MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzdisj 13474
Description: Condition for two finite intervals of integers to be disjoint. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzdisj (𝐾 < 𝑀 → ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)

Proof of Theorem fzdisj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3927 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)))
2 elfzel1 13446 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
32adantl 483 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
43zred 12612 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
5 elfzel2 13445 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
65adantr 482 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
76zred 12612 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
8 elfzelz 13447 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
98zred 12612 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
109adantl 483 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 elfzle1 13450 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑥)
1211adantl 483 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝑥)
13 elfzle2 13451 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥𝐾)
1413adantr 482 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥𝐾)
154, 10, 7, 12, 14letrd 11317 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝐾)
164, 7, 15lensymd 11311 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
171, 16sylbi 216 . . 3 (𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
1817con2i 139 . 2 (𝐾 < 𝑀 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)))
1918eq0rdv 4365 1 (𝐾 < 𝑀 → ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3910  c0 4283   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11055   < clt 11194  cle 11195  cz 12504  ...cfz 13430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-neg 11393  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431
This theorem is referenced by:  fsumm1  15641  fsum1p  15643  o1fsum  15703  climcndslem1  15739  climcndslem2  15740  mertenslem1  15774  fprod1p  15856  fprodeq0  15863  fallfacval4  15931  prmreclem5  16797  strleun  17034  uniioombllem3  24965  mtest  25779  birthdaylem2  26318  fsumharmonic  26377  ftalem5  26442  chtdif  26523  ppidif  26528  gausslemma2dlem4  26733  gausslemma2dlem6  26736  lgsquadlem2  26745  dchrisum0lem1b  26879  dchrisum0lem3  26883  pntrsumbnd2  26931  pntrlog2bndlem6  26947  pntpbnd2  26951  pntlemf  26969  axlowdimlem2  27934  axlowdimlem16  27948  esumpmono  32735  ballotlemfrceq  33185  fsum2dsub  33277  poimirlem1  36125  poimirlem2  36126  poimirlem3  36127  poimirlem4  36128  poimirlem6  36130  poimirlem7  36131  poimirlem11  36135  poimirlem12  36136  poimirlem16  36140  poimirlem17  36141  poimirlem19  36143  poimirlem20  36144  poimirlem23  36147  poimirlem24  36148  poimirlem25  36149  poimirlem28  36152  poimirlem29  36153  poimirlem31  36155  sticksstones6  40605  sticksstones7  40606  metakunt18  40640  metakunt20  40642  prodsplit  40659  eldioph2lem1  41126  stoweidlem11  44338
  Copyright terms: Public domain W3C validator