Theorem fucbas 17899

Description: The objects of the functor category are functors from 𝐶 to 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
fucbas.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fucbas	⊢ (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄)

Proof of Theorem fucbas

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 ℎ 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fucbas.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) = (𝐶 Func 𝐷)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Nat 𝐷) = (𝐶 Nat 𝐷)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
6		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐶 ∈ Cat)
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐷 ∈ Cat)
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝑄) = (comp‘𝑄)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	fuccofval 17898	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (comp‘𝑄) = (𝑣 ∈ ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)), ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ⦋(1st ‘𝑣) / 𝑓⦌⦋(2nd ‘𝑣) / 𝑔⦌(𝑏 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ), 𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ ((𝑏‘𝑥)(⟨((1st ‘𝑓)‘𝑥), ((1st ‘𝑔)‘𝑥)⟩(comp‘𝐷)((1st ‘ℎ)‘𝑥))(𝑎‘𝑥))))))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	fucval 17897	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑄 = {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝐶 Nat 𝐷)⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩})
11		catstr 17896	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝐶 Nat 𝐷)⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩} Struct ⟨1, ;15⟩
12		baseid 17151	. . . 4 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
13		snsstp1 4774	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝐶 Nat 𝐷)⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩}
14		ovexd 7403	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) ∈ V)
15		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
16	10, 11, 12, 13, 14, 15	strfv3 17143	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (Base‘𝑄) = (𝐶 Func 𝐷))
17	16	eqcomd 2743	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄))
18		base0 17153	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
19		funcrcl 17799	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
20	19	con3i 154	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
21	20	eq0rdv 4361	. . 3 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) = ∅)
22		fnfuc 17884	. . . . . . 7 ⊢ FuncCat Fn (Cat × Cat)
23	22	fndmi 6604	. . . . . 6 ⊢ dom FuncCat = (Cat × Cat)
24	23	ndmov 7552	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 FuncCat 𝐷) = ∅)
25	1, 24	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑄 = ∅)
26	25	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (Base‘𝑄) = (Base‘∅))
27	18, 21, 26	3eqtr4a 2798	. 2 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄))
28	17, 27	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ∅c0 4287  {ctp 4586  ⟨cop 4588   × cxp 5630  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1c1 11039  5c5 12215  ;cdc 12619  ndxcnx 17132  Basecbs 17148  Hom chom 17200  compcco 17201  Catccat 17599   Func cfunc 17790   Nat cnat 17880   FuncCat cfuc 17881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-hom 17213  df-cco 17214  df-func 17794  df-fuc 17883

This theorem is referenced by:  fuccatid  17908  fucsect  17911  fucinv  17912  fuciso  17914  evlfcllem  18156  evlfcl  18157  curfcl  18167  uncf1  18171  uncf2  18172  curfuncf  18173  diag1cl  18177  curf2ndf  18182  yon1cl  18198  oyon1cl  18206  yonedalem21  18208  yonedalem22  18213  yonedalem3b  18214  yonedalem3  18215  yonedainv  18216  yonffthlem  18217  yoneda  18218  yoniso  18220  xpcfucbas  49605  xpcfuchom2  49608  xpcfucco2  49609  diag1f1  49660  fucoid  49701  fucofunc  49712  postcofval  49717  postcofcl  49718  precofval  49720  precofvalALT  49721  precofcl  49723  fucoppcco  49762  fucoppc  49763  oppfdiag1  49767  oppfdiag  49769  diagciso  49892  funcsn  49894  0fucterm  49896  termfucterm  49897  cofuterm  49898  lanval2  49980  ranval2  49983  ranval3  49984  lanrcl4  49987  ranrcl4  49992  lanup  49994  ranup  49995  lmdfval2  50008  cmdfval2  50009  islmd  50018  iscmd  50019  lmddu  50020  cmddu  50021  initocmd  50022  lmdran  50024  cmdlan  50025