Theorem lsppratlem6 19926

Description: Lemma for lspprat 19927. Negating the assumption on 𝑦, we arrive close to the desired conclusion. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprat.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspprat.p	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem6.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsppratlem6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))

Proof of Theorem lsppratlem6

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprat.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2	1	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
3		lspprat.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lspprat.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5		lspprat.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6		lspprat.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7	6	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑊 ∈ LVec)
8		lspprat.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
9	8	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
10		lspprat.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		lspprat.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13	12	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
14	1	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
15		lsppratlem6.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
16		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
17		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
18	3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17	lsppratlem5 19925	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
19		ssnpss 4082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈 → ¬ 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → ¬ 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
21	20	expr 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → (𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) → ¬ 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
22	2, 21	mt2d 138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
23	22	eq0rdv 4359	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) = ∅)
24		ssdif0 4325	. . . 4 ⊢ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑥}) ↔ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) = ∅)
25	23, 24	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑥}))
26		lveclmod 19880	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
27	6, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
28	27	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
29	8	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑈 ∈ 𝑆)
30		eldifi 4105	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝑈)
31	30	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝑈)
32	4, 5, 28, 29, 31	lspsnel5a 19770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
33	25, 32	eqssd 3986	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑥}))
34	33	ex 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3935   ⊆ wss 3938   ⊊ wpss 3939  ∅c0 4293  {csn 4569  {cpr 4571  ‘cfv 6357  Basecbs 16485  0_gc0g 16715  LModclmod 19636  LSubSpclss 19705  LSpanclspn 19745  LVecclvec 19876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-lvec 19877

This theorem is referenced by:  lspprat  19927