Theorem ufinffr 23654

Description: An infinite subset is contained in a free ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ufinffr	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐴 ∈ 𝑓 ∧ ∩ 𝑓 = ∅))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝑋

Proof of Theorem ufinffr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ominf 9261	. . . . 5 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
2		domfi 9195	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ω ≼ 𝐴) → ω ∈ Fin)
3	2	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ω ∈ Fin))
4	1, 3	mtoi 198	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
5		cfinfil 23618	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ∈ (Fil‘𝑋))
6	4, 5	syl3an3 1164	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ∈ (Fil‘𝑋))
7		filssufil 23637	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓)
9		difeq2 4116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ 𝐴))
10		difid 4370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐴) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∖ 𝑥) = ∅)
12	11	eleq1d 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
13		elpw2g 5344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
14	13	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
15	14	3adant3 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
16		0fin 9174	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∅ ∈ Fin)
18	12, 15, 17	elrabd 3685	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin})
19		ssel 3975	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} → 𝐴 ∈ 𝑓))
20	18, 19	syl5com 31	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → 𝐴 ∈ 𝑓))
21		intss 4973	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → ∩ 𝑓 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin})
22		neldifsn 4795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦})
23		elinti 4959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} → ((𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} → 𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦})))
24	22, 23	mtoi 198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} → ¬ (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin})
25		difeq2 4116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})))
26	25	eleq1d 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ∈ Fin))
27		simp2 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
28	27	ssdifssd 4142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑋)
29		elpw2g 5344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑋))
30	29	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑋))
31	28, 30	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ 𝒫 𝑋)
32		snfi 9047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
33		eldif 3958	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦})))
34		eldif 3958	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑦}))
35	34	notbii 320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦}) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑦}))
36		iman 401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑦}) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑦}))
37	35, 36	bitr4i 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑦}))
38	37	anbi2i 622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑦})))
39	33, 38	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑦})))
40		pm3.35 800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑦})) → 𝑥 ∈ {𝑦})
41	39, 40	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) → 𝑥 ∈ {𝑦})
42	41	ssriv 3986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ⊆ {𝑦}
43		ssfi 9176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑦} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ⊆ {𝑦}) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ∈ Fin)
44	32, 42, 43	mp2an 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ∈ Fin
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ∈ Fin)
46	26, 31, 45	elrabd 3685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin})
47	24, 46	nsyl3 138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin})
48	47	eq0rdv 4404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} = ∅)
49	48	sseq2d 4014	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (∩ 𝑓 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ↔ ∩ 𝑓 ⊆ ∅))
50	21, 49	imbitrid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → ∩ 𝑓 ⊆ ∅))
51		ss0 4398	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝑓 ⊆ ∅ → ∩ 𝑓 = ∅)
52	50, 51	syl6 35	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → ∩ 𝑓 = ∅))
53	20, 52	jcad 512	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → (𝐴 ∈ 𝑓 ∧ ∩ 𝑓 = ∅)))
54	53	reximdv 3169	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐴 ∈ 𝑓 ∧ ∩ 𝑓 = ∅)))
55	8, 54	mpd 15	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐴 ∈ 𝑓 ∧ ∩ 𝑓 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069  {crab 3431   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602  {csn 4628  ∩ cint 4950   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  ωcom 7858   ≼ cdom 8940  Fincfn 8942  Filcfil 23570  UFilcufil 23624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-ac2 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-rpss 7716  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-dju 9899  df-card 9937  df-ac 10114  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-fil 23571  df-ufil 23626

This theorem is referenced by: (None)