Theorem fzdisj 13591

Description: Condition for two finite intervals of integers to be disjoint. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
fzdisj	⊢ (𝐾 < 𝑀 → ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)

Proof of Theorem fzdisj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3967	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)))
2		elfzel1 13563	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	zred 12722	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
5		elfzel2 13562	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
7	6	zred 12722	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
8		elfzelz 13564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
9	8	zred 12722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		elfzle1 13567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑥)
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
13		elfzle2 13568	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ≤ 𝐾)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ≤ 𝐾)
15	4, 10, 7, 12, 14	letrd 11418	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝐾)
16	4, 7, 15	lensymd 11412	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
17	1, 16	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
18	17	con2i 139	. 2 ⊢ (𝐾 < 𝑀 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)))
19	18	eq0rdv 4407	1 ⊢ (𝐾 < 𝑀 → ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℤcz 12613  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548

This theorem is referenced by:  fsumm1  15787  fsum1p  15789  o1fsum  15849  climcndslem1  15885  climcndslem2  15886  mertenslem1  15920  fprod1p  16004  fprodeq0  16011  fallfacval4  16079  prmreclem5  16958  strleun  17194  uniioombllem3  25620  mtest  26447  birthdaylem2  26995  fsumharmonic  27055  ftalem5  27120  chtdif  27201  ppidif  27206  gausslemma2dlem4  27413  gausslemma2dlem6  27416  lgsquadlem2  27425  dchrisum0lem1b  27559  dchrisum0lem3  27563  pntrsumbnd2  27611  pntrlog2bndlem6  27627  pntpbnd2  27631  pntlemf  27649  axlowdimlem2  28958  axlowdimlem16  28972  esumpmono  34080  ballotlemfrceq  34531  fsum2dsub  34622  poimirlem1  37628  poimirlem2  37629  poimirlem3  37630  poimirlem4  37631  poimirlem6  37633  poimirlem7  37634  poimirlem11  37638  poimirlem12  37639  poimirlem16  37643  poimirlem17  37644  poimirlem19  37646  poimirlem20  37647  poimirlem23  37650  poimirlem24  37651  poimirlem25  37652  poimirlem28  37655  poimirlem29  37656  poimirlem31  37658  sticksstones6  42152  sticksstones7  42153  metakunt18  42223  metakunt20  42225  prodsplit  42241  sumcubes  42347  eldioph2lem1  42771  stoweidlem11  46026