Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fuchom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fuchom 17243
 Description: The morphisms in the functor category are natural transformations. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fucbas.q 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fuchom.n 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fuchom 𝑁 = (Hom ‘𝑄)

Proof of Theorem fuchom
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucbas.q . . . . 5 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2 eqid 2798 . . . . 5 (𝐶 Func 𝐷) = (𝐶 Func 𝐷)
3 fuchom.n . . . . 5 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
4 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5 eqid 2798 . . . . 5 (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
6 simpl 486 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐶 ∈ Cat)
7 simpr 488 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐷 ∈ Cat)
8 eqid 2798 . . . . . 6 (comp‘𝑄) = (comp‘𝑄)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8fuccofval 17241 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (comp‘𝑄) = (𝑣 ∈ ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)), ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ (1st𝑣) / 𝑓(2nd𝑣) / 𝑔(𝑏 ∈ (𝑔𝑁), 𝑎 ∈ (𝑓𝑁𝑔) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ ((𝑏𝑥)(⟨((1st𝑓)‘𝑥), ((1st𝑔)‘𝑥)⟩(comp‘𝐷)((1st)‘𝑥))(𝑎𝑥))))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9fucval 17240 . . . 4 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑄 = {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝑁⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩})
11 catstr 17239 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝑁⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩} Struct ⟨1, 15⟩
12 homid 16700 . . . 4 Hom = Slot (Hom ‘ndx)
13 snsstp2 4713 . . . 4 {⟨(Hom ‘ndx), 𝑁⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝑁⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩}
143ovexi 7179 . . . . 5 𝑁 ∈ V
1514a1i 11 . . . 4 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 ∈ V)
16 eqid 2798 . . . 4 (Hom ‘𝑄) = (Hom ‘𝑄)
1710, 11, 12, 13, 15, 16strfv3 16544 . . 3 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (Hom ‘𝑄) = 𝑁)
1817eqcomd 2804 . 2 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 = (Hom ‘𝑄))
19 df-hom 16601 . . . 4 Hom = Slot 14
2019str0 16547 . . 3 ∅ = (Hom ‘∅)
213natffn 17231 . . . . 5 𝑁 Fn ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷))
22 funcrcl 17145 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2322con3i 157 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
2423eq0rdv 4315 . . . . . . . 8 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) = ∅)
2524xpeq2d 5553 . . . . . . 7 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)) = ((𝐶 Func 𝐷) × ∅))
26 xp0 5986 . . . . . . 7 ((𝐶 Func 𝐷) × ∅) = ∅
2725, 26eqtrdi 2849 . . . . . 6 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)) = ∅)
2827fneq2d 6425 . . . . 5 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝑁 Fn ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)) ↔ 𝑁 Fn ∅))
2921, 28mpbii 236 . . . 4 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 Fn ∅)
30 fn0 6459 . . . 4 (𝑁 Fn ∅ ↔ 𝑁 = ∅)
3129, 30sylib 221 . . 3 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 = ∅)
32 fnfuc 17227 . . . . . . 7 FuncCat Fn (Cat × Cat)
3332fndmi 6434 . . . . . 6 dom FuncCat = (Cat × Cat)
3433ndmov 7323 . . . . 5 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 FuncCat 𝐷) = ∅)
351, 34syl5eq 2845 . . . 4 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑄 = ∅)
3635fveq2d 6659 . . 3 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (Hom ‘𝑄) = (Hom ‘∅))
3720, 31, 363eqtr4a 2859 . 2 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 = (Hom ‘𝑄))
3818, 37pm2.61i 185 1 𝑁 = (Hom ‘𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3442  ∅c0 4246  {ctp 4532  ⟨cop 4534   × cxp 5521   Fn wfn 6327  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  1c1 10545  4c4 11700  5c5 11701  ;cdc 12106  ndxcnx 16492  Basecbs 16495  Hom chom 16588  compcco 16589  Catccat 16947   Func cfunc 17136   Nat cnat 17223   FuncCat cfuc 17224 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-fz 12906  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-hom 16601  df-cco 16602  df-func 17140  df-nat 17225  df-fuc 17226 This theorem is referenced by:  fuccatid  17251  fucsect  17254  fuciso  17257  evlfcllem  17483  evlfcl  17484  curfcl  17494  uncf2  17499  curfuncf  17500  diag2cl  17508  curf2ndf  17509  yonedalem21  17535  yonedalem22  17540  yonedalem3b  17541  yonedalem3  17542  yonffthlem  17544
 Copyright terms: Public domain W3C validator