Theorem 0ringprmidl 33421

Description: The trivial ring does not have any prime ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
0ringprmidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0ringprmidl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∅)

Proof of Theorem 0ringprmidl

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmidlssidl 33417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
3		0ringprmidl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5	3, 4	0ringidl 33393	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}})
6	2, 5	sseqtrd 3967	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ {{(0g‘𝑅)}})
7	6	sselda 3930	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ {{(0g‘𝑅)}})
8		elsni 4592	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ {{(0g‘𝑅)}} → 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
10		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	3, 10	prmidlnr 33411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ 𝐵)
12	11	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ 𝐵)
13	3, 4	0ring 20443	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
15	12, 14	neeqtrd 2998	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ {(0g‘𝑅)})
16	15	neneqd 2934	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
17	9, 16	pm2.65da 816	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ¬ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
18	17	eq0rdv 4356	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  {csn 4575  ‘cfv 6486  1c1 11014  ♯chash 14239  Basecbs 17122  ._rcmulr 17164  0_gc0g 17345  Ringcrg 20153  LIdealclidl 21145  PrmIdealcprmidl 33407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-hash 14240  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-subg 19038  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-subrg 20487  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-sra 21109  df-rgmod 21110  df-lidl 21147  df-prmidl 33408

This theorem is referenced by:  zar0ring  33912