MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmreclem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmreclem5 16245
Description: Lemma for prmrec 16247. Here we show the inequality 𝑁 / 2 < ♯𝑀 by decomposing the set (1...𝑁) into the disjoint union of the set 𝑀 of those numbers that are not divisible by any "large" primes (above 𝐾) and the indexed union over 𝐾 < 𝑘 of the numbers 𝑊𝑘 that divide the prime 𝑘. By prmreclem4 16244 the second of these has size less than 𝑁 times the prime reciprocal series, which is less than 1 / 2 by assumption, we find that the complementary part 𝑀 must be at least 𝑁 / 2 large. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0))
prmrec.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
prmrec.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
prmrec.4 𝑀 = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛}
prmrec.5 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
prmrec.6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) < (1 / 2))
prmrec.7 𝑊 = (𝑝 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)})
Assertion
Ref Expression
prmreclem5 (𝜑 → (𝑁 / 2) < ((2↑𝐾) · (√‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑝,𝐹   𝑘,𝐾,𝑛,𝑝   𝑘,𝑀,𝑛,𝑝   𝜑,𝑘,𝑛,𝑝   𝑘,𝑊   𝑘,𝑁,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑛,𝑝)

Proof of Theorem prmreclem5
Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmrec.3 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnred 11640 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
32rehalfcld 11872 . 2 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
4 fzfi 13335 . . . . . 6 (1...𝑁) ∈ Fin
5 prmrec.4 . . . . . . 7 𝑀 = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛}
65ssrab3 4041 . . . . . 6 𝑀 ⊆ (1...𝑁)
7 ssfi 8724 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑀 ⊆ (1...𝑁)) → 𝑀 ∈ Fin)
84, 6, 7mp2an 691 . . . . 5 𝑀 ∈ Fin
9 hashcl 13713 . . . . 5 (𝑀 ∈ Fin → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
108, 9ax-mp 5 . . . 4 (♯‘𝑀) ∈ ℕ0
1110nn0rei 11896 . . 3 (♯‘𝑀) ∈ ℝ
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ ℝ)
13 2nn 11698 . . . . 5 2 ∈ ℕ
14 prmrec.2 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
1514nnnn0d 11943 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
16 nnexpcl 13438 . . . . 5 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑𝐾) ∈ ℕ)
1713, 15, 16sylancr 590 . . . 4 (𝜑 → (2↑𝐾) ∈ ℕ)
1817nnred 11640 . . 3 (𝜑 → (2↑𝐾) ∈ ℝ)
191nnrpd 12417 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
2019rpsqrtcld 14762 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ+)
2120rpred 12419 . . 3 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
2218, 21remulcld 10658 . 2 (𝜑 → ((2↑𝐾) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
232recnd 10656 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
24232halvesd 11871 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 / 2) + (𝑁 / 2)) = 𝑁)
256a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ⊆ (1...𝑁))
2614peano2nnd 11642 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
27 elfzuz 12898 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
28 eluznn 12306 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2926, 27, 28syl2an 598 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
30 eleq1w 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 𝑘 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
31 breq1 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 𝑘 → (𝑝𝑛𝑘𝑛))
3230, 31anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑘 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)))
3332rabbidv 3465 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑘 → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
34 prmrec.7 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑊 = (𝑝 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)})
35 ovex 7173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...𝑁) ∈ V
3635rabex 5218 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)} ∈ V
3733, 34, 36fvmpt 6751 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑊𝑘) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
3837adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑊𝑘) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
39 ssrab2 4040 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)} ⊆ (1...𝑁)
4038, 39eqsstrdi 4005 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
4129, 40syldan 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
4241ralrimiva 3176 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
43 iunss 4952 . . . . . . . . . 10 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
4442, 43sylibr 237 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
4525, 44unssd 4146 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ⊆ (1...𝑁))
46 breq1 5052 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝑛𝑞𝑛))
4746notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑞 → (¬ 𝑝𝑛 ↔ ¬ 𝑞𝑛))
4847cbvralvw 3434 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛 ↔ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑛)
49 breq2 5053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥 → (𝑞𝑛𝑞𝑥))
5049notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑥 → (¬ 𝑞𝑛 ↔ ¬ 𝑞𝑥))
5150ralbidv 3191 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑥 → (∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑛 ↔ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥))
5248, 51syl5bb 286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑥 → (∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛 ↔ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥))
5352, 5elrab2 3668 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑀 ↔ (𝑥 ∈ (1...𝑁) ∧ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥))
54 elun1 4136 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑀𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
5553, 54sylbir 238 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (1...𝑁) ∧ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥) → 𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
5655ex 416 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
5756adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
58 dfrex2 3233 . . . . . . . . . 10 (∃𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾))𝑞𝑥 ↔ ¬ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥)
59 eldifn 4088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) → ¬ 𝑞 ∈ (1...𝐾))
6059ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → ¬ 𝑞 ∈ (1...𝐾))
61 eldifi 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) → 𝑞 ∈ ℙ)
6261ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞 ∈ ℙ)
63 prmnn 16007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞 ∈ ℕ)
65 nnuz 12269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℕ = (ℤ‘1)
6664, 65eleqtrdi 2926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞 ∈ (ℤ‘1))
6714nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
6867ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝐾 ∈ ℤ)
69 elfz5 12894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↔ 𝑞𝐾))
7066, 68, 69syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↔ 𝑞𝐾))
7160, 70mtbid 327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → ¬ 𝑞𝐾)
7214nnred 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
7372ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝐾 ∈ ℝ)
7464nnred 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞 ∈ ℝ)
7573, 74ltnled 10774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝐾 < 𝑞 ↔ ¬ 𝑞𝐾))
7671, 75mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝐾 < 𝑞)
77 prmz 16008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
7862, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞 ∈ ℤ)
79 zltp1le 12020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑞 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑞))
8068, 78, 79syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝐾 < 𝑞 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑞))
8176, 80mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝐾 + 1) ≤ 𝑞)
82 elfznn 12931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
8382ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 ∈ ℕ)
8483nnred 11640 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
852ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑁 ∈ ℝ)
86 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞𝑥)
87 dvdsle 15651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑞𝑥𝑞𝑥))
8878, 83, 87syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝑞𝑥𝑞𝑥))
8986, 88mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞𝑥)
90 elfzle2 12906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥𝑁)
9190ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥𝑁)
9274, 84, 85, 89, 91letrd 10784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞𝑁)
9367peano2zd 12078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
9493ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
951nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9695ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑁 ∈ ℤ)
97 elfz 12891 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑞 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ ((𝐾 + 1) ≤ 𝑞𝑞𝑁)))
9878, 94, 96, 97syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝑞 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ ((𝐾 + 1) ≤ 𝑞𝑞𝑁)))
9981, 92, 98mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))
10049anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑥 → ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛) ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥)))
101 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 ∈ (1...𝑁))
10262, 86jca 515 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥))
103100, 101, 102elrabd 3667 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 ∈ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛)})
104 eleq1w 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 𝑞 ∈ ℙ))
105104, 46anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛) ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛)))
106105rabbidv 3465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑞 → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛)})
10735rabex 5218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛)} ∈ V
108106, 34, 107fvmpt 6751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ ℕ → (𝑊𝑞) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛)})
10964, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝑊𝑞) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛)})
110103, 109eleqtrrd 2919 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑊𝑞))
111 fveq2 6653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑞 → (𝑊𝑘) = (𝑊𝑞))
112111eliuni 4908 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑊𝑞)) → 𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))
11399, 110, 112syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))
114 elun2 4137 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) → 𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
116115rexlimdvaa 3277 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (∃𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾))𝑞𝑥𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
11758, 116syl5bir 246 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (¬ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
11857, 117pm2.61d 182 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
11945, 118eqelssd 3972 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) = (1...𝑁))
120119fveq2d 6657 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))) = (♯‘(1...𝑁)))
1211nnnn0d 11943 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
122 hashfz1 13702 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
123121, 122syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
124120, 123eqtr2d 2860 . . . . 5 (𝜑𝑁 = (♯‘(𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
1258a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
126 ssfi 8724 . . . . . . 7 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ∈ Fin)
1274, 44, 126sylancr 590 . . . . . 6 (𝜑 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ∈ Fin)
128 breq1 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 𝑘 → (𝑝𝑥𝑘𝑥))
129128notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑘 → (¬ 𝑝𝑥 ↔ ¬ 𝑘𝑥))
130 breq2 5053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑥 → (𝑝𝑛𝑝𝑥))
131130notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑥 → (¬ 𝑝𝑛 ↔ ¬ 𝑝𝑥))
132131ralbidv 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑥 → (∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛 ↔ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑥))
133132, 5elrab2 3668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝑀 ↔ (𝑥 ∈ (1...𝑁) ∧ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑥))
134133simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑀 → ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑥)
135134ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑥)
136 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℙ)
137 noel 4278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ 𝑘 ∈ ∅
138 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))
139138biantrud 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ (𝑘 ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
140 elin 3934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (𝑘 ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
141139, 140syl6bbr 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
14272ltp1d 11557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐾 < (𝐾 + 1))
143 fzdisj 12929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐾 < (𝐾 + 1) → ((1...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) = ∅)
144142, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((1...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) = ∅)
145144ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → ((1...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) = ∅)
146145eleq2d 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → (𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
147141, 146bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
148137, 147mtbiri 330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → ¬ 𝑘 ∈ (1...𝐾))
149136, 148eldifd 3929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → 𝑘 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)))
150129, 135, 149rspcdva 3610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → ¬ 𝑘𝑥)
151150expr 460 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑘 ∈ ℙ → ¬ 𝑘𝑥))
152 imnan 403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℙ → ¬ 𝑘𝑥) ↔ ¬ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑥))
153151, 152sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ¬ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑥))
15429adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
155154, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑊𝑘) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
156155eleq2d 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑊𝑘) ↔ 𝑥 ∈ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)}))
157 breq2 5053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑥 → (𝑘𝑛𝑘𝑥))
158157anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑥)))
159158elrab 3665 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)} ↔ (𝑥 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑥)))
160159simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)} → (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑥))
161156, 160syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑊𝑘) → (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑥)))
162153, 161mtod 201 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑊𝑘))
163162nrexdv 3262 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑀) → ¬ ∃𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)𝑥 ∈ (𝑊𝑘))
164 eliun 4906 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)𝑥 ∈ (𝑊𝑘))
165163, 164sylnibr 332 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑀) → ¬ 𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))
166165ex 416 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝑀 → ¬ 𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
167 imnan 403 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑀 → ¬ 𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ↔ ¬ (𝑥𝑀𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
168166, 167sylib 221 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝑥𝑀𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
169 elin 3934 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ↔ (𝑥𝑀𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
170168, 169sylnibr 332 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
171170eq0rdv 4338 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) = ∅)
172 hashun 13739 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ∈ Fin ∧ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) = ∅) → (♯‘(𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))) = ((♯‘𝑀) + (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
173125, 127, 171, 172syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))) = ((♯‘𝑀) + (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
17424, 124, 1733eqtrd 2863 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁 / 2) + (𝑁 / 2)) = ((♯‘𝑀) + (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
175 hashcl 13713 . . . . . . 7 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ∈ Fin → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
176127, 175syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
177176nn0red 11944 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ∈ ℝ)
178 fzfid 13336 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
17926, 28sylan 583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
180 nnrecre 11667 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
181 0re 10630 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
182 ifcl 4492 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
183180, 181, 182sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
184179, 183syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
18527, 184sylan2 595 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
186178, 185fsumrecl 15082 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
1872, 186remulcld 10658 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ∈ ℝ)
188 prmrec.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0))
189 prmrec.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
190 prmrec.6 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) < (1 / 2))
191188, 14, 1, 5, 189, 190, 34prmreclem4 16244 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
192 eluz 12245 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝐾))
19395, 67, 192syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝐾))
194 nnleltp1 12025 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁𝐾𝑁 < (𝐾 + 1)))
1951, 14, 194syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝐾𝑁 < (𝐾 + 1)))
196 fzn 12918 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝐾 + 1) ↔ ((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅))
19793, 95, 196syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 < (𝐾 + 1) ↔ ((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅))
198193, 195, 1973bitrd 308 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ↔ ((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅))
199 0le0 11726 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 0
20023mul01d 10826 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
201199, 200breqtrrid 5087 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 · 0))
202 iuneq1 4918 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ∅ (𝑊𝑘))
203 0iun 4969 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ∈ ∅ (𝑊𝑘) = ∅
204202, 203syl6eq 2875 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) = ∅)
205204fveq2d 6657 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) = (♯‘∅))
206 hash0 13724 . . . . . . . . . . 11 (♯‘∅) = 0
207205, 206syl6eq 2875 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) = 0)
208 sumeq1 15036 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ∅ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
209 sum0 15069 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑘 ∈ ∅ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = 0
210208, 209syl6eq 2875 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = 0)
211210oveq2d 7156 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · 0))
212207, 211breq12d 5062 . . . . . . . . 9 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ 0 ≤ (𝑁 · 0)))
213201, 212syl5ibrcom 250 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
214198, 213sylbid 243 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
215 uztric 12254 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)))
21667, 95, 215syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)))
217191, 214, 216mpjaod 857 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
218 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘(𝐾 + 1)) = (ℤ‘(𝐾 + 1))
219 eleq1w 2898 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
220 oveq2 7148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
221219, 220ifbieq1d 4471 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
222 ovex 7173 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 𝑘) ∈ V
223 c0ex 10622 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
224222, 223ifex 4496 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ V
225221, 188, 224fvmpt 6751 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
226179, 225syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
227183recnd 10656 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
228225, 227eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
229228adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
23065, 26, 229iserex 15004 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝐾 + 1)( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
231189, 230mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq(𝐾 + 1)( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
232218, 93, 226, 184, 231isumrecl 15111 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
233 halfre 11839 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℝ
234233a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
235 fzssuz 12943 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 + 1)...𝑁) ⊆ (ℤ‘(𝐾 + 1))
236235a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝑁) ⊆ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
237 nnrp 12388 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
238237rpreccld 12429 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
239238rpge0d 12423 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / 𝑘))
240 breq2 5053 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) → (0 ≤ (1 / 𝑘) ↔ 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
241 breq2 5053 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
242240, 241ifboth 4486 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ≤ (1 / 𝑘) ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
243239, 199, 242sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
244179, 243syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
245218, 93, 178, 236, 226, 184, 244, 231isumless 15191 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
246186, 232, 234, 245, 190lelttrd 10785 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) < (1 / 2))
2471nngt0d 11674 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝑁)
248 ltmul2 11478 . . . . . . . . 9 ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) < (1 / 2) ↔ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) < (𝑁 · (1 / 2))))
249186, 234, 2, 247, 248syl112anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) < (1 / 2) ↔ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) < (𝑁 · (1 / 2))))
250246, 249mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) < (𝑁 · (1 / 2)))
251 2cn 11700 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
252 2ne0 11729 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
253 divrec 11301 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑁 / 2) = (𝑁 · (1 / 2)))
254251, 252, 253mp3an23 1450 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 / 2) = (𝑁 · (1 / 2)))
25523, 254syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 / 2) = (𝑁 · (1 / 2)))
256250, 255breqtrrd 5077 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) < (𝑁 / 2))
257177, 187, 3, 217, 256lelttrd 10785 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) < (𝑁 / 2))
258177, 3, 12, 257ltadd2dd 10786 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝑀) + (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))) < ((♯‘𝑀) + (𝑁 / 2)))
259174, 258eqbrtrd 5071 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 / 2) + (𝑁 / 2)) < ((♯‘𝑀) + (𝑁 / 2)))
2603, 12, 3ltadd1d 11220 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 / 2) < (♯‘𝑀) ↔ ((𝑁 / 2) + (𝑁 / 2)) < ((♯‘𝑀) + (𝑁 / 2))))
261259, 260mpbird 260 . 2 (𝜑 → (𝑁 / 2) < (♯‘𝑀))
262 oveq1 7147 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑟 → (𝑘↑2) = (𝑟↑2))
263262breq1d 5059 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑟 → ((𝑘↑2) ∥ 𝑥 ↔ (𝑟↑2) ∥ 𝑥))
264263cbvrabv 3476 . . . . . 6 {𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝑘↑2) ∥ 𝑥} = {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑥}
265 breq2 5053 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑟↑2) ∥ 𝑥 ↔ (𝑟↑2) ∥ 𝑛))
266265rabbidv 3465 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑥} = {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛})
267264, 266syl5eq 2871 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → {𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝑘↑2) ∥ 𝑥} = {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛})
268267supeq1d 8896 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → sup({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝑘↑2) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛}, ℝ, < ))
269268cbvmptv 5152 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ ↦ sup({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝑘↑2) ∥ 𝑥}, ℝ, < )) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛}, ℝ, < ))
270188, 14, 1, 5, 269prmreclem3 16243 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑀) ≤ ((2↑𝐾) · (√‘𝑁)))
2713, 12, 22, 261, 270ltletrd 10787 1 (𝜑 → (𝑁 / 2) < ((2↑𝐾) · (√‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  wral 3132  wrex 3133  {crab 3136  cdif 3915  cun 3916  cin 3917  wss 3918  c0 4274  ifcif 4448   ciun 4902   class class class wbr 5049  cmpt 5129  dom cdm 5538  cfv 6338  (class class class)co 7140  Fincfn 8494  supcsup 8890  cc 10522  cr 10523  0cc0 10524  1c1 10525   + caddc 10527   · cmul 10529   < clt 10662  cle 10663   / cdiv 11284  cn 11625  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12885  seqcseq 13364  cexp 13425  chash 13686  csqrt 14583  cli 14832  Σcsu 15033  cdvds 15598  cprime 16004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-inf2 9090  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-se 5498  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-isom 6347  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-pm 8394  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-dvds 15599  df-gcd 15833  df-prm 16005  df-pc 16163
This theorem is referenced by:  prmreclem6  16246
  Copyright terms: Public domain W3C validator