MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem6 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsppratlem6 21042
Description: Lemma for lspprat 21043. Negating the assumption on 𝑦, we arrive close to the desired conclusion. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspprat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspprat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspprat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lspprat.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lspprat.p (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
lsppratlem6.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lsppratlem6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{π‘₯})))
Proof of Theorem lsppratlem6
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspprat.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
21adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 })) β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
3 lspprat.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lspprat.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
5 lspprat.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
6 lspprat.w . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
76adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
8 lspprat.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
98adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
10 lspprat.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
1110adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
12 lspprat.y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
1312adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
141adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))) β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
15 lsppratlem6.o . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘Š)
16 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
17 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))) β†’ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
183, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17lsppratlem5 21041 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† π‘ˆ)
19 ssnpss 4095 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† π‘ˆ β†’ Β¬ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))) β†’ Β¬ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2120expr 455 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 })) β†’ (𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})) β†’ Β¬ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
222, 21mt2d 136 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 })) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
2322eq0rdv 4400 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 })) β†’ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})) = βˆ…)
24 ssdif0 4359 . . . 4 (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{π‘₯}) ↔ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})) = βˆ…)
2523, 24sylibr 233 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 })) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{π‘₯}))
26 lveclmod 20993 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
276, 26syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2827adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 })) β†’ π‘Š ∈ LMod)
298adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 })) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
30 eldifi 4119 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
3130adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
324, 5, 28, 29, 31lspsnel5a 20882 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 })) β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) βŠ† π‘ˆ)
3325, 32eqssd 3990 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 })) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{π‘₯}))
3433ex 411 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{π‘₯})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940   ⊊ wpss 3941  βˆ…c0 4318  {csn 4624  {cpr 4626  β€˜cfv 6542  Basecbs 17177  0gc0g 17418  LModclmod 20745  LSubSpclss 20817  LSpanclspn 20857  LVecclvec 20989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lvec 20990
This theorem is referenced by:  lspprat  21043
  Copyright terms: Public domain W3C validator