Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0ringmon1p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ringmon1p 32588
Description: There are no monic polynomials over a zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
0ringmon1p.1 𝑀 = (Monic1p𝑅)
0ringmon1p.2 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringmon1p.3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
0ringmon1p.4 (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
Assertion
Ref Expression
0ringmon1p (𝜑𝑀 = ∅)

Proof of Theorem 0ringmon1p
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . . 7 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
2 eqid 2733 . . . . . . 7 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
3 eqid 2733 . . . . . . 7 (0g‘(Poly1𝑅)) = (0g‘(Poly1𝑅))
4 eqid 2733 . . . . . . 7 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
5 0ringmon1p.1 . . . . . . 7 𝑀 = (Monic1p𝑅)
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6ismon1p 25642 . . . . . 6 (𝑝𝑀 ↔ (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)) ∧ ((coe1𝑝)‘(( deg1𝑅)‘𝑝)) = (1r𝑅)))
87biimpi 215 . . . . 5 (𝑝𝑀 → (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)) ∧ ((coe1𝑝)‘(( deg1𝑅)‘𝑝)) = (1r𝑅)))
98adantl 483 . . . 4 ((𝜑𝑝𝑀) → (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)) ∧ ((coe1𝑝)‘(( deg1𝑅)‘𝑝)) = (1r𝑅)))
109simp3d 1145 . . 3 ((𝜑𝑝𝑀) → ((coe1𝑝)‘(( deg1𝑅)‘𝑝)) = (1r𝑅))
11 0ringmon1p.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1211adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
139simp1d 1143 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝑀) → 𝑝 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
149simp2d 1144 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝑀) → 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
15 eqid 2733 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
16 eqid 2733 . . . . . . 7 (coe1𝑝) = (coe1𝑝)
174, 1, 3, 2, 15, 16deg1ldg 25592 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))) → ((coe1𝑝)‘(( deg1𝑅)‘𝑝)) ≠ (0g𝑅))
1812, 13, 14, 17syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝑀) → ((coe1𝑝)‘(( deg1𝑅)‘𝑝)) ≠ (0g𝑅))
19 0ringmon1p.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
20 0ringmon1p.2 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
2120, 15, 60ring01eq 20293 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (0g𝑅) = (1r𝑅))
2211, 19, 21syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑅) = (1r𝑅))
2322adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝑀) → (0g𝑅) = (1r𝑅))
2418, 23neeqtrd 3011 . . . 4 ((𝜑𝑝𝑀) → ((coe1𝑝)‘(( deg1𝑅)‘𝑝)) ≠ (1r𝑅))
2524neneqd 2946 . . 3 ((𝜑𝑝𝑀) → ¬ ((coe1𝑝)‘(( deg1𝑅)‘𝑝)) = (1r𝑅))
2610, 25pm2.65da 816 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑝𝑀)
2726eq0rdv 4403 1 (𝜑𝑀 = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  c0 4321  cfv 6540  1c1 11107  chash 14286  Basecbs 17140  0gc0g 17381  1rcur 19996  Ringcrg 20047  Poly1cpl1 21683  coe1cco1 21684   deg1 cdg1 25551  Monic1pcmn1 25625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-cring 20050  df-cnfld 20930  df-psr 21444  df-mpl 21446  df-opsr 21448  df-psr1 21686  df-ply1 21688  df-coe1 21689  df-mdeg 25552  df-deg1 25553  df-mon1 25630
This theorem is referenced by:  0ringirng  32698
  Copyright terms: Public domain W3C validator