MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ufinffr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ufinffr 23952
Description: An infinite subset is contained in a free ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
ufinffr ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐴𝑓 𝑓 = ∅))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝑋

Proof of Theorem ufinffr
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ominf 9291 . . . . 5 ¬ ω ∈ Fin
2 domfi 9226 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ω ≼ 𝐴) → ω ∈ Fin)
32expcom 413 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ω ∈ Fin))
41, 3mtoi 199 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
5 cfinfil 23916 . . . 4 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin} ∈ (Fil‘𝑋))
64, 5syl3an3 1164 . . 3 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin} ∈ (Fil‘𝑋))
7 filssufil 23935 . . 3 ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin} ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓)
86, 7syl 17 . 2 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓)
9 difeq2 4129 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝐴))
10 difid 4381 . . . . . . . 8 (𝐴𝐴) = ∅
119, 10eqtrdi 2790 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴𝑥) = ∅)
1211eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
13 elpw2g 5338 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑋))
1413biimpar 477 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
15143adant3 1131 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
16 0fi 9080 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
1716a1i 11 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∅ ∈ Fin)
1812, 15, 17elrabd 3696 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin})
19 ssel 3988 . . . . 5 ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin} → 𝐴𝑓))
2018, 19syl5com 31 . . . 4 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓𝐴𝑓))
21 intss 4973 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 𝑓 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin})
22 neldifsn 4796 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦})
23 elinti 4959 . . . . . . . . . 10 (𝑦 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin} → ((𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin} → 𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦})))
2422, 23mtoi 199 . . . . . . . . 9 (𝑦 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin} → ¬ (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin})
25 difeq2 4129 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → (𝐴𝑥) = (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})))
2625eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → ((𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ∈ Fin))
27 simp2 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴𝑋)
2827ssdifssd 4156 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑋)
29 elpw2g 5338 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝐵 → ((𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑋))
30293ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑋))
3128, 30mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ 𝒫 𝑋)
32 snfi 9081 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦} ∈ Fin
33 eldif 3972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦})))
34 eldif 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑦}))
3534notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦}) ↔ ¬ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑦}))
36 iman 401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝑥 ∈ {𝑦}) ↔ ¬ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑦}))
3735, 36bitr4i 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ {𝑦}))
3837anbi2i 623 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑥 ∈ {𝑦})))
3933, 38bitri 275 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑥 ∈ {𝑦})))
40 pm3.35 803 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑥 ∈ {𝑦})) → 𝑥 ∈ {𝑦})
4139, 40sylbi 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) → 𝑥 ∈ {𝑦})
4241ssriv 3998 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ⊆ {𝑦}
43 ssfi 9211 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑦} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ⊆ {𝑦}) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ∈ Fin)
4432, 42, 43mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ∈ Fin
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ∈ Fin)
4626, 31, 45elrabd 3696 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin})
4724, 46nsyl3 138 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ¬ 𝑦 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin})
4847eq0rdv 4412 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin} = ∅)
4948sseq2d 4027 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ( 𝑓 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin} ↔ 𝑓 ⊆ ∅))
5021, 49imbitrid 244 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 𝑓 ⊆ ∅))
51 ss0 4407 . . . . 5 ( 𝑓 ⊆ ∅ → 𝑓 = ∅)
5250, 51syl6 35 . . . 4 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 𝑓 = ∅))
5320, 52jcad 512 . . 3 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → (𝐴𝑓 𝑓 = ∅)))
5453reximdv 3167 . 2 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐴𝑓 𝑓 = ∅)))
558, 54mpd 15 1 ((𝑋𝐵𝐴𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐴𝑓 𝑓 = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  {crab 3432  cdif 3959  wss 3962  c0 4338  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   cint 4950   class class class wbr 5147  cfv 6562  ωcom 7886  cdom 8981  Fincfn 8983  Filcfil 23868  UFilcufil 23922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-ac2 10500
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-rpss 7741  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-dju 9938  df-card 9976  df-ac 10153  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-fil 23869  df-ufil 23924
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator