Theorem fucbas 18143

Description: The objects of the functor category are functors from 𝐶 to 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
fucbas.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fucbas	⊢ (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄)

Proof of Theorem fucbas

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 ℎ 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fucbas.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) = (𝐶 Func 𝐷)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Nat 𝐷) = (𝐶 Nat 𝐷)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
6		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐶 ∈ Cat)
7		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐷 ∈ Cat)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝑄) = (comp‘𝑄)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	fuccofval 18142	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (comp‘𝑄) = (𝑣 ∈ ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)), ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ⦋(1st ‘𝑣) / 𝑓⦌⦋(2nd ‘𝑣) / 𝑔⦌(𝑏 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ), 𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ ((𝑏‘𝑥)(⟨((1st ‘𝑓)‘𝑥), ((1st ‘𝑔)‘𝑥)⟩(comp‘𝐷)((1st ‘ℎ)‘𝑥))(𝑎‘𝑥))))))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	fucval 18141	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑄 = {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝐶 Nat 𝐷)⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩})
11		catstr 18140	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝐶 Nat 𝐷)⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩} Struct ⟨1, ;15⟩
12		baseid 17395	. . . 4 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
13		snsstp1 4771	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝐶 Nat 𝐷)⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩}
14		ovexd 7455	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) ∈ V)
15		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
16	10, 11, 12, 13, 14, 15	strfv3 17387	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (Base‘𝑄) = (𝐶 Func 𝐷))
17	16	eqcomd 2766	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄))
18		base0 17397	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
19		funcrcl 18043	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
20	19	con3i 155	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
21	20	eq0rdv 4364	. . 3 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) = ∅)
22		fnfuc 18128	. . . . . . 7 ⊢ FuncCat Fn (Cat × Cat)
23	22	fndmi 6643	. . . . . 6 ⊢ dom FuncCat = (Cat × Cat)
24	23	ndmov 7605	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 FuncCat 𝐷) = ∅)
25	1, 24	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑄 = ∅)
26	25	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (Base‘𝑄) = (Base‘∅))
27	18, 21, 26	3eqtr4a 2821	. 2 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄))
28	17, 27	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4278  {ctp 4588  ⟨cop 4834   × cxp 5648  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11204  5c5 12403  ;cdc 12817  ndxcnx 17376  Basecbs 17392  Hom chom 17444  compcco 17445  Catccat 17843   Func cfunc 18034   Nat cnat 18124   FuncCat cfuc 18125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-hom 17457  df-cco 17458  df-func 18038  df-fuc 18127

This theorem is used by:  fuccatid  18152  fucsect  18155  fucinv  18156  fuciso  18158  evlfcllem  18400  evlfcl  18401  curfcl  18411  uncf1  18415  uncf2  18416  curfuncf  18417  diag1cl  18421  curf2ndf  18426  yon1cl  18442  oyon1cl  18450  yonedalem21  18452  yonedalem22  18457  yonedalem3b  18458  yonedalem3  18459  yonedainv  18460  yonffthlem  18461  yoneda  18462  yoniso  18464  xpcfucbas  50467  xpcfuchom2  50470  xpcfucco2  50471  diag1f1  50522  fucoid  50563  fucofunc  50574  fucoisfunc  50580  fucoaltfunc  50584  fucoaltvallem  50585  postcofval  50589  postcofcl  50590  precofval  50595  precofvalALT  50596  precofcl  50598  fucoppcco  50637  fucoppc  50638  oppfdiag1  50642  oppfdiag  50644  diagciso  50770  funcsn  50772  0fucterm  50774  termfucterm  50775  cofuterm  50776  lanval2  50903  ranval2  50906  ranval3  50907  lanrcl4  50910  ranrcl4  50915  lanup  50917  ranup  50918  lmdfval2  50931  cmdfval2  50932  islmd  50941  iscmd  50942  lmddu  50943  cmddu  50944  initocmd  50945  lmdran  50947  cmdlan  50948