MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetunilem7 22639
Description: Lemma for mdetuni 22643. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g 0 = (0g𝑅)
mdetuni.1r 1 = (1r𝑅)
mdetuni.pg + = (+g𝑅)
mdetuni.tg · = (.r𝑅)
mdetuni.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
mdetuni.al (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
mdetuni.li (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
mdetuni.sc (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
Assertion
Ref Expression
mdetunilem7 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷𝐹)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem7
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6905 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐𝑎) = (𝑑𝑎))
21oveq1d 7445 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐𝑎)𝐹𝑏) = ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))
32mpoeq3dv 7511 . . . 4 (𝑐 = 𝑑 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
43fveq2d 6910 . . 3 (𝑐 = 𝑑 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
5 fveq2 6906 . . . 4 (𝑐 = 𝑑 → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑))
65oveq1d 7445 . . 3 (𝑐 = 𝑑 → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹)))
74, 6eqeq12d 2750 . 2 (𝑐 = 𝑑 → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))))
8 fveq1 6905 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → (𝑐𝑎) = ((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎))
98oveq1d 7445 . . . . 5 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → ((𝑐𝑎)𝐹𝑏) = (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))
109mpoeq3dv 7511 . . . 4 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏)))
1110fveq2d 6910 . . 3 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))))
12 fveq2 6906 . . . 4 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)))
1312oveq1d 7445 . . 3 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) · (𝐷𝐹)))
1411, 13eqeq12d 2750 . 2 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) · (𝐷𝐹))))
15 fveq1 6905 . . . . . 6 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → (𝑐𝑎) = ((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎))
1615oveq1d 7445 . . . . 5 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → ((𝑐𝑎)𝐹𝑏) = (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏))
1716mpoeq3dv 7511 . . . 4 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏)))
1817fveq2d 6910 . . 3 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏))))
19 fveq2 6906 . . . 4 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))))
2019oveq1d 7445 . . 3 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) · (𝐷𝐹)))
2118, 20eqeq12d 2750 . 2 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) · (𝐷𝐹))))
22 fveq1 6905 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐸 → (𝑐𝑎) = (𝐸𝑎))
2322oveq1d 7445 . . . . 5 (𝑐 = 𝐸 → ((𝑐𝑎)𝐹𝑏) = ((𝐸𝑎)𝐹𝑏))
2423mpoeq3dv 7511 . . . 4 (𝑐 = 𝐸 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)𝐹𝑏)))
2524fveq2d 6910 . . 3 (𝑐 = 𝐸 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)𝐹𝑏))))
26 fveq2 6906 . . . 4 (𝑐 = 𝐸 → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸))
2726oveq1d 7445 . . 3 (𝑐 = 𝐸 → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷𝐹)))
2825, 27eqeq12d 2750 . 2 (𝑐 = 𝐸 → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷𝐹))))
29 eqid 2734 . 2 (0g‘(SymGrp‘𝑁)) = (0g‘(SymGrp‘𝑁))
30 eqid 2734 . 2 (+g‘(SymGrp‘𝑁)) = (+g‘(SymGrp‘𝑁))
31 eqid 2734 . 2 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
32 mdetuni.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
33323ad2ant1 1132 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
34 eqid 2734 . . . 4 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
3534symggrp 19432 . . 3 (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
36 grpmnd 18970 . . 3 ((SymGrp‘𝑁) ∈ Grp → (SymGrp‘𝑁) ∈ Mnd)
3733, 35, 363syl 18 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Mnd)
38 eqid 2734 . . . 4 ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
3938, 34, 31symgtrf 19501 . . 3 ran (pmTrsp‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
4039a1i 11 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → ran (pmTrsp‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
41 eqid 2734 . . . . . 6 (mrCls‘(SubMnd‘(SymGrp‘𝑁))) = (mrCls‘(SubMnd‘(SymGrp‘𝑁)))
4238, 34, 31, 41symggen2 19503 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → ((mrCls‘(SubMnd‘(SymGrp‘𝑁)))‘ran (pmTrsp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
4332, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘(SymGrp‘𝑁)))‘ran (pmTrsp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
4443eqcomd 2740 . . 3 (𝜑 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ((mrCls‘(SubMnd‘(SymGrp‘𝑁)))‘ran (pmTrsp‘𝑁)))
45443ad2ant1 1132 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ((mrCls‘(SubMnd‘(SymGrp‘𝑁)))‘ran (pmTrsp‘𝑁)))
46 mdetuni.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
47463ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
48 mdetuni.ff . . . . . 6 (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
49483ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐷:𝐵𝐾)
50 simp3 1137 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐹𝐵)
5149, 50ffvelcdmd 7104 . . . 4 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝐷𝐹) ∈ 𝐾)
52 mdetuni.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
53 mdetuni.tg . . . . 5 · = (.r𝑅)
54 mdetuni.1r . . . . 5 1 = (1r𝑅)
5552, 53, 54ringlidm 20282 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷𝐹) ∈ 𝐾) → ( 1 · (𝐷𝐹)) = (𝐷𝐹))
5647, 51, 55syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → ( 1 · (𝐷𝐹)) = (𝐷𝐹))
57 zrhpsgnmhm 21619 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
5846, 32, 57syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
59 eqid 2734 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6059, 54ringidval 20200 . . . . . . 7 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
6129, 60mhm0 18819 . . . . . 6 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = 1 )
6258, 61syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = 1 )
63623ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = 1 )
6463oveq1d 7445 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) · (𝐷𝐹)) = ( 1 · (𝐷𝐹)))
6534symgid 19433 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
6632, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
67663ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
68673ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
6968fveq1d 6908 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑎) = ((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎))
70 simp2 1136 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑎𝑁)
71 fvresi 7192 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑎) = 𝑎)
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑎) = 𝑎)
7369, 72eqtr3d 2776 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎) = 𝑎)
7473oveq1d 7445 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏) = (𝑎𝐹𝑏))
7574mpoeq3dva 7509 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (𝑎𝐹𝑏)))
76 mdetuni.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
77 mdetuni.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
7876, 52, 77matbas2i 22443 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵𝐹 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)))
79783ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)))
80 elmapi 8887 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) → 𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
81 ffn 6736 . . . . . . 7 (𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾𝐹 Fn (𝑁 × 𝑁))
8279, 80, 813syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐹 Fn (𝑁 × 𝑁))
83 fnov 7563 . . . . . 6 (𝐹 Fn (𝑁 × 𝑁) ↔ 𝐹 = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (𝑎𝐹𝑏)))
8482, 83sylib 218 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐹 = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (𝑎𝐹𝑏)))
8575, 84eqtr4d 2777 . . . 4 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏)) = 𝐹)
8685fveq2d 6910 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷𝐹))
8756, 64, 863eqtr4rd 2785 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) · (𝐷𝐹)))
88 simp2 1136 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
8939sseli 3990 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁) → 𝑒 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
90893ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑒 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
9134, 31, 30symgov 19415 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) = (𝑑𝑒))
9288, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) = (𝑑𝑒))
9392fveq1d 6908 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎) = ((𝑑𝑒)‘𝑎))
94933ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎) = ((𝑑𝑒)‘𝑎))
9534, 31symgbasf1o 19406 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑒:𝑁1-1-onto𝑁)
96 f1of 6848 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒:𝑁1-1-onto𝑁𝑒:𝑁𝑁)
9790, 95, 963syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑒:𝑁𝑁)
98973ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑒:𝑁𝑁)
99 simp2 1136 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑎𝑁)
100 fvco3 7007 . . . . . . . . . 10 ((𝑒:𝑁𝑁𝑎𝑁) → ((𝑑𝑒)‘𝑎) = (𝑑‘(𝑒𝑎)))
10198, 99, 100syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑑𝑒)‘𝑎) = (𝑑‘(𝑒𝑎)))
10294, 101eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎) = (𝑑‘(𝑒𝑎)))
103102oveq1d 7445 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏) = ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))
104103mpoeq3dva 7509 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏)))
105104fveq2d 6910 . . . . 5 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))))
10634, 31symgbasf 19407 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑑:𝑁𝑁)
107 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
108107, 38pmtrrn2 19492 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁) → ∃𝑐𝑁𝑓𝑁 (𝑐𝑓𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})))
109 mdetuni.0g . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (0g𝑅)
110 mdetuni.pg . . . . . . . . . . . . . 14 + = (+g𝑅)
111 mdetuni.al . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
112 mdetuni.li . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
113 mdetuni.sc . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
114 simpll1 1211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝜑)
115 df-3an 1088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐𝑁𝑓𝑁𝑐𝑓) ↔ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓))
116115biimpri 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓) → (𝑐𝑁𝑓𝑁𝑐𝑓))
117116adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝑐𝑁𝑓𝑁𝑐𝑓))
11879, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
119118adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) → 𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
120119ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → 𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
121 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑑:𝑁𝑁)
122 simprlr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝑓𝑁)
123122adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑓𝑁)
124121, 123ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → (𝑑𝑓) ∈ 𝑁)
125 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
126120, 124, 125fovcdmd 7604 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → ((𝑑𝑓)𝐹𝑏) ∈ 𝐾)
127 simprll 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝑐𝑁)
128127adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑐𝑁)
129121, 128ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → (𝑑𝑐) ∈ 𝑁)
130120, 129, 125fovcdmd 7604 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → ((𝑑𝑐)𝐹𝑏) ∈ 𝐾)
131126, 130jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → (((𝑑𝑓)𝐹𝑏) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑑𝑐)𝐹𝑏) ∈ 𝐾))
132118ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
1331323ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
134 simp1lr 1236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑑:𝑁𝑁)
135 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑎𝑁)
136134, 135ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑑𝑎) ∈ 𝑁)
137 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
138133, 136, 137fovcdmd 7604 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) ∈ 𝐾)
13976, 77, 52, 109, 54, 110, 53, 32, 46, 48, 111, 112, 113, 114, 117, 131, 138mdetunilem6 22638 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))))
140 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) → 𝜑)
141 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑐 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑐))
14232adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝑁 ∈ Fin)
143 simprll 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝑐𝑁)
144 simprlr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝑓𝑁)
145 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝑐𝑓)
146107pmtrprfv 19485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑐𝑁𝑓𝑁𝑐𝑓)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑐) = 𝑓)
147142, 143, 144, 145, 146syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑐) = 𝑓)
148147adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑐) = 𝑓)
149141, 148sylan9eqr 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑐) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = 𝑓)
150149fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑐) → (𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎)) = (𝑑𝑓))
151150oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑐) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = ((𝑑𝑓)𝐹𝑏))
152 iftrue 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((𝑑𝑓)𝐹𝑏))
153152adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑐) → if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((𝑑𝑓)𝐹𝑏))
154151, 153eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑐) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
155 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 = 𝑓 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑓))
156 prcom 4736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 {𝑐, 𝑓} = {𝑓, 𝑐}
157156fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑓, 𝑐})
158157fveq1i 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑓) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑓, 𝑐})‘𝑓)
15932ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
160 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → (𝑐𝑁𝑓𝑁))
161160simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑓𝑁)
162160simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑐𝑁)
163 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑐𝑓)
164163necomd 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑓𝑐)
165107pmtrprfv 19485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑓𝑁𝑐𝑁𝑓𝑐)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑓, 𝑐})‘𝑓) = 𝑐)
166159, 161, 162, 164, 165syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑓, 𝑐})‘𝑓) = 𝑐)
167158, 166eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑓) = 𝑐)
168155, 167sylan9eqr 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑓) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = 𝑐)
169168fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑓) → (𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎)) = (𝑑𝑐))
170169oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑓) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = ((𝑑𝑐)𝐹𝑏))
171 iftrue 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = 𝑓 → if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = ((𝑑𝑐)𝐹𝑏))
172171adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑓) → if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = ((𝑑𝑐)𝐹𝑏))
173170, 172eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑓) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
174173adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ 𝑎 = 𝑓) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
175 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑎 ∈ V
176175elpr 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓} ↔ (𝑎 = 𝑐𝑎 = 𝑓))
177176notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓} ↔ ¬ (𝑎 = 𝑐𝑎 = 𝑓))
178 ioran 985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (¬ (𝑎 = 𝑐𝑎 = 𝑓) ↔ (¬ 𝑎 = 𝑐 ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓))
179177, 178sylbbr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((¬ 𝑎 = 𝑐 ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ¬ 𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓})
180179adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ¬ 𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓})
181 prssi 4825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑐𝑁𝑓𝑁) → {𝑐, 𝑓} ⊆ 𝑁)
182160, 181syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → {𝑐, 𝑓} ⊆ 𝑁)
183 pr2ne 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑐𝑁𝑓𝑁) → ({𝑐, 𝑓} ≈ 2o𝑐𝑓))
184160, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → ({𝑐, 𝑓} ≈ 2o𝑐𝑓))
185163, 184mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → {𝑐, 𝑓} ≈ 2o)
186107pmtrmvd 19488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ Fin ∧ {𝑐, 𝑓} ⊆ 𝑁 ∧ {𝑐, 𝑓} ≈ 2o) → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ) = {𝑐, 𝑓})
187159, 182, 185, 186syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ) = {𝑐, 𝑓})
188187eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → (𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ) ↔ 𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓}))
189188notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → (¬ 𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ) ↔ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓}))
190189ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → (¬ 𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ) ↔ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓}))
191180, 190mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ¬ 𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ))
192107pmtrf 19487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ Fin ∧ {𝑐, 𝑓} ⊆ 𝑁 ∧ {𝑐, 𝑓} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}):𝑁𝑁)
193159, 182, 185, 192syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}):𝑁𝑁)
194193ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) Fn 𝑁)
195 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑎𝑁)
196 fnelnfp 7196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) Fn 𝑁𝑎𝑁) → (𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ) ↔ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) ≠ 𝑎))
197196necon2bbid 2981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) Fn 𝑁𝑎𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I )))
198194, 195, 197syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I )))
199198ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I )))
200191, 199mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = 𝑎)
201200fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → (𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎)) = (𝑑𝑎))
202201oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))
203 iffalse 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑎 = 𝑓 → if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))
204203adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))
205202, 204eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
206174, 205pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
207 iffalse 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
208207adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) → if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
209206, 208eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
210154, 209pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
2112103adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
212211mpoeq3dva 7509 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
213140, 212sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
214213fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
215 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑐 → (𝑑𝑎) = (𝑑𝑐))
216215oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑐 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = ((𝑑𝑐)𝐹𝑏))
217 iftrue 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((𝑑𝑐)𝐹𝑏))
218216, 217eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = 𝑐 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
219 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 = 𝑓 → (𝑑𝑎) = (𝑑𝑓))
220219oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = 𝑓 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = ((𝑑𝑓)𝐹𝑏))
221 iftrue 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = 𝑓 → if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = ((𝑑𝑓)𝐹𝑏))
222220, 221eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑓 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
223222adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ 𝑎 = 𝑐𝑎 = 𝑓) → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
224 iffalse 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑎 = 𝑓 → if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))
225224eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑎 = 𝑓 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
226225adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ 𝑎 = 𝑐 ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
227223, 226pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑎 = 𝑐 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
228 iffalse 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
229227, 228eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑎 = 𝑐 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
230218, 229pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
231230a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
232231mpoeq3ia 7510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
233232fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
234233fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
235234a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))))
236139, 214, 2353eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
237 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → (𝑒𝑎) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))
238237fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → (𝑑‘(𝑒𝑎)) = (𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎)))
239238oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏) = ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏))
240239mpoeq3dv 7511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏)))
241240fveqeq2d 6914 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))) ↔ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
242236, 241syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
243242expr 456 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ (𝑐𝑁𝑓𝑁)) → (𝑐𝑓 → (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))))
244243impd 410 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ (𝑐𝑁𝑓𝑁)) → ((𝑐𝑓𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
245244rexlimdvva 3210 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) → (∃𝑐𝑁𝑓𝑁 (𝑐𝑓𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
246108, 245syl5 34 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) → (𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
2472463impia 1116 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
248106, 247syl3an2 1163 . . . . 5 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
249105, 248eqtrd 2774 . . . 4 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
250249adantr 480 . . 3 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
251 fveq2 6906 . . . 4 ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹)) → ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))) = ((invg𝑅)‘((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))))
252251adantl 481 . . 3 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))) → ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))) = ((invg𝑅)‘((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))))
253 eqid 2734 . . . . . 6 (invg𝑅) = (invg𝑅)
254473ad2ant1 1132 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
255583ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
2562553ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
25759, 52mgpbas 20157 . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
25831, 257mhmf 18814 . . . . . . . 8 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
259256, 258syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
260259, 88ffvelcdmd 7104 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) ∈ 𝐾)
261493ad2ant1 1132 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝐷:𝐵𝐾)
262 simp13 1204 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝐹𝐵)
263261, 262ffvelcdmd 7104 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝐷𝐹) ∈ 𝐾)
26452, 53, 253, 254, 260, 263ringmneg1 20317 . . . . 5 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (((invg𝑅)‘(((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑)) · (𝐷𝐹)) = ((invg𝑅)‘((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))))
26559, 53mgpplusg 20155 . . . . . . . . 9 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
26631, 30, 265mhmlin 18818 . . . . . . . 8 ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑒)))
267256, 88, 90, 266syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑒)))
268333ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
269 simp3 1137 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁))
27034, 31, 38pmtrodpm 21632 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑒 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
271268, 269, 270syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑒 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
272 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
273 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
274272, 273, 54, 31, 253zrhpsgnodpm 21627 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑒) = ((invg𝑅)‘ 1 ))
275254, 268, 271, 274syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑒) = ((invg𝑅)‘ 1 ))
276275oveq2d 7446 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑒)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · ((invg𝑅)‘ 1 )))
27752, 53, 54, 253, 254, 260ringnegr 20316 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · ((invg𝑅)‘ 1 )) = ((invg𝑅)‘(((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑)))
278267, 276, 2773eqtrrd 2779 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((invg𝑅)‘(((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)))
279278oveq1d 7445 . . . . 5 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (((invg𝑅)‘(((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑)) · (𝐷𝐹)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) · (𝐷𝐹)))
280264, 279eqtr3d 2776 . . . 4 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((invg𝑅)‘((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) · (𝐷𝐹)))
281280adantr 480 . . 3 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))) → ((invg𝑅)‘((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) · (𝐷𝐹)))
282250, 252, 2813eqtrd 2778 . 2 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) · (𝐷𝐹)))
283 simp2 1136 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁)
28434, 31elsymgbas 19405 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
28533, 284syl 17 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
286283, 285mpbird 257 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
2877, 14, 21, 28, 29, 30, 31, 37, 40, 45, 87, 282, 286mndind 18853 1 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  cdif 3959  wss 3962  ifcif 4530  {csn 4630  {cpr 4632   class class class wbr 5147   I cid 5581   × cxp 5686  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  ccom 5692   Fn wfn 6557  wf 6558  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  f cof 7694  2oc2o 8498  m cmap 8864  cen 8980  Fincfn 8983  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17485  mrClscmrc 17627  Mndcmnd 18759   MndHom cmhm 18806  SubMndcsubmnd 18807  Grpcgrp 18963  invgcminusg 18964  SymGrpcsymg 19400  pmTrspcpmtr 19473  pmSgncpsgn 19521  pmEvencevpm 19522  mulGrpcmgp 20151  1rcur 20198  Ringcrg 20250  ℤRHomczrh 21527   Mat cmat 22426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1508  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-word 14549  df-lsw 14597  df-concat 14605  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-splice 14784  df-reverse 14793  df-s2 14883  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-efmnd 18894  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-gim 19289  df-oppg 19376  df-symg 19401  df-pmtr 19474  df-psgn 19523  df-evpm 19524  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531  df-dsmm 21769  df-frlm 21784  df-mat 22427
This theorem is referenced by:  mdetunilem8  22640
  Copyright terms: Public domain W3C validator