MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzdisj 12685
Description: Condition for two finite intervals of integers to be disjoint. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzdisj (𝐾 < 𝑀 → ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)

Proof of Theorem fzdisj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 4019 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)))
2 elfzel1 12658 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
32adantl 475 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
43zred 11834 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
5 elfzel2 12657 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
65adantr 474 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
76zred 11834 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
8 elfzelz 12659 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
98zred 11834 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
109adantl 475 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 elfzle1 12661 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑥)
1211adantl 475 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝑥)
13 elfzle2 12662 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥𝐾)
1413adantr 474 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥𝐾)
154, 10, 7, 12, 14letrd 10533 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝐾)
164, 7, 15lensymd 10527 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
171, 16sylbi 209 . . 3 (𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
1817con2i 137 . 2 (𝐾 < 𝑀 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)))
1918eq0rdv 4205 1 (𝐾 < 𝑀 → ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  cin 3791  c0 4141   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  cr 10271   < clt 10411  cle 10412  cz 11728  ...cfz 12643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-neg 10609  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644
This theorem is referenced by:  fsumm1  14887  fsum1p  14889  o1fsum  14949  climcndslem1  14985  climcndslem2  14986  mertenslem1  15019  fprod1p  15101  fprodeq0  15108  fallfacval4  15176  prmreclem5  16028  strleun  16364  uniioombllem3  23789  mtest  24595  birthdaylem2  25131  fsumharmonic  25190  ftalem5  25255  chtdif  25336  ppidif  25341  gausslemma2dlem4  25546  gausslemma2dlem6  25549  lgsquadlem2  25558  dchrisum0lem1b  25656  dchrisum0lem3  25660  pntrsumbnd2  25708  pntrlog2bndlem6  25724  pntpbnd2  25728  pntlemf  25746  axlowdimlem2  26292  axlowdimlem16  26306  esumpmono  30739  ballotlemfrceq  31189  fsum2dsub  31287  poimirlem1  34036  poimirlem2  34037  poimirlem3  34038  poimirlem4  34039  poimirlem6  34041  poimirlem7  34042  poimirlem11  34046  poimirlem12  34047  poimirlem16  34051  poimirlem17  34052  poimirlem19  34054  poimirlem20  34055  poimirlem23  34058  poimirlem24  34059  poimirlem25  34060  poimirlem28  34063  poimirlem29  34064  poimirlem31  34066  eldioph2lem1  38283  stoweidlem11  41155
  Copyright terms: Public domain W3C validator