Theorem 0ringprmidl 33596

Description: The trivial ring does not have any prime ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
0ringprmidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0ringprmidl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∅)

Proof of Theorem 0ringprmidl

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmidlssidl 33591	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
2	1	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
3		0ringprmidl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5	3, 4	0ringidl 33567	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}})
6	2, 5	sseqtrd 3970	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ {{(0g‘𝑅)}})
7	6	sselda 3934	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ {{(0g‘𝑅)}})
8		elsni 4596	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ {{(0g‘𝑅)}} → 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
10		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	3, 10	prmidlnr 33585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ 𝐵)
12	11	adantlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ 𝐵)
13	3, 4	0ring 20562	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
14	13	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
15	12, 14	neeqtrd 3025	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ {(0g‘𝑅)})
16	15	neneqd 2961	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
17	9, 16	pm2.65da 826	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ¬ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
18	17	eq0rdv 4358	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  {csn 4579  ‘cfv 6515  1c1 11067  ♯chash 14336  Basecbs 17235  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458  Ringcrg 20269  LIdealclidl 21263  PrmIdealcprmidl 33581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-hash 14337  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-sbg 18970  df-subg 19155  df-cmn 19812  df-abl 19813  df-mgp 20177  df-rng 20189  df-ur 20218  df-ring 20271  df-subrg 20606  df-lmod 20916  df-lss 20986  df-sra 21227  df-rgmod 21228  df-lidl 21265  df-prmidl 33582

This theorem is referenced by:  zar0ring  34135