MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpvmasum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpvmasum 27414
Description: The sum of the von Mangoldt function over those integers 𝑛≑𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to logπ‘₯ / Ο•(π‘₯) + 𝑂(1). Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
rpvmasum.b (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
rpvmasum.t 𝑇 = (◑𝐿 β€œ {𝐴})
Assertion
Ref Expression
rpvmasum (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁,π‘₯   πœ‘,𝑛,π‘₯   𝑇,𝑛,π‘₯   π‘ˆ,𝑛,π‘₯   𝑛,𝑍,π‘₯   𝑛,𝐿,π‘₯   𝐴,𝑛

Proof of Theorem rpvmasum
Dummy variables π‘š 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
2 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . . 14 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
3 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
43adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
5 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (DChrβ€˜π‘) = (DChrβ€˜π‘)
6 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) = (Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘))
7 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (0gβ€˜(DChrβ€˜π‘)) = (0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))
8 2fveq3 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) = (π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘›)))
9 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š = 𝑛 β†’ π‘š = 𝑛)
108, 9oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛))
1110cbvsumv 15648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = Σ𝑛 ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛)
1211eqeq1i 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) = 0)
1312rabbii 3432 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0} = {𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Σ𝑛 ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) = 0}
14 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}) β†’ 𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0})
151, 2, 4, 5, 6, 7, 13, 14dchrisum0 27408 . . . . . . . . . . . . 13 Β¬ (πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0})
1615imnani 400 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0})
1716eq0rdv 4399 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0} = βˆ…)
1817fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}) = (β™―β€˜βˆ…))
19 hash0 14332 . . . . . . . . . 10 (β™―β€˜βˆ…) = 0
2018, 19eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}) = 0)
2120oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (β™―β€˜{𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0})) = (1 βˆ’ 0))
22 1m0e1 12337 . . . . . . . 8 (1 βˆ’ 0) = 1
2321, 22eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (β™―β€˜{𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0})) = 1)
2423adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 βˆ’ (β™―β€˜{𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0})) = 1)
2524oveq2d 7421 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 βˆ’ (β™―β€˜{𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}))) = ((logβ€˜π‘₯) Β· 1))
26 relogcl 26464 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2726adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2827recnd 11246 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2928mulridd 11235 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· 1) = (logβ€˜π‘₯))
3025, 29eqtrd 2766 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 βˆ’ (β™―β€˜{𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}))) = (logβ€˜π‘₯))
3130oveq2d 7421 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 βˆ’ (β™―β€˜{𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0})))) = (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))
3231mpteq2dva 5241 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 βˆ’ (β™―β€˜{𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))))
33 eqid 2726 . . 3 {𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0} = {𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
34 rpvmasum.u . . 3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
35 rpvmasum.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
36 rpvmasum.t . . 3 𝑇 = (◑𝐿 β€œ {𝐴})
3715pm2.21i 119 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}) β†’ 𝐴 = (1rβ€˜π‘))
381, 2, 3, 5, 6, 7, 33, 34, 35, 36, 37rpvmasum2 27400 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 βˆ’ (β™―β€˜{𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(DChrβ€˜π‘)) βˆ– {(0gβ€˜(DChrβ€˜π‘))}) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}))))) ∈ 𝑂(1))
3932, 38eqeltrrd 2828 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   βˆ– cdif 3940   ∩ cin 3942  βˆ…c0 4317  {csn 4623   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„+crp 12980  ...cfz 13490  βŒŠcfl 13761  β™―chash 14295  π‘‚(1)co1 15436  Ξ£csu 15638  Ο•cphi 16706  Basecbs 17153  0gc0g 17394  1rcur 20086  Unitcui 20257  β„€RHomczrh 21386  β„€/nβ„€czn 21389  logclog 26443  Ξ›cvma 26979  DChrcdchr 27120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-rpss 7710  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-o1 15440  df-lo1 15441  df-sum 15639  df-ef 16017  df-e 16018  df-sin 16019  df-cos 16020  df-tan 16021  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-numer 16680  df-denom 16681  df-phi 16708  df-pc 16779  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-qus 17464  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-ga 19206  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-od 19448  df-gex 19449  df-pgp 19450  df-lsm 19556  df-pj1 19557  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-cyg 19798  df-dprd 19917  df-dpj 19918  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-2idl 21107  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-zn 21393  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-0p 25554  df-limc 25750  df-dv 25751  df-ply 26077  df-idp 26078  df-coe 26079  df-dgr 26080  df-quot 26181  df-ulm 26268  df-log 26445  df-cxp 26446  df-atan 26754  df-em 26880  df-cht 26984  df-vma 26985  df-chp 26986  df-ppi 26987  df-mu 26988  df-dchr 27121
This theorem is referenced by:  rplogsum  27415
  Copyright terms: Public domain W3C validator