Theorem fin1aufil 22537

Description: There are no definable free ultrafilters in ZFC. However, there are free ultrafilters in some choice-denying constructions. Here we show that given an amorphous set (a.k.a. a Ia-finite I-infinite set) 𝑋, the set of infinite subsets of 𝑋 is a free ultrafilter on 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin1aufil.1	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝑋 ∖ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fin1aufil	⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ ∩ 𝐹 = ∅))

Proof of Theorem fin1aufil

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin1aufil.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝑋 ∖ Fin)
2	1	eleq2i 2881	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin))
3		eldif 3891	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
4		velpw 4502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑋)
5	4	anbi1i 626	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
6	2, 3, 5	3bitri 300	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin)))
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin))
9		eldifn 4055	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ¬ 𝑋 ∈ Fin)
10		eleq1 2877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑋 ∈ Fin))
11	10	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑋 ∈ Fin))
12	11	sbcieg 3758	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ([𝑋 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑋 ∈ Fin))
13	9, 12	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → [𝑋 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin)
14		0fin 8730	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ Fin
15		0ex 5175	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
16		eleq1 2877	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
17	16	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ ∅ ∈ Fin))
18	15, 17	sbcie 3760	. . . . . . 7 ⊢ ([∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ ∅ ∈ Fin)
19	18	con2bii 361	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ Fin ↔ ¬ [∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin)
20	14, 19	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ¬ [∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ¬ [∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin)
22		ssfi 8722	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦) → 𝑧 ∈ Fin)
23	22	expcom 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ∈ Fin → 𝑧 ∈ Fin))
24	23	3ad2ant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦) → (𝑦 ∈ Fin → 𝑧 ∈ Fin))
25	24	con3d 155	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦) → (¬ 𝑧 ∈ Fin → ¬ 𝑦 ∈ Fin))
26		vex 3444	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
27		eleq1 2877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑧 ∈ Fin))
28	27	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑧 ∈ Fin))
29	26, 28	sbcie 3760	. . . . 5 ⊢ ([𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑧 ∈ Fin)
30		vex 3444	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
31		eleq1 2877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑦 ∈ Fin))
32	31	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑦 ∈ Fin))
33	30, 32	sbcie 3760	. . . . 5 ⊢ ([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑦 ∈ Fin)
34	25, 29, 33	3imtr4g 299	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦) → ([𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin))
35		eldifi 4054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝑋 ∈ FinIa)
36		fin1ai 9704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ FinIa ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin))
37	35, 36	sylan 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin))
38	37	3adant3 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) → (𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin))
39		inundif 4385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∩ 𝑦) ∪ (𝑧 ∖ 𝑦)) = 𝑧
40		incom 4128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ 𝑧)
41		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) ∧ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) → (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin)
42	40, 41	eqeltrid 2894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) ∧ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) → (𝑧 ∩ 𝑦) ∈ Fin)
43		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) ∧ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) → (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin)
44		simpl3 1190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) ∧ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) → 𝑧 ⊆ 𝑋)
45	44	ssdifd 4068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) ∧ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) → (𝑧 ∖ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑦))
46	43, 45	ssfid 8725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) ∧ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) → (𝑧 ∖ 𝑦) ∈ Fin)
47		unfi 8769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝑦) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∖ 𝑦) ∈ Fin) → ((𝑧 ∩ 𝑦) ∪ (𝑧 ∖ 𝑦)) ∈ Fin)
48	42, 46, 47	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) ∧ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) → ((𝑧 ∩ 𝑦) ∪ (𝑧 ∖ 𝑦)) ∈ Fin)
49	39, 48	eqeltrrid 2895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) ∧ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
50	49	expr 460	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin) → ((𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin → 𝑧 ∈ Fin))
51	50	orim2d 964	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin) → ((𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin) → (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin)))
52	51	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin → ((𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin) → (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin))))
53	38, 52	mpid 44	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin → (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin)))
54	53	con3d 155	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) → (¬ (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin) → ¬ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin))
55	33, 29	anbi12i 629	. . . . . 6 ⊢ (([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ [𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ Fin))
56		ioran 981	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ Fin))
57	55, 56	bitr4i 281	. . . . 5 ⊢ (([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ [𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin) ↔ ¬ (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin))
58	30	inex1 5185	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ V
59		eleq1 2877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝑧) → (𝑥 ∈ Fin ↔ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin))
60	59	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝑧) → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin))
61	58, 60	sbcie 3760	. . . . 5 ⊢ ([(𝑦 ∩ 𝑧) / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin)
62	54, 57, 61	3imtr4g 299	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) → (([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ [𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin) → [(𝑦 ∩ 𝑧) / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin))
63	7, 8, 13, 21, 34, 62	isfild 22463	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
64	9	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ¬ 𝑋 ∈ Fin)
65		unfi 8769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin) → (𝑥 ∪ (𝑋 ∖ 𝑥)) ∈ Fin)
66		ssun2 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑋)
67		undif2 4383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∪ (𝑋 ∖ 𝑥)) = (𝑥 ∪ 𝑋)
68	66, 67	sseqtrri 3952	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ⊆ (𝑥 ∪ (𝑋 ∖ 𝑥))
69		ssfi 8722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∪ (𝑋 ∖ 𝑥)) ∈ Fin ∧ 𝑋 ⊆ (𝑥 ∪ (𝑋 ∖ 𝑥))) → 𝑋 ∈ Fin)
70	65, 68, 69	sylancl 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
71	64, 70	nsyl 142	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ¬ (𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin))
72		ianor 979	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∨ ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin))
73	71, 72	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ Fin ∨ ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin))
74		elpwi 4506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑥 ⊆ 𝑋)
75	74	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
76	6	baib 539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
77	75, 76	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
78	1	eleq2i 2881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin))
79		difss 4059	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋
80		elpw2g 5211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋))
81	80	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋))
82	79, 81	mpbiri 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
83		eldif 3891	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin))
84	83	baib 539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin))
85	82, 84	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin))
86	78, 85	syl5bb 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹 ↔ ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin))
87	77, 86	orbi12d 916	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹) ↔ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∨ ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin)))
88	73, 87	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
89	88	ralrimiva 3149	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
90		isufil 22508	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹)))
91	63, 89, 90	sylanbrc 586	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
92		snfi 8577	. . . . 5 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
93		eldifn 4055	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥} ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) → ¬ {𝑥} ∈ Fin)
94	93, 1	eleq2s 2908	. . . . 5 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝐹 → ¬ {𝑥} ∈ Fin)
95	92, 94	mt2 203	. . . 4 ⊢ ¬ {𝑥} ∈ 𝐹
96		uffixsn 22530	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹) → {𝑥} ∈ 𝐹)
97	91, 96	sylan 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹) → {𝑥} ∈ 𝐹)
98	97	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 → {𝑥} ∈ 𝐹))
99	95, 98	mtoi 202	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹)
100	99	eq0rdv 4312	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ∩ 𝐹 = ∅)
101	91, 100	jca 515	1 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ ∩ 𝐹 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  [wsbc 3720   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497  {csn 4525  ∩ cint 4838  ‘cfv 6324  Fincfn 8492  Fin^Iacfin1a 9689  Filcfil 22450  UFilcufil 22504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-fin 8496  df-fin1a 9696  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-fil 22451  df-ufil 22506

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