Theorem 0ringirng 33684

Description: A zero ring 𝑅 has no integral elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irngval.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
irngval.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
irngval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
irngval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elirng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
elirng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
0ringirng.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
0ringirng	⊢ (𝜑 → (𝑅 IntgRing 𝑆) = ∅)

Proof of Theorem 0ringirng

Dummy variables 𝑥 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rex0 4323	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑝 ∈ ∅ ((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0
2		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝑈) = (Monic1p‘𝑈)
3		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		elirng.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
5		irngval.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
6	5	subrgring 20483	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ∈ Ring)
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
8		irngval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		elirng.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10	9	crngringd 20155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11	8	fveq2i 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐵) = (♯‘(Base‘𝑅))
12		0ringirng.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ NzRing)
13		0ringnnzr 20434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
14	13	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
15	10, 12, 14	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
16	11, 15	eqtrid 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
17	8	subrgss 20481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
18	5, 8	ressbas2 17208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝑈))
19	4, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝑈))
20	19, 4	eqeltrrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ∈ (SubRing‘𝑅))
21	8, 10, 16, 20	0ringsubrg 33202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝑈)) = 1)
22	2, 3, 7, 21	0ringmon1p 33526	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Monic1p‘𝑈) = ∅)
23	22	rexeqdv 3300	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ∅ ((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 ))
24	1, 23	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 )
25		irngval.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
26		irngval.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
27	25, 5, 8, 26, 9, 4	elirng 33681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 )))
28	27	simplbda 499	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆)) → ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 )
29	24, 28	mtand 815	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆))
30	29	eq0rdv 4370	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 IntgRing 𝑆) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1c1 11069  ♯chash 14295  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  0_gc0g 17402  Ringcrg 20142  CRingccrg 20143  NzRingcnzr 20421  SubRingcsubrg 20478   evalSub₁ ces1 22200  Monic_1pcmn1 26031   IntgRing cirng 33678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-srg 20096  df-ring 20144  df-cring 20145  df-rhm 20381  df-nzr 20422  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-cnfld 21265  df-assa 21762  df-asp 21763  df-ascl 21764  df-psr 21818  df-mvr 21819  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-evls 21981  df-psr1 22064  df-ply1 22066  df-coe1 22067  df-evls1 22202  df-mdeg 25960  df-deg1 25961  df-mon1 26036  df-irng 33679

This theorem is referenced by: (None)