Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmtrcnelor Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrcnelor 33093
Description: Composing a permutation 𝐹 with a transposition which results in moving one or two less points. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrcnel.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
pmtrcnel.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrcnel.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
pmtrcnel.j 𝐽 = (𝐹𝐼)
pmtrcnel.d (𝜑𝐷𝑉)
pmtrcnel.f (𝜑𝐹𝐵)
pmtrcnel.i (𝜑𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
pmtrcnel.e 𝐸 = dom (𝐹 ∖ I )
pmtrcnel.a 𝐴 = dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )
Assertion
Ref Expression
pmtrcnelor (𝜑 → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))

Proof of Theorem pmtrcnelor
StepHypRef Expression
1 pmtrcnel.s . . . . . . 7 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2 pmtrcnel.t . . . . . . 7 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
3 pmtrcnel.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑆)
4 pmtrcnel.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝐹𝐼)
5 pmtrcnel.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝑉)
6 pmtrcnel.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐵)
7 pmtrcnel.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pmtrcnel 33091 . . . . . 6 (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
9 pmtrcnel.a . . . . . 6 𝐴 = dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )
10 pmtrcnel.e . . . . . . 7 𝐸 = dom (𝐹 ∖ I )
1110difeq1i 4131 . . . . . 6 (𝐸 ∖ {𝐼}) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼})
128, 9, 113sstr4g 4040 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
1312ssdifd 4154 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
14 difpr 4807 . . . . . 6 (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) = ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})
1514difeq2i 4132 . . . . 5 ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}))
161, 3symgbasf1o 19406 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐵𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
176, 16syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
18 f1omvdmvd 19475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐷1-1-onto𝐷𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
1917, 7, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
204, 19eqeltrid 2842 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
2120eldifad 3974 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
2221, 10eleqtrrdi 2849 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽𝐸)
234a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 = (𝐹𝐼))
24 f1of 6848 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐷1-1-onto𝐷𝐹:𝐷𝐷)
2517, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐷𝐷)
2625ffnd 6737 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
27 difss 4145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
28 dmss 5915 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
3029, 7sselid 3992 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ dom 𝐹)
3125fdmd 6746 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
3230, 31eleqtrd 2840 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼𝐷)
33 fnelnfp 7196 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 Fn 𝐷𝐼𝐷) → (𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹𝐼) ≠ 𝐼))
3433biimpa 476 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 Fn 𝐷𝐼𝐷) ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹𝐼) ≠ 𝐼)
3526, 32, 7, 34syl21anc 838 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐼) ≠ 𝐼)
3623, 35eqnetrd 3005 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽𝐼)
37 eldifsn 4790 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (𝐸 ∖ {𝐼}) ↔ (𝐽𝐸𝐽𝐼))
3822, 36, 37sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (𝐸 ∖ {𝐼}))
3938snssd 4813 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐽} ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
40 dfss4 4274 . . . . . 6 ({𝐽} ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}) ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})) = {𝐽})
4139, 40sylib 218 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})) = {𝐽})
4215, 41eqtrid 2786 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽})
4313, 42sseqtrd 4035 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ {𝐽})
44 sssn 4830 . . 3 ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ {𝐽} ↔ ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}))
4543, 44sylib 218 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}))
46 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅)
471, 2, 3, 4, 5, 6, 7pmtrcnel2 33092 . . . . . . . 8 (𝜑 → (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
4810difeq1i 4131 . . . . . . . 8 (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼, 𝐽})
4947, 48, 93sstr4g 4040 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ 𝐴)
50 ssdif0 4371 . . . . . . 7 ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
5149, 50sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
5251adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
53 eqdif 32546 . . . . 5 (((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∧ ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}))
5446, 52, 53syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}))
5554ex 412 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
5612adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → 𝐴 ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
5714, 49eqsstrrid 4044 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
5857adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
59 ssundif 4493 . . . . . . 7 ((𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ ({𝐽} ∪ 𝐴) ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
6058, 59sylibr 234 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ ({𝐽} ∪ 𝐴))
61 ssidd 4018 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ {𝐽})
62 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽})
6361, 62sseqtrrd 4036 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
6463difss2d 4148 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ 𝐴)
65 ssequn1 4195 . . . . . . 7 ({𝐽} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐽} ∪ 𝐴) = 𝐴)
6664, 65sylib 218 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → ({𝐽} ∪ 𝐴) = 𝐴)
6760, 66sseqtrd 4035 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝐴)
6856, 67eqssd 4012 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼}))
6968ex 412 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽} → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))
7055, 69orim12d 966 . 2 (𝜑 → (((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼}))))
7145, 70mpd 15 1 (𝜑 → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cdif 3959  cun 3960  wss 3962  c0 4338  {csn 4630  {cpr 4632   I cid 5581  dom cdm 5688  ccom 5692   Fn wfn 6557  wf 6558  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  Basecbs 17244  SymGrpcsymg 19400  pmTrspcpmtr 19473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-efmnd 18894  df-symg 19401  df-pmtr 19474
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator