Theorem fnelnfp 7182

Description: Property of a non-fixed point of a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnelnfp	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑋))

Proof of Theorem fnelnfp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fndifnfp 7181	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑥})
2	1	eleq2d 2852	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑥}))
3		fveq2 6888	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
4		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
5	3, 4	neeq12d 3022	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑋))
6	5	elrab3 3654	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑥} ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑋))
7	2, 6	sylan9bb 519	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  {crab 3419   ∖ cdif 3905   I cid 5560  dom cdm 5666   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551

This theorem is used by:  f1omvdmvd  19544  f1omvdconj  19547  f1otrspeq  19548  pmtrfinv  19562  symggen  19571  psgnunilem1  19594  mdetdiaglem  22792  mdetralt  22802  mdetunilem7  22812  nfpconfp  33014  pmtrcnel  33440  pmtrcnel2  33441  pmtrcnelor  33442  cycpmrn  33494