Theorem 0ringmon1p 33492

Description: There are no monic polynomials over a zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ringmon1p.1	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
0ringmon1p.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringmon1p.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
0ringmon1p.4	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
0ringmon1p	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ∅)

Proof of Theorem 0ringmon1p

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
3		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
4		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
5		0ringmon1p.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
6		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismon1p 26046	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑀 ↔ (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))
8	7	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑀 → (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))
10	9	simp3d 1144	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))
11		0ringmon1p.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
13	9	simp1d 1142	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → 𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
14	9	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝑝) = (coe1‘𝑝)
17	4, 1, 3, 2, 15, 16	deg1ldg 25995	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅))) → ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) ≠ (0g‘𝑅))
18	12, 13, 14, 17	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) ≠ (0g‘𝑅))
19		0ringmon1p.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
20		0ringmon1p.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
21	20, 15, 6	0ring01eq 20414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅))
22	11, 19, 21	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅))
24	18, 23	neeqtrd 2994	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) ≠ (1r‘𝑅))
25	24	neneqd 2930	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → ¬ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))
26	10, 25	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑝 ∈ 𝑀)
27	26	eq0rdv 4358	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4284  ‘cfv 6482  1c1 11010  ♯chash 14237  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  1_rcur 20066  Ringcrg 20118  Poly₁cpl1 22059  coe₁cco1 22060  deg₁cdg1 25957  Monic_1pcmn1 26029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-cnfld 21262  df-psr 21816  df-mpl 21818  df-opsr 21820  df-psr1 22062  df-ply1 22064  df-coe1 22065  df-mdeg 25958  df-deg1 25959  df-mon1 26034

This theorem is referenced by:  0ringirng  33656