Theorem rpvmasum 27487

Description: The sum of the von Mangoldt function over those integers 𝑛≡𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to log𝑥 / ϕ(𝑥) + 𝑂(1). Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
rpvmasum.t	⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})

Assertion

Ref	Expression
rpvmasum	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛,𝑥   𝑈,𝑛,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥   𝑛,𝐿,𝑥   𝐴,𝑛

Proof of Theorem rpvmasum

Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (DChr‘𝑁) = (DChr‘𝑁)
6		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘(DChr‘𝑁)) = (Base‘(DChr‘𝑁))
7		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘(DChr‘𝑁)) = (0g‘(DChr‘𝑁))
8		2fveq3 6907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑦‘(𝐿‘𝑚)) = (𝑦‘(𝐿‘𝑛)))
9		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝑚 = 𝑛)
10	8, 9	oveq12d 7444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = ((𝑦‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛))
11	10	cbvsumv 15684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)
12	11	eqeq1i 2733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) = 0)
13	12	rabbii 3436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0} = {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) = 0}
14		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}) → 𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0})
15	1, 2, 4, 5, 6, 7, 13, 14	dchrisum0 27481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ (𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0})
16	15	imnani 399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0})
17	16	eq0rdv 4408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0} = ∅)
18	17	fveq2d 6906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}) = (♯‘∅))
19		hash0 14368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘∅) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}) = 0)
21	20	oveq2d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 − (♯‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0})) = (1 − 0))
22		1m0e1 12373	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 0) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (♯‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0})) = 1)
24	23	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 − (♯‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0})) = 1)
25	24	oveq2d 7442	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}))) = ((log‘𝑥) · 1))
26		relogcl 26537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
27	26	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
29	28	mulridd 11271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
30	25, 29	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}))) = (log‘𝑥))
31	30	oveq2d 7442	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0})))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥)))
32	31	mpteq2dva 5252	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))))
33		eqid 2728	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0} = {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
34		rpvmasum.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
35		rpvmasum.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
36		rpvmasum.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})
37	15	pm2.21i 119	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}) → 𝐴 = (1r‘𝑍))
38	1, 2, 3, 5, 6, 7, 33, 34, 35, 36, 37	rpvmasum2 27473	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}))))) ∈ 𝑂(1))
39	32, 38	eqeltrrd 2830	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430   ∖ cdif 3946   ∩ cin 3948  ∅c0 4326  {csn 4632   ↦ cmpt 5235  ^◡ccnv 5681   “ cima 5685  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℝcr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   · cmul 11153   − cmin 11484   / cdiv 11911  ℕcn 12252  ℝ⁺crp 13016  ...cfz 13526  ⌊cfl 13797  ♯chash 14331  𝑂(1)co1 15472  Σcsu 15674  ϕcphi 16742  Basecbs 17189  0_gc0g 17430  1_rcur 20135  Unitcui 20308  ℤRHomczrh 21439  ℤ/nℤczn 21442  logclog 26516  Λcvma 27052  DChrcdchr 27193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-rpss 7736  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-er 8733  df-ec 8735  df-qs 8739  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-dju 9934  df-card 9972  df-acn 9975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ioc 13371  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275  df-bc 14304  df-hash 14332  df-word 14507  df-concat 14563  df-s1 14588  df-shft 15056  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-limsup 15457  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-o1 15476  df-lo1 15477  df-sum 15675  df-ef 16053  df-e 16054  df-sin 16055  df-cos 16056  df-tan 16057  df-pi 16058  df-dvds 16241  df-gcd 16479  df-prm 16652  df-numer 16716  df-denom 16717  df-phi 16744  df-pc 16815  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-qus 17500  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-nsg 19093  df-eqg 19094  df-ghm 19182  df-gim 19227  df-ga 19255  df-cntz 19282  df-oppg 19311  df-od 19497  df-gex 19498  df-pgp 19499  df-lsm 19605  df-pj1 19606  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-cyg 19847  df-dprd 19966  df-dpj 19967  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-drng 20640  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-lidl 21118  df-rsp 21119  df-2idl 21158  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-zring 21387  df-zrh 21443  df-zn 21446  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-lp 23068  df-perf 23069  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-haus 23247  df-cmp 23319  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cncf 24826  df-0p 25627  df-limc 25823  df-dv 25824  df-ply 26150  df-idp 26151  df-coe 26152  df-dgr 26153  df-quot 26254  df-ulm 26341  df-log 26518  df-cxp 26519  df-atan 26827  df-em 26953  df-cht 27057  df-vma 27058  df-chp 27059  df-ppi 27060  df-mu 27061  df-dchr 27194

This theorem is referenced by:  rplogsum  27488