Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hausflim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hausflim 22593
 Description: A condition for a topology to be Hausdorff in terms of filters. A topology is Hausdorff iff every filter has at most one limit point. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flimcf.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
hausflim (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐽   𝑓,𝑋,𝑥

Proof of Theorem hausflim
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 21943 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
2 hausflimi 22592 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
32ralrimivw 3150 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
41, 3jca 515 . 2 (𝐽 ∈ Haus → (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
5 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝐽 ∈ Top)
6 flimcf.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑋 = 𝐽
76toptopon 21529 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
85, 7sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝑧𝑋)
109snssd 4702 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → {𝑧} ⊆ 𝑋)
11 snnzg 4670 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋 → {𝑧} ≠ ∅)
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → {𝑧} ≠ ∅)
13 neifil 22492 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ {𝑧} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑧} ≠ ∅) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (Fil‘𝑋))
148, 10, 12, 13syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (Fil‘𝑋))
15 filfbas 22460 . . . . . . . . . . . 12 (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (Fil‘𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (fBas‘𝑋))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (fBas‘𝑋))
17 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝑤𝑋)
1817snssd 4702 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → {𝑤} ⊆ 𝑋)
19 snnzg 4670 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝑋 → {𝑤} ≠ ∅)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → {𝑤} ≠ ∅)
21 neifil 22492 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ {𝑤} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑤} ≠ ∅) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (Fil‘𝑋))
228, 18, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (Fil‘𝑋))
23 filfbas 22460 . . . . . . . . . . . 12 (((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (Fil‘𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (fBas‘𝑋))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (fBas‘𝑋))
25 fbunfip 22481 . . . . . . . . . . 11 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (fBas‘𝑋)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ↔ ∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅))
2616, 24, 25syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ↔ ∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅))
276neisspw 21719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ Top → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ 𝒫 𝑋)
286neisspw 21719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ Top → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ⊆ 𝒫 𝑋)
2927, 28unssd 4113 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋)
3029adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋)
3130a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋))
32 ssun1 4099 . . . . . . . . . . . . . 14 ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))
33 filn0 22474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (Fil‘𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ≠ ∅)
3414, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ≠ ∅)
35 ssn0 4308 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ≠ ∅) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅)
3632, 34, 35sylancr 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅)
3736a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅))
38 idd 24 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
3931, 37, 383jcad 1126 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
406topopn 21518 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
4140adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝑋𝐽)
42 fsubbas 22479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐽 → ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
44 fgcl 22490 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋))
4544adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋))
46 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑧𝑤)
479adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑧𝑋)
4817adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑤𝑋)
49 fvex 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ V
50 fvex 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ V
5149, 50unex 7451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ∈ V
52 ssfii 8869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ∈ V → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))
54 ssfg 22484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
5554adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
5653, 55sstrid 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
5732, 56sstrid 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
588adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
59 elflim 22583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ (𝑧𝑋 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6058, 45, 59syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ (𝑧𝑋 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6147, 57, 60mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
6256unssbd 4115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
63 elflim 22583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ (𝑤𝑋 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6458, 45, 63syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ (𝑤𝑋 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6548, 62, 64mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
66 eleq1w 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ 𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
67 eleq1w 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6866, 67moi 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))) → 𝑧 = 𝑤)
69683com23 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))) → 𝑧 = 𝑤)
70693expia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))) → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) → 𝑧 = 𝑤))
7147, 48, 61, 65, 70syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) → 𝑧 = 𝑤))
7271necon3ad 3000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑧𝑤 → ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
7346, 72mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
74 oveq2 7143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → (𝐽 fLim 𝑓) = (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
7574eleq2d 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
7675mobidv 2608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
7776notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → (¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
7877rspcev 3571 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
7945, 73, 78syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
8079ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
8143, 80sylbird 263 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
8239, 81syld 47 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
8326, 82sylbird 263 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
84 df-ne 2988 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑢𝑣) = ∅)
8584ralbii 3133 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ¬ (𝑢𝑣) = ∅)
86 ralnex 3199 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ¬ (𝑢𝑣) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
8785, 86bitri 278 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
8887ralbii 3133 . . . . . . . . . 10 (∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ¬ ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
89 ralnex 3199 . . . . . . . . . 10 (∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ¬ ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
9088, 89bitri 278 . . . . . . . . 9 (∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
91 rexnal 3201 . . . . . . . . 9 (∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
9283, 90, 913imtr3g 298 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅ → ¬ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
9392con4d 115 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅))
9493imp 410 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
9594an32s 651 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
9695expr 460 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑧𝑤 → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅))
9796ralrimivva 3156 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝑧𝑤 → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅))
98 simpl 486 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐽 ∈ Top)
9998, 7sylib 221 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
100 hausnei2 21965 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝑧𝑤 → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)))
10199, 100syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝑧𝑤 → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)))
10297, 101mpbird 260 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐽 ∈ Haus)
1034, 102impbii 212 1 (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃*wmo 2596   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497  {csn 4525  ∪ cuni 4800  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ficfi 8860  fBascfbas 20082  filGencfg 20083  Topctop 21505  TopOnctopon 21522  neicnei 21709  Hauscha 21920  Filcfil 22457   fLim cflim 22546 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-fin 8498  df-fi 8861  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-top 21506  df-topon 21523  df-nei 21710  df-haus 21927  df-fil 22458  df-flim 22551 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator