MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reconnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reconnlem1 24212
Description: Lemma for reconn 24214. Connectedness in the reals-easy direction. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reconnlem1 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† 𝐴)

Proof of Theorem reconnlem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . 4 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)
2 retopon 24150 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
32a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„))
4 simplll 774 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
5 iooretop 24152 . . . . . . 7 (-∞(,)𝑧) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
65a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (-∞(,)𝑧) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
7 iooretop 24152 . . . . . . 7 (𝑧(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
87a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (𝑧(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
9 simplrl 776 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
104, 9sseldd 3949 . . . . . . . 8 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
1110mnfltd 13053 . . . . . . . 8 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ -∞ < 𝑋)
12 eldifn 4091 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
1312adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
14 eleq1 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = 𝑧 β†’ (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
159, 14syl5ibcom 244 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (𝑋 = 𝑧 β†’ 𝑧 ∈ 𝐴))
1613, 15mtod 197 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑋 = 𝑧)
17 eldifi 4090 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
1817adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
19 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐴)
204, 19sseldd 3949 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
21 elicc2 13338 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝑧 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ)))
2210, 20, 21syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (𝑧 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ)))
2318, 22mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ))
2423simp2d 1144 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ 𝑋 ≀ 𝑧)
2523simp1d 1143 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
2610, 25leloed 11306 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (𝑋 ≀ 𝑧 ↔ (𝑋 < 𝑧 ∨ 𝑋 = 𝑧)))
2724, 26mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (𝑋 < 𝑧 ∨ 𝑋 = 𝑧))
2827ord 863 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (Β¬ 𝑋 < 𝑧 β†’ 𝑋 = 𝑧))
2916, 28mt3d 148 . . . . . . . 8 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ 𝑋 < 𝑧)
30 mnfxr 11220 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
3125rexrd 11213 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
32 elioo2 13314 . . . . . . . . 9 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ (𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝑧)))
3330, 31, 32sylancr 588 . . . . . . . 8 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝑧)))
3410, 11, 29, 33mpbir3and 1343 . . . . . . 7 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧))
35 inelcm 4428 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ ((-∞(,)𝑧) ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
3634, 9, 35syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ ((-∞(,)𝑧) ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
37 eleq1 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = π‘Œ β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ π‘Œ ∈ 𝐴))
3819, 37syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (𝑧 = π‘Œ β†’ 𝑧 ∈ 𝐴))
3913, 38mtod 197 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑧 = π‘Œ)
4023simp3d 1145 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ 𝑧 ≀ π‘Œ)
4125, 20leloed 11306 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (𝑧 ≀ π‘Œ ↔ (𝑧 < π‘Œ ∨ 𝑧 = π‘Œ)))
4240, 41mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (𝑧 < π‘Œ ∨ 𝑧 = π‘Œ))
4342ord 863 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (Β¬ 𝑧 < π‘Œ β†’ 𝑧 = π‘Œ))
4439, 43mt3d 148 . . . . . . . 8 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ 𝑧 < π‘Œ)
4520ltpnfd 13050 . . . . . . . 8 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ π‘Œ < +∞)
46 pnfxr 11217 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
47 elioo2 13314 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (π‘Œ ∈ (𝑧(,)+∞) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝑧 < π‘Œ ∧ π‘Œ < +∞)))
4831, 46, 47sylancl 587 . . . . . . . 8 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘Œ ∈ (𝑧(,)+∞) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝑧 < π‘Œ ∧ π‘Œ < +∞)))
4920, 44, 45, 48mpbir3and 1343 . . . . . . 7 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ π‘Œ ∈ (𝑧(,)+∞))
50 inelcm 4428 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ (𝑧(,)+∞) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑧(,)+∞) ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
5149, 19, 50syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ ((𝑧(,)+∞) ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
52 inss1 4192 . . . . . . 7 (((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) βŠ† ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞))
5331, 30jctil 521 . . . . . . . 8 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*))
5431, 46jctir 522 . . . . . . . 8 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*))
5525leidd 11729 . . . . . . . 8 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ 𝑧 ≀ 𝑧)
56 ioodisj 13408 . . . . . . . 8 ((((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ≀ 𝑧) β†’ ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) = βˆ…)
5753, 54, 55, 56syl21anc 837 . . . . . . 7 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) = βˆ…)
58 sseq0 4363 . . . . . . 7 (((((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) βŠ† ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∧ ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) = βˆ…) β†’ (((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) = βˆ…)
5952, 57, 58sylancr 588 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) = βˆ…)
6030a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
6146a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
6225mnfltd 13053 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ -∞ < 𝑧)
6325ltpnfd 13050 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ 𝑧 < +∞)
64 ioojoin 13409 . . . . . . . . . 10 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < +∞)) β†’ (((-∞(,)𝑧) βˆͺ {𝑧}) βˆͺ (𝑧(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
6560, 31, 61, 62, 63, 64syl32anc 1379 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (((-∞(,)𝑧) βˆͺ {𝑧}) βˆͺ (𝑧(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
66 unass 4130 . . . . . . . . . 10 (((-∞(,)𝑧) βˆͺ {𝑧}) βˆͺ (𝑧(,)+∞)) = ((-∞(,)𝑧) βˆͺ ({𝑧} βˆͺ (𝑧(,)+∞)))
67 un12 4131 . . . . . . . . . 10 ((-∞(,)𝑧) βˆͺ ({𝑧} βˆͺ (𝑧(,)+∞))) = ({𝑧} βˆͺ ((-∞(,)𝑧) βˆͺ (𝑧(,)+∞)))
6866, 67eqtri 2761 . . . . . . . . 9 (((-∞(,)𝑧) βˆͺ {𝑧}) βˆͺ (𝑧(,)+∞)) = ({𝑧} βˆͺ ((-∞(,)𝑧) βˆͺ (𝑧(,)+∞)))
69 ioomax 13348 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) = ℝ
7065, 68, 693eqtr3g 2796 . . . . . . . 8 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ ({𝑧} βˆͺ ((-∞(,)𝑧) βˆͺ (𝑧(,)+∞))) = ℝ)
714, 70sseqtrrd 3989 . . . . . . 7 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐴 βŠ† ({𝑧} βˆͺ ((-∞(,)𝑧) βˆͺ (𝑧(,)+∞))))
72 disjsn 4676 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ {𝑧}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
7313, 72sylibr 233 . . . . . . . 8 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (𝐴 ∩ {𝑧}) = βˆ…)
74 disjssun 4431 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ {𝑧}) = βˆ… β†’ (𝐴 βŠ† ({𝑧} βˆͺ ((-∞(,)𝑧) βˆͺ (𝑧(,)+∞))) ↔ 𝐴 βŠ† ((-∞(,)𝑧) βˆͺ (𝑧(,)+∞))))
7573, 74syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ (𝐴 βŠ† ({𝑧} βˆͺ ((-∞(,)𝑧) βˆͺ (𝑧(,)+∞))) ↔ 𝐴 βŠ† ((-∞(,)𝑧) βˆͺ (𝑧(,)+∞))))
7671, 75mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐴 βŠ† ((-∞(,)𝑧) βˆͺ (𝑧(,)+∞)))
773, 4, 6, 8, 36, 51, 59, 76nconnsubb 22797 . . . . 5 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)
7877ex 414 . . . 4 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn))
791, 78mt2d 136 . . 3 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴))
8079eq0rdv 4368 . 2 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴) = βˆ…)
81 ssdif0 4327 . 2 ((𝑋[,]π‘Œ) βŠ† 𝐴 ↔ ((𝑋[,]π‘Œ) βˆ– 𝐴) = βˆ…)
8280, 81sylibr 233 1 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3911   βˆͺ cun 3912   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  {csn 4590   class class class wbr 5109  ran crn 5638  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  +∞cpnf 11194  -∞cmnf 11195  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276   β†Ύt crest 17310  topGenctg 17327  TopOnctopon 22282  Conncconn 22785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cld 22393  df-conn 22786
This theorem is referenced by:  reconn  24214
  Copyright terms: Public domain W3C validator