MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fucbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fucbas 17059
Description: The objects of the functor category are functors from 𝐶 to 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fucbas.q 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fucbas (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄)

Proof of Theorem fucbas
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucbas.q . . . . 5 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2 eqid 2794 . . . . 5 (𝐶 Func 𝐷) = (𝐶 Func 𝐷)
3 eqid 2794 . . . . 5 (𝐶 Nat 𝐷) = (𝐶 Nat 𝐷)
4 eqid 2794 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5 eqid 2794 . . . . 5 (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
6 simpl 483 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐶 ∈ Cat)
7 simpr 485 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐷 ∈ Cat)
8 eqid 2794 . . . . . 6 (comp‘𝑄) = (comp‘𝑄)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8fuccofval 17058 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (comp‘𝑄) = (𝑣 ∈ ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)), ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ (1st𝑣) / 𝑓(2nd𝑣) / 𝑔(𝑏 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)), 𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ ((𝑏𝑥)(⟨((1st𝑓)‘𝑥), ((1st𝑔)‘𝑥)⟩(comp‘𝐷)((1st)‘𝑥))(𝑎𝑥))))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9fucval 17057 . . . 4 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑄 = {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝐶 Nat 𝐷)⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩})
11 catstr 17056 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝐶 Nat 𝐷)⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩} Struct ⟨1, 15⟩
12 baseid 16372 . . . 4 Base = Slot (Base‘ndx)
13 snsstp1 4658 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝐶 Nat 𝐷)⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩}
14 ovexd 7053 . . . 4 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) ∈ V)
15 eqid 2794 . . . 4 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
1610, 11, 12, 13, 14, 15strfv3 16361 . . 3 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (Base‘𝑄) = (𝐶 Func 𝐷))
1716eqcomd 2800 . 2 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄))
18 base0 16365 . . 3 ∅ = (Base‘∅)
19 funcrcl 16962 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2019con3i 157 . . . 4 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
2120eq0rdv 4279 . . 3 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) = ∅)
22 fnfuc 17044 . . . . . . 7 FuncCat Fn (Cat × Cat)
23 fndm 6328 . . . . . . 7 ( FuncCat Fn (Cat × Cat) → dom FuncCat = (Cat × Cat))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . 6 dom FuncCat = (Cat × Cat)
2524ndmov 7191 . . . . 5 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 FuncCat 𝐷) = ∅)
261, 25syl5eq 2842 . . . 4 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑄 = ∅)
2726fveq2d 6545 . . 3 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (Base‘𝑄) = (Base‘∅))
2818, 21, 273eqtr4a 2856 . 2 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄))
2917, 28pm2.61i 183 1 (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 396   = wceq 1522  wcel 2080  Vcvv 3436  c0 4213  {ctp 4478  cop 4480   × cxp 5444  dom cdm 5446   Fn wfn 6223  cfv 6228  (class class class)co 7019  1c1 10387  5c5 11545  cdc 11948  ndxcnx 16309  Basecbs 16312  Hom chom 16405  compcco 16406  Catccat 16764   Func cfunc 16953   Nat cnat 17040   FuncCat cfuc 17041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-oadd 7960  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-z 11832  df-dec 11949  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-hom 16418  df-cco 16419  df-func 16957  df-fuc 17043
This theorem is referenced by:  fuccatid  17068  fucsect  17071  fucinv  17072  fuciso  17074  evlfcllem  17300  evlfcl  17301  curfcl  17311  uncf1  17315  uncf2  17316  curfuncf  17317  diag1cl  17321  curf2ndf  17326  yon1cl  17342  oyon1cl  17350  yonedalem21  17352  yonedalem22  17357  yonedalem3b  17358  yonedalem3  17359  yonedainv  17360  yonffthlem  17361  yoneda  17362  yoniso  17364
  Copyright terms: Public domain W3C validator