MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetralt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetralt 22614
Description: The determinant function is alternating regarding rows: if a matrix has two identical rows, its determinant is 0. Corollary 4.9 in [Lang] p. 515. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetralt.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetralt.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetralt.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetralt.z 0 = (0g𝑅)
mdetralt.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetralt.x (𝜑𝑋𝐵)
mdetralt.i (𝜑𝐼𝑁)
mdetralt.j (𝜑𝐽𝑁)
mdetralt.ij (𝜑𝐼𝐽)
mdetralt.eq (𝜑 → ∀𝑎𝑁 (𝐼𝑋𝑎) = (𝐽𝑋𝑎))
Assertion
Ref Expression
mdetralt (𝜑 → (𝐷𝑋) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐼,𝑎   𝐽,𝑎   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   0 (𝑎)

Proof of Theorem mdetralt
Dummy variables 𝑐 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetralt.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
2 mdetralt.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
3 mdetralt.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 mdetralt.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
5 eqid 2737 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6 eqid 2737 . . . 4 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
7 eqid 2737 . . . 4 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
8 eqid 2737 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
9 eqid 2737 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mdetleib 22593 . . 3 (𝑋𝐵 → (𝐷𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
111, 10syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
12 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13 eqid 2737 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
14 mdetralt.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
15 crngring 20242 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
17 ringcmn 20279 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
193, 4matrcl 22416 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
201, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
2120simpld 494 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
22 eqid 2737 . . . . 5 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2322, 5symgbasfi 19396 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
2421, 23syl 17 . . 3 (𝜑 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
2516adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
26 zrhpsgnmhm 21602 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
2716, 21, 26syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
289, 12mgpbas 20142 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
295, 28mhmf 18802 . . . . . 6 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘𝑅))
3027, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘𝑅))
3130ffvelcdmda 7104 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
329crngmgp 20238 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3314, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3433adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3521adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
363, 12, 4matbas2i 22428 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
371, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
38 elmapi 8889 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
4039ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
4122, 5symgbasf1o 19392 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑝:𝑁1-1-onto𝑁)
4241adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁1-1-onto𝑁)
43 f1of 6848 . . . . . . . . 9 (𝑝:𝑁1-1-onto𝑁𝑝:𝑁𝑁)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁𝑁)
4544ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → (𝑝𝑐) ∈ 𝑁)
46 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑐𝑁)
4740, 45, 46fovcdmd 7605 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
4847ralrimiva 3146 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑐𝑁 ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
4928, 34, 35, 48gsummptcl 19985 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅))
5012, 8ringcl 20247 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∈ (Base‘𝑅))
5125, 31, 49, 50syl3anc 1373 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∈ (Base‘𝑅))
52 disjdif 4472 . . . 4 ((pmEven‘𝑁) ∩ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = ∅
5352a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((pmEven‘𝑁) ∩ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = ∅)
5422, 5evpmss 21604 . . . . . 6 (pmEven‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
55 undif 4482 . . . . . 6 ((pmEven‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ ((pmEven‘𝑁) ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
5654, 55mpbi 230 . . . . 5 ((pmEven‘𝑁) ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5756eqcomi 2746 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ((pmEven‘𝑁) ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
5857a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ((pmEven‘𝑁) ∪ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))))
59 eqid 2737 . . 3 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
6012, 13, 18, 24, 51, 53, 58, 59gsummptfidmsplitres 19949 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))) = ((𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)))(+g𝑅)(𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))))))
61 resmpt 6055 . . . . . . 7 ((pmEven‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
6254, 61ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
6316adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
6421adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
65 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁))
66 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) = (1r𝑅)
676, 7, 66zrhpsgnevpm 21609 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = (1r𝑅))
6863, 64, 65, 67syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = (1r𝑅))
6968oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((1r𝑅)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
7054sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
7170, 49sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅))
7212, 8, 66ringlidm 20266 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
7363, 71, 72syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
7469, 73eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
7574mpteq2dva 5242 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
7662, 75eqtrid 2789 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
7776oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
78 difss 4136 . . . . . . . 8 ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
79 resmpt 6055 . . . . . . . 8 (((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
8116adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
8221adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
83 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
84 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (invg𝑅) = (invg𝑅)
856, 7, 66, 5, 84zrhpsgnodpm 21610 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
8681, 82, 83, 85syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
8786oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = (((invg𝑅)‘(1r𝑅))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
88 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
8988, 49sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅))
9012, 8, 66, 84, 81, 89ringnegl 20299 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → (((invg𝑅)‘(1r𝑅))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((invg𝑅)‘((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
9187, 90eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = ((invg𝑅)‘((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
9291mpteq2dva 5242 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((invg𝑅)‘((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
93 ringgrp 20235 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
9416, 93syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
9512, 84grpinvf 19004 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Grp → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
9796, 89cofmpt 7152 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((invg𝑅) ∘ (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((invg𝑅)‘((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
9892, 97eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = ((invg𝑅) ∘ (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
9980, 98eqtrid 2789 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) = ((invg𝑅) ∘ (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
10099oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))) = (𝑅 Σg ((invg𝑅) ∘ (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
101 mdetralt.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
102 ringabl 20278 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
10316, 102syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Abel)
104 difssd 4137 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
10524, 104ssfid 9301 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ∈ Fin)
106 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
10712, 101, 84, 103, 105, 89, 106gsummptfidminv 19965 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg ((invg𝑅) ∘ (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))) = ((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
10889ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅))
109 mdetralt.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼𝑁)
110 mdetralt.j . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽𝑁)
111109, 110prssd 4822 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝑁)
112 mdetralt.ij . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼𝐽)
113 enpr2 10042 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐼𝐽) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
114109, 110, 112, 113syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
115 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
116 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
117115, 116pmtrrn 19475 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝑁 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝑁))
11821, 111, 114, 117syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝑁))
11922, 5, 116pmtrodpm 21615 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
12021, 118, 119syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
12122, 5evpmodpmf1o 21614 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)):(pmEven‘𝑁)–1-1-onto→((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
12221, 120, 121syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)):(pmEven‘𝑁)–1-1-onto→((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
12312, 18, 105, 108, 106, 122gsummptfif1o 19986 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∘ (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)))))
124 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↔ 𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁)))
125124anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑞 → ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ↔ (𝜑𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁))))
126 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑞 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞))
127126eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑞 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↔ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))))
128125, 127imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑞 → (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) ↔ ((𝜑𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))))
12922symggrp 19418 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
13021, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
131130adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
132116, 22, 5symgtrf 19487 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (pmTrsp‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
133118adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝑁))
134132, 133sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
13570adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
136 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g‘(SymGrp‘𝑁)) = (+g‘(SymGrp‘𝑁))
1375, 136grpcl 18959 . . . . . . . . . . . . 13 (((SymGrp‘𝑁) ∈ Grp ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
138131, 134, 135, 137syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
139 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
14022, 7, 139psgnghm2 21599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ Fin → (pmSgn‘𝑁) ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
14121, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (pmSgn‘𝑁) ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
142141adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (pmSgn‘𝑁) ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
143 prex 5437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {1, -1} ∈ V
144 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
145 cnfldmul 21372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 · = (.r‘ℂfld)
146144, 145mgpplusg 20141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
147139, 146ressplusg 17334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({1, -1} ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
148143, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
1495, 136, 148ghmlin 19239 . . . . . . . . . . . . . 14 (((pmSgn‘𝑁) ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((pmSgn‘𝑁)‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)) = (((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) · ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝)))
150142, 134, 135, 149syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmSgn‘𝑁)‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)) = (((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) · ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝)))
15122, 116, 7psgnpmtr 19528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝑁) → ((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) = -1)
152133, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) = -1)
15322, 5, 7psgnevpm 21607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝) = 1)
15421, 153sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝) = 1)
155152, 154oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) · ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝)) = (-1 · 1))
156 neg1cn 12380 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
157156mulridi 11265 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 · 1) = -1
158155, 157eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmSgn‘𝑁)‘((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})) · ((pmSgn‘𝑁)‘𝑝)) = -1)
159150, 158eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((pmSgn‘𝑁)‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)) = -1)
16022, 5, 7psgnodpmr 21608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ ((pmSgn‘𝑁)‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)) = -1) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
16164, 138, 159, 160syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
162128, 161chvarvv 1998 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
163 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)) = (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)))
164 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) = (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
165 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) → (𝑝𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐))
166165oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) → ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) = (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐))
167166mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) → (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)) = (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐)))
168167oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐))))
169162, 163, 164, 168fmptco 7149 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∘ (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞))) = (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐)))))
170 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑝 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝))
171170fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑝 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐))
172171oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑝 → (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐) = (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐))
173172mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑝 → (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐)) = (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐)))
174173oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑝 → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐))))
175174cbvmptv 5255 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐)))) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐))))
176175a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)‘𝑐)𝑋𝑐)))) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐)))))
177134adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
178135adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
17922, 5, 136symgov 19401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝑝))
180177, 178, 179syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝑝))
181180fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝑝)‘𝑐))
18270, 44sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑝:𝑁𝑁)
183 fvco3 7008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝:𝑁𝑁𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝑝)‘𝑐) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)))
184182, 183sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝑝)‘𝑐) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)))
185181, 184eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)))
186185oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐))
187115pmtrprfv 19471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐼𝐽)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼) = 𝐽)
18821, 109, 110, 112, 187syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼) = 𝐽)
189188ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼) = 𝐽)
190189oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼)𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐))
191 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑐 → (𝐼𝑋𝑎) = (𝐼𝑋𝑐))
192 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑐 → (𝐽𝑋𝑎) = (𝐽𝑋𝑐))
193191, 192eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑐 → ((𝐼𝑋𝑎) = (𝐽𝑋𝑎) ↔ (𝐼𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐)))
194 mdetralt.eq . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑎𝑁 (𝐼𝑋𝑎) = (𝐽𝑋𝑎))
195194ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ∀𝑎𝑁 (𝐼𝑋𝑎) = (𝐽𝑋𝑎))
196 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑐𝑁)
197193, 195, 196rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (𝐼𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐))
198190, 197eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼)𝑋𝑐) = (𝐼𝑋𝑐))
199 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝𝑐) = 𝐼 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼))
200199oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝𝑐) = 𝐼 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼)𝑋𝑐))
201 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝𝑐) = 𝐼 → ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) = (𝐼𝑋𝑐))
202200, 201eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝𝑐) = 𝐼 → (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) ↔ ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐼)𝑋𝑐) = (𝐼𝑋𝑐)))
203198, 202syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) = 𝐼 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))
204 prcom 4732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝐼, 𝐽} = {𝐽, 𝐼}
205204fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐽, 𝐼})
206205fveq1i 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐽, 𝐼})‘𝐽)
207112necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐽𝐼)
208115pmtrprfv 19471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝐽𝑁𝐼𝑁𝐽𝐼)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐽, 𝐼})‘𝐽) = 𝐼)
20921, 110, 109, 207, 208syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐽, 𝐼})‘𝐽) = 𝐼)
210206, 209eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽) = 𝐼)
211210oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽)𝑋𝑐) = (𝐼𝑋𝑐))
212211ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽)𝑋𝑐) = (𝐼𝑋𝑐))
213212, 197eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽)𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐))
214 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝𝑐) = 𝐽 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽))
215214oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝𝑐) = 𝐽 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽)𝑋𝑐))
216 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝𝑐) = 𝐽 → ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐))
217215, 216eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝𝑐) = 𝐽 → (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐) ↔ ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽)𝑋𝑐) = (𝐽𝑋𝑐)))
218213, 217syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) = 𝐽 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))
219218a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) = 𝐽 → ((𝑝𝑐) ≠ 𝐼 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
220 neanior 3035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) ↔ ¬ ((𝑝𝑐) = 𝐽 ∨ (𝑝𝑐) = 𝐼))
221 elpri 4649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝𝑐) ∈ {𝐼, 𝐽} → ((𝑝𝑐) = 𝐼 ∨ (𝑝𝑐) = 𝐽))
222221orcomd 872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝𝑐) ∈ {𝐼, 𝐽} → ((𝑝𝑐) = 𝐽 ∨ (𝑝𝑐) = 𝐼))
223222con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ ((𝑝𝑐) = 𝐽 ∨ (𝑝𝑐) = 𝐼) → ¬ (𝑝𝑐) ∈ {𝐼, 𝐽})
224220, 223sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ¬ (𝑝𝑐) ∈ {𝐼, 𝐽})
2252243adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ¬ (𝑝𝑐) ∈ {𝐼, 𝐽})
226115pmtrmvd 19474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ Fin ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝑁 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
22721, 111, 114, 226syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
228227ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
2292283ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
230225, 229neleqtrrd 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ¬ (𝑝𝑐) ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ))
231115pmtrf 19473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ Fin ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝑁 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}):𝑁𝑁)
23221, 111, 114, 231syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}):𝑁𝑁)
233232ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) Fn 𝑁)
234233ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) Fn 𝑁)
235182ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (𝑝𝑐) ∈ 𝑁)
236 fnelnfp 7197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) Fn 𝑁 ∧ (𝑝𝑐) ∈ 𝑁) → ((𝑝𝑐) ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ↔ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) ≠ (𝑝𝑐)))
237234, 235, 236syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ↔ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) ≠ (𝑝𝑐)))
2382373ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ((𝑝𝑐) ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ↔ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) ≠ (𝑝𝑐)))
239238necon2bbid 2984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) = (𝑝𝑐) ↔ ¬ (𝑝𝑐) ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I )))
240230, 239mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐)) = (𝑝𝑐))
241240oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐽 ∧ (𝑝𝑐) ≠ 𝐼) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))
2422413exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) ≠ 𝐽 → ((𝑝𝑐) ≠ 𝐼 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
243219, 242pm2.61dne 3028 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐) ≠ 𝐼 → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))
244203, 243pm2.61dne 3028 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})‘(𝑝𝑐))𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))
245186, 244eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) ∧ 𝑐𝑁) → (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐) = ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))
246245mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐)) = (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))
247246oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))
248247mpteq2dva 5242 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ (((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝)‘𝑐)𝑋𝑐)))) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
249169, 176, 2483eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∘ (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞))) = (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))
250249oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))) ∘ (𝑞 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝐼, 𝐽})(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑞)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
251123, 250eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))
252251fveq2d 6910 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))) = ((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
253100, 107, 2523eqtrd 2781 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))) = ((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))))
25477, 253oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)))(+g𝑅)(𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))))) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))))
25554a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (pmEven‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
25624, 255ssfid 9301 . . . . 5 (𝜑 → (pmEven‘𝑁) ∈ Fin)
25771ralrimiva 3146 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))) ∈ (Base‘𝑅))
25812, 18, 256, 257gsummptcl 19985 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ∈ (Base‘𝑅))
25912, 13, 101, 84grprinv 19008 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))) = 0 )
26094, 258, 259syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐)))))(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑝 ∈ (pmEven‘𝑁) ↦ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))))) = 0 )
261254, 260eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → ((𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ (pmEven‘𝑁)))(+g𝑅)(𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑋𝑐))))) ↾ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))))) = 0 )
26211, 60, 2613eqtrd 2781 1 (𝜑 → (𝐷𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225   I cid 5577   × cxp 5683  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  ccom 5689   Fn wfn 6556  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  2oc2o 8500  m cmap 8866  cen 8982  Fincfn 8985  1c1 11156   · cmul 11160  -cneg 11493  Basecbs 17247  s cress 17274  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485   MndHom cmhm 18794  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952   GrpHom cghm 19230  SymGrpcsymg 19386  pmTrspcpmtr 19459  pmSgncpsgn 19507  pmEvencevpm 19508  CMndccmn 19798  Abelcabl 19799  mulGrpcmgp 20137  1rcur 20178  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  fldccnfld 21364  ℤRHomczrh 21510   Mat cmat 22411   maDet cmdat 22590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-reverse 14797  df-s2 14887  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-efmnd 18882  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-symg 19387  df-pmtr 19460  df-psgn 19509  df-evpm 19510  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mat 22412  df-mdet 22591
This theorem is referenced by:  mdetralt2  22615  mdetuni0  22627  mdetmul  22629
  Copyright terms: Public domain W3C validator