MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetralt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetralt 21133
Description: The determinant function is alternating regarding rows: if a matrix has two identical rows, its determinant is 0. Corollary 4.9 in [Lang] p. 515. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetralt.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetralt.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetralt.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetralt.z 0 = (0g𝑅)
mdetralt.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetralt.x (𝜑𝑋𝐵)
mdetralt.i (𝜑𝐼𝑁)
mdetralt.j (𝜑𝐽𝑁)
mdetralt.ij (𝜑𝐼𝐽)
mdetralt.eq (𝜑 → ∀𝑎𝑁 (𝐼𝑋𝑎) = (𝐽𝑋𝑎))
Assertion
Ref Expression
mdetralt (𝜑 → (𝐷𝑋) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐼,𝑎   𝐽,𝑎   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   0 (𝑎)

Proof of Theorem mdetralt
Dummy variables 𝑐 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetralt.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
2 mdetralt.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
3 mdetralt.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 mdetralt.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
5 eqid 2824 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6 eqid 2824 . . . 4 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
7 eqid 2824 . . . 4 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
8 eqid 2824 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
9 eqid 2824 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mdetleib 21112 . . 3 (𝑋𝐵 → (𝐷𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
111, 10syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
12 eqid 2824 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13 eqid 2824 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
14 mdetralt.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
15 crngring 19230 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
17 ringcmn 19253 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
193, 4matrcl 20937 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
201, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
2120simpld 495 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
22 eqid 2824 . . . . 5 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2322, 5symgbasfi 18436 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
2421, 23syl 17 . . 3 (𝜑 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
2516adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
26 zrhpsgnmhm 20644 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
2716, 21, 26syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
289, 12mgpbas 19167 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
295, 28mhmf 17951 . . . . . 6 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘𝑅))
3027, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘𝑅))
3130ffvelrnda 6846 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
329crngmgp 19227 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3314, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3433adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3521adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
363, 12, 4matbas2i 20947 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
371, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
38 elmapi 8421 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
4039ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
4122, 5symgbasf1o 18433 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑝:𝑁1-1-onto𝑁)
4241adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁1-1-onto𝑁)
43 f1of 6611 . . . . . . . . 9 (𝑝:𝑁1-1-onto𝑁𝑝:𝑁𝑁)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁𝑁)
4544ffvelrnda 6846 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → (𝑝𝑐) ∈ 𝑁)
46 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑐𝑁)
4740, 45, 46fovrnd 7313 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
4847ralrimiva 3186 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑐𝑁 ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
4928, 34, 35, 48gsummptcl 19009 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅))
5012, 8ringcl 19233 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∈ (Base‘𝑅))
5125, 31, 49, 50syl3anc 1365 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∈ (Base‘𝑅))
52 disjdif 4423 . . . 4 ((pmEven‘𝑁) ∩ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = ∅
5352a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((pmEven‘𝑁) ∩ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = ∅)
5422, 5evpmss 20646 . . . . . 6 (pmEven‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
55 undif 4432 . . . . . 6 ((pmEven‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ ((pmEven‘𝑁) ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
5654, 55mpbi 231 . . . . 5 ((pmEven‘𝑁) ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5756eqcomi 2833 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ((pmEven‘𝑁) ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
5857a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ((pmEven‘𝑁) ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))))
59 eqid 2824 . . 3 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
6012, 13, 18, 24, 51, 53, 58, 59gsummptfidmsplitres 18973 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))) = ((𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)))(+g𝑅)(𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))))))
61 resmpt 5903 . . . . . . 7 ((pmEven‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
6254, 61ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
6316adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
6421adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
65 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁))
66 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) = (1r𝑅)
676, 7, 66zrhpsgnevpm 20651 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = (1r𝑅))
6863, 64, 65, 67syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = (1r𝑅))
6968oveq1d 7166 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((1r𝑅)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
7054sseli 3966 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
7170, 49sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅))
7212, 8, 66ringlidm 19243 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
7363, 71, 72syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
7469, 73eqtrd 2860 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
7574mpteq2dva 5157 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
7662, 75syl5eq 2872 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
7776oveq2d 7167 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
78 difss 4111 . . . . . . . 8 ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
79 resmpt 5903 . . . . . . . 8 (((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
8116adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
8221adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
83 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
84 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (invg𝑅) = (invg𝑅)
856, 7, 66, 5, 84zrhpsgnodpm 20652 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
8681, 82, 83, 85syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
8786oveq1d 7166 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = (((invg𝑅)‘(1r𝑅))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
88 eldifi 4106 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
8988, 49sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅))
9012, 8, 66, 84, 81, 89ringnegl 19266 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → (((invg𝑅)‘(1r𝑅))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((invg𝑅)‘((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
9187, 90eqtrd 2860 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((invg𝑅)‘((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
9291mpteq2dva 5157 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((invg𝑅)‘((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
93 ringgrp 19224 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
9416, 93syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
9512, 84grpinvf 18082 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Grp → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
9796, 89cofmpt 6889 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((invg𝑅) ∘ (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((invg𝑅)‘((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
9892, 97eqtr4d 2863 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = ((invg𝑅) ∘ (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
9980, 98syl5eq 2872 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = ((invg𝑅) ∘ (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
10099oveq2d 7167 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))) = (𝑅 Σg ((invg𝑅) ∘ (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
101 mdetralt.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
102 ringabl 19252 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
10316, 102syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Abel)
104 difssd 4112 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
10524, 104ssfid 8733 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ∈ Fin)
106 eqid 2824 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
10712, 101, 84, 103, 105, 89, 106gsummptfidminv 18989 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg ((invg𝑅) ∘ (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))) = ((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
10889ralrimiva 3186 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅))
109 mdetralt.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼𝑁)
110 mdetralt.j . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽𝑁)
111109, 110prssd 4753 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝑁)
112 mdetralt.ij . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼𝐽)
113 pr2nelem 9422 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐼𝐽) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
114109, 110, 112, 113syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
115 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
116 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
117115, 116pmtrrn 18507 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝑁 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝑁))
11821, 111, 114, 117syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝑁))
11922, 5, 116pmtrodpm 20657 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
12021, 118, 119syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
12122, 5evpmodpmf1o 20656 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)):(pmEven‘𝑁)–1-1-onto→((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
12221, 120, 121syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)):(pmEven‘𝑁)–1-1-onto→((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
12312, 18, 105, 108, 106, 122gsummptfif1o 19010 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∘ (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)))))
124 eleq1w 2899 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↔ 𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁)))
125124anbi2d 628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑞 → ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ↔ (𝜑𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁))))
126 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑞 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞))
127126eleq1d 2901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑞 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↔ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))))
128125, 127imbi12d 346 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑞 → (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) ↔ ((𝜑𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))))
12922symggrp 18450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
13021, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
131130adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
132116, 22, 5symgtrf 18519 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (pmTrsp‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
133118adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝑁))
134132, 133sseldi 3968 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
13570adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
136 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g‘(SymGrp‘𝑁)) = (+g‘(SymGrp‘𝑁))
1375, 136grpcl 18043 . . . . . . . . . . . . 13 (((SymGrp‘𝑁) ∈ Grp ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
138131, 134, 135, 137syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
139 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
14022, 7, 139psgnghm2 20641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ Fin → (pmSgn‘𝑁) ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
14121, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (pmSgn‘𝑁) ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
142141adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (pmSgn‘𝑁) ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
143 prex 5328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {1, -1} ∈ V
144 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
145 cnfldmul 20467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 · = (.r‘ℂfld)
146144, 145mgpplusg 19165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
147139, 146ressplusg 16604 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({1, -1} ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
148143, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
1495, 136, 148ghmlin 18295 . . . . . . . . . . . . . 14 (((pmSgn‘𝑁) ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((pmSgn‘𝑁)‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)) = (((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) · ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝)))
150142, 134, 135, 149syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmSgn‘𝑁)‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)) = (((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) · ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝)))
15122, 116, 7psgnpmtr 18560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝑁) → ((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) = -1)
152133, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) = -1)
15322, 5, 7psgnevpm 20649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝) = 1)
15421, 153sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝) = 1)
155152, 154oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) · ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝)) = (-1 · 1))
156 neg1cn 11743 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
157156mulid1i 10637 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 · 1) = -1
158155, 157syl6eq 2876 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) · ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝)) = -1)
159150, 158eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmSgn‘𝑁)‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)) = -1)
16022, 5, 7psgnodpmr 20650 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ ((pmSgn‘𝑁)‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)) = -1) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
16164, 138, 159, 160syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
162128, 161chvarvv 1998 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
163 eqidd 2825 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)) = (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)))
164 eqidd 2825 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
165 fveq1 6665 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) → (𝑝𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐))
166165oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) → ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) = (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐))
167166mpteq2dv 5158 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) → (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)) = (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐)))
168167oveq2d 7167 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐))))
169162, 163, 164, 168fmptco 6886 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∘ (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞))) = (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐)))))
170 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑝 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝))
171170fveq1d 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑝 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐))
172171oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑝 → (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐) = (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐))
173172mpteq2dv 5158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑝 → (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐)) = (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐)))
174173oveq2d 7167 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑝 → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐))))
175174cbvmptv 5165 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐)))) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐))))
176175a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐)))) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐)))))
177134adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
178135adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
17922, 5, 136symgov 18440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝑝))
180177, 178, 179syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝑝))
181180fveq1d 6668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝑝)‘𝑐))
18270, 44sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑝:𝑁𝑁)
183 fvco3 6756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝:𝑁𝑁𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝑝)‘𝑐) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)))
184182, 183sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝑝)‘𝑐) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)))
185181, 184eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)))
186185oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐))
187115pmtrprfv 18503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐼𝐽)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼) = 𝐽)
18821, 109, 110, 112, 187syl13anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼) = 𝐽)
189188ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼) = 𝐽)
190189oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼)𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐))
191 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑐 → (𝐼𝑋𝑎) = (𝐼𝑋𝑐))
192 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑐 → (𝐽𝑋𝑎) = (𝐽𝑋𝑐))
193191, 192eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑐 → ((𝐼𝑋𝑎) = (𝐽𝑋𝑎) ↔ (𝐼𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐)))
194 mdetralt.eq . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑎𝑁 (𝐼𝑋𝑎) = (𝐽𝑋𝑎))
195194ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ∀𝑎𝑁 (𝐼𝑋𝑎) = (𝐽𝑋𝑎))
196 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑐𝑁)
197193, 195, 196rspcdva 3628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (𝐼𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐))
198190, 197eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼)𝑋𝑐) = (𝐼𝑋𝑐))
199 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝𝑐) = 𝐼 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼))
200199oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝𝑐) = 𝐼 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼)𝑋𝑐))
201 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝𝑐) = 𝐼 → ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) = (𝐼𝑋𝑐))
202200, 201eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝𝑐) = 𝐼 → (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) ↔ ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼)𝑋𝑐) = (𝐼𝑋𝑐)))
203198, 202syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) = 𝐼 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))
204 prcom 4666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝐼, 𝐽} = {𝐽, 𝐼}
205204fveq2i 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐽, 𝐼})
206205fveq1i 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐽, 𝐼})‘𝐽)
207112necomd 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐽𝐼)
208115pmtrprfv 18503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝐽𝑁𝐼𝑁𝐽𝐼)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐽, 𝐼})‘𝐽) = 𝐼)
20921, 110, 109, 207, 208syl13anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐽, 𝐼})‘𝐽) = 𝐼)
210206, 209syl5eq 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽) = 𝐼)
211210oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽)𝑋𝑐) = (𝐼𝑋𝑐))
212211ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽)𝑋𝑐) = (𝐼𝑋𝑐))
213212, 197eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽)𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐))
214 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝𝑐) = 𝐽 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽))
215214oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝𝑐) = 𝐽 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽)𝑋𝑐))
216 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝𝑐) = 𝐽 → ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐))
217215, 216eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝𝑐) = 𝐽 → (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) ↔ ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽)𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐)))
218213, 217syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) = 𝐽 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))
219218a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) = 𝐽 → ((𝑝𝑐) ≠ 𝐼 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
220 neanior 3113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) ↔ ¬ ((𝑝𝑐) = 𝐽 ∨ (𝑝𝑐) = 𝐼))
221 elpri 4585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝𝑐) ∈ {𝐼, 𝐽} → ((𝑝𝑐) = 𝐼 ∨ (𝑝𝑐) = 𝐽))
222221orcomd 867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝𝑐) ∈ {𝐼, 𝐽} → ((𝑝𝑐) = 𝐽 ∨ (𝑝𝑐) = 𝐼))
223222con3i 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ ((𝑝𝑐) = 𝐽 ∨ (𝑝𝑐) = 𝐼) → ¬ (𝑝𝑐) ∈ {𝐼, 𝐽})
224220, 223sylbi 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ¬ (𝑝𝑐) ∈ {𝐼, 𝐽})
2252243adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ¬ (𝑝𝑐) ∈ {𝐼, 𝐽})
226115pmtrmvd 18506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ Fin ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝑁 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
22721, 111, 114, 226syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
228227ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
2292283ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
230225, 229neleqtrrd 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ¬ (𝑝𝑐) ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ))
231115pmtrf 18505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ Fin ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝑁 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}):𝑁𝑁)
23221, 111, 114, 231syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}):𝑁𝑁)
233232ffnd 6511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) Fn 𝑁)
234233ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) Fn 𝑁)
235182ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (𝑝𝑐) ∈ 𝑁)
236 fnelnfp 6934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) Fn 𝑁 ∧ (𝑝𝑐) ∈ 𝑁) → ((𝑝𝑐) ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ↔ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) ≠ (𝑝𝑐)))
237234, 235, 236syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ↔ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) ≠ (𝑝𝑐)))
2382373ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ((𝑝𝑐) ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ↔ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) ≠ (𝑝𝑐)))
239238necon2bbid 3063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) = (𝑝𝑐) ↔ ¬ (𝑝𝑐) ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I )))
240230, 239mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) = (𝑝𝑐))
241240oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))
2422413exp 1113 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) ≠ 𝐽 → ((𝑝𝑐) ≠ 𝐼 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
243219, 242pm2.61dne 3107 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) ≠ 𝐼 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))
244203, 243pm2.61dne 3107 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))
245186, 244eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))
246245mpteq2dva 5157 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐)) = (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))
247246oveq2d 7167 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
248247mpteq2dva 5157 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐)))) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
249169, 176, 2483eqtrd 2864 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∘ (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞))) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
250249oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∘ (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
251123, 250eqtrd 2860 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
252251fveq2d 6670 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))) = ((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
253100, 107, 2523eqtrd 2864 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))) = ((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
25477, 253oveq12d 7169 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)))(+g𝑅)(𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))))) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))))
25554a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (pmEven‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
25624, 255ssfid 8733 . . . . 5 (𝜑 → (pmEven‘𝑁) ∈ Fin)
25771ralrimiva 3186 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅))
25812, 18, 256, 257gsummptcl 19009 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ∈ (Base‘𝑅))
25912, 13, 101, 84grprinv 18085 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))) = 0 )
26094, 258, 259syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))) = 0 )
261254, 260eqtrd 2860 . 2 (𝜑 → ((𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)))(+g𝑅)(𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))))) = 0 )
26211, 60, 2613eqtrd 2864 1 (𝜑 → (𝐷𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2106  wne 3020  wral 3142  Vcvv 3499  cdif 3936  cun 3937  cin 3938  wss 3939  c0 4294  {cpr 4565   class class class wbr 5062  cmpt 5142   I cid 5457   × cxp 5551  dom cdm 5553  ran crn 5554  cres 5555  ccom 5557   Fn wfn 6346  wf 6347  1-1-ontowf1o 6350  cfv 6351  (class class class)co 7151  2oc2o 8090  m cmap 8399  cen 8498  Fincfn 8501  1c1 10530   · cmul 10534  -cneg 10863  Basecbs 16475  s cress 16476  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  0gc0g 16705   Σg cgsu 16706   MndHom cmhm 17944  Grpcgrp 18035  invgcminusg 18036   GrpHom cghm 18287  SymGrpcsymg 18427  pmTrspcpmtr 18491  pmSgncpsgn 18539  pmEvencevpm 18540  CMndccmn 18828  Abelcabl 18829  mulGrpcmgp 19161  1rcur 19173  Ringcrg 19219  CRingccrg 19220  fldccnfld 20461  ℤRHomczrh 20563   Mat cmat 20932   maDet cmdat 21109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-xor 1498  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-ot 4572  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-word 13855  df-lsw 13908  df-concat 13916  df-s1 13943  df-substr 13996  df-pfx 14026  df-splice 14105  df-reverse 14114  df-s2 14203  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17946  df-submnd 17947  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-mulg 18157  df-subg 18208  df-ghm 18288  df-gim 18331  df-cntz 18379  df-oppg 18406  df-symg 18428  df-pmtr 18492  df-psgn 18541  df-evpm 18542  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-cring 19222  df-oppr 19295  df-dvdsr 19313  df-unit 19314  df-invr 19344  df-dvr 19355  df-rnghom 19389  df-drng 19426  df-subrg 19455  df-sra 19866  df-rgmod 19867  df-cnfld 20462  df-zring 20534  df-zrh 20567  df-dsmm 20792  df-frlm 20807  df-mat 20933  df-mdet 21110
This theorem is referenced by:  mdetralt2  21134  mdetuni0  21146  mdetmul  21148
  Copyright terms: Public domain W3C validator