Theorem fnelnfp 7196

Description: Property of a non-fixed point of a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnelnfp	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑋))

Proof of Theorem fnelnfp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fndifnfp 7195	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑥})
2	1	eleq2d 2824	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑥}))
3		fveq2 6906	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
4		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
5	3, 4	neeq12d 2999	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑋))
6	5	elrab3 3695	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑥} ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑋))
7	2, 6	sylan9bb 509	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  {crab 3432   ∖ cdif 3959   I cid 5581  dom cdm 5688   Fn wfn 6557  ‘cfv 6562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-fv 6570

This theorem is referenced by:  f1omvdmvd  19475  f1omvdconj  19478  f1otrspeq  19479  pmtrfinv  19493  symggen  19502  psgnunilem1  19525  mdetdiaglem  22619  mdetralt  22629  mdetunilem7  22639  nfpconfp  32648  pmtrcnel  33091  pmtrcnel2  33092  pmtrcnelor  33093  cycpmrn  33145