Theorem fnelnfp 7125

Description: Property of a non-fixed point of a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnelnfp	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑋))

Proof of Theorem fnelnfp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fndifnfp 7124	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑥})
2	1	eleq2d 2823	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑥}))
3		fveq2 6835	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
4		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
5	3, 4	neeq12d 2994	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑋))
6	5	elrab3 3648	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑥} ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑋))
7	2, 6	sylan9bb 509	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3400   ∖ cdif 3899   I cid 5519  dom cdm 5625   Fn wfn 6488  ‘cfv 6493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501

This theorem is referenced by:  f1omvdmvd  19376  f1omvdconj  19379  f1otrspeq  19380  pmtrfinv  19394  symggen  19403  psgnunilem1  19426  mdetdiaglem  22546  mdetralt  22556  mdetunilem7  22566  nfpconfp  32692  pmtrcnel  33152  pmtrcnel2  33153  pmtrcnelor  33154  cycpmrn  33206