MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetralt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetralt 22598
Description: The determinant function is alternating regarding rows: if a matrix has two identical rows, its determinant is 0. Corollary 4.9 in [Lang] p. 515. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetralt.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetralt.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetralt.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetralt.z 0 = (0g𝑅)
mdetralt.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetralt.x (𝜑𝑋𝐵)
mdetralt.i (𝜑𝐼𝑁)
mdetralt.j (𝜑𝐽𝑁)
mdetralt.ij (𝜑𝐼𝐽)
mdetralt.eq (𝜑 → ∀𝑎𝑁 (𝐼𝑋𝑎) = (𝐽𝑋𝑎))
Assertion
Ref Expression
mdetralt (𝜑 → (𝐷𝑋) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐼,𝑎   𝐽,𝑎   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   0 (𝑎)

Proof of Theorem mdetralt
Dummy variables 𝑐 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetralt.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
2 mdetralt.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
3 mdetralt.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 mdetralt.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
5 eqid 2726 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6 eqid 2726 . . . 4 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
7 eqid 2726 . . . 4 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
8 eqid 2726 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
9 eqid 2726 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mdetleib 22577 . . 3 (𝑋𝐵 → (𝐷𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
111, 10syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
12 eqid 2726 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13 eqid 2726 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
14 mdetralt.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
15 crngring 20224 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
17 ringcmn 20257 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
193, 4matrcl 22400 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
201, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
2120simpld 493 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
22 eqid 2726 . . . . 5 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2322, 5symgbasfi 19372 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
2421, 23syl 17 . . 3 (𝜑 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
2516adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
26 zrhpsgnmhm 21576 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
2716, 21, 26syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
289, 12mgpbas 20119 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
295, 28mhmf 18774 . . . . . 6 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘𝑅))
3027, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘𝑅))
3130ffvelcdmda 7090 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
329crngmgp 20220 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3314, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3433adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3521adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
363, 12, 4matbas2i 22412 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
371, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
38 elmapi 8870 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
4039ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
4122, 5symgbasf1o 19368 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑝:𝑁1-1-onto𝑁)
4241adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁1-1-onto𝑁)
43 f1of 6835 . . . . . . . . 9 (𝑝:𝑁1-1-onto𝑁𝑝:𝑁𝑁)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁𝑁)
4544ffvelcdmda 7090 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → (𝑝𝑐) ∈ 𝑁)
46 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑐𝑁)
4740, 45, 46fovcdmd 7590 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
4847ralrimiva 3136 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑐𝑁 ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
4928, 34, 35, 48gsummptcl 19961 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅))
5012, 8ringcl 20229 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∈ (Base‘𝑅))
5125, 31, 49, 50syl3anc 1368 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∈ (Base‘𝑅))
52 disjdif 4466 . . . 4 ((pmEven‘𝑁) ∩ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = ∅
5352a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((pmEven‘𝑁) ∩ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = ∅)
5422, 5evpmss 21578 . . . . . 6 (pmEven‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
55 undif 4476 . . . . . 6 ((pmEven‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ ((pmEven‘𝑁) ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
5654, 55mpbi 229 . . . . 5 ((pmEven‘𝑁) ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5756eqcomi 2735 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ((pmEven‘𝑁) ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
5857a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ((pmEven‘𝑁) ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))))
59 eqid 2726 . . 3 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
6012, 13, 18, 24, 51, 53, 58, 59gsummptfidmsplitres 19925 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))) = ((𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)))(+g𝑅)(𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))))))
61 resmpt 6038 . . . . . . 7 ((pmEven‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
6254, 61ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
6316adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
6421adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
65 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁))
66 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) = (1r𝑅)
676, 7, 66zrhpsgnevpm 21583 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = (1r𝑅))
6863, 64, 65, 67syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = (1r𝑅))
6968oveq1d 7431 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((1r𝑅)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
7054sseli 3974 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
7170, 49sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅))
7212, 8, 66ringlidm 20244 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
7363, 71, 72syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
7469, 73eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
7574mpteq2dva 5245 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
7662, 75eqtrid 2778 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
7776oveq2d 7432 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
78 difss 4128 . . . . . . . 8 ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
79 resmpt 6038 . . . . . . . 8 (((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
8116adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
8221adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
83 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
84 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (invg𝑅) = (invg𝑅)
856, 7, 66, 5, 84zrhpsgnodpm 21584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
8681, 82, 83, 85syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
8786oveq1d 7431 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = (((invg𝑅)‘(1r𝑅))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
88 eldifi 4123 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
8988, 49sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅))
9012, 8, 66, 84, 81, 89ringnegl 20277 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → (((invg𝑅)‘(1r𝑅))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((invg𝑅)‘((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
9187, 90eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((invg𝑅)‘((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
9291mpteq2dva 5245 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((invg𝑅)‘((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
93 ringgrp 20217 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
9416, 93syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
9512, 84grpinvf 18976 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Grp → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
9796, 89cofmpt 7138 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((invg𝑅) ∘ (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((invg𝑅)‘((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
9892, 97eqtr4d 2769 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = ((invg𝑅) ∘ (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
9980, 98eqtrid 2778 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = ((invg𝑅) ∘ (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
10099oveq2d 7432 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))) = (𝑅 Σg ((invg𝑅) ∘ (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
101 mdetralt.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
102 ringabl 20256 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
10316, 102syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Abel)
104 difssd 4129 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
10524, 104ssfid 9294 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ∈ Fin)
106 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
10712, 101, 84, 103, 105, 89, 106gsummptfidminv 19941 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg ((invg𝑅) ∘ (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))) = ((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
10889ralrimiva 3136 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅))
109 mdetralt.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼𝑁)
110 mdetralt.j . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽𝑁)
111109, 110prssd 4821 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝑁)
112 mdetralt.ij . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼𝐽)
113 enpr2 10038 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐼𝐽) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
114109, 110, 112, 113syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
115 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
116 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
117115, 116pmtrrn 19451 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝑁 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝑁))
11821, 111, 114, 117syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝑁))
11922, 5, 116pmtrodpm 21589 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
12021, 118, 119syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
12122, 5evpmodpmf1o 21588 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)):(pmEven‘𝑁)–1-1-onto→((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
12221, 120, 121syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)):(pmEven‘𝑁)–1-1-onto→((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
12312, 18, 105, 108, 106, 122gsummptfif1o 19962 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∘ (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)))))
124 eleq1w 2809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↔ 𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁)))
125124anbi2d 628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑞 → ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ↔ (𝜑𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁))))
126 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑞 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞))
127126eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑞 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↔ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))))
128125, 127imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑞 → (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) ↔ ((𝜑𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))))
12922symggrp 19394 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
13021, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
131130adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
132116, 22, 5symgtrf 19463 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (pmTrsp‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
133118adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝑁))
134132, 133sselid 3976 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
13570adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
136 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g‘(SymGrp‘𝑁)) = (+g‘(SymGrp‘𝑁))
1375, 136grpcl 18931 . . . . . . . . . . . . 13 (((SymGrp‘𝑁) ∈ Grp ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
138131, 134, 135, 137syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
139 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
14022, 7, 139psgnghm2 21573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ Fin → (pmSgn‘𝑁) ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
14121, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (pmSgn‘𝑁) ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
142141adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (pmSgn‘𝑁) ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
143 prex 5430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {1, -1} ∈ V
144 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
145 cnfldmul 21347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 · = (.r‘ℂfld)
146144, 145mgpplusg 20117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
147139, 146ressplusg 17299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({1, -1} ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
148143, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
1495, 136, 148ghmlin 19211 . . . . . . . . . . . . . 14 (((pmSgn‘𝑁) ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((pmSgn‘𝑁)‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)) = (((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) · ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝)))
150142, 134, 135, 149syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmSgn‘𝑁)‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)) = (((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) · ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝)))
15122, 116, 7psgnpmtr 19504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝑁) → ((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) = -1)
152133, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) = -1)
15322, 5, 7psgnevpm 21581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝) = 1)
15421, 153sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝) = 1)
155152, 154oveq12d 7434 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) · ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝)) = (-1 · 1))
156 neg1cn 12372 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
157156mulridi 11259 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 · 1) = -1
158155, 157eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) · ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝)) = -1)
159150, 158eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmSgn‘𝑁)‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)) = -1)
16022, 5, 7psgnodpmr 21582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ ((pmSgn‘𝑁)‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)) = -1) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
16164, 138, 159, 160syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
162128, 161chvarvv 1995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
163 eqidd 2727 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)) = (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)))
164 eqidd 2727 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
165 fveq1 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) → (𝑝𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐))
166165oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) → ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) = (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐))
167166mpteq2dv 5247 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) → (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)) = (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐)))
168167oveq2d 7432 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐))))
169162, 163, 164, 168fmptco 7135 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∘ (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞))) = (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐)))))
170 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑝 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝))
171170fveq1d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑝 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐))
172171oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑝 → (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐) = (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐))
173172mpteq2dv 5247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑝 → (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐)) = (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐)))
174173oveq2d 7432 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑝 → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐))))
175174cbvmptv 5258 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐)))) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐))))
176175a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐)))) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐)))))
177134adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
178135adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
17922, 5, 136symgov 19377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝑝))
180177, 178, 179syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝑝))
181180fveq1d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝑝)‘𝑐))
18270, 44sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑝:𝑁𝑁)
183 fvco3 6993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝:𝑁𝑁𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝑝)‘𝑐) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)))
184182, 183sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝑝)‘𝑐) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)))
185181, 184eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)))
186185oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐))
187115pmtrprfv 19447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐼𝐽)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼) = 𝐽)
18821, 109, 110, 112, 187syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼) = 𝐽)
189188ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼) = 𝐽)
190189oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼)𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐))
191 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑐 → (𝐼𝑋𝑎) = (𝐼𝑋𝑐))
192 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑐 → (𝐽𝑋𝑎) = (𝐽𝑋𝑐))
193191, 192eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑐 → ((𝐼𝑋𝑎) = (𝐽𝑋𝑎) ↔ (𝐼𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐)))
194 mdetralt.eq . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑎𝑁 (𝐼𝑋𝑎) = (𝐽𝑋𝑎))
195194ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ∀𝑎𝑁 (𝐼𝑋𝑎) = (𝐽𝑋𝑎))
196 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑐𝑁)
197193, 195, 196rspcdva 3608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (𝐼𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐))
198190, 197eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼)𝑋𝑐) = (𝐼𝑋𝑐))
199 fveq2 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝𝑐) = 𝐼 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼))
200199oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝𝑐) = 𝐼 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼)𝑋𝑐))
201 oveq1 7423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝𝑐) = 𝐼 → ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) = (𝐼𝑋𝑐))
202200, 201eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝𝑐) = 𝐼 → (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) ↔ ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼)𝑋𝑐) = (𝐼𝑋𝑐)))
203198, 202syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) = 𝐼 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))
204 prcom 4731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝐼, 𝐽} = {𝐽, 𝐼}
205204fveq2i 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐽, 𝐼})
206205fveq1i 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐽, 𝐼})‘𝐽)
207112necomd 2986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐽𝐼)
208115pmtrprfv 19447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝐽𝑁𝐼𝑁𝐽𝐼)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐽, 𝐼})‘𝐽) = 𝐼)
20921, 110, 109, 207, 208syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐽, 𝐼})‘𝐽) = 𝐼)
210206, 209eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽) = 𝐼)
211210oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽)𝑋𝑐) = (𝐼𝑋𝑐))
212211ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽)𝑋𝑐) = (𝐼𝑋𝑐))
213212, 197eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽)𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐))
214 fveq2 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝𝑐) = 𝐽 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽))
215214oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝𝑐) = 𝐽 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽)𝑋𝑐))
216 oveq1 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝𝑐) = 𝐽 → ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐))
217215, 216eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝𝑐) = 𝐽 → (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) ↔ ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽)𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐)))
218213, 217syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) = 𝐽 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))
219218a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) = 𝐽 → ((𝑝𝑐) ≠ 𝐼 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
220 neanior 3025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) ↔ ¬ ((𝑝𝑐) = 𝐽 ∨ (𝑝𝑐) = 𝐼))
221 elpri 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝𝑐) ∈ {𝐼, 𝐽} → ((𝑝𝑐) = 𝐼 ∨ (𝑝𝑐) = 𝐽))
222221orcomd 869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝𝑐) ∈ {𝐼, 𝐽} → ((𝑝𝑐) = 𝐽 ∨ (𝑝𝑐) = 𝐼))
223222con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ ((𝑝𝑐) = 𝐽 ∨ (𝑝𝑐) = 𝐼) → ¬ (𝑝𝑐) ∈ {𝐼, 𝐽})
224220, 223sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ¬ (𝑝𝑐) ∈ {𝐼, 𝐽})
2252243adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ¬ (𝑝𝑐) ∈ {𝐼, 𝐽})
226115pmtrmvd 19450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ Fin ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝑁 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
22721, 111, 114, 226syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
228227ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
2292283ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
230225, 229neleqtrrd 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ¬ (𝑝𝑐) ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ))
231115pmtrf 19449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ Fin ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝑁 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}):𝑁𝑁)
23221, 111, 114, 231syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}):𝑁𝑁)
233232ffnd 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) Fn 𝑁)
234233ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) Fn 𝑁)
235182ffvelcdmda 7090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (𝑝𝑐) ∈ 𝑁)
236 fnelnfp 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) Fn 𝑁 ∧ (𝑝𝑐) ∈ 𝑁) → ((𝑝𝑐) ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ↔ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) ≠ (𝑝𝑐)))
237234, 235, 236syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ↔ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) ≠ (𝑝𝑐)))
2382373ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ((𝑝𝑐) ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ↔ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) ≠ (𝑝𝑐)))
239238necon2bbid 2974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) = (𝑝𝑐) ↔ ¬ (𝑝𝑐) ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I )))
240230, 239mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) = (𝑝𝑐))
241240oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))
2422413exp 1116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) ≠ 𝐽 → ((𝑝𝑐) ≠ 𝐼 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
243219, 242pm2.61dne 3018 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) ≠ 𝐼 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))
244203, 243pm2.61dne 3018 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))
245186, 244eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))
246245mpteq2dva 5245 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐)) = (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))
247246oveq2d 7432 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
248247mpteq2dva 5245 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐)))) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
249169, 176, 2483eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∘ (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞))) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
250249oveq2d 7432 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∘ (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
251123, 250eqtrd 2766 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
252251fveq2d 6897 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))) = ((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
253100, 107, 2523eqtrd 2770 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))) = ((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
25477, 253oveq12d 7434 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)))(+g𝑅)(𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))))) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))))
25554a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (pmEven‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
25624, 255ssfid 9294 . . . . 5 (𝜑 → (pmEven‘𝑁) ∈ Fin)
25771ralrimiva 3136 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅))
25812, 18, 256, 257gsummptcl 19961 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ∈ (Base‘𝑅))
25912, 13, 101, 84grprinv 18980 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))) = 0 )
26094, 258, 259syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))) = 0 )
261254, 260eqtrd 2766 . 2 (𝜑 → ((𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)))(+g𝑅)(𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))))) = 0 )
26211, 60, 2613eqtrd 2770 1 (𝜑 → (𝐷𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  Vcvv 3462  cdif 3943  cun 3944  cin 3945  wss 3946  c0 4322  {cpr 4625   class class class wbr 5145  cmpt 5228   I cid 5571   × cxp 5672  dom cdm 5674  ran crn 5675  cres 5676  ccom 5678   Fn wfn 6541  wf 6542  1-1-ontowf1o 6545  cfv 6546  (class class class)co 7416  2oc2o 8482  m cmap 8847  cen 8963  Fincfn 8966  1c1 11150   · cmul 11154  -cneg 11486  Basecbs 17208  s cress 17237  +gcplusg 17261  .rcmulr 17262  0gc0g 17449   Σg cgsu 17450   MndHom cmhm 18766  Grpcgrp 18923  invgcminusg 18924   GrpHom cghm 19202  SymGrpcsymg 19360  pmTrspcpmtr 19435  pmSgncpsgn 19483  pmEvencevpm 19484  CMndccmn 19774  Abelcabl 19775  mulGrpcmgp 20113  1rcur 20160  Ringcrg 20212  CRingccrg 20213  fldccnfld 21339  ℤRHomczrh 21485   Mat cmat 22395   maDet cmdat 22574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-addf 11228  ax-mulf 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1506  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-sup 9478  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-xnn0 12591  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14343  df-word 14518  df-lsw 14566  df-concat 14574  df-s1 14599  df-substr 14644  df-pfx 14674  df-splice 14753  df-reverse 14762  df-s2 14852  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-prds 17457  df-pws 17459  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-mhm 18768  df-submnd 18769  df-efmnd 18854  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-mulg 19058  df-subg 19113  df-ghm 19203  df-gim 19249  df-cntz 19307  df-oppg 19336  df-symg 19361  df-pmtr 19436  df-psgn 19485  df-evpm 19486  df-cmn 19776  df-abl 19777  df-mgp 20114  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20312  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-dvr 20379  df-rhm 20450  df-subrng 20524  df-subrg 20549  df-drng 20705  df-sra 21147  df-rgmod 21148  df-cnfld 21340  df-zring 21433  df-zrh 21489  df-dsmm 21726  df-frlm 21741  df-mat 22396  df-mdet 22575
This theorem is referenced by:  mdetralt2  22599  mdetuni0  22611  mdetmul  22613
  Copyright terms: Public domain W3C validator