MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1omvdconj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1omvdconj 19478
Description: Conjugation of a permutation takes the image of the moved subclass. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1omvdconj ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))

Proof of Theorem f1omvdconj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 4145 . . . . . 6 (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)
2 dmss 5915 . . . . . 6 ((((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ dom ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ dom ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)
4 dmcoss 5987 . . . . 5 dom ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ⊆ dom 𝐺
53, 4sstri 4004 . . . 4 dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ dom 𝐺
6 f1ocnv 6860 . . . . . 6 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴)
76adantl 481 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐺:𝐴1-1-onto𝐴)
8 f1odm 6852 . . . . 5 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 → dom 𝐺 = 𝐴)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → dom 𝐺 = 𝐴)
105, 9sseqtrid 4047 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝐴)
1110sselda 3994 . 2 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I )) → 𝑥𝐴)
12 imassrn 6090 . . . 4 (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ⊆ ran 𝐺
13 f1of 6848 . . . . . 6 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴𝐴)
1413adantl 481 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐺:𝐴𝐴)
1514frnd 6744 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ran 𝐺𝐴)
1612, 15sstrid 4006 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ⊆ 𝐴)
1716sselda 3994 . 2 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝑥𝐴)
18 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐹:𝐴𝐴)
19 fco 6760 . . . . . . 7 ((𝐺:𝐴𝐴𝐹:𝐴𝐴) → (𝐺𝐹):𝐴𝐴)
2014, 18, 19syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝐺𝐹):𝐴𝐴)
21 f1of 6848 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴𝐴)
227, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐺:𝐴𝐴)
23 fco 6760 . . . . . 6 (((𝐺𝐹):𝐴𝐴𝐺:𝐴𝐴) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺):𝐴𝐴)
2420, 22, 23syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺):𝐴𝐴)
2524ffnd 6737 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) Fn 𝐴)
26 fnelnfp 7196 . . . 4 ((((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ↔ (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 𝑥))
2725, 26sylan 580 . . 3 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ↔ (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 𝑥))
28 f1ofn 6849 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝐺 Fn 𝐴)
297, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐺 Fn 𝐴)
30 fvco2 7005 . . . . . . . 8 ((𝐺 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) = ((𝐺𝐹)‘(𝐺𝑥)))
3129, 30sylan 580 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) = ((𝐺𝐹)‘(𝐺𝑥)))
32 ffn 6736 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴𝐴𝐹 Fn 𝐴)
3332ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
34 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . 9 ((𝐺:𝐴𝐴𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐴)
3522, 34sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐴)
36 fvco2 7005 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐴) → ((𝐺𝐹)‘(𝐺𝑥)) = (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑥))))
3733, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝐹)‘(𝐺𝑥)) = (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑥))))
3831, 37eqtrd 2774 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑥))))
3938eqeq1d 2736 . . . . 5 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑥))) = 𝑥))
40 simplr 769 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐺:𝐴1-1-onto𝐴)
41 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐹:𝐴𝐴)
42 ffvelcdm 7100 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑥)) ∈ 𝐴)
4341, 35, 42syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑥)) ∈ 𝐴)
44 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
45 f1ocnvfvb 7298 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑥)) ∈ 𝐴𝑥𝐴) → ((𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑥))) = 𝑥 ↔ (𝐺𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑥))))
4640, 43, 44, 45syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑥))) = 𝑥 ↔ (𝐺𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑥))))
4739, 46bitrd 279 . . . 4 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐺𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑥))))
4847necon3bid 2982 . . 3 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝐺𝑥) ≠ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
49 necom 2991 . . . 4 ((𝐺𝑥) ≠ (𝐹‘(𝐺𝑥)) ↔ (𝐹‘(𝐺𝑥)) ≠ (𝐺𝑥))
50 f1of1 6847 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1𝐴)
5150ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐺:𝐴1-1𝐴)
52 difss 4145 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
53 dmss 5915 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
55 fdm 6745 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
5654, 55sseqtrid 4047 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐴)
5756ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐴)
58 f1elima 7282 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴1-1𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐴 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝐺‘(𝐺𝑥)) ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ↔ (𝐺𝑥) ∈ dom (𝐹 ∖ I )))
5951, 35, 57, 58syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺‘(𝐺𝑥)) ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ↔ (𝐺𝑥) ∈ dom (𝐹 ∖ I )))
60 f1ocnvfv2 7296 . . . . . . 7 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝑥𝐴) → (𝐺‘(𝐺𝑥)) = 𝑥)
6160adantll 714 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺‘(𝐺𝑥)) = 𝑥)
6261eleq1d 2823 . . . . 5 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺‘(𝐺𝑥)) ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I ))))
63 fnelnfp 7196 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐴) → ((𝐺𝑥) ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘(𝐺𝑥)) ≠ (𝐺𝑥)))
6433, 35, 63syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘(𝐺𝑥)) ≠ (𝐺𝑥)))
6559, 62, 643bitr3rd 310 . . . 4 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹‘(𝐺𝑥)) ≠ (𝐺𝑥) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I ))))
6649, 65bitrid 283 . . 3 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) ≠ (𝐹‘(𝐺𝑥)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I ))))
6727, 48, 663bitrd 305 . 2 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I ))))
6811, 17, 67eqrdav 2733 1 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cdif 3959  wss 3962   I cid 5581  ccnv 5687  dom cdm 5688  ran crn 5689  cima 5691  ccom 5692   Fn wfn 6557  wf 6558  1-1wf1 6559  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570
This theorem is referenced by:  pmtrfconj  19498  psgnunilem1  19525
  Copyright terms: Public domain W3C validator