Theorem pmtrcnelor 33084

Description: Composing a permutation 𝐹 with a transposition which results in moving one or two less points. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrcnel.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
pmtrcnel.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrcnel.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
pmtrcnel.j	⊢ 𝐽 = (𝐹‘𝐼)
pmtrcnel.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
pmtrcnel.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pmtrcnel.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
pmtrcnel.e	⊢ 𝐸 = dom (𝐹 ∖ I )
pmtrcnel.a	⊢ 𝐴 = dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )

Assertion

Ref	Expression
pmtrcnelor	⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))

Proof of Theorem pmtrcnelor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrcnel.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2		pmtrcnel.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
3		pmtrcnel.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4		pmtrcnel.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝐹‘𝐼)
5		pmtrcnel.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
6		pmtrcnel.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		pmtrcnel.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pmtrcnel 33082	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
9		pmtrcnel.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )
10		pmtrcnel.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = dom (𝐹 ∖ I )
11	10	difeq1i 4145	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∖ {𝐼}) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼})
12	8, 9, 11	3sstr4g 4054	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
13	12	ssdifd 4168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
14		difpr 4828	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) = ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})
15	14	difeq2i 4146	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}))
16	1, 3	symgbasf1o 19416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
17	6, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
18		f1omvdmvd 19485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
19	17, 7, 18	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
20	4, 19	eqeltrid 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
21	20	eldifad 3988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
22	21, 10	eleqtrrdi 2855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐸)
23	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝐹‘𝐼))
24		f1of 6862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
25	17, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
26	25	ffnd 6748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
27		difss 4159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
28		dmss 5927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
30	29, 7	sselid 4006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom 𝐹)
31	25	fdmd 6757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
32	30, 31	eleqtrd 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
33		fnelnfp 7211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → (𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼))
34	33	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼)
35	26, 32, 7, 34	syl21anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼)
36	23, 35	eqnetrd 3014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐼)
37		eldifsn 4811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐸 ∖ {𝐼}) ↔ (𝐽 ∈ 𝐸 ∧ 𝐽 ≠ 𝐼))
38	22, 36, 37	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐸 ∖ {𝐼}))
39	38	snssd 4834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐽} ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
40		dfss4 4288	. . . . . 6 ⊢ ({𝐽} ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}) ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})) = {𝐽})
41	39, 40	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})) = {𝐽})
42	15, 41	eqtrid 2792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽})
43	13, 42	sseqtrd 4049	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ {𝐽})
44		sssn 4851	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ {𝐽} ↔ ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}))
45	43, 44	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}))
46		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅)
47	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pmtrcnel2 33083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
48	10	difeq1i 4145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼, 𝐽})
49	47, 48, 9	3sstr4g 4054	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ 𝐴)
50		ssdif0 4389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
51	49, 50	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
52	51	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
53		eqdif 32549	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∧ ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}))
54	46, 52, 53	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}))
55	54	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
56	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → 𝐴 ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
57	14, 49	eqsstrrid 4058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
58	57	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
59		ssundif 4511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ ({𝐽} ∪ 𝐴) ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
60	58, 59	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ ({𝐽} ∪ 𝐴))
61		ssidd 4032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ {𝐽})
62		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽})
63	61, 62	sseqtrrd 4050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
64	63	difss2d 4162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ 𝐴)
65		ssequn1 4209	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐽} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐽} ∪ 𝐴) = 𝐴)
66	64, 65	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → ({𝐽} ∪ 𝐴) = 𝐴)
67	60, 66	sseqtrd 4049	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝐴)
68	56, 67	eqssd 4026	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼}))
69	68	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽} → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))
70	55, 69	orim12d 965	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼}))))
71	45, 70	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {csn 4648  {cpr 4650   I cid 5592  dom cdm 5700   ∘ ccom 5704   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  SymGrpcsymg 19410  pmTrspcpmtr 19483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-tset 17330  df-efmnd 18904  df-symg 19411  df-pmtr 19484

This theorem is referenced by: (None)