MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hausflim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hausflim 24005
Description: A condition for a topology to be Hausdorff in terms of filters. A topology is Hausdorff iff every filter has at most one limit point. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flimcf.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
hausflim (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐽   𝑓,𝑋,𝑥

Proof of Theorem hausflim
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 23355 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
2 hausflimi 24004 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
32ralrimivw 3148 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
41, 3jca 511 . 2 (𝐽 ∈ Haus → (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
5 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝐽 ∈ Top)
6 flimcf.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑋 = 𝐽
76toptopon 22939 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
85, 7sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9 simprll 779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝑧𝑋)
109snssd 4814 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → {𝑧} ⊆ 𝑋)
119snn0d 4780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → {𝑧} ≠ ∅)
12 neifil 23904 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ {𝑧} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑧} ≠ ∅) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (Fil‘𝑋))
138, 10, 11, 12syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (Fil‘𝑋))
14 filfbas 23872 . . . . . . . . . . . 12 (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (Fil‘𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (fBas‘𝑋))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (fBas‘𝑋))
16 simprlr 780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝑤𝑋)
1716snssd 4814 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → {𝑤} ⊆ 𝑋)
1816snn0d 4780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → {𝑤} ≠ ∅)
19 neifil 23904 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ {𝑤} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑤} ≠ ∅) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (Fil‘𝑋))
208, 17, 18, 19syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (Fil‘𝑋))
21 filfbas 23872 . . . . . . . . . . . 12 (((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (Fil‘𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (fBas‘𝑋))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (fBas‘𝑋))
23 fbunfip 23893 . . . . . . . . . . 11 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (fBas‘𝑋)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ↔ ∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅))
2415, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ↔ ∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅))
256neisspw 23131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ Top → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ 𝒫 𝑋)
266neisspw 23131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ Top → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ⊆ 𝒫 𝑋)
2725, 26unssd 4202 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋)
2827adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋)
2928a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋))
30 ssun1 4188 . . . . . . . . . . . . . 14 ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))
31 filn0 23886 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (Fil‘𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ≠ ∅)
3213, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ≠ ∅)
33 ssn0 4410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ≠ ∅) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅)
3430, 32, 33sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅)
3534a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅))
36 idd 24 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
3729, 35, 363jcad 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
386topopn 22928 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝑋𝐽)
40 fsubbas 23891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐽 → ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
42 fgcl 23902 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋))
4342adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋))
44 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑧𝑤)
459adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑧𝑋)
4616adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑤𝑋)
47 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ V
48 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ V
4947, 48unex 7763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ∈ V
50 ssfii 9457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ∈ V → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))
52 ssfg 23896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
5451, 53sstrid 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
5530, 54sstrid 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
568adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
57 elflim 23995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ (𝑧𝑋 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
5856, 43, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ (𝑧𝑋 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
5945, 55, 58mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
6054unssbd 4204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
61 elflim 23995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ (𝑤𝑋 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6256, 43, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ (𝑤𝑋 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6346, 60, 62mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
64 eleq1w 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ 𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
65 eleq1w 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6664, 65moi 3727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))) → 𝑧 = 𝑤)
67663com23 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))) → 𝑧 = 𝑤)
68673expia 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))) → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) → 𝑧 = 𝑤))
6945, 46, 59, 63, 68syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) → 𝑧 = 𝑤))
7069necon3ad 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑧𝑤 → ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
7144, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
72 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → (𝐽 fLim 𝑓) = (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
7372eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
7473mobidv 2547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
7574notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → (¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
7675rspcev 3622 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
7743, 71, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
7877ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
7941, 78sylbird 260 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
8037, 79syld 47 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
8124, 80sylbird 260 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
82 df-ne 2939 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑢𝑣) = ∅)
8382ralbii 3091 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ¬ (𝑢𝑣) = ∅)
84 ralnex 3070 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ¬ (𝑢𝑣) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
8583, 84bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
8685ralbii 3091 . . . . . . . . . 10 (∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ¬ ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
87 ralnex 3070 . . . . . . . . . 10 (∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ¬ ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
8886, 87bitri 275 . . . . . . . . 9 (∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
89 rexnal 3098 . . . . . . . . 9 (∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
9081, 88, 893imtr3g 295 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅ → ¬ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
9190con4d 115 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅))
9291imp 406 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
9392an32s 652 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
9493expr 456 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑧𝑤 → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅))
9594ralrimivva 3200 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝑧𝑤 → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅))
96 simpl 482 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐽 ∈ Top)
9796, 7sylib 218 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
98 hausnei2 23377 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝑧𝑤 → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)))
9997, 98syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝑧𝑤 → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)))
10095, 99mpbird 257 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐽 ∈ Haus)
1014, 100impbii 209 1 (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  ∃*wmo 2536  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   cuni 4912  cfv 6563  (class class class)co 7431  ficfi 9448  fBascfbas 21370  filGencfg 21371  Topctop 22915  TopOnctopon 22932  neicnei 23121  Hauscha 23332  Filcfil 23869   fLim cflim 23958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1o 8505  df-2o 8506  df-en 8985  df-fin 8988  df-fi 9449  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-nei 23122  df-haus 23339  df-fil 23870  df-flim 23963
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator