MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1omvdconj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1omvdconj 19236
Description: Conjugation of a permutation takes the image of the moved subclass. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1omvdconj ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))

Proof of Theorem f1omvdconj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 4095 . . . . . 6 (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)
2 dmss 5862 . . . . . 6 ((((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ dom ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ dom ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)
4 dmcoss 5930 . . . . 5 dom ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ⊆ dom 𝐺
53, 4sstri 3957 . . . 4 dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ dom 𝐺
6 f1ocnv 6800 . . . . . 6 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴)
76adantl 483 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐺:𝐴1-1-onto𝐴)
8 f1odm 6792 . . . . 5 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 → dom 𝐺 = 𝐴)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → dom 𝐺 = 𝐴)
105, 9sseqtrid 4000 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝐴)
1110sselda 3948 . 2 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I )) → 𝑥𝐴)
12 imassrn 6028 . . . 4 (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ⊆ ran 𝐺
13 f1of 6788 . . . . . 6 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴𝐴)
1413adantl 483 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐺:𝐴𝐴)
1514frnd 6680 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ran 𝐺𝐴)
1612, 15sstrid 3959 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ⊆ 𝐴)
1716sselda 3948 . 2 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝑥𝐴)
18 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐹:𝐴𝐴)
19 fco 6696 . . . . . . 7 ((𝐺:𝐴𝐴𝐹:𝐴𝐴) → (𝐺𝐹):𝐴𝐴)
2014, 18, 19syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝐺𝐹):𝐴𝐴)
21 f1of 6788 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴𝐴)
227, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐺:𝐴𝐴)
23 fco 6696 . . . . . 6 (((𝐺𝐹):𝐴𝐴𝐺:𝐴𝐴) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺):𝐴𝐴)
2420, 22, 23syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺):𝐴𝐴)
2524ffnd 6673 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) Fn 𝐴)
26 fnelnfp 7127 . . . 4 ((((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ↔ (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 𝑥))
2725, 26sylan 581 . . 3 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ↔ (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 𝑥))
28 f1ofn 6789 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝐺 Fn 𝐴)
297, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐺 Fn 𝐴)
30 fvco2 6942 . . . . . . . 8 ((𝐺 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) = ((𝐺𝐹)‘(𝐺𝑥)))
3129, 30sylan 581 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) = ((𝐺𝐹)‘(𝐺𝑥)))
32 ffn 6672 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴𝐴𝐹 Fn 𝐴)
3332ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
34 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . 9 ((𝐺:𝐴𝐴𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐴)
3522, 34sylan 581 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐴)
36 fvco2 6942 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐴) → ((𝐺𝐹)‘(𝐺𝑥)) = (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑥))))
3733, 35, 36syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝐹)‘(𝐺𝑥)) = (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑥))))
3831, 37eqtrd 2773 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑥))))
3938eqeq1d 2735 . . . . 5 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑥))) = 𝑥))
40 simplr 768 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐺:𝐴1-1-onto𝐴)
41 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐹:𝐴𝐴)
42 ffvelcdm 7036 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑥)) ∈ 𝐴)
4341, 35, 42syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑥)) ∈ 𝐴)
44 simpr 486 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
45 f1ocnvfvb 7229 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑥)) ∈ 𝐴𝑥𝐴) → ((𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑥))) = 𝑥 ↔ (𝐺𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑥))))
4640, 43, 44, 45syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺‘(𝐹‘(𝐺𝑥))) = 𝑥 ↔ (𝐺𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑥))))
4739, 46bitrd 279 . . . 4 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐺𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑥))))
4847necon3bid 2985 . . 3 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((((𝐺𝐹) ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝐺𝑥) ≠ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
49 necom 2994 . . . 4 ((𝐺𝑥) ≠ (𝐹‘(𝐺𝑥)) ↔ (𝐹‘(𝐺𝑥)) ≠ (𝐺𝑥))
50 f1of1 6787 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1𝐴)
5150ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐺:𝐴1-1𝐴)
52 difss 4095 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
53 dmss 5862 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
55 fdm 6681 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
5654, 55sseqtrid 4000 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐴)
5756ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐴)
58 f1elima 7214 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴1-1𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐴 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝐺‘(𝐺𝑥)) ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ↔ (𝐺𝑥) ∈ dom (𝐹 ∖ I )))
5951, 35, 57, 58syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺‘(𝐺𝑥)) ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ↔ (𝐺𝑥) ∈ dom (𝐹 ∖ I )))
60 f1ocnvfv2 7227 . . . . . . 7 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝑥𝐴) → (𝐺‘(𝐺𝑥)) = 𝑥)
6160adantll 713 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺‘(𝐺𝑥)) = 𝑥)
6261eleq1d 2819 . . . . 5 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺‘(𝐺𝑥)) ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I ))))
63 fnelnfp 7127 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐴) → ((𝐺𝑥) ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘(𝐺𝑥)) ≠ (𝐺𝑥)))
6433, 35, 63syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘(𝐺𝑥)) ≠ (𝐺𝑥)))
6559, 62, 643bitr3rd 310 . . . 4 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹‘(𝐺𝑥)) ≠ (𝐺𝑥) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I ))))
6649, 65bitrid 283 . . 3 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) ≠ (𝐹‘(𝐺𝑥)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I ))))
6727, 48, 663bitrd 305 . 2 (((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I ))))
6811, 17, 67eqrdav 2732 1 ((𝐹:𝐴𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → dom (((𝐺𝐹) ∘ 𝐺) ∖ I ) = (𝐺 “ dom (𝐹 ∖ I )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  cdif 3911  wss 3914   I cid 5534  ccnv 5636  dom cdm 5637  ran crn 5638  cima 5640  ccom 5641   Fn wfn 6495  wf 6496  1-1wf1 6497  1-1-ontowf1o 6499  cfv 6500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508
This theorem is referenced by:  pmtrfconj  19256  psgnunilem1  19283
  Copyright terms: Public domain W3C validator