MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmreclem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmreclem5 15841
Description: Lemma for prmrec 15843. Here we show the inequality 𝑁 / 2 < ♯𝑀 by decomposing the set (1...𝑁) into the disjoint union of the set 𝑀 of those numbers that are not divisible by any "large" primes (above 𝐾) and the indexed union over 𝐾 < 𝑘 of the numbers 𝑊𝑘 that divide the prime 𝑘. By prmreclem4 15840 the second of these has size less than 𝑁 times the prime reciprocal series, which is less than 1 / 2 by assumption, we find that the complementary part 𝑀 must be at least 𝑁 / 2 large. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0))
prmrec.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
prmrec.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
prmrec.4 𝑀 = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛}
prmrec.5 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
prmrec.6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) < (1 / 2))
prmrec.7 𝑊 = (𝑝 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)})
Assertion
Ref Expression
prmreclem5 (𝜑 → (𝑁 / 2) < ((2↑𝐾) · (√‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑝,𝐹   𝑘,𝐾,𝑛,𝑝   𝑘,𝑀,𝑛,𝑝   𝜑,𝑘,𝑛,𝑝   𝑘,𝑊   𝑘,𝑁,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑛,𝑝)

Proof of Theorem prmreclem5
Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmrec.3 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnred 11320 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
32rehalfcld 11546 . 2 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
4 fzfi 12995 . . . . . 6 (1...𝑁) ∈ Fin
5 prmrec.4 . . . . . . 7 𝑀 = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛}
6 ssrab2 3884 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛} ⊆ (1...𝑁)
75, 6eqsstri 3832 . . . . . 6 𝑀 ⊆ (1...𝑁)
8 ssfi 8419 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑀 ⊆ (1...𝑁)) → 𝑀 ∈ Fin)
94, 7, 8mp2an 675 . . . . 5 𝑀 ∈ Fin
10 hashcl 13365 . . . . 5 (𝑀 ∈ Fin → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
119, 10ax-mp 5 . . . 4 (♯‘𝑀) ∈ ℕ0
1211nn0rei 11570 . . 3 (♯‘𝑀) ∈ ℝ
1312a1i 11 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ ℝ)
14 2nn 11462 . . . . 5 2 ∈ ℕ
15 prmrec.2 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
1615nnnn0d 11617 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
17 nnexpcl 13096 . . . . 5 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑𝐾) ∈ ℕ)
1814, 16, 17sylancr 577 . . . 4 (𝜑 → (2↑𝐾) ∈ ℕ)
1918nnred 11320 . . 3 (𝜑 → (2↑𝐾) ∈ ℝ)
201nnrpd 12084 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
2120rpsqrtcld 14373 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ+)
2221rpred 12086 . . 3 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
2319, 22remulcld 10355 . 2 (𝜑 → ((2↑𝐾) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
242recnd 10353 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
25242halvesd 11545 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 / 2) + (𝑁 / 2)) = 𝑁)
267a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ⊆ (1...𝑁))
2715peano2nnd 11322 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
28 elfzuz 12561 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
29 eluznn 11977 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
3027, 28, 29syl2an 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
31 eleq1w 2868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 𝑘 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
32 breq1 4847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 𝑘 → (𝑝𝑛𝑘𝑛))
3331, 32anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑘 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)))
3433rabbidv 3379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑘 → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
35 prmrec.7 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑊 = (𝑝 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)})
36 ovex 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...𝑁) ∈ V
3736rabex 5007 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)} ∈ V
3834, 35, 37fvmpt 6503 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑊𝑘) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
3938adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑊𝑘) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
40 ssrab2 3884 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)} ⊆ (1...𝑁)
4139, 40syl6eqss 3852 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
4230, 41syldan 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
4342ralrimiva 3154 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
44 iunss 4753 . . . . . . . . . 10 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
4543, 44sylibr 225 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
4626, 45unssd 3988 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ⊆ (1...𝑁))
47 breq1 4847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝑛𝑞𝑛))
4847notbid 309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑞 → (¬ 𝑝𝑛 ↔ ¬ 𝑞𝑛))
4948cbvralv 3360 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛 ↔ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑛)
50 breq2 4848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥 → (𝑞𝑛𝑞𝑥))
5150notbid 309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑥 → (¬ 𝑞𝑛 ↔ ¬ 𝑞𝑥))
5251ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑥 → (∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑛 ↔ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥))
5349, 52syl5bb 274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑥 → (∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛 ↔ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥))
5453, 5elrab2 3562 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑀 ↔ (𝑥 ∈ (1...𝑁) ∧ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥))
55 elun1 3979 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑀𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
5654, 55sylbir 226 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (1...𝑁) ∧ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥) → 𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
5756ex 399 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
5857adantl 469 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
59 dfrex2 3183 . . . . . . . . . 10 (∃𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾))𝑞𝑥 ↔ ¬ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥)
60 eldifn 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) → ¬ 𝑞 ∈ (1...𝐾))
6160ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → ¬ 𝑞 ∈ (1...𝐾))
62 eldifi 3931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) → 𝑞 ∈ ℙ)
6362ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞 ∈ ℙ)
64 prmnn 15606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞 ∈ ℕ)
66 nnuz 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℕ = (ℤ‘1)
6765, 66syl6eleq 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞 ∈ (ℤ‘1))
6815nnzd 11747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
6968ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝐾 ∈ ℤ)
70 elfz5 12557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↔ 𝑞𝐾))
7167, 69, 70syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↔ 𝑞𝐾))
7261, 71mtbid 315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → ¬ 𝑞𝐾)
7315nnred 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
7473ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝐾 ∈ ℝ)
7565nnred 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞 ∈ ℝ)
7674, 75ltnled 10469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝐾 < 𝑞 ↔ ¬ 𝑞𝐾))
7772, 76mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝐾 < 𝑞)
78 prmz 15607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
7963, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞 ∈ ℤ)
80 zltp1le 11693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑞 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑞))
8169, 79, 80syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝐾 < 𝑞 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑞))
8277, 81mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝐾 + 1) ≤ 𝑞)
83 elfznn 12593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
8483ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 ∈ ℕ)
8584nnred 11320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
862ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑁 ∈ ℝ)
87 simprr 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞𝑥)
88 dvdsle 15255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑞𝑥𝑞𝑥))
8979, 84, 88syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝑞𝑥𝑞𝑥))
9087, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞𝑥)
91 elfzle2 12568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥𝑁)
9291ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥𝑁)
9375, 85, 86, 90, 92letrd 10479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞𝑁)
9468peano2zd 11751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
9594ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
961nnzd 11747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9796ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑁 ∈ ℤ)
98 elfz 12555 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑞 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ ((𝐾 + 1) ≤ 𝑞𝑞𝑁)))
9979, 95, 97, 98syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝑞 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ ((𝐾 + 1) ≤ 𝑞𝑞𝑁)))
10082, 93, 99mpbir2and 695 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))
101 simplr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 ∈ (1...𝑁))
10263, 87jca 503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥))
10350anbi2d 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥 → ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛) ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥)))
104103elrab 3559 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛)} ↔ (𝑥 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥)))
105101, 102, 104sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 ∈ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛)})
106 eleq1w 2868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 𝑞 ∈ ℙ))
107106, 47anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛) ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛)))
108107rabbidv 3379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑞 → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛)})
10936rabex 5007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛)} ∈ V
110108, 35, 109fvmpt 6503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ ℕ → (𝑊𝑞) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛)})
11165, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝑊𝑞) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛)})
112105, 111eleqtrrd 2888 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑊𝑞))
113 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑞 → (𝑊𝑘) = (𝑊𝑞))
114113eliuni 4718 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑊𝑞)) → 𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))
115100, 112, 114syl2anc 575 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))
116 elun2 3980 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) → 𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
118117rexlimdvaa 3220 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (∃𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾))𝑞𝑥𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
11959, 118syl5bir 234 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (¬ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
12058, 119pm2.61d 171 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
12146, 120eqelssd 3819 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) = (1...𝑁))
122121fveq2d 6412 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))) = (♯‘(1...𝑁)))
1231nnnn0d 11617 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
124 hashfz1 13354 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
125123, 124syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
126122, 125eqtr2d 2841 . . . . 5 (𝜑𝑁 = (♯‘(𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
1279a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
128 ssfi 8419 . . . . . . 7 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ∈ Fin)
1294, 45, 128sylancr 577 . . . . . 6 (𝜑 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ∈ Fin)
130 breq1 4847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 𝑘 → (𝑝𝑥𝑘𝑥))
131130notbid 309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑘 → (¬ 𝑝𝑥 ↔ ¬ 𝑘𝑥))
132 breq2 4848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑥 → (𝑝𝑛𝑝𝑥))
133132notbid 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑥 → (¬ 𝑝𝑛 ↔ ¬ 𝑝𝑥))
134133ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑥 → (∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛 ↔ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑥))
135134, 5elrab2 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝑀 ↔ (𝑥 ∈ (1...𝑁) ∧ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑥))
136135simprbi 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑀 → ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑥)
137136ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑥)
138 simprr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℙ)
139 noel 4120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ 𝑘 ∈ ∅
140 simprl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))
141140biantrud 523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ (𝑘 ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
142 elin 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (𝑘 ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
143141, 142syl6bbr 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
14473ltp1d 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐾 < (𝐾 + 1))
145 fzdisj 12591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐾 < (𝐾 + 1) → ((1...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) = ∅)
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((1...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) = ∅)
147146ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → ((1...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) = ∅)
148147eleq2d 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → (𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
149143, 148bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
150139, 149mtbiri 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → ¬ 𝑘 ∈ (1...𝐾))
151138, 150eldifd 3780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → 𝑘 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)))
152131, 137, 151rspcdva 3508 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → ¬ 𝑘𝑥)
153152expr 446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑘 ∈ ℙ → ¬ 𝑘𝑥))
154 imnan 388 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℙ → ¬ 𝑘𝑥) ↔ ¬ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑥))
155153, 154sylib 209 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ¬ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑥))
15630adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
157156, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑊𝑘) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
158157eleq2d 2871 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑊𝑘) ↔ 𝑥 ∈ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)}))
159 breq2 4848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑥 → (𝑘𝑛𝑘𝑥))
160159anbi2d 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑥)))
161160elrab 3559 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)} ↔ (𝑥 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑥)))
162161simprbi 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)} → (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑥))
163158, 162syl6bi 244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑊𝑘) → (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑥)))
164155, 163mtod 189 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑊𝑘))
165164nrexdv 3188 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑀) → ¬ ∃𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)𝑥 ∈ (𝑊𝑘))
166 eliun 4716 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)𝑥 ∈ (𝑊𝑘))
167165, 166sylnibr 320 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑀) → ¬ 𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))
168167ex 399 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝑀 → ¬ 𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
169 imnan 388 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑀 → ¬ 𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ↔ ¬ (𝑥𝑀𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
170168, 169sylib 209 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝑥𝑀𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
171 elin 3995 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ↔ (𝑥𝑀𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
172170, 171sylnibr 320 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
173172eq0rdv 4177 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) = ∅)
174 hashun 13389 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ∈ Fin ∧ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) = ∅) → (♯‘(𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))) = ((♯‘𝑀) + (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
175127, 129, 173, 174syl3anc 1483 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))) = ((♯‘𝑀) + (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
17625, 126, 1753eqtrd 2844 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁 / 2) + (𝑁 / 2)) = ((♯‘𝑀) + (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
177 hashcl 13365 . . . . . . 7 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ∈ Fin → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
178129, 177syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
179178nn0red 11618 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ∈ ℝ)
180 fzfid 12996 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
18127, 29sylan 571 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
182 nnrecre 11343 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
183 0re 10327 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
184 ifcl 4323 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
185182, 183, 184sylancl 576 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
186181, 185syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
18728, 186sylan2 582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
188180, 187fsumrecl 14688 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
1892, 188remulcld 10355 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ∈ ℝ)
190 prmrec.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0))
191 prmrec.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
192 prmrec.6 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) < (1 / 2))
193190, 15, 1, 5, 191, 192, 35prmreclem4 15840 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
194 eluz 11918 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝐾))
19596, 68, 194syl2anc 575 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝐾))
196 nnleltp1 11698 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁𝐾𝑁 < (𝐾 + 1)))
1971, 15, 196syl2anc 575 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝐾𝑁 < (𝐾 + 1)))
198 fzn 12580 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝐾 + 1) ↔ ((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅))
19994, 96, 198syl2anc 575 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 < (𝐾 + 1) ↔ ((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅))
200195, 197, 1993bitrd 296 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ↔ ((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅))
201 0le0 11393 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 0
20224mul01d 10520 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
203201, 202syl5breqr 4882 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 · 0))
204 iuneq1 4726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ∅ (𝑊𝑘))
205 0iun 4769 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ∈ ∅ (𝑊𝑘) = ∅
206204, 205syl6eq 2856 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) = ∅)
207206fveq2d 6412 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) = (♯‘∅))
208 hash0 13376 . . . . . . . . . . 11 (♯‘∅) = 0
209207, 208syl6eq 2856 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) = 0)
210 sumeq1 14642 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ∅ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
211 sum0 14675 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑘 ∈ ∅ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = 0
212210, 211syl6eq 2856 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = 0)
213212oveq2d 6890 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · 0))
214209, 213breq12d 4857 . . . . . . . . 9 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ 0 ≤ (𝑁 · 0)))
215203, 214syl5ibrcom 238 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
216200, 215sylbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
217 uztric 11926 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)))
21868, 96, 217syl2anc 575 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)))
219193, 216, 218mpjaod 878 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
220 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘(𝐾 + 1)) = (ℤ‘(𝐾 + 1))
221 eleq1w 2868 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
222 oveq2 6882 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
223221, 222ifbieq1d 4302 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
224 ovex 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 𝑘) ∈ V
225 c0ex 10319 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
226224, 225ifex 4327 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ V
227223, 190, 226fvmpt 6503 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
228181, 227syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
229185recnd 10353 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
230227, 229eqeltrd 2885 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
231230adantl 469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
23266, 27, 231iserex 14610 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝐾 + 1)( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
233191, 232mpbid 223 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq(𝐾 + 1)( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
234220, 94, 228, 186, 233isumrecl 14719 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
235 halfre 11513 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℝ
236235a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
237 fzssuz 12605 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 + 1)...𝑁) ⊆ (ℤ‘(𝐾 + 1))
238237a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝑁) ⊆ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
239 nnrp 12056 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
240239rpreccld 12096 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
241240rpge0d 12090 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / 𝑘))
242 breq2 4848 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) → (0 ≤ (1 / 𝑘) ↔ 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
243 breq2 4848 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
244242, 243ifboth 4317 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ≤ (1 / 𝑘) ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
245241, 201, 244sylancl 576 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
246181, 245syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
247220, 94, 180, 238, 228, 186, 246, 233isumless 14799 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
248188, 234, 236, 247, 192lelttrd 10480 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) < (1 / 2))
2491nngt0d 11350 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝑁)
250 ltmul2 11159 . . . . . . . . 9 ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) < (1 / 2) ↔ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) < (𝑁 · (1 / 2))))
251188, 236, 2, 249, 250syl112anc 1486 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) < (1 / 2) ↔ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) < (𝑁 · (1 / 2))))
252248, 251mpbid 223 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) < (𝑁 · (1 / 2)))
253 2cn 11375 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
254 2ne0 11396 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
255 divrec 10986 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑁 / 2) = (𝑁 · (1 / 2)))
256253, 254, 255mp3an23 1570 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 / 2) = (𝑁 · (1 / 2)))
25724, 256syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 / 2) = (𝑁 · (1 / 2)))
258252, 257breqtrrd 4872 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) < (𝑁 / 2))
259179, 189, 3, 219, 258lelttrd 10480 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) < (𝑁 / 2))
260179, 3, 13, 259ltadd2dd 10481 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝑀) + (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))) < ((♯‘𝑀) + (𝑁 / 2)))
261176, 260eqbrtrd 4866 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 / 2) + (𝑁 / 2)) < ((♯‘𝑀) + (𝑁 / 2)))
2623, 13, 3ltadd1d 10905 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 / 2) < (♯‘𝑀) ↔ ((𝑁 / 2) + (𝑁 / 2)) < ((♯‘𝑀) + (𝑁 / 2))))
263261, 262mpbird 248 . 2 (𝜑 → (𝑁 / 2) < (♯‘𝑀))
264 oveq1 6881 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑟 → (𝑘↑2) = (𝑟↑2))
265264breq1d 4854 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑟 → ((𝑘↑2) ∥ 𝑥 ↔ (𝑟↑2) ∥ 𝑥))
266265cbvrabv 3389 . . . . . 6 {𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝑘↑2) ∥ 𝑥} = {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑥}
267 breq2 4848 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑟↑2) ∥ 𝑥 ↔ (𝑟↑2) ∥ 𝑛))
268267rabbidv 3379 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑥} = {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛})
269266, 268syl5eq 2852 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → {𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝑘↑2) ∥ 𝑥} = {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛})
270269supeq1d 8591 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → sup({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝑘↑2) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛}, ℝ, < ))
271270cbvmptv 4944 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ ↦ sup({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝑘↑2) ∥ 𝑥}, ℝ, < )) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛}, ℝ, < ))
272190, 15, 1, 5, 271prmreclem3 15839 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑀) ≤ ((2↑𝐾) · (√‘𝑁)))
2733, 13, 23, 263, 272ltletrd 10482 1 (𝜑 → (𝑁 / 2) < ((2↑𝐾) · (√‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  wrex 3097  {crab 3100  cdif 3766  cun 3767  cin 3768  wss 3769  c0 4116  ifcif 4279   ciun 4712   class class class wbr 4844  cmpt 4923  dom cdm 5311  cfv 6101  (class class class)co 6874  Fincfn 8192  supcsup 8585  cc 10219  cr 10220  0cc0 10221  1c1 10222   + caddc 10224   · cmul 10226   < clt 10359  cle 10360   / cdiv 10969  cn 11305  2c2 11356  0cn0 11559  cz 11643  cuz 11904  ...cfz 12549  seqcseq 13024  cexp 13083  chash 13337  csqrt 14196  cli 14438  Σcsu 14639  cdvds 15203  cprime 15603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-pm 8095  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-card 9048  df-cda 9275  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-n0 11560  df-xnn0 11630  df-z 11644  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-fl 12817  df-mod 12893  df-seq 13025  df-exp 13084  df-hash 13338  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-clim 14442  df-rlim 14443  df-sum 14640  df-dvds 15204  df-gcd 15436  df-prm 15604  df-pc 15759
This theorem is referenced by:  prmreclem6  15842
  Copyright terms: Public domain W3C validator