Theorem 0ringprmidl 33457

Description: The trivial ring does not have any prime ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
0ringprmidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0ringprmidl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∅)

Proof of Theorem 0ringprmidl

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmidlssidl 33453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
3		0ringprmidl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5	3, 4	0ringidl 33429	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}})
6	2, 5	sseqtrd 4036	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ {{(0g‘𝑅)}})
7	6	sselda 3995	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ {{(0g‘𝑅)}})
8		elsni 4648	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ {{(0g‘𝑅)}} → 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
10		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	3, 10	prmidlnr 33447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ 𝐵)
12	11	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ 𝐵)
13	3, 4	0ring 20543	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
15	12, 14	neeqtrd 3008	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ {(0g‘𝑅)})
16	15	neneqd 2943	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
17	9, 16	pm2.65da 817	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ¬ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
18	17	eq0rdv 4413	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {csn 4631  ‘cfv 6563  1c1 11154  ♯chash 14366  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17486  Ringcrg 20251  LIdealclidl 21234  PrmIdealcprmidl 33443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-prmidl 33444

This theorem is referenced by:  zar0ring  33839