MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fucbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fucbas 17225
Description: The objects of the functor category are functors from 𝐶 to 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fucbas.q 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fucbas (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄)

Proof of Theorem fucbas
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucbas.q . . . . 5 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2 eqid 2801 . . . . 5 (𝐶 Func 𝐷) = (𝐶 Func 𝐷)
3 eqid 2801 . . . . 5 (𝐶 Nat 𝐷) = (𝐶 Nat 𝐷)
4 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5 eqid 2801 . . . . 5 (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
6 simpl 486 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐶 ∈ Cat)
7 simpr 488 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐷 ∈ Cat)
8 eqid 2801 . . . . . 6 (comp‘𝑄) = (comp‘𝑄)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8fuccofval 17224 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (comp‘𝑄) = (𝑣 ∈ ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)), ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ (1st𝑣) / 𝑓(2nd𝑣) / 𝑔(𝑏 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)), 𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ ((𝑏𝑥)(⟨((1st𝑓)‘𝑥), ((1st𝑔)‘𝑥)⟩(comp‘𝐷)((1st)‘𝑥))(𝑎𝑥))))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9fucval 17223 . . . 4 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑄 = {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝐶 Nat 𝐷)⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩})
11 catstr 17222 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝐶 Nat 𝐷)⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩} Struct ⟨1, 15⟩
12 baseid 16538 . . . 4 Base = Slot (Base‘ndx)
13 snsstp1 4712 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝐶 Nat 𝐷)⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩}
14 ovexd 7174 . . . 4 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) ∈ V)
15 eqid 2801 . . . 4 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
1610, 11, 12, 13, 14, 15strfv3 16527 . . 3 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (Base‘𝑄) = (𝐶 Func 𝐷))
1716eqcomd 2807 . 2 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄))
18 base0 16531 . . 3 ∅ = (Base‘∅)
19 funcrcl 17128 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2019con3i 157 . . . 4 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
2120eq0rdv 4315 . . 3 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) = ∅)
22 fnfuc 17210 . . . . . . 7 FuncCat Fn (Cat × Cat)
2322fndmi 6430 . . . . . 6 dom FuncCat = (Cat × Cat)
2423ndmov 7316 . . . . 5 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 FuncCat 𝐷) = ∅)
251, 24syl5eq 2848 . . . 4 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑄 = ∅)
2625fveq2d 6653 . . 3 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (Base‘𝑄) = (Base‘∅))
2718, 21, 263eqtr4a 2862 . 2 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄))
2817, 27pm2.61i 185 1 (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  Vcvv 3444  c0 4246  {ctp 4532  cop 4534   × cxp 5521  cfv 6328  (class class class)co 7139  1c1 10531  5c5 11687  cdc 12090  ndxcnx 16475  Basecbs 16478  Hom chom 16571  compcco 16572  Catccat 16930   Func cfunc 17119   Nat cnat 17206   FuncCat cfuc 17207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-hom 16584  df-cco 16585  df-func 17123  df-fuc 17209
This theorem is referenced by:  fuccatid  17234  fucsect  17237  fucinv  17238  fuciso  17240  evlfcllem  17466  evlfcl  17467  curfcl  17477  uncf1  17481  uncf2  17482  curfuncf  17483  diag1cl  17487  curf2ndf  17492  yon1cl  17508  oyon1cl  17516  yonedalem21  17518  yonedalem22  17523  yonedalem3b  17524  yonedalem3  17525  yonedainv  17526  yonffthlem  17527  yoneda  17528  yoniso  17530
  Copyright terms: Public domain W3C validator