Theorem map0b 8890

Description: Set exponentiation with an empty base is the empty set, provided the exponent is nonempty. Theorem 96 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
map0b	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∅ ↑m 𝐴) = ∅)

Proof of Theorem map0b

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8848	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (∅ ↑m 𝐴) → 𝑓:𝐴⟶∅)
2		fdm 6712	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → dom 𝑓 = 𝐴)
3		frn 6710	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → ran 𝑓 ⊆ ∅)
4		ss0 4352	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝑓 ⊆ ∅ → ran 𝑓 = ∅)
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → ran 𝑓 = ∅)
6		dm0rn0 5908	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
7	5, 6	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → dom 𝑓 = ∅)
8	2, 7	eqtr3d 2797	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → 𝐴 = ∅)
9	1, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (∅ ↑m 𝐴) → 𝐴 = ∅)
10	9	necon3ai 2980	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝑓 ∈ (∅ ↑m 𝐴))
11	10	eq0rdv 4365	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∅ ↑m 𝐴) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  dom cdm 5655  ran crn 5656  ⟶wf 6529  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-map 8828

This theorem is used by:  map0g  8891  mapdom2  9146  ply1plusgfvi  22466  satf0  35951  prv0  36009