Theorem ufinffr 23958

Description: An infinite subset is contained in a free ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ufinffr	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐴 ∈ 𝑓 ∧ ∩ 𝑓 = ∅))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝑋

Proof of Theorem ufinffr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ominf 9321	. . . . 5 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
2		domfi 9255	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ω ≼ 𝐴) → ω ∈ Fin)
3	2	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ω ∈ Fin))
4	1, 3	mtoi 199	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
5		cfinfil 23922	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ∈ (Fil‘𝑋))
6	4, 5	syl3an3 1165	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ∈ (Fil‘𝑋))
7		filssufil 23941	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓)
9		difeq2 4143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ 𝐴))
10		difid 4398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐴) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∖ 𝑥) = ∅)
12	11	eleq1d 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
13		elpw2g 5351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
14	13	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
15	14	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
16		0fi 9108	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∅ ∈ Fin)
18	12, 15, 17	elrabd 3710	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin})
19		ssel 4002	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} → 𝐴 ∈ 𝑓))
20	18, 19	syl5com 31	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → 𝐴 ∈ 𝑓))
21		intss 4993	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → ∩ 𝑓 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin})
22		neldifsn 4817	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦})
23		elinti 4979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} → ((𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} → 𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦})))
24	22, 23	mtoi 199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} → ¬ (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin})
25		difeq2 4143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})))
26	25	eleq1d 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ∈ Fin))
27		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
28	27	ssdifssd 4170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑋)
29		elpw2g 5351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑋))
30	29	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑋))
31	28, 30	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ 𝒫 𝑋)
32		snfi 9109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
33		eldif 3986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦})))
34		eldif 3986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑦}))
35	34	notbii 320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦}) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑦}))
36		iman 401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑦}) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑦}))
37	35, 36	bitr4i 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑦}))
38	37	anbi2i 622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑦})))
39	33, 38	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑦})))
40		pm3.35 802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑦})) → 𝑥 ∈ {𝑦})
41	39, 40	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) → 𝑥 ∈ {𝑦})
42	41	ssriv 4012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ⊆ {𝑦}
43		ssfi 9240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑦} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ⊆ {𝑦}) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ∈ Fin)
44	32, 42, 43	mp2an 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ∈ Fin
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ∈ Fin)
46	26, 31, 45	elrabd 3710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin})
47	24, 46	nsyl3 138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin})
48	47	eq0rdv 4430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} = ∅)
49	48	sseq2d 4041	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (∩ 𝑓 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ↔ ∩ 𝑓 ⊆ ∅))
50	21, 49	imbitrid 244	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → ∩ 𝑓 ⊆ ∅))
51		ss0 4425	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝑓 ⊆ ∅ → ∩ 𝑓 = ∅)
52	50, 51	syl6 35	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → ∩ 𝑓 = ∅))
53	20, 52	jcad 512	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → (𝐴 ∈ 𝑓 ∧ ∩ 𝑓 = ∅)))
54	53	reximdv 3176	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐴 ∈ 𝑓 ∧ ∩ 𝑓 = ∅)))
55	8, 54	mpd 15	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐴 ∈ 𝑓 ∧ ∩ 𝑓 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  {crab 3443   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  ∩ cint 4970   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  ωcom 7903   ≼ cdom 9001  Fincfn 9003  Filcfil 23874  UFilcufil 23928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-ac2 10532

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-rpss 7758  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-dju 9970  df-card 10008  df-ac 10185  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-fil 23875  df-ufil 23930

This theorem is referenced by: (None)