Theorem 0ringprmidl 33530

Description: The trivial ring does not have any prime ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
0ringprmidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0ringprmidl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∅)

Proof of Theorem 0ringprmidl

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmidlssidl 33526	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
3		0ringprmidl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5	3, 4	0ringidl 33502	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (LIdeal‘𝑅) = {{(0g‘𝑅)}})
6	2, 5	sseqtrd 3970	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) ⊆ {{(0g‘𝑅)}})
7	6	sselda 3933	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ {{(0g‘𝑅)}})
8		elsni 4597	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ {{(0g‘𝑅)}} → 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
10		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	3, 10	prmidlnr 33520	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ 𝐵)
12	11	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ 𝐵)
13	3, 4	0ring 20459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
15	12, 14	neeqtrd 3001	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ {(0g‘𝑅)})
16	15	neneqd 2937	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
17	9, 16	pm2.65da 816	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ¬ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
18	17	eq0rdv 4359	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  {csn 4580  ‘cfv 6492  1c1 11027  ♯chash 14253  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359  Ringcrg 20168  LIdealclidl 21161  PrmIdealcprmidl 33516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-hash 14254  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163  df-prmidl 33517

This theorem is referenced by:  zar0ring  34035