Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1omvdconj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1omvdconj 18656
 Description: Conjugation of a permutation takes the image of the moved subclass. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1omvdconj ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))

Proof of Theorem f1omvdconj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 4040 . . . . . 6 (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)
2 dmss 5749 . . . . . 6 ((((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ dom ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ dom ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)
4 dmcoss 5818 . . . . 5 dom ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ⊆ dom 𝐺
53, 4sstri 3904 . . . 4 dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ dom 𝐺
6 f1ocnv 6620 . . . . . 6 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴)
76adantl 485 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐺:𝐴1-1-onto𝐴)
8 f1odm 6612 . . . . 5 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 → dom 𝐺 = 𝐴)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → dom 𝐺 = 𝐴)
105, 9sseqtrid 3947 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝐴)
1110sselda 3895 . 2 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I )) → 𝑥𝐴)
12 imassrn 5918 . . . 4 (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ⊆ ran 𝐺
13 f1of 6608 . . . . . 6 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴𝐴)
1413adantl 485 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐺:𝐴𝐴)
1514frnd 6511 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ran 𝐺𝐴)
1612, 15sstrid 3906 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ⊆ 𝐴)
1716sselda 3895 . 2 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝑥𝐴)
18 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐹:𝐴𝐴)
19 fco 6522 . . . . . . 7 ((𝐺:𝐴𝐴𝐹:𝐴𝐴) → (𝐺𝐹):𝐴𝐴)
2014, 18, 19syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝐺𝐹):𝐴𝐴)
21 f1of 6608 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴𝐴)
227, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐺:𝐴𝐴)
23 fco 6522 . . . . . 6 (((𝐺𝐹):𝐴𝐴𝐺:𝐴𝐴) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺):𝐴𝐴)
2420, 22, 23syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺):𝐴𝐴)
2524ffnd 6505 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) Fn 𝐴)
26 fnelnfp 6937 . . . 4 ((((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ↔ (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 𝑥))
2725, 26sylan 583 . . 3 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ↔ (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 𝑥))
28 f1ofn 6609 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝐺 Fn 𝐴)
297, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐺 Fn 𝐴)
30 fvco2 6755 . . . . . . . 8 ((𝐺 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) = ((𝐺𝐹)‘(𝐺𝑥)))
3129, 30sylan 583 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) = ((𝐺𝐹)‘(𝐺𝑥)))
32 ffn 6504 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴𝐴𝐹 Fn 𝐴)
3332ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
34 ffvelrn 6847 . . . . . . . . 9 ((𝐺:𝐴𝐴𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐴)
3522, 34sylan 583 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐴)
36 fvco2 6755 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐴) → ((𝐺𝐹)‘(𝐺𝑥)) = (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑥))))
3733, 35, 36syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝐹)‘(𝐺𝑥)) = (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑥))))
3831, 37eqtrd 2794 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑥))))
3938eqeq1d 2761 . . . . 5 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑥))) = 𝑥))
40 simplr 768 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐺:𝐴1-1-onto𝐴)
41 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐹:𝐴𝐴)
42 ffvelrn 6847 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑥)) ∈ 𝐴)
4341, 35, 42syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑥)) ∈ 𝐴)
44 simpr 488 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
45 f1ocnvfvb 7035 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑥)) ∈ 𝐴𝑥𝐴) → ((𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑥))) = 𝑥 ↔ (𝐺𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑥))))
4640, 43, 44, 45syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑥))) = 𝑥 ↔ (𝐺𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑥))))
4739, 46bitrd 282 . . . 4 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐺𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑥))))
4847necon3bid 2996 . . 3 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝐺𝑥) ≠ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
49 necom 3005 . . . 4 ((𝐺𝑥) ≠ (𝐹‘(𝐺𝑥)) ↔ (𝐹‘(𝐺𝑥)) ≠ (𝐺𝑥))
50 f1of1 6607 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1𝐴)
5150ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐺:𝐴1-1𝐴)
52 difss 4040 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
53 dmss 5749 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
55 fdm 6512 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
5654, 55sseqtrid 3947 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐴)
5756ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐴)
58 f1elima 7020 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴1-1𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐴 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝐺‘(𝐺𝑥)) ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ↔ (𝐺𝑥) ∈ dom (𝐹 ∖ I )))
5951, 35, 57, 58syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺‘(𝐺𝑥)) ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ↔ (𝐺𝑥) ∈ dom (𝐹 ∖ I )))
60 f1ocnvfv2 7033 . . . . . . 7 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝑥𝐴) → (𝐺‘(𝐺𝑥)) = 𝑥)
6160adantll 713 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺‘(𝐺𝑥)) = 𝑥)
6261eleq1d 2837 . . . . 5 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺‘(𝐺𝑥)) ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I ))))
63 fnelnfp 6937 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐴) → ((𝐺𝑥) ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘(𝐺𝑥)) ≠ (𝐺𝑥)))
6433, 35, 63syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘(𝐺𝑥)) ≠ (𝐺𝑥)))
6559, 62, 643bitr3rd 313 . . . 4 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹‘(𝐺𝑥)) ≠ (𝐺𝑥) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I ))))
6649, 65syl5bb 286 . . 3 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) ≠ (𝐹‘(𝐺𝑥)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I ))))
6727, 48, 663bitrd 308 . 2 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I ))))
6811, 17, 67eqrdav 2758 1 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952   ∖ cdif 3858   ⊆ wss 3861   I cid 5434  ◡ccnv 5528  dom cdm 5529  ran crn 5530   “ cima 5532   ∘ ccom 5533   Fn wfn 6336  ⟶wf 6337  –1-1→wf1 6338  –1-1-onto→wf1o 6340  ‘cfv 6341 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pr 5303 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-nul 4229  df-if 4425  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4803  df-br 5038  df-opab 5100  df-id 5435  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349 This theorem is referenced by:  pmtrfconj  18676  psgnunilem1  18703
 Copyright terms: Public domain W3C validator