MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetralt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetralt 22629
Description: The determinant function is alternating regarding rows: if a matrix has two identical rows, its determinant is 0. Corollary 4.9 in [Lang] p. 515. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetralt.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetralt.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetralt.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetralt.z 0 = (0g𝑅)
mdetralt.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetralt.x (𝜑𝑋𝐵)
mdetralt.i (𝜑𝐼𝑁)
mdetralt.j (𝜑𝐽𝑁)
mdetralt.ij (𝜑𝐼𝐽)
mdetralt.eq (𝜑 → ∀𝑎𝑁 (𝐼𝑋𝑎) = (𝐽𝑋𝑎))
Assertion
Ref Expression
mdetralt (𝜑 → (𝐷𝑋) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐼,𝑎   𝐽,𝑎   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   0 (𝑎)

Proof of Theorem mdetralt
Dummy variables 𝑐 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetralt.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
2 mdetralt.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
3 mdetralt.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 mdetralt.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
5 eqid 2734 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6 eqid 2734 . . . 4 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
7 eqid 2734 . . . 4 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
8 eqid 2734 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
9 eqid 2734 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mdetleib 22608 . . 3 (𝑋𝐵 → (𝐷𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
111, 10syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
12 eqid 2734 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13 eqid 2734 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
14 mdetralt.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
15 crngring 20262 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
17 ringcmn 20295 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
193, 4matrcl 22431 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
201, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
2120simpld 494 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
22 eqid 2734 . . . . 5 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2322, 5symgbasfi 19410 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
2421, 23syl 17 . . 3 (𝜑 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
2516adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
26 zrhpsgnmhm 21619 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
2716, 21, 26syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
289, 12mgpbas 20157 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
295, 28mhmf 18814 . . . . . 6 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘𝑅))
3027, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘𝑅))
3130ffvelcdmda 7103 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
329crngmgp 20258 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3314, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3433adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3521adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
363, 12, 4matbas2i 22443 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
371, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
38 elmapi 8887 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
4039ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
4122, 5symgbasf1o 19406 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑝:𝑁1-1-onto𝑁)
4241adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁1-1-onto𝑁)
43 f1of 6848 . . . . . . . . 9 (𝑝:𝑁1-1-onto𝑁𝑝:𝑁𝑁)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁𝑁)
4544ffvelcdmda 7103 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → (𝑝𝑐) ∈ 𝑁)
46 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑐𝑁)
4740, 45, 46fovcdmd 7604 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
4847ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑐𝑁 ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
4928, 34, 35, 48gsummptcl 19999 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅))
5012, 8ringcl 20267 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∈ (Base‘𝑅))
5125, 31, 49, 50syl3anc 1370 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∈ (Base‘𝑅))
52 disjdif 4477 . . . 4 ((pmEven‘𝑁) ∩ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = ∅
5352a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((pmEven‘𝑁) ∩ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = ∅)
5422, 5evpmss 21621 . . . . . 6 (pmEven‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
55 undif 4487 . . . . . 6 ((pmEven‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ ((pmEven‘𝑁) ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
5654, 55mpbi 230 . . . . 5 ((pmEven‘𝑁) ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5756eqcomi 2743 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ((pmEven‘𝑁) ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
5857a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ((pmEven‘𝑁) ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))))
59 eqid 2734 . . 3 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
6012, 13, 18, 24, 51, 53, 58, 59gsummptfidmsplitres 19963 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))) = ((𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)))(+g𝑅)(𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))))))
61 resmpt 6056 . . . . . . 7 ((pmEven‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
6254, 61ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
6316adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
6421adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
65 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁))
66 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) = (1r𝑅)
676, 7, 66zrhpsgnevpm 21626 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = (1r𝑅))
6863, 64, 65, 67syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = (1r𝑅))
6968oveq1d 7445 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((1r𝑅)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
7054sseli 3990 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
7170, 49sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅))
7212, 8, 66ringlidm 20282 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
7363, 71, 72syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
7469, 73eqtrd 2774 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
7574mpteq2dva 5247 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
7662, 75eqtrid 2786 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
7776oveq2d 7446 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
78 difss 4145 . . . . . . . 8 ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
79 resmpt 6056 . . . . . . . 8 (((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
8116adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
8221adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
83 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
84 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (invg𝑅) = (invg𝑅)
856, 7, 66, 5, 84zrhpsgnodpm 21627 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
8681, 82, 83, 85syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
8786oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = (((invg𝑅)‘(1r𝑅))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
88 eldifi 4140 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
8988, 49sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅))
9012, 8, 66, 84, 81, 89ringnegl 20315 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → (((invg𝑅)‘(1r𝑅))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((invg𝑅)‘((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
9187, 90eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((invg𝑅)‘((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
9291mpteq2dva 5247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((invg𝑅)‘((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
93 ringgrp 20255 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
9416, 93syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
9512, 84grpinvf 19016 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Grp → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
9796, 89cofmpt 7151 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((invg𝑅) ∘ (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((invg𝑅)‘((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
9892, 97eqtr4d 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = ((invg𝑅) ∘ (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
9980, 98eqtrid 2786 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = ((invg𝑅) ∘ (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
10099oveq2d 7446 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))) = (𝑅 Σg ((invg𝑅) ∘ (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
101 mdetralt.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
102 ringabl 20294 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
10316, 102syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Abel)
104 difssd 4146 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
10524, 104ssfid 9298 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ∈ Fin)
106 eqid 2734 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
10712, 101, 84, 103, 105, 89, 106gsummptfidminv 19979 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg ((invg𝑅) ∘ (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))) = ((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
10889ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅))
109 mdetralt.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼𝑁)
110 mdetralt.j . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽𝑁)
111109, 110prssd 4826 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝑁)
112 mdetralt.ij . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼𝐽)
113 enpr2 10039 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐼𝐽) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
114109, 110, 112, 113syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
115 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
116 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
117115, 116pmtrrn 19489 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝑁 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝑁))
11821, 111, 114, 117syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝑁))
11922, 5, 116pmtrodpm 21632 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
12021, 118, 119syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
12122, 5evpmodpmf1o 21631 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)):(pmEven‘𝑁)–1-1-onto→((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
12221, 120, 121syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)):(pmEven‘𝑁)–1-1-onto→((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
12312, 18, 105, 108, 106, 122gsummptfif1o 20000 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∘ (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)))))
124 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↔ 𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁)))
125124anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑞 → ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ↔ (𝜑𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁))))
126 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑞 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞))
127126eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑞 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↔ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))))
128125, 127imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑞 → (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) ↔ ((𝜑𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))))
12922symggrp 19432 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
13021, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
131130adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
132116, 22, 5symgtrf 19501 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (pmTrsp‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
133118adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝑁))
134132, 133sselid 3992 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
13570adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
136 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g‘(SymGrp‘𝑁)) = (+g‘(SymGrp‘𝑁))
1375, 136grpcl 18971 . . . . . . . . . . . . 13 (((SymGrp‘𝑁) ∈ Grp ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
138131, 134, 135, 137syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
139 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
14022, 7, 139psgnghm2 21616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ Fin → (pmSgn‘𝑁) ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
14121, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (pmSgn‘𝑁) ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
142141adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (pmSgn‘𝑁) ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
143 prex 5442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {1, -1} ∈ V
144 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
145 cnfldmul 21389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 · = (.r‘ℂfld)
146144, 145mgpplusg 20155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
147139, 146ressplusg 17335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({1, -1} ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
148143, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
1495, 136, 148ghmlin 19251 . . . . . . . . . . . . . 14 (((pmSgn‘𝑁) ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((pmSgn‘𝑁)‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)) = (((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) · ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝)))
150142, 134, 135, 149syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmSgn‘𝑁)‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)) = (((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) · ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝)))
15122, 116, 7psgnpmtr 19542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝑁) → ((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) = -1)
152133, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) = -1)
15322, 5, 7psgnevpm 21624 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝) = 1)
15421, 153sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝) = 1)
155152, 154oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) · ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝)) = (-1 · 1))
156 neg1cn 12377 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
157156mulridi 11262 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 · 1) = -1
158155, 157eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) · ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝)) = -1)
159150, 158eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmSgn‘𝑁)‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)) = -1)
16022, 5, 7psgnodpmr 21625 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ ((pmSgn‘𝑁)‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)) = -1) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
16164, 138, 159, 160syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
162128, 161chvarvv 1995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
163 eqidd 2735 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)) = (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)))
164 eqidd 2735 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
165 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) → (𝑝𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐))
166165oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) → ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) = (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐))
167166mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) → (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)) = (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐)))
168167oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐))))
169162, 163, 164, 168fmptco 7148 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∘ (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞))) = (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐)))))
170 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑝 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝))
171170fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑝 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐))
172171oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑝 → (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐) = (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐))
173172mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑝 → (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐)) = (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐)))
174173oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑝 → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐))))
175174cbvmptv 5260 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐)))) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐))))
176175a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐)))) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐)))))
177134adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
178135adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
17922, 5, 136symgov 19415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝑝))
180177, 178, 179syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝑝))
181180fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝑝)‘𝑐))
18270, 44sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑝:𝑁𝑁)
183 fvco3 7007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝:𝑁𝑁𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝑝)‘𝑐) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)))
184182, 183sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝑝)‘𝑐) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)))
185181, 184eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)))
186185oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐))
187115pmtrprfv 19485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐼𝐽)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼) = 𝐽)
18821, 109, 110, 112, 187syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼) = 𝐽)
189188ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼) = 𝐽)
190189oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼)𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐))
191 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑐 → (𝐼𝑋𝑎) = (𝐼𝑋𝑐))
192 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑐 → (𝐽𝑋𝑎) = (𝐽𝑋𝑐))
193191, 192eqeq12d 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑐 → ((𝐼𝑋𝑎) = (𝐽𝑋𝑎) ↔ (𝐼𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐)))
194 mdetralt.eq . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑎𝑁 (𝐼𝑋𝑎) = (𝐽𝑋𝑎))
195194ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ∀𝑎𝑁 (𝐼𝑋𝑎) = (𝐽𝑋𝑎))
196 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑐𝑁)
197193, 195, 196rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (𝐼𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐))
198190, 197eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼)𝑋𝑐) = (𝐼𝑋𝑐))
199 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝𝑐) = 𝐼 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼))
200199oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝𝑐) = 𝐼 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼)𝑋𝑐))
201 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝𝑐) = 𝐼 → ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) = (𝐼𝑋𝑐))
202200, 201eqeq12d 2750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝𝑐) = 𝐼 → (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) ↔ ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼)𝑋𝑐) = (𝐼𝑋𝑐)))
203198, 202syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) = 𝐼 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))
204 prcom 4736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝐼, 𝐽} = {𝐽, 𝐼}
205204fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐽, 𝐼})
206205fveq1i 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐽, 𝐼})‘𝐽)
207112necomd 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐽𝐼)
208115pmtrprfv 19485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝐽𝑁𝐼𝑁𝐽𝐼)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐽, 𝐼})‘𝐽) = 𝐼)
20921, 110, 109, 207, 208syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐽, 𝐼})‘𝐽) = 𝐼)
210206, 209eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽) = 𝐼)
211210oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽)𝑋𝑐) = (𝐼𝑋𝑐))
212211ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽)𝑋𝑐) = (𝐼𝑋𝑐))
213212, 197eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽)𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐))
214 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝𝑐) = 𝐽 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽))
215214oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝𝑐) = 𝐽 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽)𝑋𝑐))
216 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝𝑐) = 𝐽 → ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐))
217215, 216eqeq12d 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝𝑐) = 𝐽 → (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) ↔ ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽)𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐)))
218213, 217syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) = 𝐽 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))
219218a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) = 𝐽 → ((𝑝𝑐) ≠ 𝐼 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
220 neanior 3032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) ↔ ¬ ((𝑝𝑐) = 𝐽 ∨ (𝑝𝑐) = 𝐼))
221 elpri 4653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝𝑐) ∈ {𝐼, 𝐽} → ((𝑝𝑐) = 𝐼 ∨ (𝑝𝑐) = 𝐽))
222221orcomd 871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝𝑐) ∈ {𝐼, 𝐽} → ((𝑝𝑐) = 𝐽 ∨ (𝑝𝑐) = 𝐼))
223222con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ ((𝑝𝑐) = 𝐽 ∨ (𝑝𝑐) = 𝐼) → ¬ (𝑝𝑐) ∈ {𝐼, 𝐽})
224220, 223sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ¬ (𝑝𝑐) ∈ {𝐼, 𝐽})
2252243adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ¬ (𝑝𝑐) ∈ {𝐼, 𝐽})
226115pmtrmvd 19488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ Fin ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝑁 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
22721, 111, 114, 226syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
228227ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
2292283ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
230225, 229neleqtrrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ¬ (𝑝𝑐) ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ))
231115pmtrf 19487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ Fin ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝑁 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}):𝑁𝑁)
23221, 111, 114, 231syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}):𝑁𝑁)
233232ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) Fn 𝑁)
234233ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) Fn 𝑁)
235182ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (𝑝𝑐) ∈ 𝑁)
236 fnelnfp 7196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) Fn 𝑁 ∧ (𝑝𝑐) ∈ 𝑁) → ((𝑝𝑐) ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ↔ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) ≠ (𝑝𝑐)))
237234, 235, 236syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ↔ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) ≠ (𝑝𝑐)))
2382373ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ((𝑝𝑐) ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ↔ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) ≠ (𝑝𝑐)))
239238necon2bbid 2981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) = (𝑝𝑐) ↔ ¬ (𝑝𝑐) ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I )))
240230, 239mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) = (𝑝𝑐))
241240oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))
2422413exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) ≠ 𝐽 → ((𝑝𝑐) ≠ 𝐼 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
243219, 242pm2.61dne 3025 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) ≠ 𝐼 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))
244203, 243pm2.61dne 3025 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))
245186, 244eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))
246245mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐)) = (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))
247246oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
248247mpteq2dva 5247 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐)))) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
249169, 176, 2483eqtrd 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∘ (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞))) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
250249oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∘ (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
251123, 250eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
252251fveq2d 6910 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))) = ((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
253100, 107, 2523eqtrd 2778 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))) = ((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
25477, 253oveq12d 7448 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)))(+g𝑅)(𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))))) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))))
25554a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (pmEven‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
25624, 255ssfid 9298 . . . . 5 (𝜑 → (pmEven‘𝑁) ∈ Fin)
25771ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅))
25812, 18, 256, 257gsummptcl 19999 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ∈ (Base‘𝑅))
25912, 13, 101, 84grprinv 19020 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))) = 0 )
26094, 258, 259syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))) = 0 )
261254, 260eqtrd 2774 . 2 (𝜑 → ((𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)))(+g𝑅)(𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))))) = 0 )
26211, 60, 2613eqtrd 2778 1 (𝜑 → (𝐷𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  Vcvv 3477  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {cpr 4632   class class class wbr 5147  cmpt 5230   I cid 5581   × cxp 5686  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  ccom 5692   Fn wfn 6557  wf 6558  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  2oc2o 8498  m cmap 8864  cen 8980  Fincfn 8983  1c1 11153   · cmul 11157  -cneg 11490  Basecbs 17244  s cress 17273  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486   MndHom cmhm 18806  Grpcgrp 18963  invgcminusg 18964   GrpHom cghm 19242  SymGrpcsymg 19400  pmTrspcpmtr 19473  pmSgncpsgn 19521  pmEvencevpm 19522  CMndccmn 19812  Abelcabl 19813  mulGrpcmgp 20151  1rcur 20198  Ringcrg 20250  CRingccrg 20251  fldccnfld 21381  ℤRHomczrh 21527   Mat cmat 22426   maDet cmdat 22605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1508  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-word 14549  df-lsw 14597  df-concat 14605  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-splice 14784  df-reverse 14793  df-s2 14883  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-efmnd 18894  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-gim 19289  df-cntz 19347  df-oppg 19376  df-symg 19401  df-pmtr 19474  df-psgn 19523  df-evpm 19524  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531  df-dsmm 21769  df-frlm 21784  df-mat 22427  df-mdet 22606
This theorem is referenced by:  mdetralt2  22630  mdetuni0  22642  mdetmul  22644
  Copyright terms: Public domain W3C validator