Theorem reconnlem1 24226

Description: Lemma for reconn 24228. Connectedness in the reals-easy direction. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reconnlem1	⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem reconnlem1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 767	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn)
2		retopon 24164	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4		simplll 773	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5		iooretop 24166	. . . . . . 7 ⊢ (-∞(,)𝑧) ∈ (topGen‘ran (,))
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (-∞(,)𝑧) ∈ (topGen‘ran (,)))
7		iooretop 24166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
9		simplrl 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
10	4, 9	sseldd 3948	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ ℝ)
11	10	mnfltd 13054	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → -∞ < 𝑋)
12		eldifn 4092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
14		eleq1 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = 𝑧 → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
15	9, 14	syl5ibcom 244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑋 = 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐴))
16	13, 15	mtod 197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑋 = 𝑧)
17		eldifi 4091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌))
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌))
19		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ 𝐴)
20	4, 19	sseldd 3948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ ℝ)
21		elicc2 13339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌)))
22	10, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌)))
23	18, 22	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌))
24	23	simp2d 1143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋 ≤ 𝑧)
25	23	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ)
26	10, 25	leloed 11307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑋 ≤ 𝑧 ↔ (𝑋 < 𝑧 ∨ 𝑋 = 𝑧)))
27	24, 26	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑋 < 𝑧 ∨ 𝑋 = 𝑧))
28	27	ord 862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (¬ 𝑋 < 𝑧 → 𝑋 = 𝑧))
29	16, 28	mt3d 148	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋 < 𝑧)
30		mnfxr 11221	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
31	25	rexrd 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
32		elioo2 13315	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝑧)))
33	30, 31, 32	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝑧)))
34	10, 11, 29, 33	mpbir3and 1342	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧))
35		inelcm 4429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((-∞(,)𝑧) ∩ 𝐴) ≠ ∅)
36	34, 9, 35	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ((-∞(,)𝑧) ∩ 𝐴) ≠ ∅)
37		eleq1 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ 𝐴))
38	19, 37	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 = 𝑌 → 𝑧 ∈ 𝐴))
39	13, 38	mtod 197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑧 = 𝑌)
40	23	simp3d 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 ≤ 𝑌)
41	25, 20	leloed 11307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 ≤ 𝑌 ↔ (𝑧 < 𝑌 ∨ 𝑧 = 𝑌)))
42	40, 41	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 < 𝑌 ∨ 𝑧 = 𝑌))
43	42	ord 862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (¬ 𝑧 < 𝑌 → 𝑧 = 𝑌))
44	39, 43	mt3d 148	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 < 𝑌)
45	20	ltpnfd 13051	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑌 < +∞)
46		pnfxr 11218	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
47		elioo2 13315	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑌 ∈ (𝑧(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑌 ∧ 𝑌 < +∞)))
48	31, 46, 47	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑌 ∈ (𝑧(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑌 ∧ 𝑌 < +∞)))
49	20, 44, 45, 48	mpbir3and 1342	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝑧(,)+∞))
50		inelcm 4429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝑧(,)+∞) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ((𝑧(,)+∞) ∩ 𝐴) ≠ ∅)
51	49, 19, 50	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ((𝑧(,)+∞) ∩ 𝐴) ≠ ∅)
52		inss1 4193	. . . . . . 7 ⊢ (((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞))
53	31, 30	jctil 520	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*))
54	31, 46	jctir 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*))
55	25	leidd 11730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 ≤ 𝑧)
56		ioodisj 13409	. . . . . . . 8 ⊢ ((((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ≤ 𝑧) → ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) = ∅)
57	53, 54, 55, 56	syl21anc 836	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) = ∅)
58		sseq0 4364	. . . . . . 7 ⊢ (((((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∧ ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) = ∅) → (((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) = ∅)
59	52, 57, 58	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) = ∅)
60	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
61	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → +∞ ∈ ℝ*)
62	25	mnfltd 13054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → -∞ < 𝑧)
63	25	ltpnfd 13051	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 < +∞)
64		ioojoin 13410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < +∞)) → (((-∞(,)𝑧) ∪ {𝑧}) ∪ (𝑧(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
65	60, 31, 61, 62, 63, 64	syl32anc 1378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (((-∞(,)𝑧) ∪ {𝑧}) ∪ (𝑧(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
66		unass 4131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-∞(,)𝑧) ∪ {𝑧}) ∪ (𝑧(,)+∞)) = ((-∞(,)𝑧) ∪ ({𝑧} ∪ (𝑧(,)+∞)))
67		un12 4132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-∞(,)𝑧) ∪ ({𝑧} ∪ (𝑧(,)+∞))) = ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞)))
68	66, 67	eqtri 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-∞(,)𝑧) ∪ {𝑧}) ∪ (𝑧(,)+∞)) = ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞)))
69		ioomax 13349	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
70	65, 68, 69	3eqtr3g 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))) = ℝ)
71	4, 70	sseqtrrd 3988	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))))
72		disjsn 4677	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
73	13, 72	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅)
74		disjssun 4432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅ → (𝐴 ⊆ ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))) ↔ 𝐴 ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))))
75	73, 74	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝐴 ⊆ ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))) ↔ 𝐴 ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))))
76	71, 75	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞)))
77	3, 4, 6, 8, 36, 51, 59, 76	nconnsubb 22811	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ¬ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn)
78	77	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → (𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) → ¬ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn))
79	1, 78	mt2d 136	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴))
80	79	eq0rdv 4369	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) = ∅)
81		ssdif0 4328	. 2 ⊢ ((𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) = ∅)
82	80, 81	sylibr 233	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110  ran crn 5639  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ℝcr 11059  +∞cpnf 11195  -∞cmnf 11196  ℝ^*cxr 11197   < clt 11198   ≤ cle 11199  (,)cioo 13274  [,]cicc 13277   ↾_t crest 17316  topGenctg 17333  TopOnctopon 22296  Conncconn 22799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-q 12883  df-ioo 13278  df-ico 13280  df-icc 13281  df-rest 17318  df-topgen 17339  df-top 22280  df-topon 22297  df-bases 22333  df-cld 22407  df-conn 22800

This theorem is referenced by:  reconn  24228