MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetunilem7 21967
Description: Lemma for mdetuni 21971. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g 0 = (0g𝑅)
mdetuni.1r 1 = (1r𝑅)
mdetuni.pg + = (+g𝑅)
mdetuni.tg · = (.r𝑅)
mdetuni.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
mdetuni.al (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
mdetuni.li (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
mdetuni.sc (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
Assertion
Ref Expression
mdetunilem7 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷𝐹)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem7
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6841 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐𝑎) = (𝑑𝑎))
21oveq1d 7372 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐𝑎)𝐹𝑏) = ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))
32mpoeq3dv 7436 . . . 4 (𝑐 = 𝑑 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
43fveq2d 6846 . . 3 (𝑐 = 𝑑 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
5 fveq2 6842 . . . 4 (𝑐 = 𝑑 → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑))
65oveq1d 7372 . . 3 (𝑐 = 𝑑 → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹)))
74, 6eqeq12d 2752 . 2 (𝑐 = 𝑑 → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))))
8 fveq1 6841 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → (𝑐𝑎) = ((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎))
98oveq1d 7372 . . . . 5 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → ((𝑐𝑎)𝐹𝑏) = (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))
109mpoeq3dv 7436 . . . 4 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏)))
1110fveq2d 6846 . . 3 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))))
12 fveq2 6842 . . . 4 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)))
1312oveq1d 7372 . . 3 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) · (𝐷𝐹)))
1411, 13eqeq12d 2752 . 2 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) · (𝐷𝐹))))
15 fveq1 6841 . . . . . 6 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → (𝑐𝑎) = ((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎))
1615oveq1d 7372 . . . . 5 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → ((𝑐𝑎)𝐹𝑏) = (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏))
1716mpoeq3dv 7436 . . . 4 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏)))
1817fveq2d 6846 . . 3 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏))))
19 fveq2 6842 . . . 4 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))))
2019oveq1d 7372 . . 3 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) · (𝐷𝐹)))
2118, 20eqeq12d 2752 . 2 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) · (𝐷𝐹))))
22 fveq1 6841 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐸 → (𝑐𝑎) = (𝐸𝑎))
2322oveq1d 7372 . . . . 5 (𝑐 = 𝐸 → ((𝑐𝑎)𝐹𝑏) = ((𝐸𝑎)𝐹𝑏))
2423mpoeq3dv 7436 . . . 4 (𝑐 = 𝐸 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)𝐹𝑏)))
2524fveq2d 6846 . . 3 (𝑐 = 𝐸 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)𝐹𝑏))))
26 fveq2 6842 . . . 4 (𝑐 = 𝐸 → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸))
2726oveq1d 7372 . . 3 (𝑐 = 𝐸 → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷𝐹)))
2825, 27eqeq12d 2752 . 2 (𝑐 = 𝐸 → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷𝐹))))
29 eqid 2736 . 2 (0g‘(SymGrp‘𝑁)) = (0g‘(SymGrp‘𝑁))
30 eqid 2736 . 2 (+g‘(SymGrp‘𝑁)) = (+g‘(SymGrp‘𝑁))
31 eqid 2736 . 2 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
32 mdetuni.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
33323ad2ant1 1133 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
34 eqid 2736 . . . 4 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
3534symggrp 19182 . . 3 (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
36 grpmnd 18755 . . 3 ((SymGrp‘𝑁) ∈ Grp → (SymGrp‘𝑁) ∈ Mnd)
3733, 35, 363syl 18 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Mnd)
38 eqid 2736 . . . 4 ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
3938, 34, 31symgtrf 19251 . . 3 ran (pmTrsp‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
4039a1i 11 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → ran (pmTrsp‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
41 eqid 2736 . . . . . 6 (mrCls‘(SubMnd‘(SymGrp‘𝑁))) = (mrCls‘(SubMnd‘(SymGrp‘𝑁)))
4238, 34, 31, 41symggen2 19253 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → ((mrCls‘(SubMnd‘(SymGrp‘𝑁)))‘ran (pmTrsp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
4332, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘(SymGrp‘𝑁)))‘ran (pmTrsp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
4443eqcomd 2742 . . 3 (𝜑 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ((mrCls‘(SubMnd‘(SymGrp‘𝑁)))‘ran (pmTrsp‘𝑁)))
45443ad2ant1 1133 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ((mrCls‘(SubMnd‘(SymGrp‘𝑁)))‘ran (pmTrsp‘𝑁)))
46 mdetuni.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
47463ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
48 mdetuni.ff . . . . . 6 (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
49483ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐷:𝐵𝐾)
50 simp3 1138 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐹𝐵)
5149, 50ffvelcdmd 7036 . . . 4 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝐷𝐹) ∈ 𝐾)
52 mdetuni.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
53 mdetuni.tg . . . . 5 · = (.r𝑅)
54 mdetuni.1r . . . . 5 1 = (1r𝑅)
5552, 53, 54ringlidm 19992 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷𝐹) ∈ 𝐾) → ( 1 · (𝐷𝐹)) = (𝐷𝐹))
5647, 51, 55syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → ( 1 · (𝐷𝐹)) = (𝐷𝐹))
57 zrhpsgnmhm 20988 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
5846, 32, 57syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
59 eqid 2736 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6059, 54ringidval 19915 . . . . . . 7 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
6129, 60mhm0 18610 . . . . . 6 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = 1 )
6258, 61syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = 1 )
63623ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = 1 )
6463oveq1d 7372 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) · (𝐷𝐹)) = ( 1 · (𝐷𝐹)))
6534symgid 19183 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
6632, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
67663ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
68673ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
6968fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑎) = ((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎))
70 simp2 1137 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑎𝑁)
71 fvresi 7119 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑎) = 𝑎)
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑎) = 𝑎)
7369, 72eqtr3d 2778 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎) = 𝑎)
7473oveq1d 7372 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏) = (𝑎𝐹𝑏))
7574mpoeq3dva 7434 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (𝑎𝐹𝑏)))
76 mdetuni.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
77 mdetuni.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
7876, 52, 77matbas2i 21771 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵𝐹 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)))
79783ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)))
80 elmapi 8787 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) → 𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
81 ffn 6668 . . . . . . 7 (𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾𝐹 Fn (𝑁 × 𝑁))
8279, 80, 813syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐹 Fn (𝑁 × 𝑁))
83 fnov 7487 . . . . . 6 (𝐹 Fn (𝑁 × 𝑁) ↔ 𝐹 = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (𝑎𝐹𝑏)))
8482, 83sylib 217 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐹 = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (𝑎𝐹𝑏)))
8575, 84eqtr4d 2779 . . . 4 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏)) = 𝐹)
8685fveq2d 6846 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷𝐹))
8756, 64, 863eqtr4rd 2787 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) · (𝐷𝐹)))
88 simp2 1137 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
8939sseli 3940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁) → 𝑒 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
90893ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑒 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
9134, 31, 30symgov 19165 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) = (𝑑𝑒))
9288, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) = (𝑑𝑒))
9392fveq1d 6844 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎) = ((𝑑𝑒)‘𝑎))
94933ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎) = ((𝑑𝑒)‘𝑎))
9534, 31symgbasf1o 19156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑒:𝑁1-1-onto𝑁)
96 f1of 6784 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒:𝑁1-1-onto𝑁𝑒:𝑁𝑁)
9790, 95, 963syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑒:𝑁𝑁)
98973ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑒:𝑁𝑁)
99 simp2 1137 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑎𝑁)
100 fvco3 6940 . . . . . . . . . 10 ((𝑒:𝑁𝑁𝑎𝑁) → ((𝑑𝑒)‘𝑎) = (𝑑‘(𝑒𝑎)))
10198, 99, 100syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑑𝑒)‘𝑎) = (𝑑‘(𝑒𝑎)))
10294, 101eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎) = (𝑑‘(𝑒𝑎)))
103102oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏) = ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))
104103mpoeq3dva 7434 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏)))
105104fveq2d 6846 . . . . 5 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))))
10634, 31symgbasf 19157 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑑:𝑁𝑁)
107 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
108107, 38pmtrrn2 19242 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁) → ∃𝑐𝑁𝑓𝑁 (𝑐𝑓𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})))
109 mdetuni.0g . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (0g𝑅)
110 mdetuni.pg . . . . . . . . . . . . . 14 + = (+g𝑅)
111 mdetuni.al . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
112 mdetuni.li . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
113 mdetuni.sc . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
114 simpll1 1212 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝜑)
115 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐𝑁𝑓𝑁𝑐𝑓) ↔ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓))
116115biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓) → (𝑐𝑁𝑓𝑁𝑐𝑓))
117116adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝑐𝑁𝑓𝑁𝑐𝑓))
11879, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
119118adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) → 𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
120119ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → 𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
121 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑑:𝑁𝑁)
122 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝑓𝑁)
123122adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑓𝑁)
124121, 123ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → (𝑑𝑓) ∈ 𝑁)
125 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
126120, 124, 125fovcdmd 7526 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → ((𝑑𝑓)𝐹𝑏) ∈ 𝐾)
127 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝑐𝑁)
128127adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑐𝑁)
129121, 128ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → (𝑑𝑐) ∈ 𝑁)
130120, 129, 125fovcdmd 7526 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → ((𝑑𝑐)𝐹𝑏) ∈ 𝐾)
131126, 130jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → (((𝑑𝑓)𝐹𝑏) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑑𝑐)𝐹𝑏) ∈ 𝐾))
132118ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
1331323ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
134 simp1lr 1237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑑:𝑁𝑁)
135 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑎𝑁)
136134, 135ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑑𝑎) ∈ 𝑁)
137 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
138133, 136, 137fovcdmd 7526 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) ∈ 𝐾)
13976, 77, 52, 109, 54, 110, 53, 32, 46, 48, 111, 112, 113, 114, 117, 131, 138mdetunilem6 21966 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))))
140 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) → 𝜑)
141 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑐 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑐))
14232adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝑁 ∈ Fin)
143 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝑐𝑁)
144 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝑓𝑁)
145 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝑐𝑓)
146107pmtrprfv 19235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑐𝑁𝑓𝑁𝑐𝑓)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑐) = 𝑓)
147142, 143, 144, 145, 146syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑐) = 𝑓)
148147adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑐) = 𝑓)
149141, 148sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑐) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = 𝑓)
150149fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑐) → (𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎)) = (𝑑𝑓))
151150oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑐) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = ((𝑑𝑓)𝐹𝑏))
152 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((𝑑𝑓)𝐹𝑏))
153152adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑐) → if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((𝑑𝑓)𝐹𝑏))
154151, 153eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑐) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
155 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 = 𝑓 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑓))
156 prcom 4693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 {𝑐, 𝑓} = {𝑓, 𝑐}
157156fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑓, 𝑐})
158157fveq1i 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑓) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑓, 𝑐})‘𝑓)
15932ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
160 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → (𝑐𝑁𝑓𝑁))
161160simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑓𝑁)
162160simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑐𝑁)
163 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑐𝑓)
164163necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑓𝑐)
165107pmtrprfv 19235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑓𝑁𝑐𝑁𝑓𝑐)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑓, 𝑐})‘𝑓) = 𝑐)
166159, 161, 162, 164, 165syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑓, 𝑐})‘𝑓) = 𝑐)
167158, 166eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑓) = 𝑐)
168155, 167sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑓) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = 𝑐)
169168fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑓) → (𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎)) = (𝑑𝑐))
170169oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑓) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = ((𝑑𝑐)𝐹𝑏))
171 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = 𝑓 → if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = ((𝑑𝑐)𝐹𝑏))
172171adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑓) → if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = ((𝑑𝑐)𝐹𝑏))
173170, 172eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑓) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
174173adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ 𝑎 = 𝑓) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
175 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑎 ∈ V
176175elpr 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓} ↔ (𝑎 = 𝑐𝑎 = 𝑓))
177176notbii 319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓} ↔ ¬ (𝑎 = 𝑐𝑎 = 𝑓))
178 ioran 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (¬ (𝑎 = 𝑐𝑎 = 𝑓) ↔ (¬ 𝑎 = 𝑐 ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓))
179177, 178sylbbr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((¬ 𝑎 = 𝑐 ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ¬ 𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓})
180179adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ¬ 𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓})
181 prssi 4781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑐𝑁𝑓𝑁) → {𝑐, 𝑓} ⊆ 𝑁)
182160, 181syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → {𝑐, 𝑓} ⊆ 𝑁)
183 pr2ne 9940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑐𝑁𝑓𝑁) → ({𝑐, 𝑓} ≈ 2o𝑐𝑓))
184160, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → ({𝑐, 𝑓} ≈ 2o𝑐𝑓))
185163, 184mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → {𝑐, 𝑓} ≈ 2o)
186107pmtrmvd 19238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ Fin ∧ {𝑐, 𝑓} ⊆ 𝑁 ∧ {𝑐, 𝑓} ≈ 2o) → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ) = {𝑐, 𝑓})
187159, 182, 185, 186syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ) = {𝑐, 𝑓})
188187eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → (𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ) ↔ 𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓}))
189188notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → (¬ 𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ) ↔ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓}))
190189ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → (¬ 𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ) ↔ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓}))
191180, 190mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ¬ 𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ))
192107pmtrf 19237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ Fin ∧ {𝑐, 𝑓} ⊆ 𝑁 ∧ {𝑐, 𝑓} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}):𝑁𝑁)
193159, 182, 185, 192syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}):𝑁𝑁)
194193ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) Fn 𝑁)
195 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑎𝑁)
196 fnelnfp 7123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) Fn 𝑁𝑎𝑁) → (𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ) ↔ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) ≠ 𝑎))
197196necon2bbid 2987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) Fn 𝑁𝑎𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I )))
198194, 195, 197syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I )))
199198ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I )))
200191, 199mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = 𝑎)
201200fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → (𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎)) = (𝑑𝑎))
202201oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))
203 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑎 = 𝑓 → if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))
204203adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))
205202, 204eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
206174, 205pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
207 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
208207adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) → if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
209206, 208eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
210154, 209pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
2112103adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
212211mpoeq3dva 7434 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
213140, 212sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
214213fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
215 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑐 → (𝑑𝑎) = (𝑑𝑐))
216215oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑐 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = ((𝑑𝑐)𝐹𝑏))
217 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((𝑑𝑐)𝐹𝑏))
218216, 217eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = 𝑐 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
219 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 = 𝑓 → (𝑑𝑎) = (𝑑𝑓))
220219oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = 𝑓 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = ((𝑑𝑓)𝐹𝑏))
221 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = 𝑓 → if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = ((𝑑𝑓)𝐹𝑏))
222220, 221eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑓 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
223222adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ 𝑎 = 𝑐𝑎 = 𝑓) → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
224 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑎 = 𝑓 → if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))
225224eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑎 = 𝑓 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
226225adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ 𝑎 = 𝑐 ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
227223, 226pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑎 = 𝑐 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
228 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
229227, 228eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑎 = 𝑐 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
230218, 229pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
231230a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
232231mpoeq3ia 7435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
233232fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
234233fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
235234a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))))
236139, 214, 2353eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
237 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → (𝑒𝑎) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))
238237fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → (𝑑‘(𝑒𝑎)) = (𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎)))
239238oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏) = ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏))
240239mpoeq3dv 7436 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏)))
241240fveqeq2d 6850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))) ↔ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
242236, 241syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
243242expr 457 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ (𝑐𝑁𝑓𝑁)) → (𝑐𝑓 → (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))))
244243impd 411 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ (𝑐𝑁𝑓𝑁)) → ((𝑐𝑓𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
245244rexlimdvva 3205 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) → (∃𝑐𝑁𝑓𝑁 (𝑐𝑓𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
246108, 245syl5 34 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) → (𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
2472463impia 1117 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
248106, 247syl3an2 1164 . . . . 5 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
249105, 248eqtrd 2776 . . . 4 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
250249adantr 481 . . 3 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
251 fveq2 6842 . . . 4 ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹)) → ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))) = ((invg𝑅)‘((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))))
252251adantl 482 . . 3 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))) → ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))) = ((invg𝑅)‘((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))))
253 eqid 2736 . . . . . 6 (invg𝑅) = (invg𝑅)
254473ad2ant1 1133 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
255583ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
2562553ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
25759, 52mgpbas 19902 . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
25831, 257mhmf 18607 . . . . . . . 8 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
259256, 258syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
260259, 88ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) ∈ 𝐾)
261493ad2ant1 1133 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝐷:𝐵𝐾)
262 simp13 1205 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝐹𝐵)
263261, 262ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝐷𝐹) ∈ 𝐾)
26452, 53, 253, 254, 260, 263ringmneg1 20020 . . . . 5 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (((invg𝑅)‘(((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑)) · (𝐷𝐹)) = ((invg𝑅)‘((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))))
26559, 53mgpplusg 19900 . . . . . . . . 9 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
26631, 30, 265mhmlin 18609 . . . . . . . 8 ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑒)))
267256, 88, 90, 266syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑒)))
268333ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
269 simp3 1138 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁))
27034, 31, 38pmtrodpm 21001 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑒 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
271268, 269, 270syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑒 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
272 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
273 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
274272, 273, 54, 31, 253zrhpsgnodpm 20996 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑒) = ((invg𝑅)‘ 1 ))
275254, 268, 271, 274syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑒) = ((invg𝑅)‘ 1 ))
276275oveq2d 7373 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑒)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · ((invg𝑅)‘ 1 )))
27752, 53, 54, 253, 254, 260ringnegr 20019 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · ((invg𝑅)‘ 1 )) = ((invg𝑅)‘(((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑)))
278267, 276, 2773eqtrrd 2781 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((invg𝑅)‘(((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)))
279278oveq1d 7372 . . . . 5 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (((invg𝑅)‘(((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑)) · (𝐷𝐹)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) · (𝐷𝐹)))
280264, 279eqtr3d 2778 . . . 4 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((invg𝑅)‘((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) · (𝐷𝐹)))
281280adantr 481 . . 3 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))) → ((invg𝑅)‘((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) · (𝐷𝐹)))
282250, 252, 2813eqtrd 2780 . 2 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) · (𝐷𝐹)))
283 simp2 1137 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁)
28434, 31elsymgbas 19155 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
28533, 284syl 17 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
286283, 285mpbird 256 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
2877, 14, 21, 28, 29, 30, 31, 37, 40, 45, 87, 282, 286mndind 18638 1 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cdif 3907  wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586  {cpr 4588   class class class wbr 5105   I cid 5530   × cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  ccom 5637   Fn wfn 6491  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  f cof 7615  2oc2o 8406  m cmap 8765  cen 8880  Fincfn 8883  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  mrClscmrc 17463  Mndcmnd 18556   MndHom cmhm 18599  SubMndcsubmnd 18600  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  SymGrpcsymg 19148  pmTrspcpmtr 19223  pmSgncpsgn 19271  pmEvencevpm 19272  mulGrpcmgp 19896  1rcur 19913  Ringcrg 19964  ℤRHomczrh 20900   Mat cmat 21754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-reverse 14647  df-s2 14737  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-oppg 19124  df-symg 19149  df-pmtr 19224  df-psgn 19273  df-evpm 19274  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mat 21755
This theorem is referenced by:  mdetunilem8  21968
  Copyright terms: Public domain W3C validator