Theorem unblimceq0 34970

Description: If 𝐹 is unbounded near 𝐴 it has no limit at 𝐴. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unblimceq0.0	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
unblimceq0.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
unblimceq0.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
unblimceq0.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
unblimceq0	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐴) = ∅)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥   𝑆,𝑏,𝑑,𝑥   𝜑,𝑏,𝑑,𝑥

Proof of Theorem unblimceq0

Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑦 𝑧 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 12919	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℝ+)
3		breq2 5109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 1 → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
4	3	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 1 → (((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1)))
5	4	rexralbidv 3214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 1 → (∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1)))
6	5	notbid 317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 1 → (¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1)))
7	6	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑒 = 1) → (¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1)))
8		simprr1 1221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 𝑧 ≠ 𝐴)
9		simprr2 1222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐)
10	8, 9	jca 512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐))
11		1red 11156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 1 ∈ ℝ)
12		unblimceq0.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
13	12	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
15		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 𝑧 ∈ 𝑆)
16	14, 15	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
17		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 𝑦 ∈ ℂ)
19	16, 18	subcld 11512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ((𝐹‘𝑧) − 𝑦) ∈ ℂ)
20	19	abscld 15321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) ∈ ℝ)
21	16	abscld 15321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
22	17	abscld 15321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
24	21, 23	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝑦)) ∈ ℝ)
25		1cnd 11150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 1 ∈ ℂ)
26	23	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (abs‘𝑦) ∈ ℂ)
27	25, 26	pncand 11513	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ((1 + (abs‘𝑦)) − (abs‘𝑦)) = 1)
28		1red 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
29	28, 22	readdcld 11184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → (1 + (abs‘𝑦)) ∈ ℝ)
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (1 + (abs‘𝑦)) ∈ ℝ)
31		simprr3 1223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
32	30, 21, 23, 31	lesub1dd 11771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ((1 + (abs‘𝑦)) − (abs‘𝑦)) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝑦)))
33	27, 32	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 1 ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝑦)))
34	16, 18	abs2difd 15342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)))
35	11, 24, 20, 33, 34	letrd 11312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 1 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)))
36	11, 20, 35	lensymd 11306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ¬ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1)
37	10, 36	jcnd 163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ¬ ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
38		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐))
39	38	3anbi2d 1441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) ↔ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))))
40	39	rexbidv 3175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → (∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))))
41		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (1 + (abs‘𝑦)) → (𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ↔ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
42	41	3anbi3d 1442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (1 + (abs‘𝑦)) → ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) ↔ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))))
43	42	rexbidv 3175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (1 + (abs‘𝑦)) → (∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))))
44	43	ralbidv 3174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (1 + (abs‘𝑦)) → (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))))
45		unblimceq0.0	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
46		unblimceq0.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
47		unblimceq0.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
48	45, 12, 46, 47	unblimceq0lem 34969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
49	48	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
50		0lt1 11677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 0 < 1)
52	17	absge0d 15329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘𝑦))
53	28, 22, 51, 52	addgtge0d 11729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 0 < (1 + (abs‘𝑦)))
54	29, 53	elrpd 12954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → (1 + (abs‘𝑦)) ∈ ℝ+)
55	44, 49, 54	rspcdva 3582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
56		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 𝑐 ∈ ℝ+)
57	40, 55, 56	rspcdva 3582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
58	37, 57	reximddv 3168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ¬ ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
59		rexnal 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑆 ¬ ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
60	58, 59	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
61	60	nrexdv 3146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
62	2, 7, 61	rspcedvd 3583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ∃𝑒 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒))
63		rexnal 3103	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ¬ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒))
64	62, 63	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ¬ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒))
65	64	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒)))
66		imnan 400	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒)) ↔ ¬ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒)))
67	65, 66	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒)))
68	12, 45, 46	ellimc3 25243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒))))
69	67, 68	mtbird 324	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
70	69	eq0rdv 4364	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐴) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282   class class class wbr 5105  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℝ⁺crp 12915  abscabs 15119   lim_ℂ climc 25226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cnp 22579  df-xms 23673  df-ms 23674  df-limc 25230

This theorem is referenced by:  unbdqndv1  34971