Theorem 0ringirng 33694

Description: A zero ring 𝑅 has no integral elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irngval.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
irngval.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
irngval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
irngval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elirng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
elirng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
0ringirng.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
0ringirng	⊢ (𝜑 → (𝑅 IntgRing 𝑆) = ∅)

Proof of Theorem 0ringirng

Dummy variables 𝑥 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rex0 4305	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑝 ∈ ∅ ((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0
2		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝑈) = (Monic1p‘𝑈)
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		elirng.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
5		irngval.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
6	5	subrgring 20484	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ∈ Ring)
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
8		irngval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		elirng.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10	9	crngringd 20159	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11	8	fveq2i 6820	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐵) = (♯‘(Base‘𝑅))
12		0ringirng.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ NzRing)
13		0ringnnzr 20435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
14	13	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
15	10, 12, 14	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
16	11, 15	eqtrid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
17	8	subrgss 20482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
18	5, 8	ressbas2 17144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝑈))
19	4, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝑈))
20	19, 4	eqeltrrd 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ∈ (SubRing‘𝑅))
21	8, 10, 16, 20	0ringsubrg 33210	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝑈)) = 1)
22	2, 3, 7, 21	0ringmon1p 33512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Monic1p‘𝑈) = ∅)
23	22	rexeqdv 3293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ∅ ((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 ))
24	1, 23	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 )
25		irngval.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
26		irngval.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
27	25, 5, 8, 26, 9, 4	elirng 33691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 )))
28	27	simplbda 499	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆)) → ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑝)‘𝑥) = 0 )
29	24, 28	mtand 815	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆))
30	29	eq0rdv 4352	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 IntgRing 𝑆) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897  ∅c0 4278  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  1c1 11002  ♯chash 14232  Basecbs 17115   ↾_s cress 17136  0_gc0g 17338  Ringcrg 20146  CRingccrg 20147  NzRingcnzr 20422  SubRingcsubrg 20479   evalSub₁ ces1 22223  Monic_1pcmn1 26053   IntgRing cirng 33688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-addf 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-ofr 7606  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-sup 9321  df-oi 9391  df-dju 9789  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-xnn0 12450  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-hash 14233  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-hom 17180  df-cco 17181  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-prds 17346  df-pws 17348  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19120  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-srg 20100  df-ring 20148  df-cring 20149  df-rhm 20385  df-nzr 20423  df-subrng 20456  df-subrg 20480  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-lsp 20900  df-cnfld 21287  df-assa 21785  df-asp 21786  df-ascl 21787  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-evls 22004  df-psr1 22087  df-ply1 22089  df-coe1 22090  df-evls1 22225  df-mdeg 25982  df-deg1 25983  df-mon1 26058  df-irng 33689

This theorem is referenced by: (None)