Theorem 0ringmon1p 33526

Description: There are no monic polynomials over a zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ringmon1p.1	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
0ringmon1p.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringmon1p.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
0ringmon1p.4	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
0ringmon1p	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ∅)

Proof of Theorem 0ringmon1p

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
3		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
4		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
5		0ringmon1p.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
6		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismon1p 26048	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑀 ↔ (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))
8	7	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑀 → (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))
10	9	simp3d 1144	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))
11		0ringmon1p.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
13	9	simp1d 1142	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → 𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
14	9	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝑝) = (coe1‘𝑝)
17	4, 1, 3, 2, 15, 16	deg1ldg 25997	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅))) → ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) ≠ (0g‘𝑅))
18	12, 13, 14, 17	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) ≠ (0g‘𝑅))
19		0ringmon1p.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
20		0ringmon1p.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
21	20, 15, 6	0ring01eq 20438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅))
22	11, 19, 21	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅))
24	18, 23	neeqtrd 2994	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) ≠ (1r‘𝑅))
25	24	neneqd 2930	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → ¬ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))
26	10, 25	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑝 ∈ 𝑀)
27	26	eq0rdv 4370	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4296  ‘cfv 6511  1c1 11069  ♯chash 14295  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  Poly₁cpl1 22061  coe₁cco1 22062  deg₁cdg1 25959  Monic_1pcmn1 26031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-cnfld 21265  df-psr 21818  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-psr1 22064  df-ply1 22066  df-coe1 22067  df-mdeg 25960  df-deg1 25961  df-mon1 26036

This theorem is referenced by:  0ringirng  33684