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Theorem fin1aufil 22532
Description: There are no definable free ultrafilters in ZFC. However, there are free ultrafilters in some choice-denying constructions. Here we show that given an amorphous set (a.k.a. a Ia-finite I-infinite set) 𝑋, the set of infinite subsets of 𝑋 is a free ultrafilter on 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fin1aufil.1 𝐹 = (𝒫 𝑋 ∖ Fin)
Assertion
Ref Expression
fin1aufil (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝐹 = ∅))

Proof of Theorem fin1aufil
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin1aufil.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝒫 𝑋 ∖ Fin)
21eleq2i 2902 . . . . . 6 (𝑥𝐹𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin))
3 eldif 3944 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
4 velpw 4545 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
54anbi1i 625 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
62, 3, 53bitri 299 . . . . 5 (𝑥𝐹 ↔ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
76a1i 11 . . . 4 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝑥𝐹 ↔ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin)))
8 elex 3511 . . . 4 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝑋 ∈ V)
9 eldifn 4102 . . . . 5 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ¬ 𝑋 ∈ Fin)
10 eleq1 2898 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑋 ∈ Fin))
1110notbid 320 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑋 ∈ Fin))
1211sbcieg 3808 . . . . 5 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ([𝑋 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑋 ∈ Fin))
139, 12mpbird 259 . . . 4 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → [𝑋 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin)
14 0fin 8738 . . . . . 6 ∅ ∈ Fin
15 0ex 5202 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
16 eleq1 2898 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
1716notbid 320 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ ∅ ∈ Fin))
1815, 17sbcie 3810 . . . . . . 7 ([∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ ∅ ∈ Fin)
1918con2bii 360 . . . . . 6 (∅ ∈ Fin ↔ ¬ [∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin)
2014, 19mpbi 232 . . . . 5 ¬ [∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin
2120a1i 11 . . . 4 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ¬ [∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin)
22 ssfi 8730 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 ∈ Fin)
2322expcom 416 . . . . . . 7 (𝑧𝑦 → (𝑦 ∈ Fin → 𝑧 ∈ Fin))
24233ad2ant3 1130 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑦) → (𝑦 ∈ Fin → 𝑧 ∈ Fin))
2524con3d 155 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑦) → (¬ 𝑧 ∈ Fin → ¬ 𝑦 ∈ Fin))
26 vex 3496 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
27 eleq1 2898 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑧 ∈ Fin))
2827notbid 320 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑧 ∈ Fin))
2926, 28sbcie 3810 . . . . 5 ([𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑧 ∈ Fin)
30 vex 3496 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
31 eleq1 2898 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑦 ∈ Fin))
3231notbid 320 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑦 ∈ Fin))
3330, 32sbcie 3810 . . . . 5 ([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑦 ∈ Fin)
3425, 29, 333imtr4g 298 . . . 4 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑦) → ([𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin))
35 eldifi 4101 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝑋 ∈ FinIa)
36 fin1ai 9707 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ FinIa𝑦𝑋) → (𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋𝑦) ∈ Fin))
3735, 36sylan 582 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋𝑦) ∈ Fin))
38373adant3 1127 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋𝑦) ∈ Fin))
39 inundif 4425 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑦) ∪ (𝑧𝑦)) = 𝑧
40 incom 4176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝑦) = (𝑦𝑧)
41 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → (𝑦𝑧) ∈ Fin)
4240, 41eqeltrid 2915 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → (𝑧𝑦) ∈ Fin)
43 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → (𝑋𝑦) ∈ Fin)
44 simpl3 1188 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → 𝑧𝑋)
4544ssdifd 4115 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → (𝑧𝑦) ⊆ (𝑋𝑦))
4643, 45ssfid 8733 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → (𝑧𝑦) ∈ Fin)
47 unfi 8777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝑦) ∈ Fin ∧ (𝑧𝑦) ∈ Fin) → ((𝑧𝑦) ∪ (𝑧𝑦)) ∈ Fin)
4842, 46, 47syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → ((𝑧𝑦) ∪ (𝑧𝑦)) ∈ Fin)
4939, 48eqeltrrid 2916 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
5049expr 459 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦𝑧) ∈ Fin) → ((𝑋𝑦) ∈ Fin → 𝑧 ∈ Fin))
5150orim2d 963 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦𝑧) ∈ Fin) → ((𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋𝑦) ∈ Fin) → (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin)))
5251ex 415 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → ((𝑦𝑧) ∈ Fin → ((𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋𝑦) ∈ Fin) → (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin))))
5338, 52mpid 44 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → ((𝑦𝑧) ∈ Fin → (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin)))
5453con3d 155 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (¬ (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin) → ¬ (𝑦𝑧) ∈ Fin))
5533, 29anbi12i 628 . . . . . 6 (([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ [𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ Fin))
56 ioran 980 . . . . . 6 (¬ (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ Fin))
5755, 56bitr4i 280 . . . . 5 (([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ [𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin) ↔ ¬ (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin))
5830inex1 5212 . . . . . 6 (𝑦𝑧) ∈ V
59 eleq1 2898 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦𝑧) → (𝑥 ∈ Fin ↔ (𝑦𝑧) ∈ Fin))
6059notbid 320 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦𝑧) → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ (𝑦𝑧) ∈ Fin))
6158, 60sbcie 3810 . . . . 5 ([(𝑦𝑧) / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ (𝑦𝑧) ∈ Fin)
6254, 57, 613imtr4g 298 . . . 4 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ [𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin) → [(𝑦𝑧) / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin))
637, 8, 13, 21, 34, 62isfild 22458 . . 3 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
649adantr 483 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ¬ 𝑋 ∈ Fin)
65 unfi 8777 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑥) ∈ Fin) → (𝑥 ∪ (𝑋𝑥)) ∈ Fin)
66 ssun2 4147 . . . . . . . . 9 𝑋 ⊆ (𝑥𝑋)
67 undif2 4423 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∪ (𝑋𝑥)) = (𝑥𝑋)
6866, 67sseqtrri 4002 . . . . . . . 8 𝑋 ⊆ (𝑥 ∪ (𝑋𝑥))
69 ssfi 8730 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∪ (𝑋𝑥)) ∈ Fin ∧ 𝑋 ⊆ (𝑥 ∪ (𝑋𝑥))) → 𝑋 ∈ Fin)
7065, 68, 69sylancl 588 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑥) ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
7164, 70nsyl 142 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ¬ (𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
72 ianor 978 . . . . . 6 (¬ (𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑥) ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∨ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
7371, 72sylib 220 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ Fin ∨ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
74 elpwi 4549 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
7574adantl 484 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥𝑋)
766baib 538 . . . . . . 7 (𝑥𝑋 → (𝑥𝐹 ↔ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
7775, 76syl 17 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑥𝐹 ↔ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
781eleq2i 2902 . . . . . . 7 ((𝑋𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (𝑋𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin))
79 difss 4106 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋
80 elpw2g 5238 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋))
8180adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋))
8279, 81mpbiri 260 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
83 eldif 3944 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
8483baib 538 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 → ((𝑋𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
8582, 84syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑋𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
8678, 85syl5bb 285 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑋𝑥) ∈ 𝐹 ↔ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
8777, 86orbi12d 915 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹) ↔ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∨ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin)))
8873, 87mpbird 259 . . . 4 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
8988ralrimiva 3180 . . 3 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
90 isufil 22503 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹)))
9163, 89, 90sylanbrc 585 . 2 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
92 snfi 8586 . . . . 5 {𝑥} ∈ Fin
93 eldifn 4102 . . . . . 6 ({𝑥} ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) → ¬ {𝑥} ∈ Fin)
9493, 1eleq2s 2929 . . . . 5 ({𝑥} ∈ 𝐹 → ¬ {𝑥} ∈ Fin)
9592, 94mt2 202 . . . 4 ¬ {𝑥} ∈ 𝐹
96 uffixsn 22525 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥 𝐹) → {𝑥} ∈ 𝐹)
9791, 96sylan 582 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 𝐹) → {𝑥} ∈ 𝐹)
9897ex 415 . . . 4 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝑥 𝐹 → {𝑥} ∈ 𝐹))
9995, 98mtoi 201 . . 3 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ¬ 𝑥 𝐹)
10099eq0rdv 4355 . 2 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝐹 = ∅)
10191, 100jca 514 1 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝐹 = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843  w3a 1082   = wceq 1531  wcel 2108  wral 3136  [wsbc 3770  cdif 3931  cun 3932  cin 3933  wss 3934  c0 4289  𝒫 cpw 4537  {csn 4559   cint 4867  cfv 6348  Fincfn 8501  FinIacfin1a 9692  Filcfil 22445  UFilcufil 22499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-fin 8505  df-fin1a 9699  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-fil 22446  df-ufil 22501
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