Theorem pmtrcnelor 33067

Description: Composing a permutation 𝐹 with a transposition which results in moving one or two less points. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrcnel.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
pmtrcnel.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrcnel.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
pmtrcnel.j	⊢ 𝐽 = (𝐹‘𝐼)
pmtrcnel.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
pmtrcnel.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pmtrcnel.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
pmtrcnel.e	⊢ 𝐸 = dom (𝐹 ∖ I )
pmtrcnel.a	⊢ 𝐴 = dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )

Assertion

Ref	Expression
pmtrcnelor	⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))

Proof of Theorem pmtrcnelor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrcnel.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2		pmtrcnel.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
3		pmtrcnel.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4		pmtrcnel.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝐹‘𝐼)
5		pmtrcnel.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
6		pmtrcnel.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		pmtrcnel.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pmtrcnel 33065	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
9		pmtrcnel.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )
10		pmtrcnel.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = dom (𝐹 ∖ I )
11	10	difeq1i 4071	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∖ {𝐼}) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼})
12	8, 9, 11	3sstr4g 3983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
13	12	ssdifd 4094	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
14		difpr 4754	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) = ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})
15	14	difeq2i 4072	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}))
16	1, 3	symgbasf1o 19293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
17	6, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
18		f1omvdmvd 19361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
19	17, 7, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
20	4, 19	eqeltrid 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
21	20	eldifad 3909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
22	21, 10	eleqtrrdi 2842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐸)
23	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝐹‘𝐼))
24		f1of 6769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
25	17, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
26	25	ffnd 6658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
27		difss 4085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
28		dmss 5847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
30	29, 7	sselid 3927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom 𝐹)
31	25	fdmd 6667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
32	30, 31	eleqtrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
33		fnelnfp 7117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → (𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼))
34	33	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼)
35	26, 32, 7, 34	syl21anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼)
36	23, 35	eqnetrd 2995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐼)
37		eldifsn 4737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐸 ∖ {𝐼}) ↔ (𝐽 ∈ 𝐸 ∧ 𝐽 ≠ 𝐼))
38	22, 36, 37	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐸 ∖ {𝐼}))
39	38	snssd 4760	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐽} ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
40		dfss4 4218	. . . . . 6 ⊢ ({𝐽} ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}) ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})) = {𝐽})
41	39, 40	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})) = {𝐽})
42	15, 41	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽})
43	13, 42	sseqtrd 3966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ {𝐽})
44		sssn 4777	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ {𝐽} ↔ ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}))
45	43, 44	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}))
46		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅)
47	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pmtrcnel2 33066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
48	10	difeq1i 4071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼, 𝐽})
49	47, 48, 9	3sstr4g 3983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ 𝐴)
50		ssdif0 4315	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
51	49, 50	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
52	51	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
53		eqdif 32506	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∧ ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}))
54	46, 52, 53	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}))
55	54	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
56	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → 𝐴 ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
57	14, 49	eqsstrrid 3969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
58	57	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
59		ssundif 4437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ ({𝐽} ∪ 𝐴) ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
60	58, 59	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ ({𝐽} ∪ 𝐴))
61		ssidd 3953	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ {𝐽})
62		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽})
63	61, 62	sseqtrrd 3967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
64	63	difss2d 4088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ 𝐴)
65		ssequn1 4135	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐽} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐽} ∪ 𝐴) = 𝐴)
66	64, 65	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → ({𝐽} ∪ 𝐴) = 𝐴)
67	60, 66	sseqtrd 3966	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝐴)
68	56, 67	eqssd 3947	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼}))
69	68	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽} → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))
70	55, 69	orim12d 966	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼}))))
71	45, 70	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897  ∅c0 4282  {csn 4575  {cpr 4577   I cid 5513  dom cdm 5619   ∘ ccom 5623   Fn wfn 6482  ⟶wf 6483  –1-1-onto→wf1o 6486  ‘cfv 6487  Basecbs 17126  SymGrpcsymg 19287  pmTrspcpmtr 19359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-fz 13414  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-tset 17186  df-efmnd 18783  df-symg 19288  df-pmtr 19360

This theorem is referenced by: (None)