Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reconnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reconnlem1 23428
 Description: Lemma for reconn 23430. Connectedness in the reals-easy direction. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reconnlem1 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem reconnlem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn)
2 retopon 23366 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
32a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4 simplll 773 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5 iooretop 23368 . . . . . . 7 (-∞(,)𝑧) ∈ (topGen‘ran (,))
65a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (-∞(,)𝑧) ∈ (topGen‘ran (,)))
7 iooretop 23368 . . . . . . 7 (𝑧(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
87a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
9 simplrl 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋𝐴)
104, 9sseldd 3968 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ ℝ)
1110mnfltd 12513 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → -∞ < 𝑋)
12 eldifn 4104 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) → ¬ 𝑧𝐴)
1312adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑧𝐴)
14 eleq1 2900 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = 𝑧 → (𝑋𝐴𝑧𝐴))
159, 14syl5ibcom 247 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑋 = 𝑧𝑧𝐴))
1613, 15mtod 200 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑋 = 𝑧)
17 eldifi 4103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌))
1817adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌))
19 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑌𝐴)
204, 19sseldd 3968 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ ℝ)
21 elicc2 12795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑧𝑧𝑌)))
2210, 20, 21syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑧𝑧𝑌)))
2318, 22mpbid 234 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑧𝑧𝑌))
2423simp2d 1139 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋𝑧)
2523simp1d 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ)
2610, 25leloed 10777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑋𝑧 ↔ (𝑋 < 𝑧𝑋 = 𝑧)))
2724, 26mpbid 234 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑋 < 𝑧𝑋 = 𝑧))
2827ord 860 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (¬ 𝑋 < 𝑧𝑋 = 𝑧))
2916, 28mt3d 150 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋 < 𝑧)
30 mnfxr 10692 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
3125rexrd 10685 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
32 elioo2 12773 . . . . . . . . 9 ((-∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑋𝑋 < 𝑧)))
3330, 31, 32sylancr 589 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑋𝑋 < 𝑧)))
3410, 11, 29, 33mpbir3and 1338 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧))
35 inelcm 4414 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧) ∧ 𝑋𝐴) → ((-∞(,)𝑧) ∩ 𝐴) ≠ ∅)
3634, 9, 35syl2anc 586 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ((-∞(,)𝑧) ∩ 𝐴) ≠ ∅)
37 eleq1 2900 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑌 → (𝑧𝐴𝑌𝐴))
3819, 37syl5ibrcom 249 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 = 𝑌𝑧𝐴))
3913, 38mtod 200 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑧 = 𝑌)
4023simp3d 1140 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧𝑌)
4125, 20leloed 10777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧𝑌 ↔ (𝑧 < 𝑌𝑧 = 𝑌)))
4240, 41mpbid 234 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 < 𝑌𝑧 = 𝑌))
4342ord 860 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (¬ 𝑧 < 𝑌𝑧 = 𝑌))
4439, 43mt3d 150 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 < 𝑌)
4520ltpnfd 12510 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑌 < +∞)
46 pnfxr 10689 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
47 elioo2 12773 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑌 ∈ (𝑧(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑌𝑌 < +∞)))
4831, 46, 47sylancl 588 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑌 ∈ (𝑧(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑌𝑌 < +∞)))
4920, 44, 45, 48mpbir3and 1338 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝑧(,)+∞))
50 inelcm 4414 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (𝑧(,)+∞) ∧ 𝑌𝐴) → ((𝑧(,)+∞) ∩ 𝐴) ≠ ∅)
5149, 19, 50syl2anc 586 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ((𝑧(,)+∞) ∩ 𝐴) ≠ ∅)
52 inss1 4205 . . . . . . 7 (((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞))
5331, 30jctil 522 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (-∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*))
5431, 46jctir 523 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*))
5525leidd 11200 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧𝑧)
56 ioodisj 12862 . . . . . . . 8 ((((-∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧𝑧) → ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) = ∅)
5753, 54, 55, 56syl21anc 835 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) = ∅)
58 sseq0 4353 . . . . . . 7 (((((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∧ ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) = ∅) → (((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) = ∅)
5952, 57, 58sylancr 589 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) = ∅)
6030a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
6146a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → +∞ ∈ ℝ*)
6225mnfltd 12513 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → -∞ < 𝑧)
6325ltpnfd 12510 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 < +∞)
64 ioojoin 12863 . . . . . . . . . 10 (((-∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < +∞)) → (((-∞(,)𝑧) ∪ {𝑧}) ∪ (𝑧(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
6560, 31, 61, 62, 63, 64syl32anc 1374 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (((-∞(,)𝑧) ∪ {𝑧}) ∪ (𝑧(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
66 unass 4142 . . . . . . . . . 10 (((-∞(,)𝑧) ∪ {𝑧}) ∪ (𝑧(,)+∞)) = ((-∞(,)𝑧) ∪ ({𝑧} ∪ (𝑧(,)+∞)))
67 un12 4143 . . . . . . . . . 10 ((-∞(,)𝑧) ∪ ({𝑧} ∪ (𝑧(,)+∞))) = ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞)))
6866, 67eqtri 2844 . . . . . . . . 9 (((-∞(,)𝑧) ∪ {𝑧}) ∪ (𝑧(,)+∞)) = ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞)))
69 ioomax 12805 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) = ℝ
7065, 68, 693eqtr3g 2879 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))) = ℝ)
714, 70sseqtrrd 4008 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))))
72 disjsn 4641 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝐴)
7313, 72sylibr 236 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅)
74 disjssun 4417 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅ → (𝐴 ⊆ ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))) ↔ 𝐴 ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))))
7573, 74syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝐴 ⊆ ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))) ↔ 𝐴 ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))))
7671, 75mpbid 234 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞)))
773, 4, 6, 8, 36, 51, 59, 76nconnsubb 22025 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ¬ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn)
7877ex 415 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) → (𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) → ¬ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn))
791, 78mt2d 138 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴))
8079eq0rdv 4357 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) → ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) = ∅)
81 ssdif0 4323 . 2 ((𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) = ∅)
8280, 81sylibr 236 1 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3933   ∪ cun 3934   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  {csn 4561   class class class wbr 5059  ran crn 5551  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  +∞cpnf 10666  -∞cmnf 10667  ℝ*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670  (,)cioo 12732  [,]cicc 12735   ↾t crest 16688  topGenctg 16705  TopOnctopon 21512  Conncconn 22013 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-rest 16690  df-topgen 16711  df-top 21496  df-topon 21513  df-bases 21548  df-cld 21621  df-conn 22014 This theorem is referenced by:  reconn  23430
 Copyright terms: Public domain W3C validator