Theorem pmtrcnelor 33021

Description: Composing a permutation 𝐹 with a transposition which results in moving one or two less points. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrcnel.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
pmtrcnel.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrcnel.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
pmtrcnel.j	⊢ 𝐽 = (𝐹‘𝐼)
pmtrcnel.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
pmtrcnel.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pmtrcnel.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
pmtrcnel.e	⊢ 𝐸 = dom (𝐹 ∖ I )
pmtrcnel.a	⊢ 𝐴 = dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )

Assertion

Ref	Expression
pmtrcnelor	⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))

Proof of Theorem pmtrcnelor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrcnel.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2		pmtrcnel.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
3		pmtrcnel.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4		pmtrcnel.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝐹‘𝐼)
5		pmtrcnel.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
6		pmtrcnel.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		pmtrcnel.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pmtrcnel 33019	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
9		pmtrcnel.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )
10		pmtrcnel.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = dom (𝐹 ∖ I )
11	10	difeq1i 4081	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∖ {𝐼}) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼})
12	8, 9, 11	3sstr4g 3997	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
13	12	ssdifd 4104	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
14		difpr 4763	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) = ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})
15	14	difeq2i 4082	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}))
16	1, 3	symgbasf1o 19281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
17	6, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
18		f1omvdmvd 19349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
19	17, 7, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
20	4, 19	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
21	20	eldifad 3923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
22	21, 10	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐸)
23	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝐹‘𝐼))
24		f1of 6782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
25	17, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
26	25	ffnd 6671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
27		difss 4095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
28		dmss 5856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
30	29, 7	sselid 3941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom 𝐹)
31	25	fdmd 6680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
32	30, 31	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
33		fnelnfp 7133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → (𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼))
34	33	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼)
35	26, 32, 7, 34	syl21anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼)
36	23, 35	eqnetrd 2992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐼)
37		eldifsn 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐸 ∖ {𝐼}) ↔ (𝐽 ∈ 𝐸 ∧ 𝐽 ≠ 𝐼))
38	22, 36, 37	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐸 ∖ {𝐼}))
39	38	snssd 4769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐽} ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
40		dfss4 4228	. . . . . 6 ⊢ ({𝐽} ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}) ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})) = {𝐽})
41	39, 40	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽})) = {𝐽})
42	15, 41	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽})
43	13, 42	sseqtrd 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ {𝐽})
44		sssn 4786	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) ⊆ {𝐽} ↔ ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}))
45	43, 44	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}))
46		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅)
47	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pmtrcnel2 33020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
48	10	difeq1i 4081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼, 𝐽})
49	47, 48, 9	3sstr4g 3997	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ 𝐴)
50		ssdif0 4325	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
51	49, 50	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
52	51	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅)
53		eqdif 32421	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∧ ((𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∖ 𝐴) = ∅) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}))
54	46, 52, 53	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}))
55	54	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
56	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → 𝐴 ⊆ (𝐸 ∖ {𝐼}))
57	14, 49	eqsstrrid 3983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
58	57	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
59		ssundif 4447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ ({𝐽} ∪ 𝐴) ↔ ((𝐸 ∖ {𝐼}) ∖ {𝐽}) ⊆ 𝐴)
60	58, 59	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ ({𝐽} ∪ 𝐴))
61		ssidd 3967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ {𝐽})
62		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽})
63	61, 62	sseqtrrd 3981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})))
64	63	difss2d 4098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → {𝐽} ⊆ 𝐴)
65		ssequn1 4145	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐽} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐽} ∪ 𝐴) = 𝐴)
66	64, 65	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → ({𝐽} ∪ 𝐴) = 𝐴)
67	60, 66	sseqtrd 3980	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐸 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝐴)
68	56, 67	eqssd 3961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼}))
69	68	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽} → 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))
70	55, 69	orim12d 966	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = ∅ ∨ (𝐴 ∖ (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽})) = {𝐽}) → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼}))))
71	45, 70	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼, 𝐽}) ∨ 𝐴 = (𝐸 ∖ {𝐼})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3908   ∪ cun 3909   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4585  {cpr 4587   I cid 5525  dom cdm 5631   ∘ ccom 5635   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  SymGrpcsymg 19275  pmTrspcpmtr 19347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-efmnd 18772  df-symg 19276  df-pmtr 19348

This theorem is referenced by: (None)