Theorem pmtrcnelor 33411

Description: Composing a permutation 𝐹 with a transposition which results in moving one or two less points. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrcnel.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
pmtrcnel.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrcnel.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
pmtrcnel.j	⊢ 𝐽 = (𝐹‘𝐼)
pmtrcnel.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
pmtrcnel.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pmtrcnel.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
pmtrcnel.e	⊢ 𝐸 = dom (𝐹 ∖ I )
pmtrcnel.a	⊢ 𝐴 = dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )

Assertion

Ref	Expression
pmtrcnelor	⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))

Proof of Theorem pmtrcnelor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrcnel.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2		pmtrcnel.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
3		pmtrcnel.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4		pmtrcnel.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝐹‘𝐼)
5		pmtrcnel.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
6		pmtrcnel.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		pmtrcnel.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pmtrcnel 33409	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
9		pmtrcnel.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )
10		pmtrcnel.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = dom (𝐹 ∖ I )
11	10	difeq1i 4077	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∖ {𝐼}) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼})
12	8, 9, 11	3sstr4g 3990	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
13	12	ssdifd 4099	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
14		difpr 4771	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) = ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})
15	14	difeq2i 4078	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}))
16	1, 3	symgbasf1o 19440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
17	6, 16	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
18		f1omvdmvd 19508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
19	17, 7, 18	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
20	4, 19	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
21	20	eldifad 3917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
22	21, 10	eleqtrrdi 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐸)
23	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝐹‘𝐼))
24		f1of 6820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
25	17, 24	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
26	25	ffnd 6706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
27		difss 4090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
28		dmss 5892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
30	29, 7	sselid 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom 𝐹)
31	25	fdmd 6716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
32	30, 31	eleqtrd 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
33		fnelnfp 7175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → (𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼))
34	33	biimpa 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼)
35	26, 32, 7, 34	syl21anc 850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼)
36	23, 35	eqnetrd 3025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐼)
37		eldifsn 4753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐸 ∖ {𝐼}) ↔ (𝐽 ∈ 𝐸 ∧ 𝐽 ≠ 𝐼))
38	22, 36, 37	sylanbrc 594	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐸 ∖ {𝐼}))
39	38	snssd 4752	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐽} ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
40		dfss4 4222	. . . . . 6 ⊢ ({𝐽} ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}) ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})) = {𝐽})
41	39, 40	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})) = {𝐽})
42	15, 41	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽})
43	13, 42	sseqtrd 3973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ {𝐽})
44		sssn 4792	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ {𝐽} ↔ ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}))
45	43, 44	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}))
46		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅)
47	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pmtrcnel2 33410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
48	10	difeq1i 4077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼, 𝐽})
49	47, 48, 9	3sstr4g 3990	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ 𝐴)
50		ssdif0 4321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
51	49, 50	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
52	51	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
53		eqdif 32865	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∧ ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}))
54	46, 52, 53	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}))
55	54	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
56	12	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → 𝐴 ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
57	14, 49	eqsstrrid 3976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
58	57	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
59		ssundif 4448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ ({𝐽} ∪ 𝐴) ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
60	58, 59	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ ({𝐽} ∪ 𝐴))
61		ssidd 3960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ {𝐽})
62		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽})
63	61, 62	sseqtrrd 3974	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
64	63	difss2d 4093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ 𝐴)
65		ssequn1 4139	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐽} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐽} ∪ 𝐴) = 𝐴)
66	64, 65	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → ({𝐽} ∪ 𝐴) = 𝐴)
67	60, 66	sseqtrd 3973	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝐴)
68	56, 67	eqssd 3954	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼}))
69	68	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽} → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))
70	55, 69	orim12d 979	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼}))))
71	45, 70	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4589  {cpr 4591   I cid 5555  dom cdm 5661   ∘ ccom 5665   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  Basecbs 17264  SymGrpcsymg 19434  pmTrspcpmtr 19506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-tset 17324  df-efmnd 18923  df-symg 19435  df-pmtr 19507

This theorem is referenced by: (None)