Theorem 0ringmon1p 32588

Description: There are no monic polynomials over a zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ringmon1p.1	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
0ringmon1p.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringmon1p.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
0ringmon1p.4	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
0ringmon1p	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ∅)

Proof of Theorem 0ringmon1p

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
3		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
4		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
5		0ringmon1p.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
6		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismon1p 25642	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑀 ↔ (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝑝)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))
8	7	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑀 → (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝑝)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))
9	8	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝑝)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))
10	9	simp3d 1145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑝)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))
11		0ringmon1p.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
13	9	simp1d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → 𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
14	9	simp2d 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
15		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝑝) = (coe1‘𝑝)
17	4, 1, 3, 2, 15, 16	deg1ldg 25592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅))) → ((coe1‘𝑝)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑝)) ≠ (0g‘𝑅))
18	12, 13, 14, 17	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑝)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑝)) ≠ (0g‘𝑅))
19		0ringmon1p.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
20		0ringmon1p.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
21	20, 15, 6	0ring01eq 20293	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅))
22	11, 19, 21	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅))
23	22	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅))
24	18, 23	neeqtrd 3011	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑝)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑝)) ≠ (1r‘𝑅))
25	24	neneqd 2946	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) → ¬ ((coe1‘𝑝)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))
26	10, 25	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑝 ∈ 𝑀)
27	26	eq0rdv 4403	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∅c0 4321  ‘cfv 6540  1c1 11107  ♯chash 14286  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  1_rcur 19996  Ringcrg 20047  Poly₁cpl1 21683  coe₁cco1 21684   deg₁ cdg1 25551  Monic_1pcmn1 25625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-cring 20050  df-cnfld 20930  df-psr 21444  df-mpl 21446  df-opsr 21448  df-psr1 21686  df-ply1 21688  df-coe1 21689  df-mdeg 25552  df-deg1 25553  df-mon1 25630

This theorem is referenced by:  0ringirng  32698