Theorem ufinffr 23871

Description: An infinite subset is contained in a free ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ufinffr	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐴 ∈ 𝑓 ∧ ∩ 𝑓 = ∅))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝑋

Proof of Theorem ufinffr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ominf 9162	. . . . 5 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
2		domfi 9111	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ω ≼ 𝐴) → ω ∈ Fin)
3	2	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ω ∈ Fin))
4	1, 3	mtoi 199	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
5		cfinfil 23835	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ∈ (Fil‘𝑋))
6	4, 5	syl3an3 1165	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ∈ (Fil‘𝑋))
7		filssufil 23854	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓)
9		difeq2 4070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ 𝐴))
10		difid 4326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐴) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2785	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∖ 𝑥) = ∅)
12	11	eleq1d 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
13		elpw2g 5276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
14	13	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
15	14	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
16		0fi 8977	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∅ ∈ Fin)
18	12, 15, 17	elrabd 3646	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin})
19		ssel 3925	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} → 𝐴 ∈ 𝑓))
20	18, 19	syl5com 31	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → 𝐴 ∈ 𝑓))
21		intss 4922	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → ∩ 𝑓 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin})
22		neldifsn 4746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦})
23		elinti 4909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} → ((𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} → 𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦})))
24	22, 23	mtoi 199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} → ¬ (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin})
25		difeq2 4070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})))
26	25	eleq1d 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ∈ Fin))
27		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
28	27	ssdifssd 4097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑋)
29		elpw2g 5276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑋))
30	29	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑋))
31	28, 30	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ 𝒫 𝑋)
32		snfi 8978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
33		eldif 3909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦})))
34		eldif 3909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑦}))
35	34	notbii 320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦}) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑦}))
36		iman 401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑦}) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑦}))
37	35, 36	bitr4i 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑦}))
38	37	anbi2i 623	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑦})))
39	33, 38	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑦})))
40		pm3.35 802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑦})) → 𝑥 ∈ {𝑦})
41	39, 40	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) → 𝑥 ∈ {𝑦})
42	41	ssriv 3935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ⊆ {𝑦}
43		ssfi 9095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑦} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ⊆ {𝑦}) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ∈ Fin)
44	32, 42, 43	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ∈ Fin
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ∈ Fin)
46	26, 31, 45	elrabd 3646	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin})
47	24, 46	nsyl3 138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin})
48	47	eq0rdv 4357	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} = ∅)
49	48	sseq2d 3964	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (∩ 𝑓 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ↔ ∩ 𝑓 ⊆ ∅))
50	21, 49	imbitrid 244	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → ∩ 𝑓 ⊆ ∅))
51		ss0 4352	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝑓 ⊆ ∅ → ∩ 𝑓 = ∅)
52	50, 51	syl6 35	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → ∩ 𝑓 = ∅))
53	20, 52	jcad 512	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → (𝐴 ∈ 𝑓 ∧ ∩ 𝑓 = ∅)))
54	53	reximdv 3149	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐴 ∈ 𝑓 ∧ ∩ 𝑓 = ∅)))
55	8, 54	mpd 15	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐴 ∈ 𝑓 ∧ ∩ 𝑓 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058  {crab 3397   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  {csn 4578  ∩ cint 4900   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  ωcom 7806   ≼ cdom 8879  Fincfn 8881  Filcfil 23787  UFilcufil 23841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-ac2 10371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-rpss 7666  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fi 9312  df-dju 9811  df-card 9849  df-ac 10024  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-fil 23788  df-ufil 23843

This theorem is referenced by: (None)