Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unblimceq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unblimceq0 35891
Description: If 𝐹 is unbounded near 𝐴 it has no limit at 𝐴. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unblimceq0.0 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
unblimceq0.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘†βŸΆβ„‚)
unblimceq0.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
unblimceq0.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
unblimceq0 (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐴) = βˆ…)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,π‘₯   𝐹,𝑏,𝑑,π‘₯   𝑆,𝑏,𝑑,π‘₯   πœ‘,𝑏,𝑑,π‘₯

Proof of Theorem unblimceq0
Dummy variables π‘Ž 𝑐 𝑦 𝑧 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 12984 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
21a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 1 ∈ ℝ+)
3 breq2 5145 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 1 β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 1))
43imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 1 β†’ (((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒) ↔ ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 1)))
54rexralbidv 3214 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 1 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 1)))
65notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑒 = 1 β†’ (Β¬ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒) ↔ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 1)))
76adantl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑒 = 1) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒) ↔ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 1)))
8 simprr1 1218 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ 𝑧 β‰  𝐴)
9 simprr2 1219 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐)
108, 9jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐))
11 1red 11219 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ 1 ∈ ℝ)
12 unblimceq0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘†βŸΆβ„‚)
1312ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π‘†βŸΆβ„‚)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ 𝐹:π‘†βŸΆβ„‚)
15 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
1614, 15ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
17 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
1916, 18subcld 11575 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦) ∈ β„‚)
2019abscld 15389 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ)
2116abscld 15389 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
2217abscld 15389 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ (absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2421, 23resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
25 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ 1 ∈ β„‚)
2623recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ (absβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
2725, 26pncand 11576 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ ((1 + (absβ€˜π‘¦)) βˆ’ (absβ€˜π‘¦)) = 1)
28 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ ℝ)
2928, 22readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
31 simprr3 1220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
3230, 21, 23, 31lesub1dd 11834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ ((1 + (absβ€˜π‘¦)) βˆ’ (absβ€˜π‘¦)) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π‘¦)))
3327, 32eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ 1 ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π‘¦)))
3416, 18abs2difd 15410 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)))
3511, 24, 20, 33, 34letrd 11375 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ 1 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)))
3611, 20, 35lensymd 11369 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ Β¬ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 1)
3710, 36jcnd 163 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))) β†’ Β¬ ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 1))
38 breq2 5145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑐 β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ↔ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐))
39383anbi2d 1437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑐 β†’ ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) ↔ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))))
4039rexbidv 3172 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑐 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))))
41 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = (1 + (absβ€˜π‘¦)) β†’ (π‘Ž ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ↔ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
42413anbi3d 1438 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = (1 + (absβ€˜π‘¦)) β†’ ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ π‘Ž ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) ↔ (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))))
4342rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = (1 + (absβ€˜π‘¦)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ π‘Ž ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))))
4443ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = (1 + (absβ€˜π‘¦)) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ π‘Ž ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))))
45 unblimceq0.0 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
46 unblimceq0.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
47 unblimceq0.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
4845, 12, 46, 47unblimceq0lem 35890 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ π‘Ž ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
4948ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ π‘Ž ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
50 0lt1 11740 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ 0 < 1)
5217absge0d 15397 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘¦))
5328, 22, 51, 52addgtge0d 11792 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ 0 < (1 + (absβ€˜π‘¦)))
5429, 53elrpd 13019 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ+)
5544, 49, 54rspcdva 3607 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
56 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ 𝑐 ∈ ℝ+)
5740, 55, 56rspcdva 3607 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 (𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐 ∧ (1 + (absβ€˜π‘¦)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
5837, 57reximddv 3165 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 Β¬ ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 1))
59 rexnal 3094 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 Β¬ ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 1) ↔ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 1))
6058, 59sylib 217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 1))
6160nrexdv 3143 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 1))
622, 7, 61rspcedvd 3608 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒))
63 rexnal 3094 . . . . . 6 (βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒) ↔ Β¬ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒))
6462, 63sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ Β¬ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒))
6564ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ β†’ Β¬ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒)))
66 imnan 399 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ β†’ Β¬ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒)) ↔ Β¬ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒)))
6765, 66sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒)))
6812, 45, 46ellimc3 25763 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((𝑧 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑐) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒))))
6967, 68mtbird 325 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
7069eq0rdv 4399 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐴) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„+crp 12980  abscabs 15187   limβ„‚ climc 25746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-rest 17377  df-topn 17378  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cnp 23087  df-xms 24181  df-ms 24182  df-limc 25750
This theorem is referenced by:  unbdqndv1  35892
  Copyright terms: Public domain W3C validator