Theorem fzdisj 13488

Description: Condition for two finite intervals of integers to be disjoint. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
fzdisj	⊢ (𝐾 < 𝑀 → ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)

Proof of Theorem fzdisj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3927	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)))
2		elfzel1 13460	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	zred 12614	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
5		elfzel2 13459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
7	6	zred 12614	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
8		elfzelz 13461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
9	8	zred 12614	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		elfzle1 13464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑥)
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
13		elfzle2 13465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ≤ 𝐾)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ≤ 𝐾)
15	4, 10, 7, 12, 14	letrd 11307	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝐾)
16	4, 7, 15	lensymd 11301	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
17	1, 16	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
18	17	con2i 139	. 2 ⊢ (𝐾 < 𝑀 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)))
19	18	eq0rdv 4366	1 ⊢ (𝐾 < 𝑀 → ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910  ∅c0 4292   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043   < clt 11184   ≤ cle 11185  ℤcz 12505  ...cfz 13444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445

This theorem is referenced by:  fsumm1  15693  fsum1p  15695  o1fsum  15755  climcndslem1  15791  climcndslem2  15792  mertenslem1  15826  fprod1p  15910  fprodeq0  15917  fallfacval4  15985  prmreclem5  16867  strleun  17103  uniioombllem3  25519  mtest  26346  birthdaylem2  26895  fsumharmonic  26955  ftalem5  27020  chtdif  27101  ppidif  27106  gausslemma2dlem4  27313  gausslemma2dlem6  27316  lgsquadlem2  27325  dchrisum0lem1b  27459  dchrisum0lem3  27463  pntrsumbnd2  27511  pntrlog2bndlem6  27527  pntpbnd2  27531  pntlemf  27549  axlowdimlem2  28923  axlowdimlem16  28937  esumpmono  34062  ballotlemfrceq  34513  fsum2dsub  34591  poimirlem1  37608  poimirlem2  37609  poimirlem3  37610  poimirlem4  37611  poimirlem6  37613  poimirlem7  37614  poimirlem11  37618  poimirlem12  37619  poimirlem16  37623  poimirlem17  37624  poimirlem19  37626  poimirlem20  37627  poimirlem23  37630  poimirlem24  37631  poimirlem25  37632  poimirlem28  37635  poimirlem29  37636  poimirlem31  37638  sticksstones6  42132  sticksstones7  42133  sumcubes  42294  eldioph2lem1  42741  stoweidlem11  46002