MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hausflim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hausflim 22006
Description: A condition for a topology to be Hausdorff in terms of filters. A topology is Hausdorff iff every filter has at most one limit point. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flimcf.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
hausflim (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐽   𝑓,𝑋,𝑥

Proof of Theorem hausflim
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 21357 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
2 hausflimi 22005 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
32ralrimivw 3166 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
41, 3jca 503 . 2 (𝐽 ∈ Haus → (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
5 simpl 470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝐽 ∈ Top)
6 flimcf.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑋 = 𝐽
76toptopon 20943 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
85, 7sylib 209 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9 simprll 788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝑧𝑋)
109snssd 4541 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → {𝑧} ⊆ 𝑋)
11 snnzg 4509 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋 → {𝑧} ≠ ∅)
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → {𝑧} ≠ ∅)
13 neifil 21905 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ {𝑧} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑧} ≠ ∅) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (Fil‘𝑋))
148, 10, 12, 13syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (Fil‘𝑋))
15 filfbas 21873 . . . . . . . . . . . 12 (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (Fil‘𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (fBas‘𝑋))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (fBas‘𝑋))
17 simprlr 789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝑤𝑋)
1817snssd 4541 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → {𝑤} ⊆ 𝑋)
19 snnzg 4509 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝑋 → {𝑤} ≠ ∅)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → {𝑤} ≠ ∅)
21 neifil 21905 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ {𝑤} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑤} ≠ ∅) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (Fil‘𝑋))
228, 18, 20, 21syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (Fil‘𝑋))
23 filfbas 21873 . . . . . . . . . . . 12 (((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (Fil‘𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (fBas‘𝑋))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (fBas‘𝑋))
25 fbunfip 21894 . . . . . . . . . . 11 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (fBas‘𝑋)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ↔ ∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅))
2616, 24, 25syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ↔ ∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅))
276neisspw 21133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ Top → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ 𝒫 𝑋)
286neisspw 21133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ Top → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ⊆ 𝒫 𝑋)
2927, 28unssd 3999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋)
3029adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋)
3130a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋))
32 ssun1 3986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))
33 filn0 21887 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (Fil‘𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ≠ ∅)
3414, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ≠ ∅)
35 ssn0 4185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ≠ ∅) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅)
3632, 34, 35sylancr 577 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅)
3736a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅))
38 idd 24 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
3931, 37, 383jcad 1152 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
406topopn 20932 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
4140adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝑋𝐽)
42 fsubbas 21892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐽 → ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
44 fgcl 21903 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋))
4544adantl 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋))
46 simplrr 787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑧𝑤)
479adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑧𝑋)
4817adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑤𝑋)
49 fvex 6428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ V
50 fvex 6428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ V
5149, 50unex 7193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ∈ V
52 ssfii 8571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ∈ V → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))
54 ssfg 21897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
5554adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
5653, 55syl5ss 3820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
5732, 56syl5ss 3820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
588adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
59 elflim 21996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ (𝑧𝑋 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6058, 45, 59syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ (𝑧𝑋 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6147, 57, 60mpbir2and 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
6256unssbd 4001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
63 elflim 21996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ (𝑤𝑋 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6458, 45, 63syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ (𝑤𝑋 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6548, 62, 64mpbir2and 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
66 eleq1w 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ 𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
67 eleq1w 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6866, 67moi 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))) → 𝑧 = 𝑤)
69683com23 1149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))) → 𝑧 = 𝑤)
70693expia 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))) → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) → 𝑧 = 𝑤))
7147, 48, 61, 65, 70syl22anc 858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) → 𝑧 = 𝑤))
7271necon3ad 3002 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑧𝑤 → ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
7346, 72mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
74 oveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → (𝐽 fLim 𝑓) = (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
7574eleq2d 2882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
7675mobidv 2636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
7776notbid 309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → (¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
7877rspcev 3513 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
7945, 73, 78syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
8079ex 399 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
8143, 80sylbird 251 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
8239, 81syld 47 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
8326, 82sylbird 251 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
84 df-ne 2990 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑢𝑣) = ∅)
8584ralbii 3179 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ¬ (𝑢𝑣) = ∅)
86 ralnex 3191 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ¬ (𝑢𝑣) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
8785, 86bitri 266 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
8887ralbii 3179 . . . . . . . . . 10 (∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ¬ ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
89 ralnex 3191 . . . . . . . . . 10 (∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ¬ ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
9088, 89bitri 266 . . . . . . . . 9 (∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
91 rexnal 3193 . . . . . . . . 9 (∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
9283, 90, 913imtr3g 286 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅ → ¬ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
9392con4d 115 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅))
9493imp 395 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
9594an32s 634 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
9695expr 446 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑧𝑤 → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅))
9796ralrimivva 3170 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝑧𝑤 → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅))
98 simpl 470 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐽 ∈ Top)
9998, 7sylib 209 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
100 hausnei2 21379 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝑧𝑤 → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)))
10199, 100syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝑧𝑤 → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)))
10297, 101mpbird 248 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐽 ∈ Haus)
1034, 102impbii 200 1 (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  ∃*wmo 2633  wne 2989  wral 3107  wrex 3108  Vcvv 3402  cun 3778  cin 3779  wss 3780  c0 4127  𝒫 cpw 4362  {csn 4381   cuni 4641  cfv 6108  (class class class)co 6881  ficfi 8562  fBascfbas 19949  filGencfg 19950  Topctop 20919  TopOnctopon 20936  neicnei 21123  Hauscha 21334  Filcfil 21870   fLim cflim 21959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4975  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-om 7303  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-oadd 7807  df-er 7986  df-en 8200  df-fin 8203  df-fi 8563  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-top 20920  df-topon 20937  df-nei 21124  df-haus 21341  df-fil 21871  df-flim 21964
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator