Theorem ufinffr 23816

Description: An infinite subset is contained in a free ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ufinffr	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐴 ∈ 𝑓 ∧ ∩ 𝑓 = ∅))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝑋

Proof of Theorem ufinffr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ominf 9205	. . . . 5 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
2		domfi 9153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ω ≼ 𝐴) → ω ∈ Fin)
3	2	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ω ∈ Fin))
4	1, 3	mtoi 199	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
5		cfinfil 23780	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ∈ (Fil‘𝑋))
6	4, 5	syl3an3 1165	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ∈ (Fil‘𝑋))
7		filssufil 23799	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓)
9		difeq2 4083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ 𝐴))
10		difid 4339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐴) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∖ 𝑥) = ∅)
12	11	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
13		elpw2g 5288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
14	13	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
15	14	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
16		0fi 9013	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∅ ∈ Fin)
18	12, 15, 17	elrabd 3661	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin})
19		ssel 3940	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} → 𝐴 ∈ 𝑓))
20	18, 19	syl5com 31	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → 𝐴 ∈ 𝑓))
21		intss 4933	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → ∩ 𝑓 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin})
22		neldifsn 4756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦})
23		elinti 4919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} → ((𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} → 𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦})))
24	22, 23	mtoi 199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} → ¬ (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin})
25		difeq2 4083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})))
26	25	eleq1d 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ∈ Fin))
27		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
28	27	ssdifssd 4110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑋)
29		elpw2g 5288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑋))
30	29	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑋))
31	28, 30	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ 𝒫 𝑋)
32		snfi 9014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
33		eldif 3924	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦})))
34		eldif 3924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑦}))
35	34	notbii 320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦}) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑦}))
36		iman 401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑦}) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑦}))
37	35, 36	bitr4i 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑦}))
38	37	anbi2i 623	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑦})))
39	33, 38	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑦})))
40		pm3.35 802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑦})) → 𝑥 ∈ {𝑦})
41	39, 40	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) → 𝑥 ∈ {𝑦})
42	41	ssriv 3950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ⊆ {𝑦}
43		ssfi 9137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑦} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ⊆ {𝑦}) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ∈ Fin)
44	32, 42, 43	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ∈ Fin
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑦})) ∈ Fin)
46	26, 31, 45	elrabd 3661	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin})
47	24, 46	nsyl3 138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin})
48	47	eq0rdv 4370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} = ∅)
49	48	sseq2d 3979	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (∩ 𝑓 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ↔ ∩ 𝑓 ⊆ ∅))
50	21, 49	imbitrid 244	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → ∩ 𝑓 ⊆ ∅))
51		ss0 4365	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝑓 ⊆ ∅ → ∩ 𝑓 = ∅)
52	50, 51	syl6 35	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → ∩ 𝑓 = ∅))
53	20, 52	jcad 512	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → (𝐴 ∈ 𝑓 ∧ ∩ 𝑓 = ∅)))
54	53	reximdv 3148	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin} ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐴 ∈ 𝑓 ∧ ∩ 𝑓 = ∅)))
55	8, 54	mpd 15	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐴 ∈ 𝑓 ∧ ∩ 𝑓 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3405   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  {csn 4589  ∩ cint 4910   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  ωcom 7842   ≼ cdom 8916  Fincfn 8918  Filcfil 23732  UFilcufil 23786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-ac2 10416

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-rpss 7699  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fi 9362  df-dju 9854  df-card 9892  df-ac 10069  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-fil 23733  df-ufil 23788

This theorem is referenced by: (None)