Theorem fnelnfp 7157

Description: Property of a non-fixed point of a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnelnfp	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑋))

Proof of Theorem fnelnfp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fndifnfp 7156	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑥})
2	1	eleq2d 2847	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑥}))
3		fveq2 6863	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
4		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
5	3, 4	neeq12d 3017	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑋))
6	5	elrab3 3651	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑥} ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑋))
7	2, 6	sylan9bb 517	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  {crab 3413   ∖ cdif 3901   I cid 5539  dom cdm 5645   Fn wfn 6512  ‘cfv 6517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-fv 6525

This theorem is referenced by:  f1omvdmvd  19466  f1omvdconj  19469  f1otrspeq  19470  pmtrfinv  19484  symggen  19493  psgnunilem1  19516  mdetdiaglem  22638  mdetralt  22648  mdetunilem7  22658  nfpconfp  32784  pmtrcnel  33230  pmtrcnel2  33231  pmtrcnelor  33232  cycpmrn  33284