Theorem pmtrcnelor 31360

Description: Composing a permutation 𝐹 with a transposition which results in moving one or two less points. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrcnel.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
pmtrcnel.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrcnel.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
pmtrcnel.j	⊢ 𝐽 = (𝐹‘𝐼)
pmtrcnel.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
pmtrcnel.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pmtrcnel.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
pmtrcnel.e	⊢ 𝐸 = dom (𝐹 ∖ I )
pmtrcnel.a	⊢ 𝐴 = dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )

Assertion

Ref	Expression
pmtrcnelor	⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))

Proof of Theorem pmtrcnelor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrcnel.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2		pmtrcnel.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
3		pmtrcnel.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4		pmtrcnel.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝐹‘𝐼)
5		pmtrcnel.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
6		pmtrcnel.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		pmtrcnel.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pmtrcnel 31358	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
9		pmtrcnel.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )
10		pmtrcnel.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = dom (𝐹 ∖ I )
11	10	difeq1i 4053	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∖ {𝐼}) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼})
12	8, 9, 11	3sstr4g 3966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
13	12	ssdifd 4075	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
14		difpr 4736	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) = ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})
15	14	difeq2i 4054	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}))
16	1, 3	symgbasf1o 18982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
17	6, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
18		f1omvdmvd 19051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
19	17, 7, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
20	4, 19	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
21	20	eldifad 3899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
22	21, 10	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐸)
23	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝐹‘𝐼))
24		f1of 6716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
25	17, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
26	25	ffnd 6601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
27		difss 4066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
28		dmss 5811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
30	29, 7	sselid 3919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom 𝐹)
31	25	fdmd 6611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
32	30, 31	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
33		fnelnfp 7049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → (𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼))
34	33	biimpa 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼)
35	26, 32, 7, 34	syl21anc 835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼)
36	23, 35	eqnetrd 3011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐼)
37		eldifsn 4720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐸 ∖ {𝐼}) ↔ (𝐽 ∈ 𝐸 ∧ 𝐽 ≠ 𝐼))
38	22, 36, 37	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐸 ∖ {𝐼}))
39	38	snssd 4742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐽} ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
40		dfss4 4192	. . . . . 6 ⊢ ({𝐽} ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}) ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})) = {𝐽})
41	39, 40	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})) = {𝐽})
42	15, 41	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽})
43	13, 42	sseqtrd 3961	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ {𝐽})
44		sssn 4759	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ {𝐽} ↔ ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}))
45	43, 44	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}))
46		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅)
47	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pmtrcnel2 31359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
48	10	difeq1i 4053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼, 𝐽})
49	47, 48, 9	3sstr4g 3966	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ 𝐴)
50		ssdif0 4297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
51	49, 50	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
52	51	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
53		eqdif 30866	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∧ ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}))
54	46, 52, 53	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}))
55	54	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
56	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → 𝐴 ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
57	14, 49	eqsstrrid 3970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
58	57	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
59		ssundif 4418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ ({𝐽} ∪ 𝐴) ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
60	58, 59	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ ({𝐽} ∪ 𝐴))
61		ssidd 3944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ {𝐽})
62		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽})
63	61, 62	sseqtrrd 3962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
64	63	difss2d 4069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ 𝐴)
65		ssequn1 4114	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐽} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐽} ∪ 𝐴) = 𝐴)
66	64, 65	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → ({𝐽} ∪ 𝐴) = 𝐴)
67	60, 66	sseqtrd 3961	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝐴)
68	56, 67	eqssd 3938	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼}))
69	68	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽} → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))
70	55, 69	orim12d 962	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼}))))
71	45, 70	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561  {cpr 4563   I cid 5488  dom cdm 5589   ∘ ccom 5593   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  SymGrpcsymg 18974  pmTrspcpmtr 19049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-efmnd 18508  df-symg 18975  df-pmtr 19050

This theorem is referenced by: (None)