Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unblimceq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unblimceq0 33854
Description: If 𝐹 is unbounded near 𝐴 it has no limit at 𝐴. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unblimceq0.0 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
unblimceq0.1 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
unblimceq0.2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
unblimceq0.3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
Assertion
Ref Expression
unblimceq0 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐴) = ∅)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥   𝑆,𝑏,𝑑,𝑥   𝜑,𝑏,𝑑,𝑥

Proof of Theorem unblimceq0
Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑦 𝑧 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 12371 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
21a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℝ+)
3 breq2 5043 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 1 → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 1))
43imbi2d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 1 → (((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 1)))
54rexralbidv 3287 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 1 → (∃𝑐 ∈ ℝ+𝑧𝑆 ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑧𝑆 ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 1)))
65notbid 321 . . . . . . . 8 (𝑒 = 1 → (¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑧𝑆 ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑧𝑆 ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 1)))
76adantl 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑒 = 1) → (¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑧𝑆 ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑧𝑆 ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 1)))
8 simprr1 1218 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → 𝑧𝐴)
9 simprr2 1219 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐)
108, 9jca 515 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐))
11 1red 10619 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → 1 ∈ ℝ)
12 unblimceq0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
1413adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
15 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → 𝑧𝑆)
1614, 15ffvelrnd 6825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
17 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
1817adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → 𝑦 ∈ ℂ)
1916, 18subcld 10974 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → ((𝐹𝑧) − 𝑦) ∈ ℂ)
2019abscld 14775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) ∈ ℝ)
2116abscld 14775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → (abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
2217abscld 14775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
2322adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
2421, 23resubcld 11045 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → ((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝑦)) ∈ ℝ)
25 1cnd 10613 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → 1 ∈ ℂ)
2623recnd 10646 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → (abs‘𝑦) ∈ ℂ)
2725, 26pncand 10975 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → ((1 + (abs‘𝑦)) − (abs‘𝑦)) = 1)
28 1red 10619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
2928, 22readdcld 10647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → (1 + (abs‘𝑦)) ∈ ℝ)
3029adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → (1 + (abs‘𝑦)) ∈ ℝ)
31 simprr3 1220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧)))
3230, 21, 23, 31lesub1dd 11233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → ((1 + (abs‘𝑦)) − (abs‘𝑦)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝑦)))
3327, 32eqbrtrrd 5063 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → 1 ≤ ((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝑦)))
3416, 18abs2difd 14796 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → ((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)))
3511, 24, 20, 33, 34letrd 10774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → 1 ≤ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)))
3611, 20, 35lensymd 10768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → ¬ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 1)
3710, 36jcnd 166 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑆 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))) → ¬ ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 1))
38 breq2 5043 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑐 → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐))
39383anbi2d 1438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑐 → ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧)))))
4039rexbidv 3283 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑐 → (∃𝑧𝑆 (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))) ↔ ∃𝑧𝑆 (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧)))))
41 breq1 5042 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (1 + (abs‘𝑦)) → (𝑎 ≤ (abs‘(𝐹𝑧)) ↔ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))
42413anbi3d 1439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (1 + (abs‘𝑦)) → ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑑𝑎 ≤ (abs‘(𝐹𝑧))) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧)))))
4342rexbidv 3283 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (1 + (abs‘𝑦)) → (∃𝑧𝑆 (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑑𝑎 ≤ (abs‘(𝐹𝑧))) ↔ ∃𝑧𝑆 (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧)))))
4443ralbidv 3185 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (1 + (abs‘𝑦)) → (∀𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝑆 (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑑𝑎 ≤ (abs‘(𝐹𝑧))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝑆 (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧)))))
45 unblimceq0.0 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
46 unblimceq0.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
47 unblimceq0.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
4845, 12, 46, 47unblimceq0lem 33853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝑆 (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑑𝑎 ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝑆 (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑑𝑎 ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))
50 0lt1 11139 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 0 < 1)
5217absge0d 14783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘𝑦))
5328, 22, 51, 52addgtge0d 11191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 0 < (1 + (abs‘𝑦)))
5429, 53elrpd 12406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → (1 + (abs‘𝑦)) ∈ ℝ+)
5544, 49, 54rspcdva 3602 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝑆 (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))
56 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 𝑐 ∈ ℝ+)
5740, 55, 56rspcdva 3602 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝑆 (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧))))
5837, 57reximddv 3261 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝑆 ¬ ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 1))
59 rexnal 3226 . . . . . . . . 9 (∃𝑧𝑆 ¬ ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 1) ↔ ¬ ∀𝑧𝑆 ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 1))
6058, 59sylib 221 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑧𝑆 ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 1))
6160nrexdv 3256 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑧𝑆 ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 1))
622, 7, 61rspcedvd 3603 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ∃𝑒 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑧𝑆 ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 𝑒))
63 rexnal 3226 . . . . . 6 (∃𝑒 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑧𝑆 ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ¬ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ+𝑧𝑆 ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 𝑒))
6462, 63sylib 221 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ¬ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ+𝑧𝑆 ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 𝑒))
6564ex 416 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ+𝑧𝑆 ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 𝑒)))
66 imnan 403 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ+𝑧𝑆 ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 𝑒)) ↔ ¬ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ+𝑧𝑆 ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 𝑒)))
6765, 66sylib 221 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ+𝑧𝑆 ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 𝑒)))
6812, 45, 46ellimc3 24461 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 lim 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ+𝑧𝑆 ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑦)) < 𝑒))))
6967, 68mtbird 328 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑦 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
7069eq0rdv 4330 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐴) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  wral 3126  wrex 3127  wss 3910  c0 4266   class class class wbr 5039  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512  cr 10513  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517   < clt 10652  cle 10653  cmin 10847  +crp 12367  abscabs 14572   lim climc 24444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-fz 12876  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-rest 16675  df-topn 16676  df-topgen 16696  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cnp 21812  df-xms 22906  df-ms 22907  df-limc 24448
This theorem is referenced by:  unbdqndv1  33855
  Copyright terms: Public domain W3C validator