Theorem 0ringprmidl 31131

Description: The trivial ring does not have any prime ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
0ringprmidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0ringprmidl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∅)

Proof of Theorem 0ringprmidl

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmidlssidl 31126	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
2	1	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
3		0ringprmidl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2759	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5	3, 4	0ringidl 31111	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}})
6	2, 5	sseqtrd 3928	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ {{(0g‘𝑅)}})
7	6	sselda 3888	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ {{(0g‘𝑅)}})
8		elsni 4532	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ {{(0g‘𝑅)}} → 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
10		eqid 2759	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	3, 10	prmidlnr 31120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ 𝐵)
12	11	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ 𝐵)
13	3, 4	0ring 20096	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
14	13	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
15	12, 14	neeqtrd 3018	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ {(0g‘𝑅)})
16	15	neneqd 2954	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
17	9, 16	pm2.65da 817	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ¬ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
18	17	eq0rdv 4294	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2949   ⊆ wss 3854  ∅c0 4221  {csn 4515  ‘cfv 6328  1c1 10561  ♯chash 13725  Basecbs 16526  ._rcmulr 16609  0_gc0g 16756  Ringcrg 19350  LIdealclidl 19995  PrmIdealcprmidl 31116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-card 9386  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-7 11727  df-8 11728  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-fz 12925  df-hash 13726  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-mulr 16622  df-sca 16624  df-vsca 16625  df-ip 16626  df-0g 16758  df-mgm 17903  df-sgrp 17952  df-mnd 17963  df-grp 18157  df-minusg 18158  df-sbg 18159  df-subg 18328  df-mgp 19293  df-ur 19305  df-ring 19352  df-subrg 19586  df-lmod 19689  df-lss 19757  df-sra 19997  df-rgmod 19998  df-lidl 19999  df-prmidl 31117

This theorem is referenced by:  zar0ring  31334