Theorem 0ringmon1p 33635

Description: There are no monic polynomials over a zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ringmon1p.1	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
0ringmon1p.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringmon1p.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
0ringmon1p.4	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
0ringmon1p	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ∅)

Proof of Theorem 0ringmon1p

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
5		0ringmon1p.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismon1p 26121	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑀 ↔ (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))
8	7	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑀 → (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))
10	9	simp3d 1145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))
11		0ringmon1p.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
13	9	simp1d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → 𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
14	9	simp2d 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝑝) = (coe1‘𝑝)
17	4, 1, 3, 2, 15, 16	deg1ldg 26070	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅))) → ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) ≠ (0g‘𝑅))
18	12, 13, 14, 17	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) ≠ (0g‘𝑅))
19		0ringmon1p.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
20		0ringmon1p.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
21	20, 15, 6	0ring01eq 20500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅))
22	11, 19, 21	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅))
24	18, 23	neeqtrd 3002	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) ≠ (1r‘𝑅))
25	24	neneqd 2938	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → ¬ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))
26	10, 25	pm2.65da 817	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑝 ∈ 𝑀)
27	26	eq0rdv 4348	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4274  ‘cfv 6493  1c1 11033  ♯chash 14286  Basecbs 17173  0_gc0g 17396  1_rcur 20156  Ringcrg 20208  Poly₁cpl1 22153  coe₁cco1 22154  deg₁cdg1 26032  Monic_1pcmn1 26104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-cnfld 21348  df-psr 21902  df-mpl 21904  df-opsr 21906  df-psr1 22156  df-ply1 22158  df-coe1 22159  df-mdeg 26033  df-deg1 26034  df-mon1 26109

This theorem is referenced by:  0ringirng  33852