq2dva 5154 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))))
33 eqid 2821 . . 3 {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} = {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
34 rpvmasum.u . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑍)
35 rpvmasum.b . . 3 (𝜑𝐴𝑈)
36 rpvmasum.t . . 3 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
3715pm2.21i 119 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}) → 𝐴 = (1r𝑍))
381, 2, 3, 5, 6, 7, 33, 34, 35, 36, 37rpvmasum2 26082 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}))))) ∈ 𝑂(1))
3932, 38eqeltrrd 2914 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  {crab 3142  cdif 3933  cin 3935  c0 4291  {csn 4561  cmpt 5139  ccnv 5549  cima 5553  cfv 6350  (class class class)co 7150  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536  cmin 10864   / cdiv 11291  cn 11632  +crp 12383  ...cfz 12886  cfl 13154  chash 13684  𝑂(1)co1 14837  Σcsu 15036  ϕcphi 16095  Basecbs 16477  0gc0g 16707  1rcur 19245  Unitcui 19383  ℤRHomczrh 20641  ℤ/nczn 20644  logclog 25132  Λcvma 25663  DChrcdchr 25802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-disj 5025  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-rpss 7443  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8283  df-ec 8285  df-qs 8289  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-acn 9365  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13917  df-s1 13944  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-o1 14841  df-lo1 14842  df-sum 15037  df-ef 15415  df-e 15416  df-sin 15417  df-cos 15418  df-tan 15419  df-pi 15420  df-dvds 15602  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-numer 16069  df-denom 16070  df-phi 16097  df-pc 16168  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-qus 16776  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-nsg 18271  df-eqg 18272  df-ghm 18350  df-gim 18393  df-ga 18414  df-cntz 18441  df-oppg 18468  df-od 18650  df-gex 18651  df-pgp 18652  df-lsm 18755  df-pj1 18756  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-cyg 18991  df-dprd 19111  df-dpj 19112  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-rnghom 19461  df-drng 19498  df-subrg 19527  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-lidl 19940  df-rsp 19941  df-2idl 19999  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-zring 20612  df-zrh 20645  df-zn 20648  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-cmp 21989  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-0p 24265  df-limc 24458  df-dv 24459  df-ply 24772  df-idp 24773  df-coe 24774  df-dgr 24775  df-quot 24874  df-ulm 24959  df-log 25134  df-cxp 25135  df-atan 25439  df-em 25564  df-cht 25668  df-vma 25669  df-chp 25670  df-ppi 25671  df-mu 25672  df-dchr 25803
This theorem is referenced by:  rplogsum  26097
  Copyright terms: Public domain W3C validator