Theorem reconnlem1 24713

Description: Lemma for reconn 24715. Connectedness in the reals-easy direction. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reconnlem1	⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem reconnlem1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn)
2		retopon 24649	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4		simplll 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5		iooretop 24651	. . . . . . 7 ⊢ (-∞(,)𝑧) ∈ (topGen‘ran (,))
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (-∞(,)𝑧) ∈ (topGen‘ran (,)))
7		iooretop 24651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
9		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
10	4, 9	sseldd 3936	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ ℝ)
11	10	mnfltd 13026	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → -∞ < 𝑋)
12		eldifn 4083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
14		eleq1 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = 𝑧 → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
15	9, 14	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑋 = 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐴))
16	13, 15	mtod 198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑋 = 𝑧)
17		eldifi 4082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌))
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌))
19		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ 𝐴)
20	4, 19	sseldd 3936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ ℝ)
21		elicc2 13314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌)))
22	10, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌)))
23	18, 22	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌))
24	23	simp2d 1143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋 ≤ 𝑧)
25	23	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ)
26	10, 25	leloed 11259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑋 ≤ 𝑧 ↔ (𝑋 < 𝑧 ∨ 𝑋 = 𝑧)))
27	24, 26	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑋 < 𝑧 ∨ 𝑋 = 𝑧))
28	27	ord 864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (¬ 𝑋 < 𝑧 → 𝑋 = 𝑧))
29	16, 28	mt3d 148	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋 < 𝑧)
30		mnfxr 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
31	25	rexrd 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
32		elioo2 13289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝑧)))
33	30, 31, 32	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝑧)))
34	10, 11, 29, 33	mpbir3and 1343	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧))
35		inelcm 4416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((-∞(,)𝑧) ∩ 𝐴) ≠ ∅)
36	34, 9, 35	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ((-∞(,)𝑧) ∩ 𝐴) ≠ ∅)
37		eleq1 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ 𝐴))
38	19, 37	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 = 𝑌 → 𝑧 ∈ 𝐴))
39	13, 38	mtod 198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑧 = 𝑌)
40	23	simp3d 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 ≤ 𝑌)
41	25, 20	leloed 11259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 ≤ 𝑌 ↔ (𝑧 < 𝑌 ∨ 𝑧 = 𝑌)))
42	40, 41	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 < 𝑌 ∨ 𝑧 = 𝑌))
43	42	ord 864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (¬ 𝑧 < 𝑌 → 𝑧 = 𝑌))
44	39, 43	mt3d 148	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 < 𝑌)
45	20	ltpnfd 13023	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑌 < +∞)
46		pnfxr 11169	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
47		elioo2 13289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑌 ∈ (𝑧(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑌 ∧ 𝑌 < +∞)))
48	31, 46, 47	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑌 ∈ (𝑧(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑌 ∧ 𝑌 < +∞)))
49	20, 44, 45, 48	mpbir3and 1343	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝑧(,)+∞))
50		inelcm 4416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝑧(,)+∞) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ((𝑧(,)+∞) ∩ 𝐴) ≠ ∅)
51	49, 19, 50	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ((𝑧(,)+∞) ∩ 𝐴) ≠ ∅)
52		inss1 4188	. . . . . . 7 ⊢ (((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞))
53	31, 30	jctil 519	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*))
54	31, 46	jctir 520	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*))
55	25	leidd 11686	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 ≤ 𝑧)
56		ioodisj 13385	. . . . . . . 8 ⊢ ((((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ≤ 𝑧) → ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) = ∅)
57	53, 54, 55, 56	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) = ∅)
58		sseq0 4354	. . . . . . 7 ⊢ (((((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∧ ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) = ∅) → (((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) = ∅)
59	52, 57, 58	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) = ∅)
60	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
61	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → +∞ ∈ ℝ*)
62	25	mnfltd 13026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → -∞ < 𝑧)
63	25	ltpnfd 13023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 < +∞)
64		ioojoin 13386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < +∞)) → (((-∞(,)𝑧) ∪ {𝑧}) ∪ (𝑧(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
65	60, 31, 61, 62, 63, 64	syl32anc 1380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (((-∞(,)𝑧) ∪ {𝑧}) ∪ (𝑧(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
66		unass 4123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-∞(,)𝑧) ∪ {𝑧}) ∪ (𝑧(,)+∞)) = ((-∞(,)𝑧) ∪ ({𝑧} ∪ (𝑧(,)+∞)))
67		un12 4124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-∞(,)𝑧) ∪ ({𝑧} ∪ (𝑧(,)+∞))) = ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞)))
68	66, 67	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-∞(,)𝑧) ∪ {𝑧}) ∪ (𝑧(,)+∞)) = ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞)))
69		ioomax 13325	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
70	65, 68, 69	3eqtr3g 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))) = ℝ)
71	4, 70	sseqtrrd 3973	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))))
72		disjsn 4663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
73	13, 72	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅)
74		disjssun 4419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅ → (𝐴 ⊆ ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))) ↔ 𝐴 ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))))
75	73, 74	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝐴 ⊆ ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))) ↔ 𝐴 ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))))
76	71, 75	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞)))
77	3, 4, 6, 8, 36, 51, 59, 76	nconnsubb 23308	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ¬ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn)
78	77	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → (𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) → ¬ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn))
79	1, 78	mt2d 136	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴))
80	79	eq0rdv 4358	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) = ∅)
81		ssdif0 4317	. 2 ⊢ ((𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) = ∅)
82	80, 81	sylibr 234	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  {csn 4577   class class class wbr 5092  ran crn 5620  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  +∞cpnf 11146  -∞cmnf 11147  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150  (,)cioo 13248  [,]cicc 13251   ↾_t crest 17324  topGenctg 17341  TopOnctopon 22795  Conncconn 23296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-icc 13255  df-rest 17326  df-topgen 17347  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831  df-cld 22904  df-conn 23297

This theorem is referenced by:  reconn  24715