MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwap0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwap0 15959
Description: Value of a length-1 arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwap0 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘0)𝐷) = ∅)

Proof of Theorem vdwap0
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 4083 . . . . . 6 ¬ 𝑚 ∈ ∅
21pm2.21i 117 . . . . 5 (𝑚 ∈ ∅ → ¬ 𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)))
3 0re 10295 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
4 ltm1 11117 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ → (0 − 1) < 0)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 (0 − 1) < 0
6 0z 11635 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
7 peano2zm 11667 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 (0 − 1) ∈ ℤ
9 fzn 12564 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) < 0 ↔ (0...(0 − 1)) = ∅))
106, 8, 9mp2an 683 . . . . . 6 ((0 − 1) < 0 ↔ (0...(0 − 1)) = ∅)
115, 10mpbi 221 . . . . 5 (0...(0 − 1)) = ∅
122, 11eleq2s 2862 . . . 4 (𝑚 ∈ (0...(0 − 1)) → ¬ 𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)))
1312nrex 3146 . . 3 ¬ ∃𝑚 ∈ (0...(0 − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))
14 0nn0 11555 . . . 4 0 ∈ ℕ0
15 vdwapval 15956 . . . 4 ((0 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐴(AP‘0)𝐷) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(0 − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
1614, 15mp3an1 1572 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐴(AP‘0)𝐷) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(0 − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
1713, 16mtbiri 318 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(AP‘0)𝐷))
1817eq0rdv 4141 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘0)𝐷) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  c0 4079   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cmin 10520  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624  ...cfz 12533  APcvdwa 15948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-vdwap 15951
This theorem is referenced by:  vdwap1  15960  vdwmc2  15962  vdwlem13  15976
  Copyright terms: Public domain W3C validator