Theorem fucbas 17867

Description: The objects of the functor category are functors from 𝐶 to 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
fucbas.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fucbas	⊢ (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄)

Proof of Theorem fucbas

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 ℎ 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fucbas.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) = (𝐶 Func 𝐷)
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Nat 𝐷) = (𝐶 Nat 𝐷)
4		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
6		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐶 ∈ Cat)
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐷 ∈ Cat)
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝑄) = (comp‘𝑄)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	fuccofval 17866	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (comp‘𝑄) = (𝑣 ∈ ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)), ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ⦋(1st ‘𝑣) / 𝑓⦌⦋(2nd ‘𝑣) / 𝑔⦌(𝑏 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ), 𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ ((𝑏‘𝑥)(⟨((1st ‘𝑓)‘𝑥), ((1st ‘𝑔)‘𝑥)⟩(comp‘𝐷)((1st ‘ℎ)‘𝑥))(𝑎‘𝑥))))))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	fucval 17865	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑄 = {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝐶 Nat 𝐷)⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩})
11		catstr 17864	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝐶 Nat 𝐷)⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩} Struct ⟨1, ;15⟩
12		baseid 17120	. . . 4 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
13		snsstp1 4768	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝐶 Nat 𝐷)⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩}
14		ovexd 7381	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) ∈ V)
15		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
16	10, 11, 12, 13, 14, 15	strfv3 17112	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (Base‘𝑄) = (𝐶 Func 𝐷))
17	16	eqcomd 2737	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄))
18		base0 17122	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
19		funcrcl 17767	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
20	19	con3i 154	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
21	20	eq0rdv 4357	. . 3 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) = ∅)
22		fnfuc 17852	. . . . . . 7 ⊢ FuncCat Fn (Cat × Cat)
23	22	fndmi 6585	. . . . . 6 ⊢ dom FuncCat = (Cat × Cat)
24	23	ndmov 7530	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 FuncCat 𝐷) = ∅)
25	1, 24	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑄 = ∅)
26	25	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (Base‘𝑄) = (Base‘∅))
27	18, 21, 26	3eqtr4a 2792	. 2 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄))
28	17, 27	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4283  {ctp 4580  ⟨cop 4582   × cxp 5614  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1c1 11004  5c5 12180  ;cdc 12585  ndxcnx 17101  Basecbs 17117  Hom chom 17169  compcco 17170  Catccat 17567   Func cfunc 17758   Nat cnat 17848   FuncCat cfuc 17849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-hom 17182  df-cco 17183  df-func 17762  df-fuc 17851

This theorem is referenced by:  fuccatid  17876  fucsect  17879  fucinv  17880  fuciso  17882  evlfcllem  18124  evlfcl  18125  curfcl  18135  uncf1  18139  uncf2  18140  curfuncf  18141  diag1cl  18145  curf2ndf  18150  yon1cl  18166  oyon1cl  18174  yonedalem21  18176  yonedalem22  18181  yonedalem3b  18182  yonedalem3  18183  yonedainv  18184  yonffthlem  18185  yoneda  18186  yoniso  18188  xpcfucbas  49283  xpcfuchom2  49286  xpcfucco2  49287  diag1f1  49338  fucoid  49379  fucofunc  49390  postcofval  49395  postcofcl  49396  precofval  49398  precofvalALT  49399  precofcl  49401  fucoppcco  49440  fucoppc  49441  oppfdiag1  49445  oppfdiag  49447  diagciso  49570  funcsn  49572  0fucterm  49574  termfucterm  49575  cofuterm  49576  lanval2  49658  ranval2  49661  ranval3  49662  lanrcl4  49665  ranrcl4  49670  lanup  49672  ranup  49673  lmdfval2  49686  cmdfval2  49687  islmd  49696  iscmd  49697  lmddu  49698  cmddu  49699  initocmd  49700  lmdran  49702  cmdlan  49703