Theorem lsppratlem6 21062

Description: Lemma for lspprat 21063. Negating the assumption on 𝑦, we arrive close to the desired conclusion. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprat.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspprat.p	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem6.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsppratlem6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))

Proof of Theorem lsppratlem6

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprat.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
3		lspprat.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lspprat.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5		lspprat.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6		lspprat.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑊 ∈ LVec)
8		lspprat.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
10		lspprat.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		lspprat.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
14	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
15		lsppratlem6.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
16		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
17		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
18	3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17	lsppratlem5 21061	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
19		ssnpss 4069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈 → ¬ 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → ¬ 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
21	20	expr 456	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → (𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) → ¬ 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
22	2, 21	mt2d 136	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
23	22	eq0rdv 4370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) = ∅)
24		ssdif0 4329	. . . 4 ⊢ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑥}) ↔ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) = ∅)
25	23, 24	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑥}))
26		lveclmod 21013	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
27	6, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
29	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑈 ∈ 𝑆)
30		eldifi 4094	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝑈)
31	30	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝑈)
32	4, 5, 28, 29, 31	ellspsn5 20902	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
33	25, 32	eqssd 3964	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑥}))
34	33	ex 412	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914   ⊊ wpss 3915  ∅c0 4296  {csn 4589  {cpr 4591  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  LModclmod 20766  LSubSpclss 20837  LSpanclspn 20877  LVecclvec 21009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-drng 20640  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-lvec 21010

This theorem is referenced by:  lspprat  21063