Theorem unblimceq0 37205

Description: If 𝐹 is unbounded near 𝐴 it has no limit at 𝐴. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unblimceq0.0	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
unblimceq0.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
unblimceq0.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
unblimceq0.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
unblimceq0	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐴) = ∅)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥   𝑆,𝑏,𝑑,𝑥   𝜑,𝑏,𝑑,𝑥

Proof of Theorem unblimceq0

Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑦 𝑧 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 13047	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℝ+)
3		breq2 5107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 1 → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
4	3	imbi2d 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 1 → (((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1)))
5	4	rexralbidv 3228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 1 → (∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1)))
6	5	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 1 → (¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1)))
7	6	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑒 = 1) → (¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1)))
8		simprr1 1240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 𝑧 ≠ 𝐴)
9		simprr2 1241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐)
10	8, 9	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐))
11		1red 11234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 1 ∈ ℝ)
12		unblimceq0.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
13	12	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
15		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 𝑧 ∈ 𝑆)
16	14, 15	ffvelcdmd 7079	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
17		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
18	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 𝑦 ∈ ℂ)
19	16, 18	subcld 11594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ((𝐹‘𝑧) − 𝑦) ∈ ℂ)
20	19	abscld 15527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) ∈ ℝ)
21	16	abscld 15527	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
22	17	abscld 15527	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
24	21, 23	resubcld 11667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝑦)) ∈ ℝ)
25		1cnd 11227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 1 ∈ ℂ)
26	23	recnd 11262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (abs‘𝑦) ∈ ℂ)
27	25, 26	pncand 11595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ((1 + (abs‘𝑦)) − (abs‘𝑦)) = 1)
28		1red 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
29	28, 22	readdcld 11263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → (1 + (abs‘𝑦)) ∈ ℝ)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (1 + (abs‘𝑦)) ∈ ℝ)
31		simprr3 1242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
32	30, 21, 23, 31	lesub1dd 11855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ((1 + (abs‘𝑦)) − (abs‘𝑦)) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝑦)))
33	27, 32	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 1 ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝑦)))
34	16, 18	abs2difd 15548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)))
35	11, 24, 20, 33, 34	letrd 11392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 1 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)))
36	11, 20, 35	lensymd 11386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ¬ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1)
37	10, 36	jcnd 164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ¬ ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
38		breq2 5107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐))
39	38	3anbi2d 1469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) ↔ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))))
40	39	rexbidv 3186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → (∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))))
41		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (1 + (abs‘𝑦)) → (𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ↔ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
42	41	3anbi3d 1470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (1 + (abs‘𝑦)) → ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) ↔ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))))
43	42	rexbidv 3186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (1 + (abs‘𝑦)) → (∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))))
44	43	ralbidv 3185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (1 + (abs‘𝑦)) → (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))))
45		unblimceq0.0	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
46		unblimceq0.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
47		unblimceq0.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
48	45, 12, 46, 47	unblimceq0lem 37204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
49	48	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
50		0lt1 11761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 0 < 1)
52	17	absge0d 15535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘𝑦))
53	28, 22, 51, 52	addgtge0d 11813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 0 < (1 + (abs‘𝑦)))
54	29, 53	elrpd 13084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → (1 + (abs‘𝑦)) ∈ ℝ+)
55	44, 49, 54	rspcdva 3577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
56		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 𝑐 ∈ ℝ+)
57	40, 55, 56	rspcdva 3577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
58	37, 57	reximddv 3178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ¬ ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
59		rexnal 3114	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑆 ¬ ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
60	58, 59	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
61	60	nrexdv 3157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
62	2, 7, 61	rspcedvd 3578	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ∃𝑒 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒))
63		rexnal 3114	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ¬ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒))
64	62, 63	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ¬ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒))
65	64	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒)))
66		imnan 405	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒)) ↔ ¬ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒)))
67	65, 66	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒)))
68	12, 45, 46	ellimc3 26107	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒))))
69	67, 68	mtbird 328	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
70	69	eq0rdv 4365	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐴) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   < clt 11268   ≤ cle 11269   − cmin 11466  ℝ⁺crp 13043  abscabs 15322   lim_ℂ climc 26090

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9382  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-fz 13563  df-seq 14067  df-exp 14127  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-struct 17240  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-rest 17508  df-topn 17509  df-topgen 17529  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cnp 23454  df-xms 24547  df-ms 24548  df-limc 26094

This theorem is used by:  unbdqndv1  37206