Theorem 0ringirng 33730

Description: A zero ring 𝑅 has no integral elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irngval.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
irngval.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
irngval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
irngval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elirng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
elirng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
0ringirng.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
0ringirng	⊢ (𝜑 → (𝑅 IntgRing 𝑆) = ∅)

Proof of Theorem 0ringirng

Dummy variables 𝑥 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rex0 4335	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑝 ∈ ∅ ((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0
2		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝑈) = (Monic1p‘𝑈)
3		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		elirng.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
5		irngval.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
6	5	subrgring 20534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ∈ Ring)
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
8		irngval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		elirng.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10	9	crngringd 20206	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11	8	fveq2i 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐵) = (♯‘(Base‘𝑅))
12		0ringirng.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ NzRing)
13		0ringnnzr 20485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
14	13	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
15	10, 12, 14	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
16	11, 15	eqtrid 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
17	8	subrgss 20532	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
18	5, 8	ressbas2 17259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝑈))
19	4, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝑈))
20	19, 4	eqeltrrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ∈ (SubRing‘𝑅))
21	8, 10, 16, 20	0ringsubrg 33246	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝑈)) = 1)
22	2, 3, 7, 21	0ringmon1p 33570	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Monic1p‘𝑈) = ∅)
23	22	rexeqdv 3306	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ∅ ((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 ))
24	1, 23	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 )
25		irngval.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
26		irngval.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
27	25, 5, 8, 26, 9, 4	elirng 33727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 )))
28	27	simplbda 499	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆)) → ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 )
29	24, 28	mtand 815	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆))
30	29	eq0rdv 4382	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 IntgRing 𝑆) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  1c1 11130  ♯chash 14348  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  0_gc0g 17453  Ringcrg 20193  CRingccrg 20194  NzRingcnzr 20472  SubRingcsubrg 20529   evalSub₁ ces1 22251  Monic_1pcmn1 26083   IntgRing cirng 33724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-ofr 7672  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-oi 9524  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-srg 20147  df-ring 20195  df-cring 20196  df-rhm 20432  df-nzr 20473  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-cnfld 21316  df-assa 21813  df-asp 21814  df-ascl 21815  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-evls 22032  df-psr1 22115  df-ply1 22117  df-coe1 22118  df-evls1 22253  df-mdeg 26012  df-deg1 26013  df-mon1 26088  df-irng 33725

This theorem is referenced by: (None)