Theorem 0ringmon1p 33104

Description: There are no monic polynomials over a zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ringmon1p.1	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
0ringmon1p.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringmon1p.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
0ringmon1p.4	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
0ringmon1p	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ∅)

Proof of Theorem 0ringmon1p

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
3		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
4		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
5		0ringmon1p.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
6		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismon1p 26000	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑀 ↔ (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝑝)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))
8	7	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑀 → (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝑝)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝑝)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))
10	9	simp3d 1141	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑝)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))
11		0ringmon1p.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
13	9	simp1d 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → 𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
14	9	simp2d 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
15		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝑝) = (coe1‘𝑝)
17	4, 1, 3, 2, 15, 16	deg1ldg 25950	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅))) → ((coe1‘𝑝)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑝)) ≠ (0g‘𝑅))
18	12, 13, 14, 17	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑝)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑝)) ≠ (0g‘𝑅))
19		0ringmon1p.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
20		0ringmon1p.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
21	20, 15, 6	0ring01eq 20419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅))
22	11, 19, 21	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅))
24	18, 23	neeqtrd 3002	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑝)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑝)) ≠ (1r‘𝑅))
25	24	neneqd 2937	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → ¬ ((coe1‘𝑝)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))
26	10, 25	pm2.65da 814	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑝 ∈ 𝑀)
27	26	eq0rdv 4396	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∅c0 4314  ‘cfv 6533  1c1 11107  ♯chash 14287  Basecbs 17143  0_gc0g 17384  1_rcur 20076  Ringcrg 20128  Poly₁cpl1 22019  coe₁cco1 22020   deg₁ cdg1 25909  Monic_1pcmn1 25983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-cnfld 21229  df-psr 21771  df-mpl 21773  df-opsr 21775  df-psr1 22022  df-ply1 22024  df-coe1 22025  df-mdeg 25910  df-deg1 25911  df-mon1 25988

This theorem is referenced by:  0ringirng  33233