Theorem 0ringirng 34020

Description: A zero ring 𝑅 has no integral elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irngval.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
irngval.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
irngval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
irngval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elirng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
elirng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
0ringirng.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
0ringirng	⊢ (𝜑 → (𝑅 IntgRing 𝑆) = ∅)

Proof of Theorem 0ringirng

Dummy variables 𝑥 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rex0 4322	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑝 ∈ ∅ ((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0
2		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝑈) = (Monic1p‘𝑈)
3		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		elirng.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
5		irngval.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
6	5	subrgring 20655	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ∈ Ring)
7	4, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
8		irngval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		elirng.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10	9	crngringd 20324	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11	8	fveq2i 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐵) = (♯‘(Base‘𝑅))
12		0ringirng.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ NzRing)
13		0ringnnzr 20605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
14	13	biimpar 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
15	10, 12, 14	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
16	11, 15	eqtrid 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
17	8	subrgss 20653	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
18	5, 8	ressbas2 17294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝑈))
19	4, 17, 18	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝑈))
20	19, 4	eqeltrrd 2870	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ∈ (SubRing‘𝑅))
21	8, 10, 16, 20	0ringsubrg 33508	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝑈)) = 1)
22	2, 3, 7, 21	0ringmon1p 33788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Monic1p‘𝑈) = ∅)
23	22	rexeqdv 3330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ∅ ((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 ))
24	1, 23	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 )
25		irngval.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
26		irngval.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
27	25, 5, 8, 26, 9, 4	elirng 34017	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 )))
28	27	simplbda 504	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆)) → ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 )
29	24, 28	mtand 827	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆))
30	29	eq0rdv 4370	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 IntgRing 𝑆) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  1c1 11097  ♯chash 14362  Basecbs 17265   ↾_s cress 17286  0_gc0g 17488  Ringcrg 20311  CRingccrg 20312  NzRingcnzr 20591  SubRingcsubrg 20650   evalSub₁ ces1 22438  Monic_1pcmn1 26248   IntgRing cirng 34014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-prds 17496  df-pws 17498  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-mulg 19130  df-subg 19185  df-ghm 19280  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-srg 20265  df-ring 20313  df-cring 20314  df-rhm 20550  df-nzr 20592  df-subrng 20627  df-subrg 20651  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-cnfld 21488  df-assa 21968  df-asp 21969  df-ascl 21970  df-psr 22024  df-mvr 22025  df-mpl 22026  df-opsr 22028  df-evls 22190  df-psr1 22305  df-ply1 22307  df-coe1 22308  df-evls1 22440  df-mdeg 26177  df-deg1 26178  df-mon1 26253  df-irng 34015

This theorem is referenced by: (None)