Theorem unblimceq0 36707

Description: If 𝐹 is unbounded near 𝐴 it has no limit at 𝐴. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unblimceq0.0	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
unblimceq0.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
unblimceq0.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
unblimceq0.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
unblimceq0	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐴) = ∅)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥   𝑆,𝑏,𝑑,𝑥   𝜑,𝑏,𝑑,𝑥

Proof of Theorem unblimceq0

Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑦 𝑧 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 12909	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℝ+)
3		breq2 5102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 1 → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
4	3	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 1 → (((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1)))
5	4	rexralbidv 3202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 1 → (∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1)))
6	5	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 1 → (¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1)))
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑒 = 1) → (¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1)))
8		simprr1 1222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 𝑧 ≠ 𝐴)
9		simprr2 1223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐)
10	8, 9	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐))
11		1red 11133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 1 ∈ ℝ)
12		unblimceq0.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
15		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 𝑧 ∈ 𝑆)
16	14, 15	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
17		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 𝑦 ∈ ℂ)
19	16, 18	subcld 11492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ((𝐹‘𝑧) − 𝑦) ∈ ℂ)
20	19	abscld 15362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) ∈ ℝ)
21	16	abscld 15362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
22	17	abscld 15362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
24	21, 23	resubcld 11565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝑦)) ∈ ℝ)
25		1cnd 11127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 1 ∈ ℂ)
26	23	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (abs‘𝑦) ∈ ℂ)
27	25, 26	pncand 11493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ((1 + (abs‘𝑦)) − (abs‘𝑦)) = 1)
28		1red 11133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
29	28, 22	readdcld 11161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → (1 + (abs‘𝑦)) ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (1 + (abs‘𝑦)) ∈ ℝ)
31		simprr3 1224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
32	30, 21, 23, 31	lesub1dd 11753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ((1 + (abs‘𝑦)) − (abs‘𝑦)) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝑦)))
33	27, 32	eqbrtrrd 5122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 1 ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝑦)))
34	16, 18	abs2difd 15383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)))
35	11, 24, 20, 33, 34	letrd 11290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → 1 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)))
36	11, 20, 35	lensymd 11284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ¬ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1)
37	10, 36	jcnd 163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))) → ¬ ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
38		breq2 5102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐))
39	38	3anbi2d 1443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) ↔ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))))
40	39	rexbidv 3160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → (∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))))
41		breq1 5101	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (1 + (abs‘𝑦)) → (𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ↔ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
42	41	3anbi3d 1444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (1 + (abs‘𝑦)) → ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) ↔ (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))))
43	42	rexbidv 3160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (1 + (abs‘𝑦)) → (∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))))
44	43	ralbidv 3159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (1 + (abs‘𝑦)) → (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))))
45		unblimceq0.0	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
46		unblimceq0.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
47		unblimceq0.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
48	45, 12, 46, 47	unblimceq0lem 36706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
49	48	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
50		0lt1 11659	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 0 < 1)
52	17	absge0d 15370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘𝑦))
53	28, 22, 51, 52	addgtge0d 11711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 0 < (1 + (abs‘𝑦)))
54	29, 53	elrpd 12946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → (1 + (abs‘𝑦)) ∈ ℝ+)
55	44, 49, 54	rspcdva 3577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
56		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → 𝑐 ∈ ℝ+)
57	40, 55, 56	rspcdva 3577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (abs‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
58	37, 57	reximddv 3152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ¬ ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
59		rexnal 3088	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑆 ¬ ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
60	58, 59	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
61	60	nrexdv 3131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 1))
62	2, 7, 61	rspcedvd 3578	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ∃𝑒 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒))
63		rexnal 3088	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒) ↔ ¬ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒))
64	62, 63	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ¬ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒))
65	64	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒)))
66		imnan 399	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒)) ↔ ¬ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒)))
67	65, 66	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒)))
68	12, 45, 46	ellimc3 25836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑧 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑐) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑦)) < 𝑒))))
69	67, 68	mtbird 325	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
70	69	eq0rdv 4359	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐴) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285   class class class wbr 5098  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℝ⁺crp 12905  abscabs 15157   lim_ℂ climc 25819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-rest 17342  df-topn 17343  df-topgen 17363  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cnp 23172  df-xms 24264  df-ms 24265  df-limc 25823

This theorem is referenced by:  unbdqndv1  36708