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Theorem fta1g 26023
Description: The one-sided fundamental theorem of algebra. A polynomial of degree 𝑛 has at most 𝑛 roots. Unlike the real fundamental theorem fta 26925, which is only true in β„‚ and other algebraically closed fields, this is true in any integral domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1g.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
fta1g.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
fta1g.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
fta1g.o 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
fta1g.w π‘Š = (0gβ€˜π‘…)
fta1g.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
fta1g.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
fta1g.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
fta1g.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
fta1g (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜πΉ) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜πΉ))

Proof of Theorem fta1g
Dummy variables 𝑓 𝑑 𝑔 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . 2 (π·β€˜πΉ) = (π·β€˜πΉ)
2 fveqeq2 6900 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((π·β€˜π‘“) = (π·β€˜πΉ) ↔ (π·β€˜πΉ) = (π·β€˜πΉ)))
3 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘‚β€˜π‘“) = (π‘‚β€˜πΉ))
43cnveqd 5875 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ β—‘(π‘‚β€˜π‘“) = β—‘(π‘‚β€˜πΉ))
54imaeq1d 6058 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) = (β—‘(π‘‚β€˜πΉ) β€œ {π‘Š}))
65fveq2d 6895 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) = (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜πΉ) β€œ {π‘Š})))
7 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π·β€˜π‘“) = (π·β€˜πΉ))
86, 7breq12d 5161 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“) ↔ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜πΉ) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜πΉ)))
92, 8imbi12d 344 . . 3 (𝑓 = 𝐹 β†’ (((π·β€˜π‘“) = (π·β€˜πΉ) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)) ↔ ((π·β€˜πΉ) = (π·β€˜πΉ) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜πΉ) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜πΉ))))
10 fta1g.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
11 isidom 21211 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
1211simplbi 497 . . . . . 6 (𝑅 ∈ IDomn β†’ 𝑅 ∈ CRing)
13 crngring 20146 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1410, 12, 133syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15 fta1g.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
16 fta1g.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0 )
17 fta1g.d . . . . . 6 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
18 fta1g.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
19 fta1g.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
20 fta1g.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2117, 18, 19, 20deg1nn0cl 25944 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0)
2214, 15, 16, 21syl3anc 1370 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0)
23 eqeq2 2743 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ ((π·β€˜π‘“) = π‘₯ ↔ (π·β€˜π‘“) = 0))
2423imbi1d 341 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (((π·β€˜π‘“) = π‘₯ β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)) ↔ ((π·β€˜π‘“) = 0 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))))
2524ralbidv 3176 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = π‘₯ β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = 0 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))))
2625imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ ((𝑅 ∈ IDomn β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = π‘₯ β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))) ↔ (𝑅 ∈ IDomn β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = 0 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)))))
27 eqeq2 2743 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((π·β€˜π‘“) = π‘₯ ↔ (π·β€˜π‘“) = 𝑑))
2827imbi1d 341 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (((π·β€˜π‘“) = π‘₯ β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)) ↔ ((π·β€˜π‘“) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))))
2928ralbidv 3176 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = π‘₯ β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))))
3029imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((𝑅 ∈ IDomn β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = π‘₯ β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))) ↔ (𝑅 ∈ IDomn β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)))))
31 eqeq2 2743 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑑 + 1) β†’ ((π·β€˜π‘“) = π‘₯ ↔ (π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1)))
3231imbi1d 341 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑑 + 1) β†’ (((π·β€˜π‘“) = π‘₯ β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)) ↔ ((π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))))
3332ralbidv 3176 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑑 + 1) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = π‘₯ β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))))
3433imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑑 + 1) β†’ ((𝑅 ∈ IDomn β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = π‘₯ β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))) ↔ (𝑅 ∈ IDomn β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)))))
35 eqeq2 2743 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π·β€˜πΉ) β†’ ((π·β€˜π‘“) = π‘₯ ↔ (π·β€˜π‘“) = (π·β€˜πΉ)))
3635imbi1d 341 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π·β€˜πΉ) β†’ (((π·β€˜π‘“) = π‘₯ β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)) ↔ ((π·β€˜π‘“) = (π·β€˜πΉ) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))))
3736ralbidv 3176 . . . . . 6 (π‘₯ = (π·β€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = π‘₯ β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = (π·β€˜πΉ) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))))
3837imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = (π·β€˜πΉ) β†’ ((𝑅 ∈ IDomn β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = π‘₯ β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))) ↔ (𝑅 ∈ IDomn β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = (π·β€˜πΉ) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)))))
39 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) β†’ (π·β€˜π‘“) = 0)
40 0nn0 12494 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ β„•0
4139, 40eqeltrdi 2840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) β†’ (π·β€˜π‘“) ∈ β„•0)
4212, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ IDomn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
43 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
4417, 18, 19, 20deg1nn0clb 25946 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (𝑓 β‰  0 ↔ (π·β€˜π‘“) ∈ β„•0))
4542, 43, 44syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) β†’ (𝑓 β‰  0 ↔ (π·β€˜π‘“) ∈ β„•0))
4641, 45mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) β†’ 𝑓 β‰  0 )
47 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) β†’ (π·β€˜π‘“) = 0)
48 0le0 12320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≀ 0
4947, 48eqbrtrdi 5187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) β†’ (π·β€˜π‘“) ≀ 0)
5042ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
51 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
52 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
5317, 18, 20, 52deg1le0 25967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜π‘“) ≀ 0 ↔ 𝑓 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜π‘“)β€˜0))))
5450, 51, 53syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) β†’ ((π·β€˜π‘“) ≀ 0 ↔ 𝑓 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜π‘“)β€˜0))))
5549, 54mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) β†’ 𝑓 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜π‘“)β€˜0)))
5655fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) β†’ (π‘‚β€˜π‘“) = (π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜π‘“)β€˜0))))
5712adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
59 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (coe1β€˜π‘“) = (coe1β€˜π‘“)
60 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
6159, 20, 18, 60coe1f 22054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜π‘“):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
6251, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) β†’ (coe1β€˜π‘“):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
63 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((coe1β€˜π‘“):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜π‘“)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6462, 40, 63sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) β†’ ((coe1β€˜π‘“)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
65 fta1g.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
6665, 18, 60, 52evl1sca 22173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((coe1β€˜π‘“)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜π‘“)β€˜0))) = ((Baseβ€˜π‘…) Γ— {((coe1β€˜π‘“)β€˜0)}))
6758, 64, 66syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) β†’ (π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜π‘“)β€˜0))) = ((Baseβ€˜π‘…) Γ— {((coe1β€˜π‘“)β€˜0)}))
6856, 67eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) β†’ (π‘‚β€˜π‘“) = ((Baseβ€˜π‘…) Γ— {((coe1β€˜π‘“)β€˜0)}))
6968fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) β†’ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π‘₯) = (((Baseβ€˜π‘…) Γ— {((coe1β€˜π‘“)β€˜0)})β€˜π‘₯))
70 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…)) = (𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))
71 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))) = (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…)))
72 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
73 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
7465, 18, 70, 60evl1rhm 22171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))))
7520, 71rhmf 20383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))) β†’ 𝑂:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))))
7657, 74, 753syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) β†’ 𝑂:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))))
77 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
7876, 77ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) β†’ (π‘‚β€˜π‘“) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))))
7970, 60, 71, 72, 73, 78pwselbas 17442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) β†’ (π‘‚β€˜π‘“):(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘…))
80 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘‚β€˜π‘“):(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘…) β†’ (π‘‚β€˜π‘“) Fn (Baseβ€˜π‘…))
81 fniniseg 7061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘‚β€˜π‘“) Fn (Baseβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π‘₯) = π‘Š)))
8279, 80, 813syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π‘₯) = π‘Š)))
8382simplbda 499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) β†’ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π‘₯) = π‘Š)
8482simprbda 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
85 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((coe1β€˜π‘“)β€˜0) ∈ V
8685fvconst2 7207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ (((Baseβ€˜π‘…) Γ— {((coe1β€˜π‘“)β€˜0)})β€˜π‘₯) = ((coe1β€˜π‘“)β€˜0))
8784, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) β†’ (((Baseβ€˜π‘…) Γ— {((coe1β€˜π‘“)β€˜0)})β€˜π‘₯) = ((coe1β€˜π‘“)β€˜0))
8869, 83, 873eqtr3rd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) β†’ ((coe1β€˜π‘“)β€˜0) = π‘Š)
8988fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜π‘“)β€˜0)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘Š))
90 fta1g.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π‘Š = (0gβ€˜π‘…)
9118, 52, 90, 19ply1scl0 22132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘Š) = 0 )
9250, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘Š) = 0 )
9355, 89, 923eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) β†’ 𝑓 = 0 )
9493ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) β†’ 𝑓 = 0 ))
9594necon3ad 2952 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) β†’ (𝑓 β‰  0 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})))
9646, 95mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}))
9796eq0rdv 4404 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) β†’ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) = βˆ…)
9897fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) = (β™―β€˜βˆ…))
99 hash0 14334 . . . . . . . . 9 (β™―β€˜βˆ…) = 0
10098, 99eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) = 0)
10148, 39breqtrrid 5186 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) β†’ 0 ≀ (π·β€˜π‘“))
102100, 101eqbrtrd 5170 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = 0)) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))
103102expr 456 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜π‘“) = 0 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)))
104103ralrimiva 3145 . . . . 5 (𝑅 ∈ IDomn β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = 0 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)))
105 fveqeq2 6900 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑔 β†’ ((π·β€˜π‘“) = 𝑑 ↔ (π·β€˜π‘”) = 𝑑))
106 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑔 β†’ (π‘‚β€˜π‘“) = (π‘‚β€˜π‘”))
107106cnveqd 5875 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝑔 β†’ β—‘(π‘‚β€˜π‘“) = β—‘(π‘‚β€˜π‘”))
108107imaeq1d 6058 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝑔 β†’ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) = (β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š}))
109108fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑔 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) = (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š})))
110 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑔 β†’ (π·β€˜π‘“) = (π·β€˜π‘”))
111109, 110breq12d 5161 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑔 β†’ ((β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“) ↔ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘”)))
112105, 111imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑔 β†’ (((π·β€˜π‘“) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)) ↔ ((π·β€˜π‘”) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘”))))
113112cbvralvw 3233 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)) ↔ βˆ€π‘” ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘”) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘”)))
114 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1))) β†’ (π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1))
115 peano2nn0 12519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ β„•0 β†’ (𝑑 + 1) ∈ β„•0)
116115ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1))) β†’ (𝑑 + 1) ∈ β„•0)
117114, 116eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1))) β†’ (π·β€˜π‘“) ∈ β„•0)
118117nn0ge0d 12542 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1))) β†’ 0 ≀ (π·β€˜π‘“))
119 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) = βˆ… β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) = (β™―β€˜βˆ…))
120119, 99eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) = βˆ… β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) = 0)
121120breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) = βˆ… β†’ ((β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“) ↔ 0 ≀ (π·β€˜π‘“)))
122118, 121syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1))) β†’ ((β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) = βˆ… β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)))
123122a1dd 50 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1))) β†’ ((β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) = βˆ… β†’ (βˆ€π‘” ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘”) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘”)) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))))
124 n0 4346 . . . . . . . . . . . . 13 ((β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}))
125 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1))) ∧ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) ∧ βˆ€π‘” ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘”) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘”)))) β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
126 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1))) ∧ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) ∧ βˆ€π‘” ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘”) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘”)))) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
127 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (var1β€˜π‘…) = (var1β€˜π‘…)
128 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-gβ€˜π‘ƒ) = (-gβ€˜π‘ƒ)
129 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((var1β€˜π‘…)(-gβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘₯)) = ((var1β€˜π‘…)(-gβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘₯))
130 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1))) ∧ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) ∧ βˆ€π‘” ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘”) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘”)))) β†’ 𝑑 ∈ β„•0)
131 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1))) ∧ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) ∧ βˆ€π‘” ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘”) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘”)))) β†’ (π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1))
132 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1))) ∧ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) ∧ βˆ€π‘” ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘”) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘”)))) β†’ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}))
133 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1))) ∧ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) ∧ βˆ€π‘” ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘”) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘”)))) β†’ βˆ€π‘” ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘”) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘”)))
13418, 20, 17, 65, 90, 19, 125, 126, 60, 127, 128, 52, 129, 130, 131, 132, 133fta1glem2 26022 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1))) ∧ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) ∧ βˆ€π‘” ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘”) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘”)))) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))
135134exp32 420 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1))) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) β†’ (βˆ€π‘” ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘”) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘”)) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))))
136135exlimdv 1935 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1))) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) β†’ (βˆ€π‘” ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘”) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘”)) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))))
137124, 136biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1))) β†’ ((β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š}) β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘” ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘”) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘”)) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))))
138123, 137pm2.61dne 3027 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1))) β†’ (βˆ€π‘” ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘”) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘”)) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)))
139138expr 456 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1) β†’ (βˆ€π‘” ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘”) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘”)) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))))
140139com23 86 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘” ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘”) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘”)) β†’ ((π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))))
141140ralrimdva 3153 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘” ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘”) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘”) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘”)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))))
142113, 141biimtrid 241 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑑 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))))
143142expcom 413 . . . . . 6 (𝑑 ∈ β„•0 β†’ (𝑅 ∈ IDomn β†’ (βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)))))
144143a2d 29 . . . . 5 (𝑑 ∈ β„•0 β†’ ((𝑅 ∈ IDomn β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = 𝑑 β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))) β†’ (𝑅 ∈ IDomn β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = (𝑑 + 1) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)))))
14526, 30, 34, 38, 104, 144nn0ind 12664 . . . 4 ((π·β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (𝑅 ∈ IDomn β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = (π·β€˜πΉ) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“))))
14622, 10, 145sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 ((π·β€˜π‘“) = (π·β€˜πΉ) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜π‘“)))
1479, 146, 15rspcdva 3613 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) = (π·β€˜πΉ) β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜πΉ) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜πΉ)))
1481, 147mpi 20 1 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(β—‘(π‘‚β€˜πΉ) β€œ {π‘Š})) ≀ (π·β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473  βˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   ≀ cle 11256  β„•0cn0 12479  β™―chash 14297  Basecbs 17151  0gc0g 17392   ↑s cpws 17399  -gcsg 18863  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135   RingHom crh 20367  Domncdomn 21185  IDomncidom 21186  algSccascl 21717  var1cv1 22019  Poly1cpl1 22020  coe1cco1 22021  eval1ce1 22153   deg1 cdg1 25907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-srg 20088  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-rhm 20370  df-nzr 20411  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-rlreg 21188  df-domn 21189  df-idom 21190  df-cnfld 21234  df-assa 21718  df-asp 21719  df-ascl 21720  df-psr 21772  df-mvr 21773  df-mpl 21774  df-opsr 21776  df-evls 21946  df-evl 21947  df-psr1 22023  df-vr1 22024  df-ply1 22025  df-coe1 22026  df-evl1 22155  df-mdeg 25908  df-deg1 25909  df-mon1 25986  df-uc1p 25987  df-q1p 25988  df-r1p 25989
This theorem is referenced by:  fta1b  26025  lgsqrlem4  27195  idomrootle  42400
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