Theorem fzdisj 13528

Description: Condition for two finite intervals of integers to be disjoint. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
fzdisj	⊢ (𝐾 < 𝑀 → ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)

Proof of Theorem fzdisj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3965	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)))
2		elfzel1 13500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	zred 12666	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
5		elfzel2 13499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	5	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
7	6	zred 12666	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
8		elfzelz 13501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
9	8	zred 12666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		elfzle1 13504	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑥)
12	11	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
13		elfzle2 13505	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ≤ 𝐾)
14	13	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ≤ 𝐾)
15	4, 10, 7, 12, 14	letrd 11371	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝐾)
16	4, 7, 15	lensymd 11365	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
17	1, 16	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
18	17	con2i 139	. 2 ⊢ (𝐾 < 𝑀 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)))
19	18	eq0rdv 4405	1 ⊢ (𝐾 < 𝑀 → ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948  ∅c0 4323   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109   < clt 11248   ≤ cle 11249  ℤcz 12558  ...cfz 13484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485

This theorem is referenced by:  fsumm1  15697  fsum1p  15699  o1fsum  15759  climcndslem1  15795  climcndslem2  15796  mertenslem1  15830  fprod1p  15912  fprodeq0  15919  fallfacval4  15987  prmreclem5  16853  strleun  17090  uniioombllem3  25102  mtest  25916  birthdaylem2  26457  fsumharmonic  26516  ftalem5  26581  chtdif  26662  ppidif  26667  gausslemma2dlem4  26872  gausslemma2dlem6  26875  lgsquadlem2  26884  dchrisum0lem1b  27018  dchrisum0lem3  27022  pntrsumbnd2  27070  pntrlog2bndlem6  27086  pntpbnd2  27090  pntlemf  27108  axlowdimlem2  28201  axlowdimlem16  28215  esumpmono  33077  ballotlemfrceq  33527  fsum2dsub  33619  poimirlem1  36489  poimirlem2  36490  poimirlem3  36491  poimirlem4  36492  poimirlem6  36494  poimirlem7  36495  poimirlem11  36499  poimirlem12  36500  poimirlem16  36504  poimirlem17  36505  poimirlem19  36507  poimirlem20  36508  poimirlem23  36511  poimirlem24  36512  poimirlem25  36513  poimirlem28  36516  poimirlem29  36517  poimirlem31  36519  sticksstones6  40967  sticksstones7  40968  metakunt18  41002  metakunt20  41004  prodsplit  41021  sumcubes  41211  eldioph2lem1  41498  stoweidlem11  44727