Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmtrcnelor Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrcnelor 31262
Description: Composing a permutation 𝐹 with a transposition which results in moving one or two less points. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrcnel.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
pmtrcnel.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrcnel.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
pmtrcnel.j 𝐽 = (𝐹𝐼)
pmtrcnel.d (𝜑𝐷𝑉)
pmtrcnel.f (𝜑𝐹𝐵)
pmtrcnel.i (𝜑𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
pmtrcnel.e 𝐸 = dom (𝐹 ∖ I )
pmtrcnel.a 𝐴 = dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )
Assertion
Ref Expression
pmtrcnelor (𝜑 → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))

Proof of Theorem pmtrcnelor
StepHypRef Expression
1 pmtrcnel.s . . . . . . 7 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2 pmtrcnel.t . . . . . . 7 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
3 pmtrcnel.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑆)
4 pmtrcnel.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝐹𝐼)
5 pmtrcnel.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝑉)
6 pmtrcnel.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐵)
7 pmtrcnel.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pmtrcnel 31260 . . . . . 6 (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
9 pmtrcnel.a . . . . . 6 𝐴 = dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )
10 pmtrcnel.e . . . . . . 7 𝐸 = dom (𝐹 ∖ I )
1110difeq1i 4049 . . . . . 6 (𝐸 ∖ {𝐼}) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼})
128, 9, 113sstr4g 3962 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
1312ssdifd 4071 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
14 difpr 4733 . . . . . 6 (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) = ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})
1514difeq2i 4050 . . . . 5 ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}))
161, 3symgbasf1o 18897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐵𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
176, 16syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
18 f1omvdmvd 18966 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐷1-1-onto𝐷𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
1917, 7, 18syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
204, 19eqeltrid 2843 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
2120eldifad 3895 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
2221, 10eleqtrrdi 2850 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽𝐸)
234a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 = (𝐹𝐼))
24 f1of 6700 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐷1-1-onto𝐷𝐹:𝐷𝐷)
2517, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐷𝐷)
2625ffnd 6585 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
27 difss 4062 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
28 dmss 5800 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
3029, 7sselid 3915 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ dom 𝐹)
3125fdmd 6595 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
3230, 31eleqtrd 2841 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼𝐷)
33 fnelnfp 7031 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 Fn 𝐷𝐼𝐷) → (𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹𝐼) ≠ 𝐼))
3433biimpa 476 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 Fn 𝐷𝐼𝐷) ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹𝐼) ≠ 𝐼)
3526, 32, 7, 34syl21anc 834 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐼) ≠ 𝐼)
3623, 35eqnetrd 3010 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽𝐼)
37 eldifsn 4717 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (𝐸 ∖ {𝐼}) ↔ (𝐽𝐸𝐽𝐼))
3822, 36, 37sylanbrc 582 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (𝐸 ∖ {𝐼}))
3938snssd 4739 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐽} ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
40 dfss4 4189 . . . . . 6 ({𝐽} ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}) ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})) = {𝐽})
4139, 40sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})) = {𝐽})
4215, 41syl5eq 2791 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽})
4313, 42sseqtrd 3957 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ {𝐽})
44 sssn 4756 . . 3 ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ {𝐽} ↔ ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}))
4543, 44sylib 217 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}))
46 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅)
471, 2, 3, 4, 5, 6, 7pmtrcnel2 31261 . . . . . . . 8 (𝜑 → (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
4810difeq1i 4049 . . . . . . . 8 (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼, 𝐽})
4947, 48, 93sstr4g 3962 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ 𝐴)
50 ssdif0 4294 . . . . . . 7 ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
5149, 50sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
5251adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
53 eqdif 30767 . . . . 5 (((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∧ ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}))
5446, 52, 53syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}))
5554ex 412 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
5612adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → 𝐴 ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
5714, 49eqsstrrid 3966 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
5857adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
59 ssundif 4415 . . . . . . 7 ((𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ ({𝐽} ∪ 𝐴) ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
6058, 59sylibr 233 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ ({𝐽} ∪ 𝐴))
61 ssidd 3940 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ {𝐽})
62 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽})
6361, 62sseqtrrd 3958 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
6463difss2d 4065 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ 𝐴)
65 ssequn1 4110 . . . . . . 7 ({𝐽} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐽} ∪ 𝐴) = 𝐴)
6664, 65sylib 217 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → ({𝐽} ∪ 𝐴) = 𝐴)
6760, 66sseqtrd 3957 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝐴)
6856, 67eqssd 3934 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼}))
6968ex 412 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽} → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))
7055, 69orim12d 961 . 2 (𝜑 → (((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼}))))
7145, 70mpd 15 1 (𝜑 → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 843   = wceq 1539  wcel 2108  wne 2942  cdif 3880  cun 3881  wss 3883  c0 4253  {csn 4558  {cpr 4560   I cid 5479  dom cdm 5580  ccom 5584   Fn wfn 6413  wf 6414  1-1-ontowf1o 6417  cfv 6418  Basecbs 16840  SymGrpcsymg 18889  pmTrspcpmtr 18964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-tset 16907  df-efmnd 18423  df-symg 18890  df-pmtr 18965
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator