MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetralt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetralt 22330
Description: The determinant function is alternating regarding rows: if a matrix has two identical rows, its determinant is 0. Corollary 4.9 in [Lang] p. 515. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetralt.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
mdetralt.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetralt.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetralt.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
mdetralt.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
mdetralt.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
mdetralt.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
mdetralt.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐‘)
mdetralt.ij (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰  ๐ฝ)
mdetralt.eq (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ (๐ผ๐‘‹๐‘Ž) = (๐ฝ๐‘‹๐‘Ž))
Assertion
Ref Expression
mdetralt (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘‹) = 0 )
Distinct variable groups:   ๐ผ,๐‘Ž   ๐ฝ,๐‘Ž   ๐‘,๐‘Ž   ๐‘‹,๐‘Ž
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘Ž)   ๐ด(๐‘Ž)   ๐ต(๐‘Ž)   ๐ท(๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)   0 (๐‘Ž)

Proof of Theorem mdetralt
Dummy variables ๐‘ ๐‘ ๐‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetralt.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
2 mdetralt.d . . . 4 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
3 mdetralt.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
4 mdetralt.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
5 eqid 2730 . . . 4 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
6 eqid 2730 . . . 4 (โ„คRHomโ€˜๐‘…) = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
7 eqid 2730 . . . 4 (pmSgnโ€˜๐‘) = (pmSgnโ€˜๐‘)
8 eqid 2730 . . . 4 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
9 eqid 2730 . . . 4 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mdetleib 22309 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ทโ€˜๐‘‹) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))))
111, 10syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘‹) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))))
12 eqid 2730 . . 3 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
13 eqid 2730 . . 3 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
14 mdetralt.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
15 crngring 20139 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1614, 15syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
17 ringcmn 20170 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
1816, 17syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
193, 4matrcl 22132 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
201, 19syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
2120simpld 493 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
22 eqid 2730 . . . . 5 (SymGrpโ€˜๐‘) = (SymGrpโ€˜๐‘)
2322, 5symgbasfi 19287 . . . 4 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆˆ Fin)
2421, 23syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆˆ Fin)
2516adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
26 zrhpsgnmhm 21356 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)))
2716, 21, 26syl2anc 582 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)))
289, 12mgpbas 20034 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
295, 28mhmf 18711 . . . . . 6 (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)):(Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3027, 29syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)):(Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3130ffvelcdmda 7085 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
329crngmgp 20135 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd)
3314, 32syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd)
3433adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd)
3521adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
363, 12, 4matbas2i 22144 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
371, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
38 elmapi 8845 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
4039ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
4122, 5symgbasf1o 19283 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘)
4241adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘)
43 f1of 6832 . . . . . . . . 9 (๐‘:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘ โ†’ ๐‘:๐‘โŸถ๐‘)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘:๐‘โŸถ๐‘)
4544ffvelcdmda 7085 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘) โˆˆ ๐‘)
46 simpr 483 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
4740, 45, 46fovcdmd 7581 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
4847ralrimiva 3144 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
4928, 34, 35, 48gsummptcl 19876 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5012, 8ringcl 20144 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5125, 31, 49, 50syl3anc 1369 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
52 disjdif 4470 . . . 4 ((pmEvenโ€˜๐‘) โˆฉ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))) = โˆ…
5352a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((pmEvenโ€˜๐‘) โˆฉ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))) = โˆ…)
5422, 5evpmss 21358 . . . . . 6 (pmEvenโ€˜๐‘) โŠ† (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
55 undif 4480 . . . . . 6 ((pmEvenโ€˜๐‘) โŠ† (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†” ((pmEvenโ€˜๐‘) โˆช ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))) = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)))
5654, 55mpbi 229 . . . . 5 ((pmEvenโ€˜๐‘) โˆช ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))) = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
5756eqcomi 2739 . . . 4 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = ((pmEvenโ€˜๐‘) โˆช ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)))
5857a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = ((pmEvenโ€˜๐‘) โˆช ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))))
59 eqid 2730 . . 3 (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) = (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))
6012, 13, 18, 24, 51, 53, 58, 59gsummptfidmsplitres 19840 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))) = ((๐‘… ฮฃg ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) โ†พ (pmEvenโ€˜๐‘)))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) โ†พ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))))))
61 resmpt 6036 . . . . . . 7 ((pmEvenโ€˜๐‘) โŠ† (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) โ†พ (pmEvenโ€˜๐‘)) = (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))))
6254, 61ax-mp 5 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) โ†พ (pmEvenโ€˜๐‘)) = (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))
6316adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
6421adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
65 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘))
66 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
676, 7, 66zrhpsgnevpm 21363 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) = (1rโ€˜๐‘…))
6863, 64, 65, 67syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) = (1rโ€˜๐‘…))
6968oveq1d 7426 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))) = ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))
7054sseli 3977 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)))
7170, 49sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7212, 8, 66ringlidm 20157 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))
7363, 71, 72syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))
7469, 73eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))
7574mpteq2dva 5247 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) = (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))
7662, 75eqtrid 2782 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) โ†พ (pmEvenโ€˜๐‘)) = (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))
7776oveq2d 7427 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) โ†พ (pmEvenโ€˜๐‘))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))))
78 difss 4130 . . . . . . . 8 ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โŠ† (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
79 resmpt 6036 . . . . . . . 8 (((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โŠ† (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) โ†พ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))) = (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))))
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) โ†พ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))) = (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))
8116adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
8221adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
83 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)))
84 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (invgโ€˜๐‘…) = (invgโ€˜๐‘…)
856, 7, 66, 5, 84zrhpsgnodpm 21364 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))
8681, 82, 83, 85syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))
8786oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))) = (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))
88 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)))
8988, 49sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9012, 8, 66, 84, 81, 89ringnegl 20190 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))) โ†’ (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))
9187, 90eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))
9291mpteq2dva 5247 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) = (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))))
93 ringgrp 20132 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
9416, 93syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
9512, 84grpinvf 18907 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ Grp โ†’ (invgโ€˜๐‘…):(Baseโ€˜๐‘…)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (invgโ€˜๐‘…):(Baseโ€˜๐‘…)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
9796, 89cofmpt 7131 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((invgโ€˜๐‘…) โˆ˜ (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) = (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))))
9892, 97eqtr4d 2773 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) = ((invgโ€˜๐‘…) โˆ˜ (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))))
9980, 98eqtrid 2782 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) โ†พ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))) = ((invgโ€˜๐‘…) โˆ˜ (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))))
10099oveq2d 7427 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) โ†พ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)))) = (๐‘… ฮฃg ((invgโ€˜๐‘…) โˆ˜ (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))))
101 mdetralt.z . . . . . 6 0 = (0gโ€˜๐‘…)
102 ringabl 20169 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Abel)
10316, 102syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Abel)
104 difssd 4131 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โŠ† (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)))
10524, 104ssfid 9269 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆˆ Fin)
106 eqid 2730 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))) = (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))
10712, 101, 84, 103, 105, 89, 106gsummptfidminv 19856 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg ((invgโ€˜๐‘…) โˆ˜ (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))))
10889ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
109 mdetralt.i . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
110 mdetralt.j . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐‘)
111109, 110prssd 4824 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ {๐ผ, ๐ฝ} โŠ† ๐‘)
112 mdetralt.ij . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰  ๐ฝ)
113 enpr2 9999 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ผ โ‰  ๐ฝ) โ†’ {๐ผ, ๐ฝ} โ‰ˆ 2o)
114109, 110, 112, 113syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ {๐ผ, ๐ฝ} โ‰ˆ 2o)
115 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (pmTrspโ€˜๐‘) = (pmTrspโ€˜๐‘)
116 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 ran (pmTrspโ€˜๐‘) = ran (pmTrspโ€˜๐‘)
117115, 116pmtrrn 19366 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง {๐ผ, ๐ฝ} โŠ† ๐‘ โˆง {๐ผ, ๐ฝ} โ‰ˆ 2o) โ†’ ((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆˆ ran (pmTrspโ€˜๐‘))
11821, 111, 114, 117syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆˆ ran (pmTrspโ€˜๐‘))
11922, 5, 116pmtrodpm 21369 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆˆ ran (pmTrspโ€˜๐‘)) โ†’ ((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)))
12021, 118, 119syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)))
12122, 5evpmodpmf1o 21368 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ž โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž)):(pmEvenโ€˜๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)))
12221, 120, 121syl2anc 582 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ž โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž)):(pmEvenโ€˜๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)))
12312, 18, 105, 108, 106, 122gsummptfif1o 19877 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) = (๐‘… ฮฃg ((๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))) โˆ˜ (๐‘ž โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž)))))
124 eleq1w 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†” ๐‘ž โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)))
125124anbi2d 627 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘))))
126 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘) = (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž))
127126eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘) โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†” (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž) โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))))
128125, 127imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘) โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž) โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)))))
12922symggrp 19309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (SymGrpโ€˜๐‘) โˆˆ Grp)
13021, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (SymGrpโ€˜๐‘) โˆˆ Grp)
131130adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ (SymGrpโ€˜๐‘) โˆˆ Grp)
132116, 22, 5symgtrf 19378 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (pmTrspโ€˜๐‘) โŠ† (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
133118adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ ((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆˆ ran (pmTrspโ€˜๐‘))
134132, 133sselid 3979 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ ((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)))
13570adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)))
136 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = (+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
1375, 136grpcl 18863 . . . . . . . . . . . . 13 (((SymGrpโ€˜๐‘) โˆˆ Grp โˆง ((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)))
138131, 134, 135, 137syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)))
139 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs {1, -1}) = ((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs {1, -1})
14022, 7, 139psgnghm2 21353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (pmSgnโ€˜๐‘) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) GrpHom ((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs {1, -1})))
14121, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (pmSgnโ€˜๐‘) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) GrpHom ((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs {1, -1})))
142141adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ (pmSgnโ€˜๐‘) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) GrpHom ((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs {1, -1})))
143 prex 5431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {1, -1} โˆˆ V
144 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrpโ€˜โ„‚fld) = (mulGrpโ€˜โ„‚fld)
145 cnfldmul 21150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ยท = (.rโ€˜โ„‚fld)
146144, 145mgpplusg 20032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜โ„‚fld))
147139, 146ressplusg 17239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({1, -1} โˆˆ V โ†’ ยท = (+gโ€˜((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs {1, -1})))
148143, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ยท = (+gโ€˜((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs {1, -1}))
1495, 136, 148ghmlin 19135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((pmSgnโ€˜๐‘) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) GrpHom ((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs {1, -1})) โˆง ((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜(((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘)) = (((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})) ยท ((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘)))
150142, 134, 135, 149syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ ((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜(((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘)) = (((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})) ยท ((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘)))
15122, 116, 7psgnpmtr 19419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆˆ ran (pmTrspโ€˜๐‘) โ†’ ((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})) = -1)
152133, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ ((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})) = -1)
15322, 5, 7psgnevpm 21361 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ ((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘) = 1)
15421, 153sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ ((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘) = 1)
155152, 154oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ (((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})) ยท ((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘)) = (-1 ยท 1))
156 neg1cn 12330 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 โˆˆ โ„‚
157156mulridi 11222 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 ยท 1) = -1
158155, 157eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ (((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})) ยท ((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘)) = -1)
159150, 158eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ ((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜(((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘)) = -1)
16022, 5, 7psgnodpmr 21362 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆง ((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜(((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘)) = -1) โ†’ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘) โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)))
16164, 138, 159, 160syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘) โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)))
162128, 161chvarvv 2000 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž) โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)))
163 eqidd 2731 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ž โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž)) = (๐‘ž โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž)))
164 eqidd 2731 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))) = (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))
165 fveq1 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘) = ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž)โ€˜๐‘))
166165oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘) = (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž)โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))
167166mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)) = (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž)โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))
168167oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž)โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))
169162, 163, 164, 168fmptco 7128 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))) โˆ˜ (๐‘ž โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž))) = (๐‘ž โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž)โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))
170 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ž = ๐‘ โ†’ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž) = (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘))
171170fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ž = ๐‘ โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž)โ€˜๐‘) = ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘)โ€˜๐‘))
172171oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ž = ๐‘ โ†’ (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž)โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘) = (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘)โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))
173172mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ž = ๐‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž)โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)) = (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘)โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))
174173oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ž = ๐‘ โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž)โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘)โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))
175174cbvmptv 5260 . . . . . . . . . 10 (๐‘ž โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž)โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))) = (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘)โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))
176175a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ž โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž)โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))) = (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘)โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))
177134adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)))
178135adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)))
17922, 5, 136symgov 19292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘) = (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆ˜ ๐‘))
180177, 178, 179syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘) = (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆ˜ ๐‘))
181180fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘)โ€˜๐‘) = ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘))
18270, 44sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘:๐‘โŸถ๐‘)
183 fvco3 6989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘:๐‘โŸถ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘) = (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘)))
184182, 183sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘) = (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘)))
185181, 184eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘)โ€˜๐‘) = (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘)))
186185oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘)โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘) = ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘))๐‘‹๐‘))
187115pmtrprfv 19362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ผ โ‰  ๐ฝ)) โ†’ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜๐ผ) = ๐ฝ)
18821, 109, 110, 112, 187syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜๐ผ) = ๐ฝ)
189188ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜๐ผ) = ๐ฝ)
190189oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜๐ผ)๐‘‹๐‘) = (๐ฝ๐‘‹๐‘))
191 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐ผ๐‘‹๐‘Ž) = (๐ผ๐‘‹๐‘))
192 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐ฝ๐‘‹๐‘Ž) = (๐ฝ๐‘‹๐‘))
193191, 192eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((๐ผ๐‘‹๐‘Ž) = (๐ฝ๐‘‹๐‘Ž) โ†” (๐ผ๐‘‹๐‘) = (๐ฝ๐‘‹๐‘)))
194 mdetralt.eq . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ (๐ผ๐‘‹๐‘Ž) = (๐ฝ๐‘‹๐‘Ž))
195194ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ (๐ผ๐‘‹๐‘Ž) = (๐ฝ๐‘‹๐‘Ž))
196 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
197193, 195, 196rspcdva 3612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ผ๐‘‹๐‘) = (๐ฝ๐‘‹๐‘))
198190, 197eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜๐ผ)๐‘‹๐‘) = (๐ผ๐‘‹๐‘))
199 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘โ€˜๐‘) = ๐ผ โ†’ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) = (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜๐ผ))
200199oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘โ€˜๐‘) = ๐ผ โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘))๐‘‹๐‘) = ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜๐ผ)๐‘‹๐‘))
201 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘โ€˜๐‘) = ๐ผ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘) = (๐ผ๐‘‹๐‘))
202200, 201eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘โ€˜๐‘) = ๐ผ โ†’ (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘))๐‘‹๐‘) = ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘) โ†” ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜๐ผ)๐‘‹๐‘) = (๐ผ๐‘‹๐‘)))
203198, 202syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘) = ๐ผ โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘))๐‘‹๐‘) = ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))
204 prcom 4735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {๐ผ, ๐ฝ} = {๐ฝ, ๐ผ}
205204fveq2i 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) = ((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ฝ, ๐ผ})
206205fveq1i 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜๐ฝ) = (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ฝ, ๐ผ})โ€˜๐ฝ)
207112necomd 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โ‰  ๐ผ)
208115pmtrprfv 19362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง (๐ฝ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โ‰  ๐ผ)) โ†’ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ฝ, ๐ผ})โ€˜๐ฝ) = ๐ผ)
20921, 110, 109, 207, 208syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ฝ, ๐ผ})โ€˜๐ฝ) = ๐ผ)
210206, 209eqtrid 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜๐ฝ) = ๐ผ)
211210oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜๐ฝ)๐‘‹๐‘) = (๐ผ๐‘‹๐‘))
212211ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜๐ฝ)๐‘‹๐‘) = (๐ผ๐‘‹๐‘))
213212, 197eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜๐ฝ)๐‘‹๐‘) = (๐ฝ๐‘‹๐‘))
214 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘โ€˜๐‘) = ๐ฝ โ†’ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) = (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜๐ฝ))
215214oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘โ€˜๐‘) = ๐ฝ โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘))๐‘‹๐‘) = ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜๐ฝ)๐‘‹๐‘))
216 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘โ€˜๐‘) = ๐ฝ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘) = (๐ฝ๐‘‹๐‘))
217215, 216eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘โ€˜๐‘) = ๐ฝ โ†’ (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘))๐‘‹๐‘) = ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘) โ†” ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜๐ฝ)๐‘‹๐‘) = (๐ฝ๐‘‹๐‘)))
218213, 217syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘) = ๐ฝ โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘))๐‘‹๐‘) = ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))
219218a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘) = ๐ฝ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ผ โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘))๐‘‹๐‘) = ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))
220 neanior 3033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ฝ โˆง (๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ผ) โ†” ยฌ ((๐‘โ€˜๐‘) = ๐ฝ โˆจ (๐‘โ€˜๐‘) = ๐ผ))
221 elpri 4649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘โ€˜๐‘) โˆˆ {๐ผ, ๐ฝ} โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘) = ๐ผ โˆจ (๐‘โ€˜๐‘) = ๐ฝ))
222221orcomd 867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘โ€˜๐‘) โˆˆ {๐ผ, ๐ฝ} โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘) = ๐ฝ โˆจ (๐‘โ€˜๐‘) = ๐ผ))
223222con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ยฌ ((๐‘โ€˜๐‘) = ๐ฝ โˆจ (๐‘โ€˜๐‘) = ๐ผ) โ†’ ยฌ (๐‘โ€˜๐‘) โˆˆ {๐ผ, ๐ฝ})
224220, 223sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ฝ โˆง (๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ผ) โ†’ ยฌ (๐‘โ€˜๐‘) โˆˆ {๐ผ, ๐ฝ})
2252243adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ฝ โˆง (๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ผ) โ†’ ยฌ (๐‘โ€˜๐‘) โˆˆ {๐ผ, ๐ฝ})
226115pmtrmvd 19365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง {๐ผ, ๐ฝ} โŠ† ๐‘ โˆง {๐ผ, ๐ฝ} โ‰ˆ 2o) โ†’ dom (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆ– I ) = {๐ผ, ๐ฝ})
22721, 111, 114, 226syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ dom (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆ– I ) = {๐ผ, ๐ฝ})
228227ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ dom (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆ– I ) = {๐ผ, ๐ฝ})
2292283ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ฝ โˆง (๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ผ) โ†’ dom (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆ– I ) = {๐ผ, ๐ฝ})
230225, 229neleqtrrd 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ฝ โˆง (๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ผ) โ†’ ยฌ (๐‘โ€˜๐‘) โˆˆ dom (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆ– I ))
231115pmtrf 19364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง {๐ผ, ๐ฝ} โŠ† ๐‘ โˆง {๐ผ, ๐ฝ} โ‰ˆ 2o) โ†’ ((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}):๐‘โŸถ๐‘)
23221, 111, 114, 231syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ ((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}):๐‘โŸถ๐‘)
233232ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ ((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) Fn ๐‘)
234233ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) Fn ๐‘)
235182ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘) โˆˆ ๐‘)
236 fnelnfp 7176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) Fn ๐‘ โˆง (๐‘โ€˜๐‘) โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘) โˆˆ dom (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆ– I ) โ†” (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) โ‰  (๐‘โ€˜๐‘)))
237234, 235, 236syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘) โˆˆ dom (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆ– I ) โ†” (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) โ‰  (๐‘โ€˜๐‘)))
2382373ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ฝ โˆง (๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ผ) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘) โˆˆ dom (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆ– I ) โ†” (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) โ‰  (๐‘โ€˜๐‘)))
239238necon2bbid 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ฝ โˆง (๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ผ) โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) = (๐‘โ€˜๐‘) โ†” ยฌ (๐‘โ€˜๐‘) โˆˆ dom (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ}) โˆ– I )))
240230, 239mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ฝ โˆง (๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ผ) โ†’ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) = (๐‘โ€˜๐‘))
241240oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ฝ โˆง (๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ผ) โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘))๐‘‹๐‘) = ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))
2422413exp 1117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ฝ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ผ โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘))๐‘‹๐‘) = ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))
243219, 242pm2.61dne 3026 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘) โ‰  ๐ผ โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘))๐‘‹๐‘) = ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))
244203, 243pm2.61dne 3026 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})โ€˜(๐‘โ€˜๐‘))๐‘‹๐‘) = ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))
245186, 244eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘)โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘) = ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))
246245mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘)โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)) = (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))
247246oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘)โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))
248247mpteq2dva 5247 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘)โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))) = (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))
249169, 176, 2483eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))) โˆ˜ (๐‘ž โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž))) = (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))
250249oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg ((๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))) โˆ˜ (๐‘ž โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ (((pmTrspโ€˜๐‘)โ€˜{๐ผ, ๐ฝ})(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘ž)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))))
251123, 250eqtrd 2770 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))))
252251fveq2d 6894 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))))
253100, 107, 2523eqtrd 2774 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) โ†พ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘)))) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))))
25477, 253oveq12d 7429 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… ฮฃg ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) โ†พ (pmEvenโ€˜๐‘)))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) โ†พ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))))))
25554a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (pmEvenโ€˜๐‘) โŠ† (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)))
25624, 255ssfid 9269 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (pmEvenโ€˜๐‘) โˆˆ Fin)
25771ralrimiva 3144 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
25812, 18, 256, 257gsummptcl 19876 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
25912, 13, 101, 84grprinv 18911 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))))) = 0 )
26094, 258, 259syl2anc 582 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘)))))(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (pmEvenโ€˜๐‘) โ†ฆ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))))) = 0 )
261254, 260eqtrd 2770 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… ฮฃg ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) โ†พ (pmEvenโ€˜๐‘)))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘)๐‘‹๐‘))))) โ†พ ((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆ– (pmEvenโ€˜๐‘))))) = 0 )
26211, 60, 2613eqtrd 2774 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘‹) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆ€wral 3059  Vcvv 3472   โˆ– cdif 3944   โˆช cun 3945   โˆฉ cin 3946   โŠ† wss 3947  โˆ…c0 4321  {cpr 4629   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230   I cid 5572   ร— cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676   โ†พ cres 5677   โˆ˜ ccom 5679   Fn wfn 6537  โŸถwf 6538  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6541  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  2oc2o 8462   โ†‘m cmap 8822   โ‰ˆ cen 8938  Fincfn 8941  1c1 11113   ยท cmul 11117  -cneg 11449  Basecbs 17148   โ†พs cress 17177  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  0gc0g 17389   ฮฃg cgsu 17390   MndHom cmhm 18703  Grpcgrp 18855  invgcminusg 18856   GrpHom cghm 19127  SymGrpcsymg 19275  pmTrspcpmtr 19350  pmSgncpsgn 19398  pmEvencevpm 19399  CMndccmn 19689  Abelcabl 19690  mulGrpcmgp 20028  1rcur 20075  Ringcrg 20127  CRingccrg 20128  โ„‚fldccnfld 21144  โ„คRHomczrh 21268   Mat cmat 22127   maDet cmdat 22306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1508  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14704  df-reverse 14713  df-s2 14803  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-efmnd 18786  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-gim 19173  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-symg 19276  df-pmtr 19351  df-psgn 19400  df-evpm 19401  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-cnfld 21145  df-zring 21218  df-zrh 21272  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-mat 22128  df-mdet 22307
This theorem is referenced by:  mdetralt2  22331  mdetuni0  22343  mdetmul  22345
  Copyright terms: Public domain W3C validator