Theorem 0ringirng 33849

Description: A zero ring 𝑅 has no integral elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irngval.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
irngval.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
irngval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
irngval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elirng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
elirng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
0ringirng.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
0ringirng	⊢ (𝜑 → (𝑅 IntgRing 𝑆) = ∅)

Proof of Theorem 0ringirng

Dummy variables 𝑥 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rex0 4301	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑝 ∈ ∅ ((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝑈) = (Monic1p‘𝑈)
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		elirng.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
5		irngval.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
6	5	subrgring 20542	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ∈ Ring)
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
8		irngval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		elirng.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10	9	crngringd 20218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11	8	fveq2i 6837	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐵) = (♯‘(Base‘𝑅))
12		0ringirng.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ NzRing)
13		0ringnnzr 20493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
14	13	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
15	10, 12, 14	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
16	11, 15	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
17	8	subrgss 20540	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
18	5, 8	ressbas2 17199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝑈))
19	4, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝑈))
20	19, 4	eqeltrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ∈ (SubRing‘𝑅))
21	8, 10, 16, 20	0ringsubrg 33327	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝑈)) = 1)
22	2, 3, 7, 21	0ringmon1p 33632	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Monic1p‘𝑈) = ∅)
23	22	rexeqdv 3297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ∅ ((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 ))
24	1, 23	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 )
25		irngval.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
26		irngval.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
27	25, 5, 8, 26, 9, 4	elirng 33846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 )))
28	27	simplbda 499	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆)) → ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 )
29	24, 28	mtand 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆))
30	29	eq0rdv 4348	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 IntgRing 𝑆) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1c1 11030  ♯chash 14283  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  0_gc0g 17393  Ringcrg 20205  CRingccrg 20206  NzRingcnzr 20480  SubRingcsubrg 20537   evalSub₁ ces1 22288  Monic_1pcmn1 26101   IntgRing cirng 33843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-srg 20159  df-ring 20207  df-cring 20208  df-rhm 20443  df-nzr 20481  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-cnfld 21345  df-assa 21843  df-asp 21844  df-ascl 21845  df-psr 21899  df-mvr 21900  df-mpl 21901  df-opsr 21903  df-evls 22062  df-psr1 22153  df-ply1 22155  df-coe1 22156  df-evls1 22290  df-mdeg 26030  df-deg1 26031  df-mon1 26106  df-irng 33844

This theorem is referenced by: (None)