MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem6 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsppratlem6 21003
Description: Lemma for lspprat 21004. Negating the assumption on 𝑦, we arrive close to the desired conclusion. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspprat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspprat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspprat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lspprat.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lspprat.p (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
lsppratlem6.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lsppratlem6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{π‘₯})))
Proof of Theorem lsppratlem6
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspprat.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
21adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 })) β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
3 lspprat.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lspprat.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
5 lspprat.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
6 lspprat.w . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
76adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
8 lspprat.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
98adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
10 lspprat.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
1110adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
12 lspprat.y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
1312adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
141adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))) β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
15 lsppratlem6.o . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘Š)
16 simprl 768 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
17 simprr 770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))) β†’ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
183, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17lsppratlem5 21002 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† π‘ˆ)
19 ssnpss 4098 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† π‘ˆ β†’ Β¬ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))) β†’ Β¬ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2120expr 456 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 })) β†’ (𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})) β†’ Β¬ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
222, 21mt2d 136 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 })) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
2322eq0rdv 4399 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 })) β†’ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})) = βˆ…)
24 ssdif0 4358 . . . 4 (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{π‘₯}) ↔ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})) = βˆ…)
2523, 24sylibr 233 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 })) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{π‘₯}))
26 lveclmod 20954 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
276, 26syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2827adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 })) β†’ π‘Š ∈ LMod)
298adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 })) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
30 eldifi 4121 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
3130adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
324, 5, 28, 29, 31lspsnel5a 20843 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 })) β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) βŠ† π‘ˆ)
3325, 32eqssd 3994 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 })) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{π‘₯}))
3433ex 412 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{π‘₯})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943   ⊊ wpss 3944  βˆ…c0 4317  {csn 4623  {cpr 4625  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  0gc0g 17394  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951
This theorem is referenced by:  lspprat  21004
  Copyright terms: Public domain W3C validator