Theorem fnelnfp 7154

Description: Property of a non-fixed point of a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnelnfp	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑋))

Proof of Theorem fnelnfp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fndifnfp 7153	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑥})
2	1	eleq2d 2815	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑥}))
3		fveq2 6861	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
4		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
5	3, 4	neeq12d 2987	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑋))
6	5	elrab3 3663	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑥} ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑋))
7	2, 6	sylan9bb 509	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {crab 3408   ∖ cdif 3914   I cid 5535  dom cdm 5641   Fn wfn 6509  ‘cfv 6514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522

This theorem is referenced by:  f1omvdmvd  19380  f1omvdconj  19383  f1otrspeq  19384  pmtrfinv  19398  symggen  19407  psgnunilem1  19430  mdetdiaglem  22492  mdetralt  22502  mdetunilem7  22512  nfpconfp  32563  pmtrcnel  33053  pmtrcnel2  33054  pmtrcnelor  33055  cycpmrn  33107