Theorem unblimceq0 36508

Description: If 𝐹 is unbounded near 𝐴 it has no limit at 𝐴. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unblimceq0.0	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
unblimceq0.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
unblimceq0.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
unblimceq0.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
unblimceq0	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐴) = ∅)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥   𝑆,𝑏,𝑑,𝑥   𝜑,𝑏,𝑑,𝑥

Proof of Theorem unblimceq0

Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑦 𝑧 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 13038	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℝ+)
3		breq2 5147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 1 → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
4	3	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 1 → (((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1)))
5	4	rexralbidv 3223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 1 → (∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1)))
6	5	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 1 → (¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1)))
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑒 = 1) → (¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1)))
8		simprr1 1222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 𝑧 ≠ 𝐴)
9		simprr2 1223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐)
10	8, 9	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐))
11		1red 11262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 1 ∈ ℝ)
12		unblimceq0.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
15		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 𝑧 ∈ 𝑆)
16	14, 15	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
17		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 𝑦 ∈ ℂ)
19	16, 18	subcld 11620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ((𝐹‘𝑧) − 𝑦) ∈ ℂ)
20	19	abscld 15475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) ∈ ℝ)
21	16	abscld 15475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
22	17	abscld 15475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
24	21, 23	resubcld 11691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝑦)) ∈ ℝ)
25		1cnd 11256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 1 ∈ ℂ)
26	23	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (abs‘𝑦) ∈ ℂ)
27	25, 26	pncand 11621	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ((1 + (abs‘𝑦)) − (abs‘𝑦)) = 1)
28		1red 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
29	28, 22	readdcld 11290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → (1 + (abs‘𝑦)) ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (1 + (abs‘𝑦)) ∈ ℝ)
31		simprr3 1224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
32	30, 21, 23, 31	lesub1dd 11879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ((1 + (abs‘𝑦)) − (abs‘𝑦)) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝑦)))
33	27, 32	eqbrtrrd 5167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 1 ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝑦)))
34	16, 18	abs2difd 15496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)))
35	11, 24, 20, 33, 34	letrd 11418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 1 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)))
36	11, 20, 35	lensymd 11412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ¬ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1)
37	10, 36	jcnd 163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ¬ ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
38		breq2 5147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐))
39	38	3anbi2d 1443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) ↔ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))))
40	39	rexbidv 3179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → (∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))))
41		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (1 + (abs‘𝑦)) → (𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ↔ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
42	41	3anbi3d 1444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (1 + (abs‘𝑦)) → ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) ↔ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))))
43	42	rexbidv 3179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (1 + (abs‘𝑦)) → (∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))))
44	43	ralbidv 3178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (1 + (abs‘𝑦)) → (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))))
45		unblimceq0.0	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
46		unblimceq0.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
47		unblimceq0.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
48	45, 12, 46, 47	unblimceq0lem 36507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
49	48	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
50		0lt1 11785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 0 < 1)
52	17	absge0d 15483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘𝑦))
53	28, 22, 51, 52	addgtge0d 11837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 0 < (1 + (abs‘𝑦)))
54	29, 53	elrpd 13074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → (1 + (abs‘𝑦)) ∈ ℝ+)
55	44, 49, 54	rspcdva 3623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
56		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 𝑐 ∈ ℝ+)
57	40, 55, 56	rspcdva 3623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
58	37, 57	reximddv 3171	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ¬ ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
59		rexnal 3100	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑆 ¬ ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
60	58, 59	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
61	60	nrexdv 3149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
62	2, 7, 61	rspcedvd 3624	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ∃𝑒 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒))
63		rexnal 3100	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ¬ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒))
64	62, 63	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ¬ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒))
65	64	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒)))
66		imnan 399	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒)) ↔ ¬ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒)))
67	65, 66	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒)))
68	12, 45, 46	ellimc3 25914	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒))))
69	67, 68	mtbird 325	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
70	69	eq0rdv 4407	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐴) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℝ⁺crp 13034  abscabs 15273   lim_ℂ climc 25897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cnp 23236  df-xms 24330  df-ms 24331  df-limc 25901

This theorem is referenced by:  unbdqndv1  36509